八年級數(shù)學(xué)同步培優(yōu)競賽詳附答案：第十五講-平行四邊形

--------名師第十五講平行四邊形四邊形，矩形的特殊性體現(xiàn)在有一個角是直角,菱形的特殊性體現(xiàn)在鄰邊相等，所以，它們既有平行四邊對角線是解決四邊形問題的常用線段，對角線本身的特征又可以決定四邊形的形狀、大小,連對角線后，平行四邊形就產(chǎn)生特殊三角形，因此解平行四邊形相關(guān)問題時，既用到全等三角形法,特殊三角形性質(zhì)，又要善于在乎行四邊形的背景下探索問題，利用平行四邊形豐富的性質(zhì)為解題服務(wù)．熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論:例題求解Ｃ于F,那么PＥ+PF的值為.Ｃ于F,那么PＥ+PF的值為.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）思路點撥分別求出PＥPFAＯD刻地反映著事物的本質(zhì)，所以人們也往往通過一般去了解特殊．?dāng)氐氐玫窖由炫c拓展．【例】已知四邊形AＢＣ:(1)A∠Ｃ(２)BAD;(3)ABＣD4)BC=AD（5)∠Ａ=∠Ｃ；(6)∠Ｂ=∠D.任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（ ）A.4種 B．９種 C．13種 D.15(ft東省競賽)思路點撥根據(jù)平行四邊形的判定方法及新的組合方式判定.BE和AD交于G,求證:ＧF∥AＣ．(湖北省荊州市中考題）【例３】】如圖，在△ＡDＣ中，∠ＤAC＝90°,ＡD⊥BC,DC、ＡF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G,求證:ＧF∥AＣ．(湖北省荊州市中考題）思路點撥 從角的角度證明困,連結(jié)在四邊形AGFE的背景下思考問題證明四邊形為特殊平行四邊證題的關(guān)鍵是能分解出直角三角形中的基本圖.【例４】如圖，設(shè)Ｐ為等腰直角三角形ACＢ斜邊ＡBE，PＦ⊥BF，PG⊥EＦ于GD，使得PD=PC,求證:BC⊥BDBC=BD．(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)思路點撥 盡管圖形復(fù)雜，但證明目標(biāo)明確，只需證明△CPB≌△DＰＢ,應(yīng)從圖中分離出特殊三形、特殊四邊形，充分運用它們的性質(zhì)為證題服.(北京市競賽題)【例５】如圖,在等腰三角形AＢC中，延長邊ＡB到點D,延長邊CA到點E,連結(jié)DE，恰有AD＝ＢC＝ＣE=DＥ．求∠BAC的度數(shù).(北京市競賽題)思路點撥注 課本中平行四邊形的判定定理是從邊、角、對角線三個方面探討,一般情況是，從四邊形邊、角對角線三類元素任意選取兩類,任意組合就產(chǎn)生許多判定平行四邊形的命題.其中有真命題與假命題,對于假命題，要善于并熟悉構(gòu)造反例．構(gòu)造反例是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要技能,可以幫助我們理解概念.培養(yǎng)推理能力,數(shù)學(xué)史上就曾有許多著名的論斷被一個巧妙的反例推翻的實例.若題設(shè)條件中有彼此平行的線段或造成平行的因素，則通過作平行線，構(gòu)造平行四邊形，這是解四邊學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，BD是平行四邊形的對角,點EF在BＤ上，要使四邊形AＥＣF是平行 四邊還需要增加的一個條件是 填上你認(rèn)為正確的一個即可，不必考慮所有可能情形)（寧波市中考題)2．(1)如圖，已知矩形ABCＤ中,對角線AＣ、ＢD相交于O，AE⊥BＤ于E，若∠ＤAE:∠BＡE＝3：１，則∠CAC＝ ； lcm3cm為 武漢市中考)(2)當(dāng)△ＡBC滿足條件時，四邊形AＤＥF為矩形；3.如,以△ABＣ的三邊為邊在BＣ的同一側(cè)分別作三個等邊三角,即△ABD、△BＣE、(1)四邊形ＡDEF是 ;(2)當(dāng)△ＡBC滿足條件時，四邊形AＤＥF為矩形；(3)當(dāng)△ABC滿足條件 時,四邊形ADEF不存在． (2000年貴州省中考)441＋3,則這兩邊之積為.a、、cd,其中ａca2b2c2d22ab2cd,則這個四邊形一定是（ ）A.平行四邊形 B.兩組對角分別相等的四邊Ｃ．對角線互相垂直的四邊形D.對角線相等的四邊形如圖，周長為6８的矩形ＡBCD被分成7個全等的矩形，則矩形ABＣD的面積( A．98 B.１９6 Ｃ．2８0 D.２84(湖北省荊州市中考題)如,菱形花壇的邊長為其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種花則種花部的圖形的周長（粗線部分）( )A．１２3 m B．20m C.２２m 在凸四邊形中,AB∥CＤ，且AB+BＣ=CＤ＋ＤＡ，則（ ）A.ＡD>BC B．ＡD<BCC.ＡD=BC Ｄ．ＡDBCABCD、F分別是BC、ABADADC.(1)求證：△ACD≌△ＣNBF;(2)當(dāng)D在線段上何處,四邊形CDEＦ為平行四邊且證明你的結(jié)論． (南通市中考),DF⊥ABF,DＥ⊥ACCBC中點，試判斷△ＭＥF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.(黑龍江省中考題)１1.BＣ中，點OACOMN∥ＢCMNBCA的平分線于點E,交∠BＣＡ的外角平分線于點F.求證：CO=FO;當(dāng)點OAEＣF(3)當(dāng)△ABCECF如在平行四邊形中ＧH的交點P在BＤ上圖中有 四邊形面積相等，它們是 ．１３.如圖菱形ABCD的對角線BD相交于O,△AＯB的周長為3＋3,∠AＢC＝60°,則菱形ABCＤ的面積為 .1４如圖矩形ABCD的對角線相交于ＯAE平分BAD交BC于E∠Ｅ=５,則BＥ= .如圖矩形ＡBCＤ將矩形沿折,點Ｄ落在點D′處，則重疊部分的面為 .山東省競賽)如平行四邊形AＢCＤ中，∠ＡBC＝7５°，AF⊥BC于F，AF交ＢD于E，若DE=2AＢ，則∠AEＤ的大小( )A.60° B．6５° C.７０° D.７5° ----1７．如正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相,點Ｅ、Ｆ分別在BCCＤ,則∠Ｂ的度數(shù)( Ａ．70° B.7５° C．80° （重慶市競賽題)B.19D.17如,正方形ABCD外有一點P,P在BC外側(cè)并在平行線AB與CD之,若PA=17,PB=2，ＰC＝5，則PD＝（ )B.19D.17A.25

C.32

(“五羊杯”競賽題）如圖，在平行四邊形ABＣDBＣ=2AB,ＣＺ⊥ABE，Ｆ為AD∠AEF=5４°，則)Ａ．54° Ｂ．６0° (武漢市選拔賽試題)２0.t△ABC是ACDE⊥ＡCCＢ線交于EAB、BEABEF，連結(jié)DF121.如圖，菱形的對角線AC與BＤ交于點O，延長BA到E，使AE=21

AＢ,連結(jié)ＯE，延長DE交ＣA的延長線于F.求證：OE=2

DF．２2.閱讀下面短文：--如圖1,△ABC是直角三角形,∠C=9０°，現(xiàn)將△ABC補成矩形，使△ＡＢC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點,第三個便點落在矩形這一邊的對邊上,那么符合要求的矩形可以畫出兩個:矩形ACBＤ和矩形ＡEＦB（如圖2).----------解答問題；(1）2中矩形ACＢD和矩形AＥFB

S;ｌ 2 1 2(2）如圖3,△ABＣ是鈍角三角,按短文中的要求把它補成矩,那么符合要求的矩形可以畫出 利用圖3把它畫出;（３)如圖是銳角三角形且三邊滿足BC>AＣ>AＢ,按短文中的要求把它補成矩形則符合要求矩形可以畫出 利用圖４把它畫出;（4)在(3)中所畫出的矩形中,哪一個