解排列組合問題和常用策略課件

解排列組合問題的常用策略解排列組合問題的常用策略1名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法…，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn

種不同的方法做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn

種不同的方法.回目錄名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個(gè)原21.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義種數(shù)符號(hào)計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按一定的順序排成一列從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，把它并成一組所有排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)回目錄1.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組3某校組織學(xué)生分4個(gè)組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的春游方案的種數(shù)是A.B.C.D.（選C）回目錄某校組織學(xué)生分4個(gè)組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的春游4將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里,每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字都不相同的填法共有

A.6種B.9種C.11種D.23種（3×3×1=9.可用框圖具體填寫）回目錄將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里5判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?

有多少種不同的火車票價(jià)？組合問題排列問題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè),并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題回目錄判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設(shè)集合A={a,6總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步解法1

分析：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類，分兩類：根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有例16個(gè)同學(xué)和2個(gè)老師排成一排照相，2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有種，1位的排法有種,第2、3、6、7位的排法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有種。再安排老師，有2種方法。回目錄總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步解法1分析：先安排甲，按7把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)例1如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路,其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（）（A）

63種（B）64種（C）6種（D）36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知2×2×2×2×2×2-1=63回目錄把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)分析:由加法原理可知由乘法原理可8（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？練習(xí)1分類：個(gè)位數(shù)字為5或0：個(gè)位數(shù)為0：個(gè)位數(shù)為5：回目錄（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被五整9（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于31250的五位數(shù)？分類：引申1：31250是由0，1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個(gè)數(shù)？方法一：（排除法）方法二：（直接法）回目錄（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于3110（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （）

A．300種 B．240種 C．144種 D．96種B（間接法）回目錄（直接法）分三種情況：情況一,不選甲、乙兩個(gè)去游覽情況二:甲、乙中有一人去游覽情況三：甲、乙兩人都去游覽綜上不同的選擇方案共有240

（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、111.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習(xí)題2.3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人,2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這3人共有多少乘船方法.27回目錄1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若12特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288回目錄特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以13特殊元素（或位置）優(yōu)先安排例

將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種解：特殊元素（或位置）優(yōu)先安排例將5列車停在5條不同的軌道上，14（1）(2005·北京·文)五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有（）種。（2）(2005·全國(guó)II·理)在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被５整除的數(shù)共有_____________個(gè)．

192（1）(2005·北京·文)五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不15相鄰相間問題相鄰相間問題16相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排?；啬夸浵噜徳乩壊呗岳?7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相甲17某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（）練習(xí)題20回目錄某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不18不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)回目錄不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,19不相鄰問題——插空法

對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個(gè)“空隙”中選三個(gè)位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法?；啬夸洸幌噜弳栴}——插空法對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問20（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：（3）(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個(gè)．（用數(shù)字作答）

練習(xí)回目錄（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種21(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個(gè)．（用數(shù)字作答）

將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個(gè)空位中的兩個(gè)有種，故有種．

引申:用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，現(xiàn)將7、8插進(jìn)去，仍要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，那么插法共有___________種．（用數(shù)字作答）

回目錄(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８將22“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例

七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：回目錄“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、23練習(xí)

某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種解：回目錄練習(xí)某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響24定序問題倍縮空位插入策略定序問題定序問題倍縮空位插入策略定序問題25例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？順序固定問題用“除法”

對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).所以共有種。分析：先在7個(gè)位置上作全排列，有種排法。其中3個(gè)女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故只對(duì)應(yīng)一種排法，回目錄例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，順序26定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?回目錄定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一27分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略28住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例10七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（）A.B.CD.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得種。注：對(duì)此類問題，常有疑惑，為什么不是呢？用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。回目錄住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：29重排問題求冪策略例.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有

種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法回目錄重排問題求冪策略例.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有解:30多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有____種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.回目錄多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在31小集團(tuán)問題小集團(tuán)問題32小集團(tuán)問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,５在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把１,５,２,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì)共有____種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有_______種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有_______種排法.31524小集團(tuán)小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。回目錄小集團(tuán)問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重33１.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國(guó)畫,排成一行陳列,要求同一

品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女

生也相鄰的排法有_______種回目錄１.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４2.5男生和34元素相同問題隔板策略應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題不定方程的正整數(shù)解問題隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一個(gè)元素相同問題隔板策略應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題隔板法的35元素相同問題隔板策略例.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每

班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為回目錄元素相同問題隔板策略例.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每36練習(xí)（1）將10個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個(gè)不同的班級(jí)，每班至少分到一個(gè)名額，不同的分配方案共有（）種。（2）不定方程的正整數(shù)解共有（）組回目錄練習(xí)（1）將10個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個(gè)不同的班級(jí)，37平均分組問題除法策略“分書問題”平均分組問題除法策略“分書問題”38平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共

有種分法?；啬夸浧骄纸M問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆391將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4

個(gè)隊(duì),有多少分法？2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人,另兩組3人

但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（1540）3.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______

回目錄1將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組42.10名40分清排列、組合、等分的算法區(qū)別例(1)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?(2)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?(3)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?解：（1）（2）(3)回目錄分清排列、組合、等分的算法區(qū)別例(1)今有10件不同獎(jiǎng)品41練習(xí)(1)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少種分法?(2)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?解:(1)(2)回目錄練習(xí)解:(1)(2)回目錄42先選后排問題先選后排問題43八.排列組合混合問題先選后排策略例.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?回目錄八.排列組合混合問題先選后排策略例.有5個(gè)不同的小球,裝入444練習(xí)題一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有________種192回目錄練習(xí)題一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人192回目錄453名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不同的分配方法共有多少種?先選后排問題的處理方法解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配）回目錄3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每46為支援西部開發(fā),有3名教師去銀川市三所學(xué)校任教,每校分配1人,不同的分配方法共有_______種(用數(shù)字作答).練習(xí)改為4名教師？改為5名教師？回目錄為支援西部開發(fā),有3名教師去銀川市三所學(xué)校任教,每校分配147有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù),甲需2人承擔(dān),乙、丙各需1人承擔(dān).從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),不同的選法共有多少種?回目錄有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù),甲需2人承擔(dān),乙、丙各需1人承擔(dān).從148

1、有甲、乙、丙三項(xiàng)工程，甲需要2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的承擔(dān)方法共有___________種；

2、某辦公室有5人辦公，現(xiàn)要排一個(gè)周輪值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定值兩天，則不同的排表方式有__________種；

3、學(xué)校決定下周對(duì)高一年級(jí)進(jìn)行教學(xué)情況抽測(cè)。決定基礎(chǔ)科抽兩門，文科、理科各抽一門，技能科（音、體、美、信）抽一門。則可能有＿＿＿＿＿＿種抽取方法?；A(chǔ)訓(xùn)練回目錄1、有甲、乙、丙三項(xiàng)工程，甲需要2人承擔(dān)，乙、丙各需49練習(xí)：（不對(duì)號(hào)入座問題）（1）（2004湖北）將標(biāo)號(hào)為1，2，3，……，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，3，……，10的10個(gè)盒子中，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法有___________種（2）編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)球放入編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)盒子里，至多有2個(gè)對(duì)號(hào)入座的情形有___________種109直接法：間接法：回目錄練習(xí)：（不對(duì)號(hào)入座問題）（1）（2004湖北）將標(biāo)號(hào)為150注意區(qū)別“恰好”與“至少”從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（）

(A)480種（B）240種（C）180種（D）120種小結(jié)：“恰好有一個(gè)”是“只有一個(gè)”的意思。“至少有一個(gè)”則是“有一個(gè)或一個(gè)以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個(gè)”的反面，故可用“排除法”。解：回目錄注意區(qū)別“恰好”與“至少”從6雙不同顏色的手套中任取4只，其51練習(xí)

從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有____種解：回目錄練習(xí)從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套52對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來(lái),然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572回目錄對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用練習(xí)題同一寢室4人,53解排列組合問題的常用策略解排列組合問題的常用策略54名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法…，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn

種不同的方法做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn

種不同的方法.回目錄名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個(gè)原551.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義種數(shù)符號(hào)計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按一定的順序排成一列從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，把它并成一組所有排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)回目錄1.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組56某校組織學(xué)生分4個(gè)組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的春游方案的種數(shù)是A.B.C.D.（選C）回目錄某校組織學(xué)生分4個(gè)組從3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游,則不同的春游57將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里,每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字都不相同的填法共有

A.6種B.9種C.11種D.23種（3×3×1=9.可用框圖具體填寫）回目錄將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里58判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?

有多少種不同的火車票價(jià)？組合問題排列問題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè),并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題回目錄判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設(shè)集合A={a,59總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步解法1

分析：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類，分兩類：根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有例16個(gè)同學(xué)和2個(gè)老師排成一排照相，2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有種，1位的排法有種,第2、3、6、7位的排法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有種。再安排老師，有2種方法?；啬夸浛偟脑瓌t—合理分類和準(zhǔn)確分步解法1分析：先安排甲，按60把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)例1如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路,其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通。現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（）（A）

63種（B）64種（C）6種（D）36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知2×2×2×2×2×2-1=63回目錄把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ)分析:由加法原理可知由乘法原理可61（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？練習(xí)1分類：個(gè)位數(shù)字為5或0：個(gè)位數(shù)為0：個(gè)位數(shù)為5：回目錄（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被五整62（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于31250的五位數(shù)？分類：引申1：31250是由0，1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個(gè)數(shù)？方法一：（排除法）方法二：（直接法）回目錄（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于3163（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （）

A．300種 B．240種 C．144種 D．96種B（間接法）回目錄（直接法）分三種情況：情況一,不選甲、乙兩個(gè)去游覽情況二:甲、乙中有一人去游覽情況三：甲、乙兩人都去游覽綜上不同的選擇方案共有240

（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、641.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習(xí)題2.3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人,2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這3人共有多少乘船方法.27回目錄1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若65特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288回目錄特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以66特殊元素（或位置）優(yōu)先安排例

將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種解：特殊元素（或位置）優(yōu)先安排例將5列車停在5條不同的軌道上，67（1）(2005·北京·文)五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有（）種。（2）(2005·全國(guó)II·理)在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被５整除的數(shù)共有_____________個(gè)．

192（1）(2005·北京·文)五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不68相鄰相間問題相鄰相間問題69相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排?；啬夸浵噜徳乩壊呗岳?7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相甲70某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（）練習(xí)題20回目錄某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不71不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)回目錄不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,72不相鄰問題——插空法

對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個(gè)“空隙”中選三個(gè)位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法?；啬夸洸幌噜弳栴}——插空法對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問73（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：（3）(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個(gè)．（用數(shù)字作答）

練習(xí)回目錄（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種74(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個(gè)．（用數(shù)字作答）

將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個(gè)空位中的兩個(gè)有種，故有種．

引申:用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，現(xiàn)將7、8插進(jìn)去，仍要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，那么插法共有___________種．（用數(shù)字作答）

回目錄(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８將75“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例

七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：回目錄“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、76練習(xí)

某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種解：回目錄練習(xí)某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響77定序問題倍縮空位插入策略定序問題定序問題倍縮空位插入策略定序問題78例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？順序固定問題用“除法”

對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).所以共有種。分析：先在7個(gè)位置上作全排列，有種排法。其中3個(gè)女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故只對(duì)應(yīng)一種排法，回目錄例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，順序79定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?回目錄定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一80分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略81住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例10七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（）A.B.CD.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得種。注：對(duì)此類問題，常有疑惑，為什么不是呢？用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)?；啬夸涀〉攴ń鉀Q“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：82重排問題求冪策略例.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有

種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法回目錄重排問題求冪策略例.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有解:83多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有____種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.回目錄多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在84小集團(tuán)問題小集團(tuán)問題85小集團(tuán)問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,５在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把１,５,２,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì)共有____種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有_______種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有_______種排法.31524小集團(tuán)小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理?；啬夸浶〖瘓F(tuán)問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重86１.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國(guó)畫,排成一行陳列,要求同一

品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女

生也相鄰的排法有_______種回目錄１.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４2.5男生和87元素相同問題隔板策略應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題不定方程的正整數(shù)解問題隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一個(gè)元素相同問題隔板策略應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題隔板法的88元素相同問題隔板策略例.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每

班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為回目錄元素相同問題隔板策略例.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每89練習(xí)（1）將10個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個(gè)不同的班級(jí)，每班至少分到一個(gè)名額，不同的分配方案共有（）種。（2）不定方程的正整數(shù)解共有（）組回目錄練習(xí)（1）將10個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個(gè)不同的班級(jí)，90平均分組問題除法策略“分書問題”平均分組問題除法策略“分書問題”91平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共

有種分法?；啬夸浧骄纸M問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆921將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4

個(gè)隊(duì),有多少分法？2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人,另兩組3人

但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（1540）3.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______

回目錄1將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組42.10名93分清排列、組合、等分的算法區(qū)別例(1)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?(2)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?(3)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?解：