略談數(shù)學(xué)眼光及其培養(yǎng)

PAGE11-略談數(shù)學(xué)眼光及其培養(yǎng)摘要：作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成，“三會(huì)”是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)。其中，數(shù)學(xué)眼光是生發(fā)于數(shù)學(xué)學(xué)科特性視角的一種思考，關(guān)注的是“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”的內(nèi)涵，彰顯的是“思想材料的形式化抽象”的特點(diǎn)，主要就是在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間進(jìn)行的思維切換。根據(jù)數(shù)學(xué)眼光的主要表現(xiàn)，其培養(yǎng)可以有側(cè)重地從四個(gè)維度展開：增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展空間觀念，重視幾何直觀，提升抽象能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)眼光;創(chuàng)新意識(shí);空間觀念;幾何直觀;抽象能力《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確將“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”（統(tǒng)稱“三會(huì)”，分別簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)眼光”“數(shù)學(xué)思維”“數(shù)學(xué)語言”）作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成，并做了比較詳細(xì)的解釋——相比之下，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版2022年修訂）》只是提出“三會(huì)”，并沒有解釋它（包括它與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系）。作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成，“三會(huì)”是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)。本文談?wù)劰P者對(duì)數(shù)學(xué)眼光及其培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)與思考。一、對(duì)數(shù)學(xué)眼光的一些認(rèn)識(shí)觀察是人們認(rèn)識(shí)世界、獲取知識(shí)的重要途徑，也是科學(xué)研究的重要方法。巴甫洛夫告誡學(xué)生“不學(xué)會(huì)觀察，你就永遠(yuǎn)當(dāng)不了科學(xué)家”，并把“觀察、觀察、再觀察”作為自己的座右銘。觀察是通過“看”和“思考”進(jìn)行的，觀察是科學(xué)研究中的一個(gè)基本方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的方法論意義。數(shù)學(xué)眼光是生發(fā)于數(shù)學(xué)學(xué)科特性視角的一種思考，關(guān)注的是“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”的內(nèi)涵，彰顯的是“思想材料的形式化抽象”的特點(diǎn)，主要就是在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間進(jìn)行的思維切換。胡晉賓，劉洪璐.數(shù)學(xué)眼光的內(nèi)涵及培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（2）：1720。具有數(shù)學(xué)眼光的人在面臨現(xiàn)實(shí)情境時(shí)，通過觀察、分析、思考等活動(dòng)能透過事物的表面現(xiàn)象抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí);而一旦提到某個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，也會(huì)自動(dòng)地想到現(xiàn)實(shí)中的具體案例。胡晉賓，劉洪璐.數(shù)學(xué)眼光的內(nèi)涵及培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（2）：1720。例1今有兩個(gè)容量為100mL的酒杯，分別盛有50mL白酒和50mL紅酒。從白酒杯中用10mL的取酒勺取一勺倒入紅酒杯中（第一次動(dòng)作），使之充分混合，然后從紅酒杯中取一勺混合酒倒入白酒杯中（第二次動(dòng)作）。請(qǐng)問：白酒杯中所含的紅酒與紅酒杯中所含的白酒一樣多嗎？為什么？這是筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)了分式的知識(shí)后設(shè)計(jì)的一個(gè)問題。對(duì)此，很多學(xué)生嘗試?yán)梅质降闹R(shí)，通過計(jì)算加以比較：第一次動(dòng)作后，白酒杯中含白酒40mL，紅酒杯中含紅酒50mL、白酒10mL;第二次動(dòng)作后……計(jì)算遇到了困難。實(shí)際上，這個(gè)問題雖然通過計(jì)算完全能夠給出判斷，但是，解答過程涉及“溶液、溶質(zhì)、濃度”等初三化學(xué)知識(shí)，而且計(jì)算過程比較復(fù)雜。教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了以下子問題，引導(dǎo)學(xué)生理解問題的實(shí)質(zhì)。（1）第二次動(dòng)作后，兩個(gè)杯子里都是混合酒，各有多少？（2）白酒杯中含有的白酒還是50mL嗎？少的白酒哪里去了？（3）白酒杯中多的紅酒是哪里來的？（4）白酒杯中少的白酒和多的紅酒，從量上看一樣嗎？學(xué)生圍繞這四個(gè)子問題，通過分析、思考、討論、交流發(fā)現(xiàn)，“最后白酒杯中所含的紅酒數(shù)量等于紅酒杯中所含的白酒數(shù)量，因?yàn)?，兩個(gè)酒杯中酒的總量不變，某個(gè)酒杯中少了的酒被另一個(gè)酒杯中少了的酒填上”。發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論（數(shù)量關(guān)系或數(shù)學(xué)模型）是思辨的結(jié)果，而不是用算法得到的程嶸，練冬蘭，廖運(yùn)章.高中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題策略及表征偏向的調(diào)查研究[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（7）：4148。，需要具有敏銳的數(shù)學(xué)眼光：以整體、抽象（可輔以直觀、形象）的新視角看到復(fù)雜變化中的簡(jiǎn)單不變（問題的本質(zhì)）。進(jìn)一步地，我們不妨用斯托利亞爾和弗賴登塔爾的理論來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)眼光。斯托利亞爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，并且指出數(shù)學(xué)活動(dòng)可以分為三個(gè)階段：“第一，經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化;第二，數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化;第三，數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用?！盇.A.斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].丁爾陞，等譯.北京：人民教育出版社，1984：7。弗賴登塔爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是數(shù)學(xué)化”弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：1。，并且指出數(shù)學(xué)化可分為橫向（水平的）數(shù)學(xué)化和縱向（垂直的）數(shù)學(xué)化兩個(gè)層次，橫向數(shù)學(xué)化關(guān)注生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系（包括從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)知識(shí)、從數(shù)學(xué)知識(shí)到實(shí)際問題），縱向數(shù)學(xué)化關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的遷移與調(diào)整（從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)）。數(shù)學(xué)眼光主要發(fā)生在橫向數(shù)學(xué)化這個(gè)層次（或者數(shù)學(xué)活動(dòng)的第一個(gè)階段）。一個(gè)人的數(shù)學(xué)眼光與其具有的知識(shí)技能、積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及聯(lián)系實(shí)際的意識(shí)與能力等因素有關(guān)。具有數(shù)學(xué)眼光的人，在經(jīng)歷這個(gè)層次的過程中形成了數(shù)學(xué)概念、法則、定理、規(guī)律，以及為解決實(shí)際問題而構(gòu)造了數(shù)學(xué)模型等。二、對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光的幾點(diǎn)思考作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為創(chuàng)新意識(shí)、空間觀念、幾何直觀與抽象能力。中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5。它們之間并不是完全獨(dú)立的，有一定的交叉，尤其是創(chuàng)新意識(shí)和其他三種表現(xiàn)。因此，數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)可以有側(cè)重地從以下四個(gè)維度展開。（一）增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)創(chuàng)新意識(shí)主要是數(shù)學(xué)眼光靈活、獨(dú)到的表現(xiàn)。具有創(chuàng)新意識(shí)的人，往往思路開闊、富于聯(lián)想，具有較強(qiáng)的直覺思維、發(fā)散思維能力，并且能夠獨(dú)立思考，敢于質(zhì)疑問難。教學(xué)中，應(yīng)該精選一些非常規(guī)問題、開放性問題，鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、聯(lián)想、猜測(cè)等活動(dòng)，在活動(dòng)過程中打破常規(guī)，從新的角度或方向大膽探索，從而逐步學(xué)會(huì)把已知知識(shí)、方法廣泛、迅速地遷移，靈活、變通地運(yùn)用到新情境中去。久而久之，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)將會(huì)得到增強(qiáng)，并逐步發(fā)展成為“數(shù)學(xué)慧眼”。顯然，上述例1可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。這里再舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。例2解方程x+1+x-1+|2x-3|=0。這是筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的知識(shí)后設(shè)計(jì)的一道題目。此題不需要通過計(jì)算來解答，而是可以打破解方程的常規(guī)，從算術(shù)平方根和絕對(duì)值的性質(zhì)的角度迅速作出無解的判斷。（二）發(fā)展空間觀念空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí);有助于理解現(xiàn)實(shí)生活空間物體的形態(tài)、結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)變化，是幾何直觀的基礎(chǔ)，也是形成空間想象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?？臻g觀念實(shí)際上是一種“形感”，是數(shù)學(xué)眼光形象、可感的表現(xiàn)。圖形與幾何領(lǐng)域的知識(shí)大多是發(fā)展學(xué)生空間觀念的載體。教學(xué)中，應(yīng)該精心設(shè)計(jì)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理等過程中，從感性到理性，完成對(duì)圖形與幾何領(lǐng)域概念與性質(zhì)的感受、發(fā)現(xiàn)與梳理、總結(jié)。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)“正方體的展開圖”時(shí)普遍感到困難，其根本原因在于空間觀念弱。對(duì)此，我們?cè)O(shè)計(jì)了系列學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)探究—交流發(fā)現(xiàn)—?dú)w類總結(jié)”的過程，系統(tǒng)掌握正方體的各種展開圖，充分發(fā)展空間觀念?；顒?dòng)1觀察正方體紙盒有幾條棱，沿著其中的一些棱剪開，將正方體展開成平面圖形（保證六個(gè)面通過未剪開的棱連在一起）。活動(dòng)2組內(nèi)交流共有幾種不同的展開圖，各組長(zhǎng)依次把本組內(nèi)不同的展開圖用膠帶貼在黑板上（與前面小組已有的展開圖重復(fù)的，就不要再貼了）?；顒?dòng)3觀察黑板上不同的展開圖，思考有沒有重復(fù)和遺漏;如果沒有重復(fù)和遺漏，請(qǐng)將這些展開圖歸歸類。通過上述活動(dòng)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生梳理、總結(jié)出正方體的展開圖共有11種情況，可以分為4種類型：（1）“一四一”型，如圖1—圖6所示;（2）“一二三”型，如圖7—圖9所示;（3）“二二二”型，如圖10所示;（3）“三三”型，如圖11所示。例34個(gè)半徑為1厘米的等圓的位置如圖12所示，其中陰影部分酷似一個(gè)花瓶的縱截面（不妨稱其為花瓶形）。你會(huì)計(jì)算花瓶形的面積嗎？這是青島版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)在“36弧長(zhǎng)及扇形面積的計(jì)算”后設(shè)置的一個(gè)閱讀材料中的問題。此題以四個(gè)等圓按正方形的四個(gè)頂點(diǎn)“密鋪”為背景，考查學(xué)生將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來計(jì)算面積的能力。解此題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)“密鋪”的空隙圖形與一個(gè)圓的分割組合關(guān)系，能夠很好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念，啟發(fā)學(xué)生的思維。同時(shí)，圖形設(shè)計(jì)精巧，可使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧美。此外，解題方法具有開放性、多樣性，可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算，從而（至少）得到以下四種解法：（1）如圖13，將花瓶形的下部（圓）沿著相互垂直的兩條直徑剪成4塊（剪下3塊），拼到上部（空隙圖形）的四周，可以拼成正方形。易知拼成的正方形的邊長(zhǎng)等于圓的直徑，即2cm，所以花瓶形的面積為2×2=4（cm2）。（2）如圖14，將花瓶形的上部（空隙圖形）沿著相互垂直的兩條對(duì)稱軸剪成4塊（剪下3塊），拼到下部（圓）的四周，可以拼成正方形。易知拼成的正方形的邊長(zhǎng)等于圓的直徑，即2cm，所以花瓶形的面積為2×2=4（cm2）。（3）如圖15，將花瓶形的下部和上部分別沿著各自的一條對(duì)稱軸（這兩條對(duì)稱軸相互垂直）剪成3塊，也能拼成正方形。易知拼成的正方形的邊長(zhǎng)等于圓的直徑，即2cm，所以花瓶形的面積為2×2=4（cm2）。（4）如圖16，將花瓶形的下部（圓）沿著內(nèi)接正方形的邊剪成4塊（剪下3塊），拼到上部（空隙圖形）的四周，可以得到長(zhǎng)方形。該長(zhǎng)方形的寬為2cm，長(zhǎng)為22cm，所以面積為22×2=4（cm2）。（三）重視幾何直觀幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)和習(xí)慣，包括：感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征分類;依據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì);建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型;利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。教學(xué)中，應(yīng)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物中抽象出圖形，或根據(jù)語言描述畫出圖形，尤其是利用坐標(biāo)思想或幾何意義將一些代數(shù)條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并分析圖形特征與性質(zhì)（包括其基本元素或其中基本圖形的關(guān)系），用它解決問題。孫紅強(qiáng).圖形：培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的關(guān)鍵要素[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（3）：5053。例4兩人相繼在一張圓桌上擺放一枚同樣大小的硬幣（兩人手中都有足夠多的硬幣），誰放下最后一枚而使對(duì)方?jīng)]有地方再放，誰就獲勝。試問：是先放者獲勝還是后放者獲勝？怎樣才能穩(wěn)操勝券？本題以“在圓桌上擺放硬幣”的游戲?yàn)楸尘埃疾閷W(xué)生對(duì)圓的中心對(duì)稱性的理解和應(yīng)用。解答本題的關(guān)鍵是，運(yùn)用幾何直觀，從實(shí)物中抽象出幾何圖形圓，充分利用圓的性質(zhì)思考游戲的獲勝策略：假如圓桌小到只能放下一枚硬幣，當(dāng)然是先放者獲勝;假如圓桌比較大，先放者只要把第一枚硬幣放在圓桌的中心位置，后放者每放下一枚硬幣，先放者只要把硬幣放在與后放者放的位置關(guān)于圓桌中心對(duì)稱的位置，即可穩(wěn)操勝券。通過解答這個(gè)問題，學(xué)生不僅能加深對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，而且能培養(yǎng)幾何直觀的意識(shí)與能力。在此基礎(chǔ)上，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生思考更一般的情況：桌面不是圓形而是長(zhǎng)方形或正方形的話，這種解答策略還有效嗎？從圖形的對(duì)稱性到游戲的對(duì)稱策略，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到對(duì)稱是一種重要的思維模式，從而自覺地運(yùn)用對(duì)稱，思考、求解更多的問題。（四）提升抽象能力抽象能力主要是指通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力，包括：從實(shí)際情境或跨學(xué)科的問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表達(dá);從具體的問題解決中概括出一般的結(jié)論，形成數(shù)學(xué)的方法與策略。從本質(zhì)上看，“抽象是從許多事物中舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程”史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：10。;數(shù)學(xué)抽象是指舍棄事物的一切物理屬性，得到一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的思維過程。抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，是數(shù)學(xué)的基本思想方法，并且是數(shù)學(xué)眼光深刻、犀利的表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)知識(shí)形成及問題解決的教學(xué)中，都要讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)、從特殊到一般、透過現(xiàn)象看到本質(zhì)等的數(shù)學(xué)抽象過程，從而提升數(shù)學(xué)抽象能力。例如，教學(xué)一元二次方程的概念時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生分層解決如下問題，從而經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的完整過程?！緩膯栴}到方程】（1）金星學(xué)校要用大小完全相同的240塊正方形地板磚鋪一個(gè)面積為60m2的音樂教室。設(shè)每塊地板磚的邊長(zhǎng)為xm，為了求出地板磚的邊長(zhǎng)，可列方程：。（2）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立，甲行率7，乙行率3。乙東行，甲南行十步而斜東北，與乙會(huì)。問：甲乙行幾何？”意思是：“甲乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度是7，乙的速度是3。乙向東行走，甲向南走了10步后向東北行走，與乙相遇。問：相遇時(shí)，甲乙分別走了多少？”設(shè)他們相遇時(shí)所用的時(shí)間為t，則相遇時(shí)甲共走了，乙共走了;為了求出相遇時(shí)，甲乙分別走了多少，可列方程：。（3）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小3，這個(gè)兩位數(shù)加上10后，恰好等于個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之積的3倍。設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為a，為了求出這個(gè)兩位數(shù)，可列方程：。這一層次的三個(gè)問題體現(xiàn)了從現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)模型的抽象。其中的現(xiàn)實(shí)情境既包括當(dāng)下的生活現(xiàn)實(shí)，也包括史料中的生活現(xiàn)實(shí)，還包括數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。未知數(shù)的設(shè)法既有直接設(shè)，也有間接設(shè)。學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系，不難列出三個(gè)方程：（1）240x2=60;（2）（3t）2+102=（7t-10）2;（3）a+10（a+3）+10=3a（a+3）?！緩奶厥獾揭话恪浚?）將所列出的三個(gè)方程依次化為按字母次數(shù)降序排列的一般形式，得到4x2-1=0、2t2-7t=0、3a2-2a-40=0。這三個(gè)方程有什么相同與不同之處？（5）上面這三個(gè)方程的本質(zhì)屬性（相同之處）是什么？這一層次的兩個(gè)問題體現(xiàn)了從特殊情況到一般概念的抽象。先引導(dǎo)學(xué)生尋找特殊情況的相同與不同之處（各種屬性），再引導(dǎo)學(xué)生保留相同之處（本質(zhì)屬性），剔除不同之處（非本質(zhì)屬性），從而建立一般概念。學(xué)生經(jīng)過思考、交流，可以得到三個(gè)方程的相同與不同之處：（1）都含有一個(gè)未知數(shù);（2）未知數(shù)有不同的含義;（3）未知數(shù)的最高次數(shù)都是2;（4）未知數(shù)的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可有可無。進(jìn)而，可以根據(jù)三個(gè)方程的本質(zhì)屬性，給出一元二次方程的概念：可以化為ax2+bx+c=0（x為未知數(shù)，a、b、c為常數(shù)，a≠0）形式的方程。例5（2022年江西省中考試題）小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：【求解體驗(yàn)】（1）已知拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)