2023屆高三新高考數(shù)學(xué)試題一輪復(fù)習(xí)專題12.1隨機(jī)事件的概率及其計(jì)算 教案講義 （Word解析版）

第Page\*MergeFormat16頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat16頁(yè)12.1隨機(jī)事件的概率及其計(jì)算課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.隨機(jī)事件與概率

=1\*GB3①結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.

=2\*GB3②結(jié)合具體實(shí)例,理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.

=3\*GB3③通過(guò)實(shí)例,理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.

=4\*GB3④結(jié)合實(shí)例,會(huì)用頻率估計(jì)概率.2.隨機(jī)事件的獨(dú)立性

結(jié)合有限樣本空間,了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義.結(jié)合古典概型,利用獨(dú)立性計(jì)算概率.新高考3年考題題號(hào)考點(diǎn)數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2022(Ⅱ)卷19（2）互斥事件、對(duì)立事件的概率2021(Ⅰ)卷8獨(dú)立事件2020(Ⅰ)卷19（1）頻率估計(jì)概率2020(Ⅱ)卷5積事件的概率1．隨機(jī)事件的概率=1\*GB2⑴有限樣本空間

隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.一般地,我們用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點(diǎn).如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1,ω2,???,ωn,則稱樣本空間=2\*GB2⑵隨機(jī)事件

一般地,隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示.為了敘述方便,我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件,并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,???表示.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱為事件A發(fā)生.=3\*GB2⑶事件間的關(guān)系和運(yùn)算名稱定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B?A且A?B則稱事件A與事件B相等A=B并事件(和事件)若事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A?B(或A+B)交事件(積事件)若事件A和事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件的樣本點(diǎn)既在事件A中，又在事件B中，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A∩B為不可能事件，即A∩B=?，則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）A∩B=?對(duì)立事件若事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為AA∩B=?，P2.頻率與概率=1\*GB2⑴頻率的穩(wěn)定性

大量試驗(yàn)表明,在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率f(A)估計(jì)概率P(A).

=2\*GB2⑵頻率與概率的關(guān)系

=1\*GB3①區(qū)分:頻率是利用頻數(shù)nA除以總試驗(yàn)次數(shù)n所得到的確定的數(shù)值，而概率是頻率的穩(wěn)定性，因此頻率是一個(gè)精確值，而概率是一個(gè)估計(jì)值，根據(jù)這兩點(diǎn)來(lái)區(qū)分頻率與概率，從而判斷所給的數(shù)值是頻率還是概率.=2\*GB3②聯(lián)系:隨機(jī)事件的頻率,指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值,它具有一定的穩(wěn)定性,總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多,這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小.我們給這個(gè)常數(shù)取一個(gè)名字,叫作這個(gè)隨機(jī)事件的概率.概率可看作頻率在理論的期望值,它從數(shù)值上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的期望值,它從數(shù)值上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可近似地作為這個(gè)事件的概率.3．古典概型=1\*GB2⑴古典概型及其特點(diǎn)①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．具有以上兩個(gè)體征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概型.=2\*GB2⑵古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn),則定義事件A的概率PA=kn=n(A)n(Ω),

其中,4．概率的基本性質(zhì)=1\*GB2⑴概率的取值范圍：0≤P(A)≤1；=2\*GB2⑵必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1)；不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0)，即PΩ=1,P?=0；=3\*GB2⑶如果事件A與事件B互斥，那么PA∪B=PA+P(B)推廣：如果事件A1,A2,???,=4\*GB2⑷若事件與事件互為對(duì)立事件，那么PB=1-PA,PA=1-P(B)；=5\*GB2⑸如果A?B，那么P(A)≤P(B).5.事件的相互獨(dú)立性事件A與事件B相互獨(dú)立對(duì)任意的兩個(gè)事件A與B，如果PAB=PAP(B)成立，則稱事件性質(zhì)=1\*GB2⑴若事件A與事件B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B也都相互獨(dú)立；=2\*GB2⑵若事件A與事件B相互獨(dú)立，PA>0，PABP從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.(2)事件A的對(duì)立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.1．【P250T4】2020年1月，教育部出臺(tái)《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》(簡(jiǎn)稱“強(qiáng)基計(jì)劃”)，明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、丙三人通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為45A.2180 B.2780 C.33802．【P244T10】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為I號(hào)和II號(hào))，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果，(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；(2)求下列事件的概率：A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”；C=“I號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”．考點(diǎn)一求隨機(jī)事件的頻率與概率【方法儲(chǔ)備】隨機(jī)事件的頻率與概率問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略:

(1)補(bǔ)全或列出頻率分布表：可直接依據(jù)已知條件,逐一計(jì)數(shù),寫出頻率.

(2)由頻率估計(jì)概率：可以根據(jù)頻率與概率的關(guān)系,由頻率直接估計(jì)概率.

(3)由頻率估計(jì)某部分的數(shù)值：可由頻率估計(jì)概率，再由概率估算某部分的數(shù)值.【典例精講】例1.(2021·吉林省長(zhǎng)春市期末)某電訊企業(yè)為了了解某地區(qū)居民對(duì)電訊服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)情況，隨機(jī)調(diào)查100名用戶，根據(jù)這100名用戶對(duì)該電訊企業(yè)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖，如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40,50)，[50,60)，……，[90,100]．

(1)估計(jì)該地區(qū)用戶對(duì)電訊企業(yè)評(píng)分不低于70分的概率，并估計(jì)對(duì)該電訊企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)；

(2)現(xiàn)從評(píng)分在[40,60)的調(diào)查用戶中隨機(jī)抽取2人，求2人評(píng)分都在[40,50)的概率(精確到0.1)．【名師點(diǎn)睛】

概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律,與我們?nèi)粘Ｋf(shuō)的“可能”“估計(jì)”是不同的.也就是說(shuō),單獨(dú)一次結(jié)果的不確定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性,才是概率意義下的“可能性”,事件A的概率是事件A的本質(zhì)屬性.【靶向訓(xùn)練】練1-1(2022·安徽省蚌埠市模擬.多選)下列命題正確的是(

)A.隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值

B.拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是950

C.有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，若從中任取200件產(chǎn)品，則一定有190件正品，10件次品

D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，有51次出現(xiàn)了正面，則可得拋擲一次該硬幣出現(xiàn)正面的概率是練1-2(2021·安徽省合肥市模擬)某海產(chǎn)品經(jīng)銷商調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該海產(chǎn)品每售出1t可獲利0.4萬(wàn)元，每積壓1t則虧損0.3萬(wàn)元.根據(jù)往年的數(shù)據(jù)，得到年需求量的頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率．

(1)請(qǐng)依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)年需求量不低于90t的概率，并估計(jì)年需求量的平均數(shù)；

(2)今年該經(jīng)銷商欲進(jìn)貨100t，以x(單位：t，x∈[60,110])表示今年的年需求量，以y(單位：萬(wàn)元)表示今年銷售的利潤(rùn)，試將y表示為x的函數(shù)解析式；并求今年的年利潤(rùn)不少于27.4萬(wàn)元的概率．考點(diǎn)二互斥事件、對(duì)立事件的概率【方法儲(chǔ)備】1.求簡(jiǎn)單的互斥事件、對(duì)立事件的概率的方法解此類問(wèn)題,首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出所給的兩個(gè)事件是互斥事件還是對(duì)立事件,再選擇相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算.

2.求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法

=1\*GB2⑴直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算.

=2\*GB2⑵間接求法:先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A)求得,即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便.【典例精講】例2.(2022·山東省棗莊市模擬.多選)一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2)，2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4)，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，事件R2=“第二次摸到紅球”，G=A.P(R1)<P(R) B.P(R)=P(R【名師點(diǎn)睛】應(yīng)用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥,然后求出各事件發(fā)生的概率,再求和(或差).【靶向訓(xùn)練】練2-1(2021·黑龍江省哈爾濱市模擬)把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三本學(xué)習(xí)書隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語(yǔ)文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語(yǔ)書”，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.A與B是不可能事件 B.A+B+C是必然事件

C.A與B不是互斥事件 D.B與C既是互斥事件也是對(duì)立事件練2-2(2022·湖北省武漢市期中)根據(jù)某省的高考改革方案，考生應(yīng)在3門理科學(xué)科(物理、化學(xué)、生物)和3門文科學(xué)科(歷史、政治、地理)的6門學(xué)科中選擇3門學(xué)科參加考試.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，1位同學(xué)選擇生物的概率為0.5，考生選擇各門學(xué)科是相互獨(dú)立的．(1)若1位同學(xué)選擇物理但不選擇生物的概率為0.2，求1位考生至少選擇生物、物理兩門學(xué)科中的1門的概率；(2)某校高二段400名學(xué)生中，選擇生物但不選擇物理的人數(shù)為140，用頻率估計(jì)概率．求1位考生同時(shí)選擇生物、物理兩門學(xué)科的概率．考點(diǎn)三古典概型【方法儲(chǔ)備】1.確定基本事件數(shù)的方法（1）列舉法：適用于包含基本事件數(shù)較少的古典概型問(wèn)題，解題時(shí)按照某一標(biāo)準(zhǔn)將所有的基本事件一一列舉出來(lái)，做到不重不漏；（2）列表法（坐標(biāo)法）：適用于從多個(gè)元素中選定2個(gè)元素的試驗(yàn)；（3）樹(shù)狀圖：使用與有順序的問(wèn)題或復(fù)雜問(wèn)題中對(duì)基本事件的探求；（4）排列組合法：適用于基本事件數(shù)較多，且可以用排列組合數(shù)表示的問(wèn)題.2.古典概型的概率求解步驟（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深對(duì)題意的理解；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果中，每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生是否等可能，設(shè)出事件A；（3）分別求出事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，代入公式PA=【典例精講】例3.(2022·浙江省沈陽(yáng)市期末)2020年某地爆發(fā)了新冠疫情，檢疫人員為某高風(fēng)險(xiǎn)小區(qū)居民進(jìn)行檢測(cè)．(1)假設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J這10人的檢測(cè)標(biāo)本中有1份呈陽(yáng)性，且這10人中恰有1人感染，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種最多只需做4次檢測(cè)，就能確定哪一位居民被感染的方案，并寫出設(shè)計(jì)步驟；(2)已知A，B，C，D，E這5人是密切接觸者，要將這5人分成兩組，一組2人，另一組3人，分派到兩個(gè)酒店隔離，求A，B兩人在同一組的概率．【名師點(diǎn)睛】1.注意古典概型中的抽取時(shí)是“放回”抽取還是“不放回”抽??；2.較為復(fù)雜的概率問(wèn)題的處理方法:一是轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式進(jìn)行求解;二是采用間接法,先求事件A的對(duì)立事件A的概率,再由P(A)=1-P(A【靶向訓(xùn)練】練3-1(2021·廣東省佛山市期中)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a、b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a-b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為(

)A.19 B.29 C.7練3-2(2022·湖北省孝感市月考)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈博的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)長(zhǎng)，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖

(1)根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)和中位數(shù)；(2)宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從8,10和10,12組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個(gè)座談會(huì).現(xiàn)從參加座談會(huì)的5人中隨機(jī)抽取兩人發(fā)言，求10,12小組中至少有1人發(fā)言的概率？考點(diǎn)四相互獨(dú)立事件及其概率【方法儲(chǔ)備】獨(dú)立事件的概率的求法=1\*GB2⑴直接法：確定各事件是相互獨(dú)立的，利用概率的乘法公式直接求解；=2\*GB2⑵間接法：確定各事件的性質(zhì)，把問(wèn)題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件三種問(wèn)題中的某一種；利用基本事件間的關(guān)系，將復(fù)雜事件用簡(jiǎn)單事件表示，綜合運(yùn)用公式求出結(jié)論.【典例精講】例4.(2022·廣東省潮州市期末)甲、乙兩隊(duì)舉行圍棋擂臺(tái)賽，規(guī)則如下：兩隊(duì)各出3人，排定1，2，3號(hào).第一局，雙方1號(hào)隊(duì)員出場(chǎng)比賽，負(fù)的一方淘汰，該隊(duì)下一號(hào)隊(duì)員上場(chǎng)比賽.當(dāng)某隊(duì)3名隊(duì)員都被淘汰完，比賽結(jié)束，未淘汰完的一方獲勝.如下表格中，第m行、第n列的數(shù)據(jù)是甲隊(duì)第m號(hào)隊(duì)員能戰(zhàn)勝乙隊(duì)第n號(hào)隊(duì)員的概率．0.50.30.20.60.50.30.80.70.6(1)求甲隊(duì)2號(hào)隊(duì)員把乙隊(duì)3名隊(duì)員都淘汰的概率；(2)比較第三局比賽，甲隊(duì)隊(duì)員和乙隊(duì)隊(duì)員哪個(gè)獲勝的概率更大一些？【名師點(diǎn)睛】相互獨(dú)立事件的概率是高考考查的一個(gè)重點(diǎn),是解決復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ),一般情況下,一些較為復(fù)雜的事件可以拆分為一些相對(duì)簡(jiǎn)單事件的和或積,這樣就可以利用概率公式轉(zhuǎn)化為互斥事件和獨(dú)立事件的組合,為解決問(wèn)題找到新的途徑.【靶向訓(xùn)練】練4-1(2022·江蘇省南京市模擬)隨著北京冬奧會(huì)的舉辦，中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升．某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號(hào)召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開(kāi)設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程．甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件A=“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件B=“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件C=“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則(

)A.A與B為對(duì)立事件 B.A與C互斥

C.A與C相互獨(dú)立 D.B與C相互獨(dú)立練4-2(2022·安徽省淮北市模擬)如圖，點(diǎn)A、B、C是周長(zhǎng)為3cm圓形導(dǎo)軌上的三個(gè)等分點(diǎn)，在點(diǎn)A處放一顆珠子，規(guī)定：珠子只能沿導(dǎo)軌順時(shí)針滾動(dòng).現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，珠子滾2cm，當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)時(shí)，珠子滾動(dòng)1cm，反復(fù)操作．

(1)求珠子在A點(diǎn)停留時(shí)恰好滾動(dòng)一周的概率;(2)求珠子第一次在A點(diǎn)停留時(shí)恰好滾動(dòng)兩周的概率．易錯(cuò)點(diǎn)1．使用概率加法公式?jīng)]有注意成立條件例5.(2022·江蘇省無(wú)錫市期末)某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)均需該組織4位同學(xué)參加．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給4位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到，則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率為(

)A.25 B.1225 C.1625易錯(cuò)點(diǎn)2.運(yùn)用古典概型概率公式解題時(shí)計(jì)數(shù)出錯(cuò)例6.(2021·安徽省蚌埠市月考)一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)形狀大小完全相同的小球．

(1)從盒中任取兩球，求取出的球的編號(hào)之和大于5的概率．

(2)從盒中任取一球，記下該球的編號(hào)a，將球放回，再?gòu)暮兄腥稳∫磺?，記下該球的編?hào)b，求|a-b|≥2的概率．答案解析【教材改編】1．【解析】甲、乙、丙三人通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為45，34，34，

則三人中恰有兩人通過(guò)的概率為：

P=42．【解析】(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，I號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與II號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果.用數(shù)字m表示I號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是m，數(shù)字n表示II號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是n，則數(shù)組m,n表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn).因此該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{,2,3,4,5,6}由于骰子的質(zhì)地均勻，所以各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，因此這個(gè)試驗(yàn)是古典概型．(2)因?yàn)锳=1,4,2,3,3,2因?yàn)锽=1,1,2,2,3,3因?yàn)镃=2,1所以nC=15，從而【考點(diǎn)探究】例1.【解析】(1)該地區(qū)用戶對(duì)電訊企業(yè)評(píng)分的頻率分布表：評(píng)分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.040.060.200.280.240.18因此評(píng)分不低于70分的概率為p=0.28+0.24+0.18=0.70，

對(duì)該電訊企業(yè)評(píng)分的中位數(shù)設(shè)為x，則0.04+0.06+0.20+x-7010×0.28=0.50,x=77.14；

(2)受調(diào)查用戶評(píng)分在[40,50)的有100×0.04=4人，若編號(hào)依次為1，2，3，4.從中選2人的事件有{12,13,14,23,24,34}共有3+2+1=6種．

受調(diào)查用戶評(píng)分在[40,60)的有100×(0.04+0.06)=10人，若編號(hào)依次為1，2，3，..9，10.從中選2人的事件，同理可求有9+8+7+…+2+1=45種，

因此2人評(píng)分都在[40,50)的概率練1-1.【解析】對(duì)于A：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，故A正確；

對(duì)于B：拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是18100=950，故B正確；

對(duì)于C：有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，若從中任取200件產(chǎn)品，則不一定抽取到190件正品和10件次品，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，有51次出現(xiàn)了正面，則可得拋擲一次該硬幣出現(xiàn)正面的頻率是0.51，故D練1-2.【解答】(1)由題意可知，[90,100)上的頻率為：

(0.1-0.005-0.015-0.050-0.010)×10=0.2，

[100,110]上的頻率為0.1，所以估計(jì)年需求量不低于90t的概率為0.3，

設(shè)年需求量的平均數(shù)為x-，

則x-=65×0.05+75×0.15+85×0.5+95×0.2+105×0.1=86.5；

(2)設(shè)今年的年需求量為x噸，今年的年利潤(rùn)為y萬(wàn)元，

當(dāng)0≤x≤100時(shí)，y=0.4x-0.3×(100-x)=0.7x-30，

當(dāng)x>100時(shí)，y=40，

故y=0.7x-30,60≤x≤10040,100<x≤110,

設(shè)0.7x-30≥27.4，解得x≥82，

所以P(82≤x<90)=90-8210×P(80≤x<90)=45×0.5=0.4，

P(90≤x<100)=0.2，例2.【解析】因?yàn)榇又杏写笮『唾|(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球，2個(gè)綠色球，

從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，

設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，事件R2=“第二次摸到紅球”，

G=“兩次都摸到綠球”，R=“兩個(gè)球中有紅球”，

所以PR1=C21C41=12，PR2=C21C41·C11C31+C21C41練2-1.【解析】事件A：“甲分得語(yǔ)文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語(yǔ)書”，

A和B都是隨機(jī)事件，A+B+C不是必然事件，故選項(xiàng)A和選項(xiàng)B都錯(cuò)；

因?yàn)榧追值谜Z(yǔ)文書的同時(shí)乙可以分得數(shù)學(xué)書，

故A與B不是互斥事件，同理B和C不是互斥事件，故C對(duì)，D錯(cuò)．

故選C．練2-2.【解析】(1)設(shè)事件A表示“考生選擇生物學(xué)科”，事件B表示“考生選擇物理但不選擇生物學(xué)科”，

事件C表示“考生至少選擇生物、物理兩門學(xué)科中的1門學(xué)科”，

則P(A)=0.5，P(B)=0.2，C=A∪B，A∩B=?，

∴1位考生至少選擇生物，物理兩門學(xué)科中的1門的概率：

P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7．

(2)設(shè)事件D表示“選擇生物但不選擇物理”，事件E表示“同時(shí)選擇生物、物理兩門學(xué)科”，

∵某校高二400名學(xué)生中，選擇生物但不選擇物理的人數(shù)為140，

∴P(D)=140400=0.35，

∵D∪E=A，

∴1位考生同時(shí)選擇生物、物理兩門學(xué)科的概率：

例3.【解析】(1)第一步，將10人的樣本隨機(jī)5份作為一組，剩余5份作為另一組，

任取一組，若呈陽(yáng)性，則該組記為Ⅰ組，若呈陰性，則另一組記為Ⅰ組，

第二步，將Ⅰ組的樣本隨機(jī)分為兩組，2人一組記為Ⅱ組，3人一組記為Ⅲ組，

第三步，對(duì)Ⅱ組樣本進(jìn)行檢測(cè)，若呈陽(yáng)性，再任取這2人中的1人的樣本對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，

即可得知患病人員，因此，共檢測(cè)3次；

若呈陰性，則陽(yáng)性樣本必在Ⅲ組內(nèi)，再逐一檢測(cè)，2次即可得知患病人員，因此，共檢測(cè)4次，

對(duì)Ⅲ組樣本進(jìn)行檢測(cè)，若呈陽(yáng)性，再逐一檢測(cè)，2次即可得知患病人員，因此共檢測(cè)4次；

若呈陰性，則從Ⅱ組組樣本中任取一人的樣本進(jìn)行檢測(cè)，即可得知患病人員，因此共檢測(cè)3次；

綜上所述，最多只需作4次檢測(cè)．

(2)將A，B，C，D，E按要求分成兩組，

AB,CDE,AC,BDE,AD,BCE,AE,BCD，

BC,ADE,BD,ACE,BE,ACD，

CD,ABE,CE,ABD,DE,ABC，

共有10種情況，

其中練3-1.【解析】由題意知此題是一個(gè)古典概型，

依題意得基本事件的總數(shù)共有6×6=36種，

其中滿足a-b≤1的有如下情形：=1\*GB3①若a=1，則b=1，2；=4\*GB3④若a=2，則b=1，2，3；

=2\*GB3②若a=3，則b=2，3，4；=5\*GB3⑤若a=4，則b=3，4，5；

=3\*GB3③若a=5，則b=4，5，6；=6\*GB3⑥若a=6，則b=5，6，

總共16種，

∴他們“心有靈犀”的概率為P=1636=練3-2.【解析】(1)設(shè)抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)為x，則

x=0.05×1+0.1×3+0.25×5+0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13=6.8，

設(shè)抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的中位數(shù)為y，

由0.05+0.1+0.25+0.15×y-6=0.5，解得y=203，

即抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)為6.8，中位數(shù)為203；

(2)8,10組的人數(shù)為2000×0.15=300人，設(shè)抽取的人數(shù)為a，

10,12組的人數(shù)為2000×0.1=200人，設(shè)抽取的人數(shù)為b，

則a300=b200=50500，解得a=30，b=20，

所以在8,10和10,12兩組中分別抽取30人和20人，

再抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，

將8,10組中被抽取的工作人員標(biāo)記