精選文檔好好看看幾何模型

全等三角形相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型(一）角平分線的性質(zhì)模型輔助線：過點(diǎn)G作GE⊥射線ACA、例題1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是cm.2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.3、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)A、例題輔助線：延長(zhǎng)ED交射線OB于F輔助線：過點(diǎn)E作EF∥射線OB例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于F.求證：.例2、如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于M.求證：.（三）角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全兩個(gè)圖形飛輔助線都是在射線ON上取點(diǎn)B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC.A、例題1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ.2、如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB＋PC與AB＋AC的大小，并說明理由.3、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，P是線段AD上任意一點(diǎn)（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC.4、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線交AC于D，求證：AD＋BD＝BC.5、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分線交BC于D，求證：AC＋CD＝AB.二、等腰直角三角形模型（一）旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點(diǎn)，在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：（1）將△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ACM≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點(diǎn)C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結(jié)AM.（二）旋轉(zhuǎn)中心為斜邊中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連結(jié)AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導(dǎo)出△BDF≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導(dǎo)出△BDF≌△ADE.1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M、N在斜邊BC上滑動(dòng)，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系.2、兩個(gè)全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并證明你的結(jié)論.3、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點(diǎn)，若M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持AN＝CM.（1）試判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)時(shí)，四邊形AMON的面積如何變化？4、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.（三）構(gòu)造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構(gòu)造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖：1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦圖模型）A、例題已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點(diǎn)，AF⊥BD于點(diǎn)E，交BC于F，連接DF.求證：∠ADB＝∠CDF.變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF.求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN.變式2、在變式1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF.四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結(jié)論：（1）△ABF≌△AEC.（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF.（四點(diǎn)共圓證）拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形結(jié)論：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四點(diǎn)共圓證）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD.（（7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）例、如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．試說明這種作法的依據(jù)．2、△ABD和△ACE均為等腰直角三角形結(jié)論：（1）BE＝CD；（2）BE⊥CD.3、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形。結(jié)論：（1）BD＝CF；（2）BD⊥CF.變式1、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，AS⊥BC交FD于T，求證：（1）T為FD中點(diǎn)；（2）.變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點(diǎn)，TA交BC于S，求證：AS⊥BC.4、如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時(shí)，總有：五、半角模型條件：兩邊相等.思路：1、旋轉(zhuǎn)輔助線：①延長(zhǎng)CD到E，使ED=BM，連AE或延長(zhǎng)CB到F，使FB=DN，連AF②將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF，注意：旋轉(zhuǎn)需證F、B、M三點(diǎn)共線結(jié)論：（1）MN＝BM＋DN；（2）；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND.2、翻折（對(duì)稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN于點(diǎn)P②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點(diǎn)共線.A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動(dòng)，且滿足MN＝BM＋DN，求證：（1）∠MAN＝45°；（2）；（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM.變式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分別在邊CB、DC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，AH⊥MN，垂足為H，（1）試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系；（2）求證：AB＝AH例2、在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，A