彈性力學(xué)簡明教程(第四版)課后習(xí)題解答

.彈性力學(xué)簡明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸第一章 緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定?！窘獯稹烤鶆虻母黜棶愋误w如：竹材，木材。非均勻的各向同性體如：混凝土。【1-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性假定。質(zhì)地基不可以作為理想彈性體。【1-3】五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么作用？（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個.變化規(guī)律。方程，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標而變化。定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。1【1-4】應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標面和負坐標面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向?！窘獯稹繎?yīng)力的符號規(guī)定是：當作用面的外法線方向指向坐標軸方向時（即正面時（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力當作用面的外法線指向坐標軸的負方向時（即負面時，該面上的應(yīng)力以沿坐標軸的負方向為.正，沿坐標軸的正方向為負。面力的符號規(guī)定是：當面力的指向沿坐標軸的正方向時為正，沿坐標軸的負方向為負。正的應(yīng)力 正的面力【1-5】試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定?！窘獯稹坎牧狭W(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號以使研究對象順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正，反之為負。彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標面上的切應(yīng)力以沿坐標軸的正方向為正，作用于負坐標面上的切應(yīng)力以沿坐標軸負方向為正，反之為負?！?-6】試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變。括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長變形，為正的應(yīng)變。

正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下，切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引.起直角減小，故為正的切應(yīng)變?！?-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向?！窘獯稹空捏w力、面力 正的體力、應(yīng)力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向?！窘獯稹縡fffxyffxfxyfyfyfxy Oz【93y面上切應(yīng)力yz

的合力與z面上切應(yīng)力zy

的合力是否相等？yz【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為L1MT2，單位為N/m2。因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如則y面上切應(yīng)力 的合力為：yz dxdz (a)yz.z面上切應(yīng)力zy

的合力為： dxdy (b)zy由式（a）(b)可見，兩個切應(yīng)力的合力并不相等。的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。.第二章 平面問題的基本理論【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖2-14)其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況?！窘獯稹吭诓皇苋魏蚊媪ψ饔玫目臻g表面附近的薄層中，可以認為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點都有z xz yz x y 0，只存在平面應(yīng)力分量,, ，且它們不沿zz xz yz x y 向變化，僅為x，y的函數(shù)。可以認為此問題是平面應(yīng)力問題。Ozy【2-2中（5yOzy時，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。zxz zx 【解答】板上處處受法向約束時 0，且不受切向面力作用則 0(相應(yīng) 0)板邊上只受zxz zx xyxy所以僅存在,,xyxy

，且不沿厚度變化，僅為x，y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！?-32-3平很條件MC0【解答】將對形心的力矩平衡條件MC0，改A、B、D、Ez1。.M 0Adx

dy dydx1 y 2

xdx)dy1 2

xyxy

dx)dy1dx

dy1 y 2 (a)dx

dy dx(y

ydy)dx1 yx

dy)dx1dyfdxdy1 fdxdy1 0x xy 2 2 2M 0Bdy dxx(xx

dx)dy1 yx

dy)dx1dy y

dy)dx1 x 2 2 (b)dy1dxxy

dy1dyx 2

dx1dxfy 2

dxdy1dyfx 2

dxdy1dx0y 2M 0Dyy

dy)dx1

dxdy1dxdy1dydx1dyxy x yxy 2 2dx

dy dy

(c)dx1 (x 2

dx)dy1 x 2

x 2

0y 2M 0Edx dy dx(

2 2

dx1dy

2y y x dy

ydy

(d)x xydx)dy1dxff0xx xy x yx 2 2 2(a、(b、(c、(d)中的三階小量（亦即令d2xdy,dxd2y0，并將各式都除以dxdy 后合并同類項，分別得到xy

。yx【分析】由本題可得出結(jié)論：微分體對任一點取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗證了切應(yīng)力互等定理?！?-42-3和微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，驗證.將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？ABCD的邊長dxdyaz方向的尺寸取為一個單位。xO O

x

yxy

yDxDx

yxy

yDxDx

xyA

xA A fxf

xyDD

xyA

xA A fxf

xyDD B y

B y

xxyB xBBy yxB

xyCyxC

xy

xyB xyxBy yxB

xyCyxC

xyC(b)各點正應(yīng)力：；) ；A x

) A y) x

) ydyxB)x

x y x xdxx x

yB)y

y xdxy x)

dx x

dx yxC x

x y

yC y 各點切應(yīng)力：xy)Axy； yx)Ayx.)xyB

dy xydyxy y

)yxA

dy yx ydy) xyD

xydxxy x

) yxDyxdxyx x)

dxxy

)

dx yxdyxyC

xy

yxC

yx x yx由微分單元體的平衡條件Fx

F 0,得y得 1

1

2xx

xdydy xdx xdx xdydyxx

y

2

x x y 1

1

+ yxdxdx

yxdy

yxdx yxdydx

dxdy02yx

yx

2yx

x 1

1

ydxdx

dy

ydx ydydx 2y

x

2

x y 1

1

+ xydydy+ xydx+ xydy xydxdy

dxdy02xy

xy

2xy

y以上二式分別展開并約簡，再分別除以dxdy ，就得到平面問題中的平衡微分方程：x x

f 0; y xyf 0x yx 【分析】由本題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用于任意的應(yīng)力分布形式。【2-5】在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是什么？【解答】(1)在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時應(yīng)用的基本假設(shè)是：物體.的連續(xù)性和小變形假定，這兩個條件同時也是這兩套方程的適用條件。條件?！舅伎碱}】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個假定？【2-6】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)（接近平面應(yīng)力問題）總比鋼圓筒（接近平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。性常數(shù)的系數(shù)。由于Ea級別的量，而泊松比取值一般在5，故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項，比較兩類平面問題的系數(shù)項，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)1/EE大，故鋼圓環(huán)變形大?！?-7】在常體力，全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材料的問題x y 和兩類平面問題的應(yīng)力分量， 和 均相同。試問其余的應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否x y x【解答】(1)應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量，x

和y 和

均相同，但平面應(yīng)力z問題z

yz

0，而平面應(yīng)變問題的

yz

x

。y。xz應(yīng)變分量：已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平面問題的xz.xz yz xy x y 物理方程不相同，故應(yīng)變分量 0, 相同，而,,xz yz xy x y 面問題也不同。xOygxOygxyxAnyB,x

,y

之間的關(guān)系式【解答】由題可得：lcos,mcos90sin

圖2-16fAB0,fx

AB0將以上條件代入公式（5，得：

cossin0,

sin

cos0x AB

y

y

xyAB) xAB yx

tanAB

tan2AB.【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。ohoh1gbh2yb2FNFNFSq1h/h/lxyM圖2-17 圖2-18理的三個積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（5?！窘獯稹繄D2-17：上（y=0）

左l0-11m-100xf sx0

gyh1

gyh1f sy

gh1 0 0.代入公式（2-15）得①在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：x x0xb

g(yh),1 g(yh),1

x0xb

0;0;y0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：y0

gh,xy

0y0yh2

上，能精確滿足下列位移邊界條件：u

yh2

0,

0yh2這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當板厚=1時，可求得固定端約束反力分別為：F0,Fs N

ghb,M01yh2

為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有：b dxghb0 y

yh 12b 2 0

y

xdx02b 20xy yh02

dx0⑵圖2-18上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）l m fx fy.(s) (s)yh2

-0 0 q1yh2

-0 1 0q1)y

y-h/

q，

)yxy-h/2

0，

)y yh/

0，

)yxyh/2

q1x=0力與面力符號相反，有h/2 ) dxFh/2 xyx0 Sh/2

dxFh/2

xx0 Nh/2

) ydxMh/2 xx0③在x=l 的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件u 0,v 0這兩個位移邊界條件也xl xl可改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替。FFNFF

0,

Fq

MSFqlFN N 1 N 1 NF 0,FFql0FqlFS S S S 1

qlh

ql2M 0,MM'Flql2qlh0M1

MFl A S 2 2

2 S 2.由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故h/2) dyFqlFh/2 xxl

N 1 Nh/2

ydy

q1

M

lql2h/2

xxl

2 S 2h/2 ) dyFqlFh/2

xyxl S Sq Mox oF xoA N AFqb【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩

b/2b/2 N 2OA者的面力是否是是靜力等效？【解答由于h l為小邊界故其上可用圣南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：

b h hyab,ya圖2-19

qb2M12ybOAfx

0,fy

xqb由于OA面為負面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有b

dxbfdxbxqdxqb0 y y0

0 y 0b 2b

xdxbfxdxbxqbx

qb20 y

y0

0 y

b 2

12(OA中點取矩)byx

dx00 y0(ｂ)應(yīng)用圣維南原理，負面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正，主矩為負，則.b

dxF qb0 y y0 N 2by

xdxM

qb2120 y0bxy

dx00 y0OA問題是靜力等效的?！?-11】檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（8；在s

上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（9；s上的位移邊界條件式（4；u作相應(yīng)的變換?！痉治觥看藛栴}同時也是按位移求解平面應(yīng)力問題時，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？1）A內(nèi)的平衡微分方程式（2；A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式1）或（；在邊界上的應(yīng)力邊界條件式5問題；對于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量必須滿足的條件。.【補題】檢驗平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？1）A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（5；S上的應(yīng)力邊界條件式5，假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件；若為多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。【2-14】檢驗下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：OhOh/2h/2xll? hbxbObxbOqyqy圖2-20 圖2-21=2-20sx=

y2b2

， 0。y xy【解答】在單連體中檢驗應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足（1）分方程2（2）用應(yīng)力表示的相容方程1（3）應(yīng)力邊界條件5。將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且f f 0x y x yx0

0顯然滿足x y y x.將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（1，有等式左2x2

2y2

=2qy b2

0=右應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。 My

FS* s2-21，由材料力學(xué)公式，

I ，

bI (b=1)，得出所x3y x2 2q - (h2

4y2)示問題的解答:

lh3，

4lh3

。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條 xy

2qxy3

qx件得出：y

2 lh lh3

2l。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗解答的正確性?！窘獯稹浚?）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）Ih312

，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程q

qx2。M(x) x3,F x 6l 2l所以截面內(nèi)任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：Mx x3y y x I 3Fx 4y2 x2 。 s 1 . h24y2xy 2bh h2 4 lh3根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計。.y xy0y 得：

.

xy3Ay 2 lh lh3根據(jù)邊界條件Aq.x2 l

0y yh/2故

.

xy3

q.xy 2 lh lh3 2 l將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：左6qx2lh3

x2ylh3

0右滿足第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）左2

2

0右 x2

y2 x

lh3

lh3應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-15】試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個主應(yīng)力的平均值。.【解答】（1）確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置任意斜面上的切應(yīng)力為n

2

，用關(guān)系式l2

m2

1m，得 ln

11l2

l2l2l4

1/1/41/2l2212由上式可見當1l20時即l 時122

為最大或最小，為n

maxmin

。 1 2。2因此，切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與x軸及y軸（即應(yīng)力主向）成45°的斜面上。求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力 的值n任一斜面上的正應(yīng)力為 l2n 1 2 21/2最大、最小切應(yīng)力作用面上l ，帶入上式，得1/2 1 1n 2 1 2 2 2 1 2證畢。1 2 【2-16】設(shè)已求得一點處的應(yīng)力分量，試求,,1 2 (a)x

100,y

50,xy

10 50;(x

200,y

0,xy

400;(c)x

y

xy

x

y

500.【解答】由公式（2-6） 2 2x2y2xy

tan

1 1 x 1

1 x y

及 1

，得 arctan x2 xy xy.110050

1001002210 50202(a) 2 0210 50 arctan1501003516'10 50120022400200224002

5122(b) 22

312 arctan512200arctan0.783757'1 40020001000220001000240022

10522(c) 22

2052 arctan10522000arctan7.388232'1 400100015002210001500225002(d)

1 2 2

1809 arctan6911000arctan0.6183143'1 500【2-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計，qfyqfyxAfxqy在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力 q。試證s =sx y

=-q及

xy0能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。y【解答（1）將應(yīng)力分量 x y

q,xy

0，和體力分量f fx y

0分別帶入平衡微分方程、相容方程. x

f 0x x y y xyf 0y x

（a）2x y

0（b）顯然滿足a（b）（2）對于微小的三角板Adxdy都為正值，斜邊上的方向余弦lcosn,x,mcosn,y，將 x y

-q,xy

0，代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達式5fx

-qcosn,x,fy

qcosn,y，則有cosn,xqcosn,x,x

cosn,yqcosn,y所以x

q,y

q。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程（2，得形變分量， (1)q,x E

(1)q,E

0（d）將d）式中形變分量代入幾何方程（8，得u=(-1)q,v=(-1)q,vu0x E y E x y （e）前兩式積分得到.= qx(y),= qx(y),v= qyu

（f）(x)E 1 E(x)其中f1

y,f2

x分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入式（e）的第三式，得df(y) df(x) 1 2 dy dxy的函數(shù)，而等式右邊只是x個常數(shù)，于是有df(y)1

df2(x)dy dx積分后得f1

yyu,f0 2

xxv0代入式（f）得位移分量u(1)qxyu E ( v qy x

0（g） E 000其中u,v,為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得00從式（g）可見，位移是坐標的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應(yīng)力分量是正確的解答。8（2，體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力y0，然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答。.OOxFl橫截面上的彎矩方程M(x)Fx，橫截面對中性軸1的慣性矩為 yI h3/12，根據(jù)材料力學(xué)公式z彎應(yīng)力x

M(x)Iz

12Fh3

xy；Fs

xF，剪應(yīng)力為F(x)S* F

h h/2y

6Fh2 sxy bI

133

2yb

yh34

y2z取擠壓應(yīng)力 y

h/12

將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗左12F

12Fy

y0右h2 h3第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程左2x

0右滿足相容方程y考察邊界條件①在主要邊界yh/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)l m fx fy.0-1000100y0-10001002yh上2代入公式5，得y y-h/2

0,xy

yh/

0;y

yh/

0,yx

0yh/2②在次要邊界x=0 上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩h/2

dy0向面力主矢h/2

xx0h/2

ydy0面力主矩h/2

xx0h/2

h/2 6F h2 ) dy ( y2)dyF向面力主矢h/2 xyx0 h/2 h3 4 FNFNFMS③在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即S面力的主矢、主矩，F(xiàn)N

0,FS

F,MFl其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效：h/2 )

dyh/

12F lydy 0 h/2

xxl

h/2 h3 Nh/2 )

ydyh/

12F

ly2dyFlMh/2

xxl

h/2 h3h/2 h/

6Fh2 ) dy

y2dyFFh/2 xyxl

h/2h3

4 S滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答?！?-19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示.為f ,fx x

V，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為y=2V,x y2

=2V,x2

2，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。xyx （1）f,f帶入平衡微分方程（2-2x Vx

f x

0 x

y

（a） V y xyf 0 y xy 0y x

y

x y將（a）式變換為x

V) yx0x

（b） y

V) xy0y 為了滿足式b，可以取Vx

2,y2

V

2,x2

2xy 2V,即x y2

2V,x2

2x y x （2）對體力、應(yīng)力分量f,f,, x y x f

2V

f 2Vyxy

x2 y y22

4

2

4

x

x x2 x2y2

y2 y4 y22

42V,

2y

4 2Vx2

x4

y2

x2y2 y2. ) 2

fy（2-21）x y

4

4

42V

4

)

2V x2y2 x2 y4 y2 x4 x2 x2y2

x2 y2整理得：42

4

4

)

（d） x4 x2y2

y4

x2 y2即平面應(yīng)力問題中的相容方程為4(1將（c）式代入公式（2-22）或?qū)ⅲ╠）相容方程：

，的平面應(yīng)變情況下的142

4

4

12

（e） x4 x2y2

y4

1x2 y2即4122V。1證畢。.第三章 平面問題的直角坐標解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式5，而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即替式5，將會發(fā)生什么問題？的面力（主矢、主矩均相同，只影響近處的應(yīng)力分布，對遠處的應(yīng)力影響可以替精確的應(yīng)力邊界條件（5，就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解答精度不足?！?-2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！?-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主.要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個條件？m2個精確的應(yīng)力邊界條件，公式5mn個次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則2n個；如果不能滿足公式（2-15）23n個?！?-4】試考察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖3-8所示的xhxhl矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計)?y【解答】⑴相容條件: 圖3-8不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)ay3總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).⑵求應(yīng)力分量當體力不計時，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)，得 6ay,x y

0,xy

0yx⑶考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當a>0時，考察 分布情況，注意到 0，故y向無面力x xy左端:f x

)xx0

6ayyhfy

0xy x0.右端:f x

x

6ay(0yh) fy

) 0xyxl應(yīng)力分布如圖所示，當l? h時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效主矢，主矩OxOxyf fx x主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。ePePePePApe：) p pe 0eh/6xA bh bh2/6同理可知，當a<0時，可以解決偏心壓縮問題。xl(l?h)ax2ybxy2,cxy3,試求出應(yīng)力分量（不計體力9所示彈y出面力的主矢量和主矩。

圖3-9【解答】（1）由應(yīng)力函數(shù)ax2y，得應(yīng)力分量表達式 0,x y

2ay,xy

2axyx.x考察邊界條件，由公式（5）x

)yx

f(s)x(my

)xy

f(s)yy2

上，面力為f(yh)2ax fx 2

(yh)ah2②主要邊界，下邊界yh，面力為2f(yx

h)2ax,f2

(y

h)ah2③次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為xFx

h/2h/

()x

x0

dy0yFy

h/2h/2

)x0

dy0Mh/2h/2

()x

x0

ydy0yxahyxahxyah 2al2alxFh/2

O xdy0h/2

xxlyy向主矢：Fh/2

dyh/

(2al)dy2alhh/2

xyxl

h/2主矩：Mh/2h/2

()x

xl

ydy0彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示⑵bxy2將應(yīng)力函數(shù)代入公式（4，得應(yīng)力分量表達式 ，x y

0，xy

2byyx.考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式（2-15）得在yh主要邊界，上邊界上，面力為fyhbh,f

yh02 x

22 y 22在yh2

yx

hbh,f22

yy

h022在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得：fx面力的主矢、主矩為

x00,fy

x02byxFx

h2h22

xx0

dy0yFy

h2h22

xyx0

dyh2h22

2byx0

dy0Mh/2h/2

)xx0

ydy0在右邊界x=l上，面力分布為fxl2bl,fx

xl面力的主矢、主矩為x向主矢：Fh/2

dyh/

2bldy2blhxyFy

h/2 x'h/2h/2

xlxl

h/2dyh/2h/

2bydy0M'h/2h/2 x

xl

ydyh/2h/2

2blydy0.彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示Oxyxyah 2al ahOxyxyxy（3）cxy3將應(yīng)力函數(shù)代入公式（4，得應(yīng)力分量表達式6cxy,x y

0,xy

yx考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（2-15）①上邊界yh上，面力為2 h 3 hfxy24ch,f y202y ②下邊界y=h上，面力為2 xf y 2 4ch2,fyx

h02 次要邊界上，分布面力可按（2-15）計算，面力的主矢、主矩可通過三個積分邊界求得：③左邊界x=0 上，面力分布為.fx00,fx

x03cy2面力的主矢、主矩為x向主矢：Fx

h/2h/2 h/2

x0

dy

h/2 1y向主矢：Fy

h/

xy x0

dyh/2

3cy2

dych34Mh/2-h/2 x

x0

ydy0④右邊界xl上，面力分布為fxlfx

xl面力的主矢、主矩為x向主矢Fh/2

dyh/

6clydy0x h/2

xl

h/2yFh/

dyh/

3cy2 dy y h/2

xl

h/2 4Mh/2h/2

x xl

ydyh/2h/2

6cly2dy clh3121彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示xl(lxl(l?h)F xy(3h24y2F 2h3（不計體力3-9所示矩形體邊界上的面力分布（和主矩，指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題。

圖3-9.【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）4x4

2 4x2y2

4y4

0，顯然滿足將 代入式（4，得應(yīng)力分量表達式 12Fxy,

0,

3F

(14y2)x h3

xy

2h h2由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：2（上下邊界2

（5，應(yīng)力y

yh/

0,yx

0yh/2y

yh0,

yh02 x

22 y 22②在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為： 3F 4y2x0:f 0,f 1- 2x y 2h h212Fly

3F 4y2xl:f x

,f h3 y

2h1

h2 因此，各邊界上的面力分布如圖所示：③在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：.x=0上x=l上x向主矢：FN1

=h/2h/

fdy0, F

h/2h/

fdy0xy向主矢：FS1

=h/2h/

fdyF, F

h/2h/

fdyFy主矩：M1

=h/2-h/2

fydy0, Mx 2

h/2h/

fydyFlx因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。.【3-7

qx2

(4y3

3y1)qy2(2

y3

y)能滿足相容方程，并考4 h3 h 10 h3 hxxl(l?h)什么問題（，體力不計。 y【解答】(1)將應(yīng)力函數(shù)代入式（2-25）

圖3-94x4

0，4y4

24qy，h3

4x2y2

2h3

24qyh3代入（5，可知應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。將代入公式（，求應(yīng)力分量表達式: 2

6qx2y 4qy3 y2 x

h3 h3 5h 2fyx2 y

q(4y32 h3

3y1)h2 6qx h2 xy yx

( y2)3h 4考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力：y2

（上面，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（5）.fyh 0,f yh

qx 2 yx y 2 y yh/2

yh/2在主要邊界y

h下面，也應(yīng)該滿足215fx

yh/2

2yx yh/

0,f y

yh/2

0y yh/2在次要邊界x0上，分布面力為fx0x

x0

3qy4qy3,f5h h3

x0xy

0x0應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件:F h/2

fdyh/

3qy4qy3 0 N h/2F h/2

xff

h/20

5h h3 S h/2 yMh/2

fydyh/

3qy4qy3ydy0 h/2 x

h/25h h3 ④在次要邊界xl上，分布面力為fxl

6ql2y4qy33qyx

x xl

h3 h3 5h6qlh2 f xl

y2y

xl

h34 應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件:Fh/2

f(xl)dyh/

6ql2y4qy3 0

N h/2 x h/2

h3 5h2 6ql h/2 h2 6qlF f(xl)dy y2dyqls h/2 y

h/2 h34 h/2 h/2 6ql2y 4qy3 3qy 1M' f(xl)ydy ydyql2h/2 x

h/2

h3 5h 2綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖.q qqlx1qlx12ql2y(b)因此，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題?！?，在一邊側(cè)面上受o均布剪力（圖0，試求應(yīng)力分量。 b h q【解答】采用半逆法求解。 g由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。

y (h?b)圖3-10根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力y

主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力xy

主要與截面

主要與橫向荷載有關(guān)本題橫向荷載為零則 0x x推求應(yīng)力函數(shù)的形式將 0，體力fx

0,fy

g，代入公式（2-24）有 2fx y2 x

x0對y積分，得fx（a）y.yfxf1

x（b）其中fx,f1

x都是x的待定函數(shù)。由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（5，得d4fx d4fxy 1 0（c）dx4 dx4在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程（cy求它有無數(shù)多個根（y值都應(yīng)滿足它為零，即d4fx d4fx 0, 1 0dx4 dx兩個方程要求fxAx3Bx2Cx,f1

xDx3Ex2（d）fx中的常數(shù)項，f1

x中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在的y的一次項及常數(shù)項，不影響應(yīng)力分量。將式代入得應(yīng)力函數(shù)y

Ax3Bx2Cx

Dx3Ex2

（e）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量 2fy2 x

x0（f）. 2fx2 y

y6Axy2By6Dx2Egy (g) 2xy

3Ax22BxC (h)(5)考察邊界條件A、B、C、D、Ex0上（左：xx0

0,(xy

) 0x0將（f（h）代入xx0

0，自然滿足) C0（i）xyx0主要邊界xb上，xxb

0，自然滿足) q，將（h）式代入，得xyxb) 3Ab22BbCq（j）xyxb在次要邊界y0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：b0b0b0

)yy0)yy0)yxy0

dxb6Dx2Edx3Db22Eb0（k）0xdxb6Dx2Exdx2Db3Eb20（）0dxb3Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0（）0.由式（，(j（k（l（）聯(lián)立求得Aqb2

, B

q, CDE0b代入公式（g，(h得應(yīng)力分量 0,

2qx13xgy, qx3x2 x y b b xy b b .b/2q hy(h?b)【9圖1所示的墻高度為h寬度為bb/2q hy(h?b)在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)qAxyBx3y求解應(yīng)力分量?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。⑴將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足。⑵由公式（2-24）求應(yīng)力分量表達式，體力為零，有

圖3-112 ，

2

2 x y2

6Bxyy x2

A3Bx2xy yx ⑶考察邊界條件：xb2上，精確滿足公式（2-15）xxb/2

0,(xy

)xb

q第一式自然滿足，第二式為3ABb234

q (a)x=b/2(2-15)xxb/2

0,xy

xb/

q第一式自然滿足，第二式為3ABb234

q (b)③在次要邊界y=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件:.b/2

dx0滿足b/2 y

y0b/2b/2

y y0

xdx0滿足b/2

b/2

1 3 （c） dx

A3Bx2

dxAbBb 0b/2 yx y0

b/2 4聯(lián)立（a（c）得系數(shù)q A,Bq 2 b2代入應(yīng)力分量表達式，得 0,

12qxy,

q112x2x y

xy

2b22【3-10設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集力和力矩作用體力可以不計l? h（圖2試用應(yīng)力函數(shù)AxyBy2Cy3Dxy3求解應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼鈱?yīng)力函數(shù)代入相容方程（5，顯然滿足由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式(2-24)2B6By6Dxy x0 (a) y A3Dy2xy yx.(3)考察邊界條件①主要邊界yh/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件y yh/2xy yh/

0，滿足30,得ADh20（b）34②在次要邊界x=0 上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件h/2h/2

x x0

dyFN

h/2h/

2B6CydyFN

B NF2hFh/2h/2

x x0

ydyMh/2h/2

2B6CyydyMC2Mh3h/2

dyF

h/

A3Dy2dy

1Ah Dh31

（c）h/2

xy x0

s h/

s 4 s聯(lián)立方程（b（c）得F3 2FFsA s,Ds2h h3最后一個次要邊界xl件下是必然滿足的，故不必在校核。A、B、、D代入公式（a，得應(yīng)力分量 F 12M 12FN y sxy x y

h h3 h33F

y2xy

S12h

h2【3-113-13中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。.【解答】采用半逆解法求解檢驗應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25）設(shè)應(yīng)力函數(shù)=Ax3Bx2yCxy2Dy3，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（2-25）由式（2-24）求應(yīng)力分量由體力分量fx

0,fy

g，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）得應(yīng)力分量： 2fy2 x 2fy2

x2Cx6Dy（a）y6Ax2By

（b） xy

2

2Bx2Cy（c）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。y0，其應(yīng)力邊界條件為：， ) 0 ) ， yy0 yxy0將式（d）代入式（b（c，可得A（e）yxtan（斜面上，應(yīng)力邊界條件：在斜面上沒有面力作用即f fx y

0sin，mcos.由公式（5，得應(yīng)力邊界條件.sin()

cos

0sin

xyxtan)

yxyxtancos)

0（f）xyyxtan

yyxtan 將式（a（b（c（e）代入式（f，可解得g gC cot,D cot2（g）2 3將式（e（g）代入公式a（b（c，得應(yīng)力分量表達式：gxcot2gycot2x x y

gycot析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式。按量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點的應(yīng)力與g2x,yLg的2—xy的AgxBgyA，B是量綱一的量，只與有關(guān)。應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力分量的長度量綱高二次，即為xy的純?nèi)问?，故可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為Ax3Bx2yCxy2Dy3?！?-12】設(shè)圖3-5中簡支梁只受重力作用，而梁的密度為，試用§3-4中的應(yīng)力函數(shù)（e）求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖?！痉治觥颗c§3-4節(jié)例題相比，本題多了體力分量fx

0,fy

g。去除了上邊界的面力。依據(jù)§3-4，應(yīng)力分量的函數(shù)形式是由材料力學(xué)解答假設(shè).的?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。（1）由§3-4 可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式

Cy2A Bx(Ey3Fy2Gy y5 y4Hy3Ky2，由§3-4必然滿足相容方10 6程5。應(yīng)力分量的表達式：x2 (6Ay2B)x(6Ey2F)2Ay32By26Hy2K（ax2x 2 Ay3By2CyDgy（b）y x(3Ay22ByC)(3Ey22FyG)（c）xy【注】y

項多了-gy、K使所有的邊界條件都被滿足，則應(yīng)力分量式a（b就是正確的解答?？紤]對稱性因為yz面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當對稱于 yz面。這樣和x y

是x的偶函數(shù)，而xy

是x的奇函數(shù)，于是由式（a）和式（c）可見EFG0（d）考察邊界條件：.yh2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（5，) 0,( ) 0yyh2 yxyh2將應(yīng)力分量式（b（c）EFG0，可得：h3 h2 h g8 A8

B CD4 2

h02h3

A

BhCD

gh0 8 4 2 2 x(3Ah2hBC)0 433 x( Ah2hBC)0 4聯(lián)立此四個方程，得：2gA ,B0,C

3g,D0（e）h2 2將式（d（e）代入式a（b（c）6g 4g x2y y36Hy2K（f）h2 h22g g y3 y（g）h2 26g 3g xy2 x（h）xy h2 2②考察次要邊界條件由于問題的對稱性只需考慮其中的一邊如右邊右邊界xl上，f 0，xy取任何值(h2yh2)，都有x

0。由（f）式可見，這是不可能的，除非,H,K均為零。因此，只能用應(yīng)力

的主矢、主矩為零，即xh/2(h/2

)xxl

dy0（i）.h/2(h/2

)xxl

ydy0（j）將（f）式代入式（i）得h/2

6

4g x2y y36Hy2Kdy0h/2 h2 h2 積分后得 K=0 將式（f）代入式（，得h/2

6

4g l2y y36Hy2Kydy0h/2 h2 h2 積分后得Hg(l2h2

1)（l）10將（k（）代入式（f，得6g

4

l2 1 x2y y36g( )y（m）x h2

h2 10考察右邊界上切應(yīng)力分量 τ的邊界條件：xyxy右邊界上f glh，則 的主矢為y xyh/2

h/2

6g 3g dy

xy2 x dyglhfh/2

xyxl

h/2

h2 2

yxl可知滿足應(yīng)力邊界條件。將式（g（h（）略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答：. 6g

4g

l2 1 x2y y36g( )y X h2

h2 102gy3gy

(n) y 6g

23g xy2 xxy h2 2應(yīng)力分量及應(yīng)力分布圖1I

，靜矩是Sh2

y2。12 8 2根據(jù)材料力學(xué)截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為Mxghl2x2Fxghx2 s則式（n）可寫成： Mx

4y2 3 ygy( ) x I h2 5 g y 2

y(1

y2)h2 F xSs xy bI【分析】比較彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答，可知，只有切應(yīng)力

xy完全相同，正應(yīng)力x中的第一項與材料力學(xué)結(jié)果相同，第二項為彈性力學(xué)提出的修正項；yl>>h修正項很小，可忽略不計?！?-13】圖3-14所示的懸臂梁，長度為l，高度為h，l? h，在上邊界均布荷載q ，試檢驗應(yīng)力函數(shù) Ay

x3

3C2

問題y.的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。【解答】用半逆解法求解。相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程式（5，得120Ay24By0要使?jié)M足相容方程，應(yīng)使A1B（a）5求應(yīng)力分量，代入式（2-24）20Ay36Bx2y6Cy20Ay330Ax2yx 2By32D2Ey10Ay32D2Ey y

（b）6Bxy22Ex30Axy22Exxy考察邊界條件①在主要邊界y2上，應(yīng)精確到滿足應(yīng)力邊界條件)y

yh2

0,即- Ah32DEh0108 （c）10) q,即

Ah32DEhqy yh2

8 （d）)yx

yh2

0,即 Axh22Ex0304 （e）30聯(lián)立式（a（c（d（e，可得：.A q ,Dq,E3q,Bq（f）5h3 4 4h h3x0分的應(yīng)力邊界條件：h/2(h/2

)xx0

dy0滿足條件h/2h/2

)xx0

ydyh/2h/2

(20Ay36Cy)ydy0

Ah52

0（g）h/2(h/2

)xyx0

dy0滿足A的值帶入（g，得C= q （h）10h將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達式（b，得q

y(4y2

36x2) x h

h2 5 h2q(13y4y3) y 2 h h3 x y2

(14 )2h h22【3-14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力 F和力2矩M的作用（3-15，不計體力，試用應(yīng)力函數(shù)Ay2BxyCxy3Dy3求解其應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼狻Ｏ嗳輻l件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25)，顯然滿足。.求應(yīng)力分量：將代入（2-24）2A6Cxy6Dy x （a）0 y B3Cy2 xy考察邊界條件。①在主要邊界yb/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件y yb/2

0滿足xy yb/2

q,