八年級(jí)數(shù)學(xué)同步培優(yōu)競(jìng)賽詳附答案：第十五講-平行四邊形

--------名師第十五講平行四邊形四邊形，矩形的特殊性體現(xiàn)在有一個(gè)角是直角,菱形的特殊性體現(xiàn)在鄰邊相等，所以，它們既有平行四邊對(duì)角線是解決四邊形問(wèn)題的常用線段，對(duì)角線本身的特征又可以決定四邊形的形狀、大小,連對(duì)角線后，平行四邊形就產(chǎn)生特殊三角形，因此解平行四邊形相關(guān)問(wèn)題時(shí)，既用到全等三角形法,特殊三角形性質(zhì)，又要善于在乎行四邊形的背景下探索問(wèn)題，利用平行四邊形豐富的性質(zhì)為解題服務(wù)．熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論:例題求解Ｃ于F,那么PＥ+PF的值為.Ｃ于F,那么PＥ+PF的值為.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）思路點(diǎn)撥分別求出PＥPFAＯD刻地反映著事物的本質(zhì)，所以人們也往往通過(guò)一般去了解特殊．?dāng)氐氐玫窖由炫c拓展．【例】已知四邊形AＢＣ:(1)A∠Ｃ(２)BAD;(3)ABＣD4)BC=AD（5)∠Ａ=∠Ｃ；(6)∠Ｂ=∠D.任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（ ）A.4種 B．９種 C．13種 D.15(ft東省競(jìng)賽)思路點(diǎn)撥根據(jù)平行四邊形的判定方法及新的組合方式判定.BE和AD交于G,求證:ＧF∥AＣ．(湖北省荊州市中考題）【例３】】如圖，在△ＡDＣ中，∠ＤAC＝90°,ＡD⊥BC,DC、ＡF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G,求證:ＧF∥AＣ．(湖北省荊州市中考題）思路點(diǎn)撥 從角的角度證明困,連結(jié)在四邊形AGFE的背景下思考問(wèn)題證明四邊形為特殊平行四邊證題的關(guān)鍵是能分解出直角三角形中的基本圖.【例４】如圖，設(shè)Ｐ為等腰直角三角形ACＢ斜邊ＡBE，PＦ⊥BF，PG⊥EＦ于GD，使得PD=PC,求證:BC⊥BDBC=BD．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)思路點(diǎn)撥 盡管圖形復(fù)雜，但證明目標(biāo)明確，只需證明△CPB≌△DＰＢ,應(yīng)從圖中分離出特殊三形、特殊四邊形，充分運(yùn)用它們的性質(zhì)為證題服.(北京市競(jìng)賽題)【例５】如圖,在等腰三角形AＢC中，延長(zhǎng)邊ＡB到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,連結(jié)DE，恰有AD＝ＢC＝ＣE=DＥ．求∠BAC的度數(shù).(北京市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥注 課本中平行四邊形的判定定理是從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面探討,一般情況是，從四邊形邊、角對(duì)角線三類(lèi)元素任意選取兩類(lèi),任意組合就產(chǎn)生許多判定平行四邊形的命題.其中有真命題與假命題,對(duì)于假命題，要善于并熟悉構(gòu)造反例．構(gòu)造反例是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要技能,可以幫助我們理解概念.培養(yǎng)推理能力,數(shù)學(xué)史上就曾有許多著名的論斷被一個(gè)巧妙的反例推翻的實(shí)例.若題設(shè)條件中有彼此平行的線段或造成平行的因素，則通過(guò)作平行線，構(gòu)造平行四邊形，這是解四邊學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，BD是平行四邊形的對(duì)角,點(diǎn)EF在BＤ上，要使四邊形AＥＣF是平行 四邊還需要增加的一個(gè)條件是 填上你認(rèn)為正確的一個(gè)即可，不必考慮所有可能情形)（寧波市中考題)2．(1)如圖，已知矩形ABCＤ中,對(duì)角線AＣ、ＢD相交于O，AE⊥BＤ于E，若∠ＤAE:∠BＡE＝3：１，則∠CAC＝ ； lcm3cm為 武漢市中考)(2)當(dāng)△ＡBC滿(mǎn)足條件時(shí)，四邊形AＤＥF為矩形；3.如,以△ABＣ的三邊為邊在BＣ的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角,即△ABD、△BＣE、(1)四邊形ＡDEF是 ;(2)當(dāng)△ＡBC滿(mǎn)足條件時(shí)，四邊形AＤＥF為矩形；(3)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足條件 時(shí),四邊形ADEF不存在． (2000年貴州省中考)441＋3,則這兩邊之積為.a、、cd,其中ａca2b2c2d22ab2cd,則這個(gè)四邊形一定是（ ）A.平行四邊形 B.兩組對(duì)角分別相等的四邊Ｃ．對(duì)角線互相垂直的四邊形D.對(duì)角線相等的四邊形如圖，周長(zhǎng)為6８的矩形ＡBCD被分成7個(gè)全等的矩形，則矩形ABＣD的面積( A．98 B.１９6 Ｃ．2８0 D.２84(湖北省荊州市中考題)如,菱形花壇的邊長(zhǎng)為其中由兩個(gè)正六邊形組成的圖形部分種花則種花部的圖形的周長(zhǎng)（粗線部分）( )A．１２3 m B．20m C.２２m 在凸四邊形中,AB∥CＤ，且AB+BＣ=CＤ＋ＤＡ，則（ ）A.ＡD>BC B．ＡD<BCC.ＡD=BC Ｄ．ＡDBCABCD、F分別是BC、ABADADC.(1)求證：△ACD≌△ＣNBF;(2)當(dāng)D在線段上何處,四邊形CDEＦ為平行四邊且證明你的結(jié)論． (南通市中考),DF⊥ABF,DＥ⊥ACCBC中點(diǎn)，試判斷△ＭＥF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.(黑龍江省中考題)１1.BＣ中，點(diǎn)OACOMN∥ＢCMNBCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BＣＡ的外角平分線于點(diǎn)F.求證：CO=FO;當(dāng)點(diǎn)OAEＣF(3)當(dāng)△ABCECF如在平行四邊形中ＧH的交點(diǎn)P在BＤ上圖中有 四邊形面積相等，它們是 ．１３.如圖菱形ABCD的對(duì)角線BD相交于O,△AＯB的周長(zhǎng)為3＋3,∠AＢC＝60°,則菱形ABCＤ的面積為 .1４如圖矩形ABCD的對(duì)角線相交于ＯAE平分BAD交BC于E∠Ｅ=５,則BＥ= .如圖矩形ＡBCＤ將矩形沿折,點(diǎn)Ｄ落在點(diǎn)D′處，則重疊部分的面為 .山東省競(jìng)賽)如平行四邊形AＢCＤ中，∠ＡBC＝7５°，AF⊥BC于F，AF交ＢD于E，若DE=2AＢ，則∠AEＤ的大小( )A.60° B．6５° C.７０° D.７5° ----1７．如正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相,點(diǎn)Ｅ、Ｆ分別在BCCＤ,則∠Ｂ的度數(shù)( Ａ．70° B.7５° C．80° （重慶市競(jìng)賽題)B.19D.17如,正方形ABCD外有一點(diǎn)P,P在BC外側(cè)并在平行線AB與CD之,若PA=17,PB=2，ＰC＝5，則PD＝（ )B.19D.17A.25

C.32

(“五羊杯”競(jìng)賽題）如圖，在平行四邊形ABＣDBＣ=2AB,ＣＺ⊥ABE，Ｆ為AD∠AEF=5４°，則)Ａ．54° Ｂ．６0° (武漢市選拔賽試題)２0.t△ABC是ACDE⊥ＡCCＢ線交于EAB、BEABEF，連結(jié)DF121.如圖，菱形的對(duì)角線AC與BＤ交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BA到E，使AE=21

AＢ,連結(jié)ＯE，延長(zhǎng)DE交ＣA的延長(zhǎng)線于F.求證：OE=2

DF．２2.閱讀下面短文：--如圖1,△ABC是直角三角形,∠C=9０°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ＡＢC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn),第三個(gè)便點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上,那么符合要求的矩形可以畫(huà)出兩個(gè):矩形ACBＤ和矩形ＡEＦB（如圖2).----------解答問(wèn)題；(1）2中矩形ACＢD和矩形AＥFB

S;ｌ 2 1 2(2）如圖3,△ABＣ是鈍角三角,按短文中的要求把它補(bǔ)成矩,那么符合要求的矩形可以畫(huà)出 利用圖3把它畫(huà)出;（３)如圖是銳角三角形且三邊滿(mǎn)足BC>AＣ>AＢ,按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形則符合要求矩形可以畫(huà)出 利用圖４把它畫(huà)出;（4)在(3)中所畫(huà)出的矩形中,哪一個(gè)