2022-2023學(xué)年云南省怒江州貢山三中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的對稱中心是D．函數(shù)的對稱軸是2．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A． B．3 C． D．23．一個封閉的棱長為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時，如圖，水面的高度正好為棱長的一半．若將該正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）A． B． C． D．4．在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．6．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．7．已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．28．函數(shù)（）的圖像可以是（）A． B．C． D．9．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．10．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，則“函數(shù)有兩個零點”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)（）在區(qū)間上的值小于0恒成立，則的取值范圍是________.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數(shù)a的值為_____．15．若函數(shù)為奇函數(shù)，則_______.16．設(shè)為互不相等的正實數(shù)，隨機(jī)變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則_____．（填>，<，=）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若關(guān)于的方程的兩根都大于2，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖，底面是等腰梯形，，點為的中點，以為邊作正方形，且平面平面.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的正弦值．19．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求函數(shù)的極值；（2）為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，時，求證：．20．（12分）已知.（1）若曲線在點處的切線也與曲線相切，求實數(shù)的值；（2）試討論函數(shù)零點的個數(shù).21．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標(biāo)原點，求直線OG斜率的取值范圍.22．（10分）在中，、、的對應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點，求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性逐項判斷即可.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的周期，所以.將點代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤；令，得，故函數(shù)的對稱中心是，故C正確；令，得，故函數(shù)的對稱軸是，故D正確.故選：B.【點睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的判斷，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.2、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸的交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半，由此得到結(jié)論．【詳解】正方體的面對角線長為，又水的體積是正方體體積的一半，且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半，即最大水面高度為，故選B.【點睛】本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因為點在線段的延長線上，設(shè)，解得，所在直線的方程為因為點在邊所在直線上，故設(shè)當(dāng)時故選：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.5、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運行過程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題，涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.6、C【解析】試題分析：通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項C是符合要求的.考點：三視圖7、D【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則.當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計算是解題的關(guān)鍵.8、B【解析】

根據(jù)，可排除，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，所以當(dāng)時，，又，令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調(diào)性；（5）值域，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

作出函數(shù)的圖象，得到，把函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為與在（2，4]上有交點，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，，函數(shù)有2個零點，即有兩個不同的根，也就是與在上有2個交點，則的最小值為；設(shè)過原點的直線與的切點為，斜率為，則切線方程為，把代入，可得，即，∴切線斜率為，∴k的取值范圍是，∴函數(shù)有兩個零點”是“”的充分不必要條件，故選A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題．12、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得函數(shù)的值域，結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于，所以，由于區(qū)間上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法，考查三角函數(shù)值恒小于零的問題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、3【解析】

設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0），聯(lián)立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標(biāo)（0，1），∴B的坐標(biāo)為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當(dāng)且僅當(dāng)，即t時，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.15、-2【解析】

由是定義在上的奇函數(shù),可知對任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,,是奇函數(shù),則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、>【解析】

根據(jù)方差計算公式，計算出的表達(dá)式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關(guān)系.【詳解】，故.，.要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得①，由于為互不相等的正實數(shù)，故，也即，也即.故答案為：【點睛】本小題主要考查隨機(jī)變量期望和方差的計算，考查差比較法比較大小，考查運算求解能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

先令，根據(jù)題中條件得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為關(guān)于的方程的兩根都大于2，令所以有，解得，所以.【點睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題，熟記二次函數(shù)的特征即可，屬于?？碱}型.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先證明四邊形是菱形,進(jìn)而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;（2）記AC,BE的交點為O,再取FG的中點P.以O(shè)為坐標(biāo)原點,以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,進(jìn)而可求出二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：因為點為的中點,,所以,因為,所以,所以四邊形是平行四邊形,因為,所以平行四邊形是菱形,所以,因為平面平面,且平面平面,所以平面.因為平面,所以平面平面.（2）記AC,BE的交點為O,再取FG的中點P.由題意可知AC,BE,OP兩兩垂直,故以O(shè)為坐標(biāo)原點,以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為底面ABCD是等腰梯形,,所以四邊形ABCE是菱形，且,所以,則,設(shè)平面ABF的法向量為,則,不妨取,則,設(shè)平面DBF的法向量為,則,不妨取,則,故.記二面角的大小為,故.【點睛】本題考查了面面垂直的證明,考查了二面角的求法,利用空間向量求平面的法向量是解決空間角問題的常見方法,屬于中檔題.19、（1）極大值，極小值；（2）詳見解析.【解析】

首先確定函數(shù)的定義域和；（1）當(dāng)時，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點，代入可求得極值；（2）通過分析法可將問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】由題意得：定義域為，，（1）當(dāng)時，，當(dāng)和時，；當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，極小值為.（2）要證：，即證：，即證：，化簡可得：．，，即證：，設(shè)，令，則，在上單調(diào)遞增，，則由，從而有：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)極值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；本題不等式證明的關(guān)鍵是能夠?qū)⒍鄠€變量的問題轉(zhuǎn)化為一個變量的問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.20、（1）（2）答案不唯一具體見解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點的坐標(biāo)，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一條，從而得到方程組，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進(jìn)而求得；（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得，對分三種情況進(jìn)行一級討論，即，，，結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理，可得函數(shù)零點情況.【詳解】解:（1）曲線在點處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，于是，.（2），①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，且，∴函數(shù)在上有且僅有一個零點；②當(dāng)時，在R上沒有零點；③當(dāng)時，令，則，即函數(shù)的增區(qū)間是，同理，減區(qū)間是，∴.ⅰ）若，則，在上沒有零點；ⅱ）若，則有且僅有一個零點；ⅲ）若，則.，令，則，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增，.∴又∵，∴在R上恰有兩個零點，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；當(dāng)或時，函數(shù)恰有一個零點；當(dāng)時，恰有兩個零點.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關(guān)問題時，一定要明確切點坐標(biāo).以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點個數(shù)，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個端點值的函數(shù)值相乘小于0，才算完整的解法.21、（1）.（2）【解析