黃金分割引出的數(shù)學(xué)問題論文

.PAGE.>數(shù)學(xué)史論文論文題目：黃金分割引出的數(shù)學(xué)問題黃金分割引出的數(shù)學(xué)問題【摘要】黃金分割又稱黃金律，是指事物各局部間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大局部與較小局部之比等于整體與較大局部之比，即長段為全段的0。618。黃金分割作為自然界普遍存在的客觀規(guī)律，是自然界現(xiàn)象之間必然的、實質(zhì)性的、不斷重復(fù)著的關(guān)系，表達了客觀世界統(tǒng)一性與多樣性的辯證關(guān)系，它在科學(xué)研究中被廣泛運用。黃金分割廣泛存在于我們的生活中。黃金分割的出現(xiàn)，引出了一系列的數(shù)學(xué)問題，本文通過對黃金分割引出的一些問題進展簡析，去提醒那些神秘現(xiàn)象，表達人與自然的和諧美?！娟P(guān)鍵詞】黃金分割黃金分割點黃金矩陣斐波那契數(shù)列一、黃金分割開展概況黃金分割的起源要追溯到公元前六世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯。相傳畢達哥拉斯有一次從一家鐵匠鋪路過時，發(fā)現(xiàn)鋪子中發(fā)出的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)拇蜩F聲似乎隱匿著什么秘密，于是他走進鋪子，測量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，驚奇地發(fā)現(xiàn)它們之間存在著一種很和諧的關(guān)系?；氐郊液?，畢達哥拉斯拿出一根線，想將它分成兩段，在鐵錘和鐵砧尺寸比例的啟發(fā)下，他最后確定把一根線按1:0。618的比例截斷最優(yōu)美。而且，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們推斷當(dāng)時畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了黃金分割問題，并建立起比例理論，根據(jù)歐德莫斯在"幾何學(xué)史"中的記載，他在研究這一問題時應(yīng)用了分析法。黃金分割的系統(tǒng)論述，最早見于歐幾里得"幾何原本"。中世紀(jì)后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利稱中末比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國天文學(xué)家開普勒稱黃金分割為神圣分割。到19世紀(jì)，黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，人類對它的實際應(yīng)用也很廣泛。最著名的例子是優(yōu)選學(xué)中的黃金分割法或0。618法，是由美國數(shù)學(xué)家基弗于1953年首先提出的，70年代由華羅庚提倡在中國推廣。二、現(xiàn)實生活中的黃金分割1、人體美學(xué)中的黃金分割人體美學(xué)觀察受到種族、社會、個人各方面因素的影響，牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一，只有整體的和諧、比例協(xié)調(diào)，才能稱得上一種完整的美。人類最熟悉自己，勢必將人體美作為最高的審美標(biāo)準(zhǔn)，但凡與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美。于是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經(jīng)典規(guī)律，至今不衰！近年來，在研究黃金分割與人體關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)了人體構(gòu)造中有14個"黃金點〞〔物體短段與長段之比值為0.618〕，12個"黃金矩形〞〔寬與長比值為0.618的長方形〕和2個"黃金指數(shù)〞〔兩物體間的比例關(guān)系為0.618〕。黃金點：(1)肚臍：頭頂－足底之分割點；(2)咽喉：頭頂－肚臍之分割點；(3)、(4)膝關(guān)節(jié)：肚臍－足底之分割點；(5)、(6)肘關(guān)節(jié)：肩關(guān)節(jié)－中指尖之分割點；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上之分割點；(9)眉間點：發(fā)際－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(10)鼻下點：發(fā)際－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(11)唇珠點：鼻底－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(12)頦唇溝正路點：鼻底－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(13)左口角點：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點；(14)右口角點：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點。面部黃金分割律面部三庭五眼黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數(shù)為寬，肩峰至臀底的高度為長；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發(fā)際至頦底間距為長；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長；(4)唇部輪廓：靜止?fàn)顟B(tài)時上下唇峰間距為寬，口角間距為長；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時取平均數(shù)為長；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側(cè)切牙、尖牙〔左右各三個〕輪廓：最大的近遠(yuǎn)中徑為寬，齒齦徑為長。2、藝術(shù)與建筑上的黃金分割金字塔的幾何形狀有五個面,八個邊,總數(shù)為十三個層面。由任何一邊看入去,都可以看到三個層面。金字塔的長度為5813寸(5-8-13)。無論是古希臘帕特農(nóng)神廟,還是中國古代的兵馬俑,它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例。法國巴黎圣母院的正面高度和寬度的比例是8：5,它的每一扇窗戶長寬比例也是如此。黃浦江東岸的東方明珠播送電視塔,塔身高達468米。紐約聯(lián)合國大樓在建筑設(shè)計中所運用的黃金分割率。五角星中線段的比率都符合黃金分割率,這使得它成為了黃金分割的首要代表。正是因為這個原因,五角星總是被作為美麗與完美的象征,并與女神和神圣的女性聯(lián)系在一起。生活中建筑物、門窗、畫框、十字架、撲克牌和書籍等,他們長和寬的比例都十分接近于"黃金分割率〞。報幕員在舞臺上的最正確位置是舞臺寬度的0.618之處。高清晰度電視的屏幕設(shè)計成16：9。西方畫家非常注意把和諧的比例關(guān)系融入自己的繪畫中,達·芬奇曾挖掘出人的尸體來測量人體骨骼構(gòu)造確實切比例,他是宣稱人體的構(gòu)造比例完全符合黃金分割率的第一人。藝術(shù)家在設(shè)計創(chuàng)作其作品時都有意識地、嚴(yán)格地遵循了黃金分割比率。3、自然現(xiàn)象中黃金分割太陽系本身就是一條斐波那契螺線,形成以太陽為中心的渦旋。事實上,列昂納多曾有論述："與車輪不同的是,渦旋越趨中心速度越快。〞比方說,水星年(水星繞行太陽一周)等于地球年的88天,而冥王星的1年是地球年的248倍。翠茜·特威曼和鮑伊德·賴斯在"上帝之舟"中列舉的事實更進一步：太陽與水星的距離,加上水星與金星距離,正等于金星和地球的距離。太陽系中月球是距地球最近的星球,月球的平均密度(3.4g/cm)與地球的平均密度(5.5g/cm)之比恰為0.618：1。北緯23.5度是一個奇特的地帶,在這條太陽回歸線上有不少自然奇觀與人文奇跡。用傳統(tǒng)的觀點來講,回歸線地帶是一條好風(fēng)水帶?，F(xiàn)在我們來看看此地帶的假設(shè)干"風(fēng)水現(xiàn)象〞：在北回歸線周圍,有世界最高的青藏高原,有最大的撒哈拉沙漠,有美國的東部大平原,有世界上最深的海溝——馬里亞納海溝,有號稱世界屋脊的山峰——珠穆朗馬峰,有中國有最長的大江——長江。此外還有不少著名的自然風(fēng)景區(qū),如張家界、西雙版納、、云南石林等。著名的能量異常區(qū)——百慕大三角區(qū)就經(jīng)過北回歸線。有世界上最大的金字塔群。翻翻世界名人錄,會發(fā)現(xiàn)有不少偉人出生在這個地帶上。且此地帶是最繁茂的生物圈。地球地軸的傾斜,當(dāng)然有其深刻的宇宙意義。傾斜的地軸造成的太陽回歸線,如用黃金分割律來分析,我們就會發(fā)現(xiàn),它恰好位于地球地軸的黃金分割點上。有人把中東地區(qū)看成地球的"肚臍〞,因為它不僅正好位于大約東經(jīng)30北緯30度的地方,而且有最大的石油庫,并且是世界兩大宗教的圣地,又是歷史上非常多事的地方。三、黃金分割引出的數(shù)學(xué)問題1、無限不循環(huán)小數(shù)a:b=(a+b):a，通常用希臘字母Ф表示這個值。黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的，確切值為〔√5-1〕/2(*^2+*-1=0的一個根。2、黃金分割三角形正五邊形內(nèi)的黃金分割三角形正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。黃金分割三角形有一個特殊性，所有的三角形都可以用四個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2sin18°〔即2*sin(π/10)〕。將一個正五邊形的所有對角線連接起來，所產(chǎn)生的五角星里面的所有三角形都是黃金分割三角形。正五邊形內(nèi)的黃金分割三角形3、黃金矩陣假設(shè)矩陣的寬與長的比等于〔√5-1〕/2≈0.618，則這個矩形稱為黃金矩形〔又稱根號矩形〕。4、黃金分割點黃金分割點是指分一線段為兩局部，使得原來線段的長跟較長的那局部的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。利用線段上的兩個黃金分割點，可以作出正五角星，正五邊形等。5、黃金分割線由黃金分割點聯(lián)想到"黃金分割線〞，并類似地給出"黃金分割線〞的定義：直線L將一個面積為S的圖形分成兩局部，這兩局部的面積分別為S1、S2，如果S1:S=S2:S1，則稱直線L為該圖形的黃金分割線。6、無窮連分?jǐn)?shù)與無窮套根式有限段的黃金比1/*=*/〔1-*〕，有*2=1-*，*〔1+*)=1，得*=1/〔1+*〕。對等式右邊分母中的*又以1/〔1+*〕代替，可得*=1/〔1+1/〔1+*〕〕；以此類推，可得無窮連分?jǐn)?shù)：*=1/〔1+1/〔1+1/〔1+1/〔1+...。對等式進展類似的代替，可得：*=√〔1+√〔1+√〔1+√〔1+...。這樣一個簡潔的無窮連分式窮套根式給人以有序而無窮的印象，使人具有言而不喻的美感，黃金數(shù)與無窮連分?jǐn)?shù)、無窮套根式之間竟有如此迷人的聯(lián)系，怎不叫人驚嘆"7、黃金分割與斐波那契數(shù)列讓我們首先從一個數(shù)列開場，它的前面兩個數(shù)是：1、1，后面的每個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數(shù)列的名字叫做"斐波那契數(shù)列〞，這些數(shù)被稱為"斐波那契數(shù)〞。斐波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個菲波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的。即f(n)/f(n+1〕-→0.618…。由于斐波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數(shù)。但是當(dāng)我們繼續(xù)計算出后面更大的斐波那契數(shù)時，就會發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實是非常接近黃金分割比的。比方：1/1=1，，……，，，，……，，……，，……8、尺規(guī)作圖實現(xiàn)黃金分割〔1〕設(shè)線段為AB，過點B作BC⊥AB，且BC=AB/2；〔2〕連結(jié)AC；〔3〕以C為圓心，CB為半徑作弧，交AC于D；〔4〕以A為圓心，AD為半徑作弧，交AB于P，則點P就是AB的黃金分割點。事實上，在一個黃金矩形中，以一個頂點為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個四分之一圓，交較長邊于一點，過這個點，作一條直線垂直于較長邊，這時，生成的新矩形仍然是一個黃金矩形，這個操作可以無限重復(fù)，產(chǎn)生無數(shù)個黃金矩陣。四、完畢語數(shù)學(xué)是中一門蘊含豐富美學(xué)價值