隨機變量及其分布課件

第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.2離散型隨機變量及其分布2.3連續(xù)型隨機變量及其分布2.4隨機變量函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.2我們觀察一個隨機現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點可以是數(shù)量性質(zhì)的，也可以是非數(shù)量性質(zhì)的，概率論是從數(shù)量的角度來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、處理和解決各種與隨機現(xiàn)象有關(guān)的理論和應用問題．為此，需要將樣本空間的樣本點與實數(shù)聯(lián)系起來，建立樣本空間與實數(shù)空間或某一部分的對應關(guān)系，這就是隨機變量．第二章隨機變量及其分布我們觀察一個隨機現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點可以是數(shù)量性質(zhì)的，也拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則

這樣就把原來有具體含意的樣本空間化為直線上的抽象點集如果令則在上述映射下，新的“樣本空間”為引例1，而樣本點對應關(guān)系為第一節(jié)隨機變量及其分布函數(shù)拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則這樣就把原來有拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).Ω={1，2，3，4，5，6}樣本點本身就是數(shù)量恒等變換且有則有引例2第一節(jié)隨機變量及其分布函數(shù)拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).Ω={1，2，3，4，5，6}樣本【引例3】設(shè)隨機試驗E：測試燈泡壽命(小時).

樣本空間為Ω={t|t≥0}，現(xiàn)在我們將試驗的燈泡壽命，記為X,令則X是定義在樣本空間為Ω

={t|t≥0}上的函數(shù)，其值域為|

且取值具有隨機性.

“燈炮壽命在1000～2500小時”的事件可表示為■

上面例子中,我們是在隨機試驗樣本空間上定義了實值函數(shù)X,顯然它取值具有隨機性,故稱它們?yōu)殡S機變量.【引例3】設(shè)隨機試驗E：測試燈泡壽命(小時).定義2.1設(shè)隨機試驗的樣本空間為

={}，X=X()是定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)，稱X=X()為隨機變量．

隨機變量所取的值一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示一、隨機變量的概念Ω

ωX(ω)R定義2.1設(shè)隨機試驗的樣本空間為={}，X=X(例：在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點:若用X表示該家女孩子的個數(shù)時

,則有可得隨機變量X(e),一、隨機變量的概念例：在有兩個孩子的家庭中,考慮若用X表示該家女孩子的個注意◆普通函數(shù)的定義域是實數(shù)集,而隨機變量的定義域是樣本空間(樣本點不一定為實數(shù));①隨機變量與普通函數(shù)的區(qū)別:◆普通函數(shù)隨自變量變化所取的函數(shù)值無概率可言,而隨機變量隨樣本點變化所取的函數(shù)值是具有一定概率的;此外,因試驗的隨機性使得隨機變量的取值也具有隨機性,即知道隨機變量的取值范圍,但在一次試驗前無法確定它取何值.一、隨機變量的概念注意◆普通函數(shù)的定義域是實數(shù)集,而隨機變量的定義域是

例如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.{收到不少于1次呼叫}{X1}

{沒有收到呼叫}{X=0}

再例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高.

把身高看作隨機變量X,可以提出關(guān)于X的各種問題.

如

P｛X>1.7｝=？P｛X≤1.5｝=?P｛1.5<X<1.7｝=?...一、隨機變量的概念②利用隨機變量可以描述隨機事件:一、隨機變量的概念②利用隨機變量

隨機事件是從靜態(tài)的角度研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量是從動態(tài)的角度研究隨機現(xiàn)象。一、隨機變量的概念

隨機變量的引入使得利用數(shù)學方法研究隨機現(xiàn)象成為可能，是實現(xiàn)隨機現(xiàn)象“數(shù)量化”的重要工具。因此，隨機變量的研究是概率論的中心內(nèi)容。事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律隨機事件是從靜態(tài)的角度研究隨機現(xiàn)象，而隨機變一、實例1設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機變量.實例2設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則是一個隨機變量.且X(ω)的所有可能取值為:且X(ω)的所有可能取值為:練習實例1設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一實例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標射擊,直到擊中目標為止,則是一個隨機變量.且X(ω)的所有可能取值為:練習實例3設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,是一個隨機實例4

某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達該車站的時刻是隨機的,Ｘ＝X()的所有可能取值為:練習實例4某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機變量.隨機變量X為擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).X

的可能值是:隨機變量連續(xù)型實例11,2,3,4,5,6.非離散型其它隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量所取的可能值是有實例2

隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實例1

隨機變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機變量.則X的取值范圍為隨機變量的分類實例2隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測量則X的

數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a,b),(a,b],[a,b),[a,b],(-∞,b),(-∞,b],(a,+∞),[a,+∞)這8類，而區(qū)間(-∞,b]是有代表意義的。

對于x∈R，概率P{X≤x}存在且為x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。故考慮概率P{X≤x}二、隨機變量的分布函數(shù)數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a,b),(a,b]定義

設(shè)X是一個隨機變量，對任意實數(shù)x，稱事件{X

x}發(fā)生的概率為隨機變量X的分布函數(shù)，(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機變量,x是自變量.分布函數(shù)的定義域是全體實數(shù)。(2)分布函數(shù)的值域是[0,1]。注意:1、隨機變量的分布函數(shù)的定義定義設(shè)X是一個隨機變量，對任意實數(shù)x(3)

對任意實數(shù)x1<x2，隨機點落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：=P{Xx2}-P{Xx1}P{x1<Xx2}

=F(x2)-F(x1)

如果將

X

看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)

F(x)的值就表示

X落在區(qū)間內(nèi)的概率.隨機點實數(shù)點(4)1、隨機變量的分布函數(shù)的定義(3)對任意實數(shù)x1<x2，隨機點落在區(qū)間(x1,由分布函數(shù)的定義易知,對任意實數(shù)a,b(ab),有可見，若已知X的分布函數(shù)F(x)，那么，計算X落如某個區(qū)間的概率就非常方便了．由于分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，通過它我們可以方便地利用數(shù)學方法來研究隨機變量．1、隨機變量的分布函數(shù)的定義由分布函數(shù)的定義易知,對任意實數(shù)a,b(ab),有實例拋擲均勻硬幣,令求隨機變量X的分布函數(shù).解實例拋擲均勻硬幣,令求隨機變量X的分布函數(shù).解隨機變量及其分布課件的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)r.v的分布函數(shù)必滿足性質(zhì)①②③①②③是單調(diào)不減函數(shù)且右連續(xù)函數(shù)即分布函數(shù)的基本性質(zhì)：當時當時注性質(zhì)

是分布函數(shù)的本質(zhì)特征①②③滿足性質(zhì)的必是某r.v的分布函數(shù)①②③2、隨機變量的分布函數(shù)的性質(zhì)r.v的分布函數(shù)必滿足性質(zhì)①②③①②③是單調(diào)不減函數(shù)且右連續(xù)【例】證明是一個分布函數(shù)．該函數(shù)稱為柯西分布函數(shù)．證：顯然F(x)在整個數(shù)軸上是連續(xù)、單調(diào)嚴增函數(shù)，且

因此它滿足分布函數(shù)的三條基本性質(zhì)，故F(x)是一個分布函數(shù)．典型例題【例】證明該函數(shù)稱為柯西分布函數(shù)．證：顯然F(x)在整個數(shù)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為試求(1)系數(shù)A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。（1）由解得：

例解典型例題設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為試求(1)系數(shù)A,B；(2)X取值

（2）由分布函數(shù)計算事件概率公式得：

于是，分布函數(shù)為：

典型例題（2）由分布函數(shù)計算事件概率公式得：于是，分布函數(shù)例解若x<0，{X

x}為不可能事件,則F(x)=P{Xx}=0；若xr，{X

x}為必然事件，F(xiàn)(x)=P{X

x}=1；事件{X

x}表示所拋一點落在半徑為x的圓內(nèi)．向半徑為r的圓內(nèi)隨機拋一點，求此點到圓心的距離X的分布函數(shù)，并求典型例題例解若x<0，{Xx}為不可能事件,則F(x)=P{若0

x<r，由幾何概型知從而X的分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線典型例題若0x<r，由幾何概型知從而X的分布函數(shù)為其圖形為且典型例題且典型例題小結(jié)

2.隨機變量的分類:離散型、連續(xù)型.

1.概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字表示時，就建立起了隨機變量的概念．因此隨機變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù)．

3.分布函數(shù)小結(jié)2.隨機變量的分類:離散型、連續(xù)型.1.因此解則練習因此解則練習求分布函數(shù)求分布函數(shù)隨機變量及其分布課件隨機變量及其分布課件第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.2離散型隨機變量及其分布2.3連續(xù)型隨機變量及其分布2.4隨機變量函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.2我們觀察一個隨機現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點可以是數(shù)量性質(zhì)的，也可以是非數(shù)量性質(zhì)的，概率論是從數(shù)量的角度來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、處理和解決各種與隨機現(xiàn)象有關(guān)的理論和應用問題．為此，需要將樣本空間的樣本點與實數(shù)聯(lián)系起來，建立樣本空間與實數(shù)空間或某一部分的對應關(guān)系，這就是隨機變量．第二章隨機變量及其分布我們觀察一個隨機現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點可以是數(shù)量性質(zhì)的，也拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則

這樣就把原來有具體含意的樣本空間化為直線上的抽象點集如果令則在上述映射下，新的“樣本空間”為引例1，而樣本點對應關(guān)系為第一節(jié)隨機變量及其分布函數(shù)拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則這樣就把原來有拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).Ω={1，2，3，4，5，6}樣本點本身就是數(shù)量恒等變換且有則有引例2第一節(jié)隨機變量及其分布函數(shù)拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).Ω={1，2，3，4，5，6}樣本【引例3】設(shè)隨機試驗E：測試燈泡壽命(小時).

樣本空間為Ω={t|t≥0}，現(xiàn)在我們將試驗的燈泡壽命，記為X,令則X是定義在樣本空間為Ω

={t|t≥0}上的函數(shù)，其值域為|

且取值具有隨機性.

“燈炮壽命在1000～2500小時”的事件可表示為■

上面例子中,我們是在隨機試驗樣本空間上定義了實值函數(shù)X,顯然它取值具有隨機性,故稱它們?yōu)殡S機變量.【引例3】設(shè)隨機試驗E：測試燈泡壽命(小時).定義2.1設(shè)隨機試驗的樣本空間為

={}，X=X()是定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)，稱X=X()為隨機變量．

隨機變量所取的值一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示一、隨機變量的概念Ω

ωX(ω)R定義2.1設(shè)隨機試驗的樣本空間為={}，X=X(例：在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點:若用X表示該家女孩子的個數(shù)時

,則有可得隨機變量X(e),一、隨機變量的概念例：在有兩個孩子的家庭中,考慮若用X表示該家女孩子的個注意◆普通函數(shù)的定義域是實數(shù)集,而隨機變量的定義域是樣本空間(樣本點不一定為實數(shù));①隨機變量與普通函數(shù)的區(qū)別:◆普通函數(shù)隨自變量變化所取的函數(shù)值無概率可言,而隨機變量隨樣本點變化所取的函數(shù)值是具有一定概率的;此外,因試驗的隨機性使得隨機變量的取值也具有隨機性,即知道隨機變量的取值范圍,但在一次試驗前無法確定它取何值.一、隨機變量的概念注意◆普通函數(shù)的定義域是實數(shù)集,而隨機變量的定義域是

例如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.{收到不少于1次呼叫}{X1}

{沒有收到呼叫}{X=0}

再例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高.

把身高看作隨機變量X,可以提出關(guān)于X的各種問題.

如

P｛X>1.7｝=？P｛X≤1.5｝=?P｛1.5<X<1.7｝=?...一、隨機變量的概念②利用隨機變量可以描述隨機事件:一、隨機變量的概念②利用隨機變量

隨機事件是從靜態(tài)的角度研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量是從動態(tài)的角度研究隨機現(xiàn)象。一、隨機變量的概念

隨機變量的引入使得利用數(shù)學方法研究隨機現(xiàn)象成為可能，是實現(xiàn)隨機現(xiàn)象“數(shù)量化”的重要工具。因此，隨機變量的研究是概率論的中心內(nèi)容。事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律隨機事件是從靜態(tài)的角度研究隨機現(xiàn)象，而隨機變一、實例1設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機變量.實例2設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則是一個隨機變量.且X(ω)的所有可能取值為:且X(ω)的所有可能取值為:練習實例1設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一實例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標射擊,直到擊中目標為止,則是一個隨機變量.且X(ω)的所有可能取值為:練習實例3設(shè)某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,是一個隨機實例4

某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達該車站的時刻是隨機的,Ｘ＝X()的所有可能取值為:練習實例4某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機變量.隨機變量X為擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).X

的可能值是:隨機變量連續(xù)型實例11,2,3,4,5,6.非離散型其它隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量所取的可能值是有實例2

隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實例1

隨機變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機變量.則X的取值范圍為隨機變量的分類實例2隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測量則X的

數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a,b),(a,b],[a,b),[a,b],(-∞,b),(-∞,b],(a,+∞),[a,+∞)這8類，而區(qū)間(-∞,b]是有代表意義的。

對于x∈R，概率P{X≤x}存在且為x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。故考慮概率P{X≤x}二、隨機變量的分布函數(shù)數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a,b),(a,b]定義

設(shè)X是一個隨機變量，對任意實數(shù)x，稱事件{X

x}發(fā)生的概率為隨機變量X的分布函數(shù)，(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機變量,x是自變量.分布函數(shù)的定義域是全體實數(shù)。(2)分布函數(shù)的值域是[0,1]。注意:1、隨機變量的分布函數(shù)的定義定義設(shè)X是一個隨機變量，對任意實數(shù)x(3)

對任意實數(shù)x1<x2，隨機點落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：=P{Xx2}-P{Xx1}P{x1<Xx2}

=F(x2)-F(x1)

如果將

X

看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)

F(x)的值就表示

X落在區(qū)間內(nèi)的概率.隨機點實數(shù)點(4)1、隨機變量的分布函數(shù)的定義(3)對任意實數(shù)x1<x2，隨機點落在區(qū)間(x1,由分布函數(shù)的定義易知,對任意實數(shù)a,b(ab),有可見，若已知X的分布函數(shù)F(x)，那么，計算X落如某個區(qū)間的概率就非常方便了．由于分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，通過它我們可以方便地利用數(shù)學方法來研究隨機變量．1、隨機變量的分布函數(shù)的定義由分布函數(shù)的定義易知,對任意實數(shù)a,b(ab),有實例拋擲均勻硬幣,令求隨機變量X的分布函數(shù).解實例拋擲均勻硬幣,令求隨機變量X的分布函數(shù).解隨機變量及其分布課件的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)r.v的分布函數(shù)必滿足性質(zhì)①②③①②③是單調(diào)不減函數(shù)且右連續(xù)函數(shù)即分布函數(shù)的基本性質(zhì)：當時當時注性質(zhì)

是