概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第一章

§1.3古典概型（等可能概型）Classical

Probability

modelEqual-Possibility

Probability

model[引例]擲一枚硬幣，則樣本空間

={H，T

}；擲一顆，則樣本空間={1，2，3，4，5，6}。這兩個(gè)試驗(yàn)具有以下三個(gè)共同特征：試驗(yàn)的樣本空間所含基本事件的個(gè)數(shù)只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是均等的；稱具有上述兩個(gè)特征的概型為古典概型(等可能概型)。設(shè)

{e1，e2，，en

},如果P(e1

)

P(e2

)

P(en

)則稱這一概型為古典概型（等可能概型）。對于古典概型，顯然有P(ei

)

1/n

，i

1，2，，n

。因此，若A

為

中的事件，且A

{ei1，ei

2，，eik

}，則nkijj1P()

k即PA()

A中包含基本事件的個(gè)數(shù)

?

nA()中基本事件的總數(shù)

n()（1-2）拋一枚硬幣三次

拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此樣本空間中的樣本點(diǎn)等可能.Ω2={(三正),

(二正一反),

(二反一正),

(三反)}此樣本空間中的樣本點(diǎn)不等可能.注意例

1-7

將一枚硬幣連續(xù)擲三次，觀察正

出現(xiàn)的情況，求：（1）樣本空間;（2）恰有一次出現(xiàn)正面的概率；（3）至少有一次出現(xiàn)正面的概率。解：由題意知（1）

={

HHH,

HHT,

HTH,THH,

HTT

,THT

,TTH,TTT

}；（2）設(shè)事件A

表示“恰有一次出現(xiàn)正面”，則n

(A)=3，且n

(

)=8，故P(

A)

n(

A)

3n()

8Sample

Space（3）設(shè)事件B

表示“至少有一次出現(xiàn)正面”，則n

(B

)=C1

C2

C3

=7，且n

()=8，故3

3

3P(B)

n(B)

7n()

8或用性質(zhì)（3）先求逆事件的概率：即B

表示B

的對立事件（三次中沒有一次出現(xiàn)正面），則n

(B

)=1，所以8P(B

)

1，故8P(B)

1

P(B

)

7例1-8從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)字進(jìn)行排列，求取得的三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)且為偶數(shù)的概率。解：設(shè)A

表示“取得的三個(gè)數(shù)排成一個(gè)三位數(shù)且為偶數(shù)”；A0

表示：“取得的三個(gè)數(shù)排成一個(gè)三位數(shù)且末位為0”；A2

表示：“取得的三個(gè)數(shù)排成一個(gè)三位數(shù)且末位為2”。由于首位不能為0，所以00n() 4

3

2

4n(

A

)

3

2

1P(

A

)

22n() 4

3

2

6n(

A

) 2

2

1P(

A

)

又由于A0

A2

，故由可加性得：P(

A)

P(

A0

)

P(

A2

)

5/12例

1-9

設(shè)有m

件產(chǎn)品,其中有k

件次品,從中任意抽取n

件,問其中恰有j

件次品的概率是多少(j

k

)？解：設(shè)A

表示：“所取

n

件中恰有

j

件次品”，mm而m

件產(chǎn)品中抽取n

件,共有取法Cn

種,即n

(

)=Cn

,取到的n

件產(chǎn)品中有j

件次品，這j

件次品只能來自k

件k次品中，有取法C

j

種，剩余的n

j

是正品，只能來自mkm

k

件正品中，有取法Cn

j

種，因此n

件產(chǎn)品中恰有j

件次品的取法共有C

j

Cn

j

種，k

mk于是所求概率為P(

A)

C

j

Cn

j

/Cnk

m

k

m例

1-10

一個(gè)盒子中有

6

只球，其中有

4

個(gè)白球

2個(gè)紅球，從中取球兩次，每次取一只，求下列事件的概率：A

：“取到的兩只球均為白球”；B

：“取到的兩只球同色”；C

：“取到的兩只球至少有一只白球”。解：考慮有放回抽樣和無放回抽樣兩種情況。(a)有放回抽樣：由于n

(A)=4

4,且n

()=6

6,故P(

A)

n(

A)

4

4

4n() 6

6

9又設(shè)D

表示“取到的兩只球均為紅球”，則9P(B)

P(

A)

P(D)

5由于C

D

，所以1

8P(C)

1

P(D)

1

9

915(b) 無放回抽樣(仍用上述記號):由于n()=6

5,n(A)=4

3,n(D)

2

1，所以P(

A)

n(

A)

4

3

2

，

P(D)

1n() 6

5

5P(B)

P(

A)

P(D)

7

/15P(C)

1

P(D)

1

1/15

14

/

15又設(shè)D

表示“取到的兩只球均為紅球”，則n(D)

2

2

,得P(D)

1/9

,而B

A

D

且AD

，故例1-11

有n

個(gè)人，每個(gè)人以相同的概率1

N

被分配到N

（

n

<N

）間房的每一間中去，求下列事件的概率：A：某指定的n

間

各有一個(gè)人；B

：恰有n

間房其中各有一個(gè)人；C

：某指定的

恰有m

個(gè)人（

m

<

n

）。個(gè)人共有解：

n()

N

n

（每個(gè)人有N 種可能，nN

n

種），n(A)

n!，故N

nP(

A)

n!Nn(B)

Cn

n!(只要n

個(gè)人恰好在n

個(gè)間房即可)，所以nCn

n!

N!NnN

N

(N

n)!P(B)

事件C

中m

個(gè)人可從n

個(gè)人中n法，而其余的

mn個(gè)人可以任意分配到N

1

間選，有C

m

種選,所以有（N

1)

m

種分法,因此mnNCC1n)()(m

,

故mmnNNNm11()

)1Cn

()1(mnn

個(gè)人、n

頂帽子，任意取，至少一個(gè)人拿對自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個(gè)人拿對自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1A2……An)，不可用對立事件公式.用加法公式：配對模型n

ni

1

P

i

1

Ai

P(

Ai

)

P(

Ai

Aj)

P(

Ai

Aj

Ak

)......

(1)n1

P(

A

A

......A

)1

2

nP(Ai)

=1/n,

P(AiAj)

=1/n(n1),P(AiAjAk)

=1/n(n1)(n2),

……P(A1A2……An)

=1/n!P(A1A2……An)=配對模型(續(xù))11n!

n

1

n

......

(1)n1n

2

n(n

1)

1n!

1

1

1

1

......

(1)n12!

3!

4!

1

e1P(A)=1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件再次提醒注意：2、用排列組合公式計(jì)算樣本點(diǎn)數(shù)時(shí)必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏例

擲兩枚解

擲兩枚出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于3

的概率.出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為{2,3,4,…,12

},.

P(

A)

={(1,1),

(1,2),

(2,1),

(1,3),…,

(6,6)

}2—6—618

1

.

1113、所求為“至少”或“至多”的問題，用余概公式簡單4、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型有n個(gè)人,

每個(gè)人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N

間房的每一間中,

求指定的n間人房4、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型各有一人的概率.有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365.

求這n

(n

≤365)個(gè)人的生日互不相同的概率.人任一天設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為1/

N(N

≥n),求指定的n

個(gè)站各有一人下車的概率.旅客車站某城市每周發(fā)生7次

,

假設(shè)每天發(fā)生一次的概率相同.

求每天恰好發(fā)生的概率.天分球有n

個(gè)旅客,

乘火車途經(jīng)N個(gè)車站，

入箱下圖是臥室和書房地板的示意圖，圖中每一塊方磚除顏色外完全相同，小貓分別在臥室和書 地走來走去，并隨意停留在某塊方磚上。在哪個(gè)房間里，小貓停留在黑磚上的概率大？臥

室書

房問題情境§1.4

幾何概型如果一個(gè)試驗(yàn)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：是一個(gè)幾何區(qū)域，且其大小可以計(jì)量（長度、面積、體積等），并把的度量記為（）；向中任擲一點(diǎn)，落在該區(qū)域任一點(diǎn)處都是等可能的，或者說，落在中的區(qū)域A內(nèi)的可能性與A的計(jì)量(A)成正比，而與A的形狀無關(guān)。稱此種概型為幾何概型。設(shè)A為中任一事件,且設(shè)A={擲點(diǎn)落在A內(nèi)},則由此求得的概率稱為幾何概率。()P(

A)

(

A)Geometric

Probability例

1-13

在邊長為

1

的正方形中作一內(nèi)切圓A，并向中隨機(jī)地投一點(diǎn)M

，設(shè)

M在中均勻分布，試求點(diǎn)

M

落在

A中的概率P(

A)

。解：由于()=1，圓A的半徑為1/2，所以24(

A)

=

(1/

2)

,即P(

A)

(

A)

()

4Uniform

DistributionA例

1-14

兩人相約某天

8

點(diǎn)到

9

點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到者要等候另一個(gè)人20分鐘，過時(shí)就離去，若每人在這指定的一個(gè)小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能

的，求事件A={兩人能會(huì)面}的概率。y6020o

20

60

x解：設(shè)x、y

分別表示兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻，那么兩人到達(dá)時(shí)間的一切可能結(jié)果對應(yīng)邊長為60的正方形里所有點(diǎn)，這個(gè)正方形就是樣本空間

，而兩人能會(huì)面的充要條件是

x

y

20，即x

y

20

且x

y

20

，所以，6029602

402

5(

A)P(

A)

()

1

Buffon’Needle

Simulation2Monte

Carlo

Method知識(shí)拓展法國自然哲學(xué)家先生經(jīng)常搞點(diǎn)有趣的試驗(yàn)給朋友們解悶。1777年的一天,先生又在家里為賓客們做一次有趣的試驗(yàn)，他先在一張白紙上畫滿了一條條距離相等的平行線。然后，他抓出一大把小針，每根小針的長度都是平行線之間距離的一半。說：“請諸位把這些小針一根一根地往紙上隨便扔吧。”客人們好奇地把小針一根根地往紙上亂扔。最后 宣布結(jié)果：大家共投針2212次，其中與直線相交的就有704次。用704去除2212，得數(shù)為3.142。他笑了笑說：“這就是圓周率π的近似值?！边@時(shí)眾賓客嘩然：“圓周率π?這根本和圓沾不上邊呀?”先生卻好像看透了眾人的心思，斬釘截鐵地說：“諸位不用懷疑，這的確就是圓周率π的近似值?？矗B圓規(guī)也不要，就可以求出π的值來。只要你有耐心，投擲的次數(shù)越多，求出的圓周率就越精確?！边@就是數(shù)學(xué)史上有名的“投針試驗(yàn)”。（更詳細(xì)的情況參見）投針試驗(yàn)法(1707-1788)例1-15

[投針問題]平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于a

，向此平面任投一長度為

l(l

a)的針，試求此針與任一平行線相交的概率。解：以x表示針的中點(diǎn)到最近的一條平行線的距離，

表示針與平行線的交角，針與平行線的位置關(guān)系見圖1—2。ax2顯

然

有

0

x

a

，0

，以G表示邊長為a

/

2

及

的長方形。為使針與平行線相交，必須x

l

sin

，滿足這個(gè)關(guān)系2式的區(qū)域記為g

，在圖

1—3中陰影表出，圖1—2GgO2l

sinxa/2所求概率為G的面積p

g的面積aa

/

2l

sin

d0

2l1

2an

2lNCH1圖1—3歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)試驗(yàn)者時(shí)間針長投擲次數(shù)相交次數(shù)π的近似值Wolf18500.8500025323.1596Smith18550.6320412183.1554De

M

an18601.06003823.137Fox18840.75Lazzeri