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文檔簡介
90/90歷年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析1989~19991989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題
一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)已知(3)2f'=,則0
(3)(3)
lim
2hfhfh
→--=_______.
(2)設(shè)()fx是連續(xù)函數(shù),且1
()2
()fxxftdt=+?
,則()fx=_______.
(3)設(shè)平面曲線L為下半圓周21,yx=--則曲線積分
22()L
xyds+=?
_______.
(4)向量場2
2
(,,)ln(1)z
uxyzxyiyejxzk=+++在點(1,1,0)P處的散度divu=_______.
(5)設(shè)矩陣300140003A???=????,100010001E???=????
,則逆矩陣1
(2)AE--=_______.
二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)當(dāng)0x>時,曲線1
sin
yxx
=()(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線
(C)既有水平漸近線,也有鉛直漸近線(D)既無水平漸近線,也無鉛直漸近線
(2)已知曲面2
2
4zxy=--上點P處的切平面平行于平面2210xyz++-=,則點P的
坐標(biāo)是()(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)
(3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)1y、2y、3y都是二階非齊次線性方程()()()ypxyqxyfx'''++=的
解,1C、2C是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是()(A)11223CyCyy++(B)1122123()CyCyCCy+-+(C)1122123(1)CyCyCCy+(D)1122123(1)CyCyCCy++--(4)設(shè)函數(shù)2
(),01,fxxx=≤上,問當(dāng)R為何值時,球面∑在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大?
十、填空題(本題滿分6分,每小題2分.)
(1)已知隨機事件A的概率()PA=0.5,隨機事件B的概率()PB=0.6及條件概率
()PBA|=0.8,則和事件ABU的概率()PABU=_______.
(2)甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5.現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,
則它是甲射中的概率為_______.(3)若隨機變量ξ在(1,6)上服從均勻分布,則方程2
10xxξ++=有實根的概率是______.
十一、(本題滿分6分.)
設(shè)隨機變量X與Y獨立,且X服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)2,而Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.試求隨機變量23ZXY=-+的概率密度函數(shù).
1989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析
一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】1-【解析】原式=01(3)(3)1lim(3)122
hfhffh-→--'-=-=--.(2)【答案】1x-
【解析】由定積分的性質(zhì)可知,
1
()ftdt?
和變量沒有關(guān)系,且()fx是連續(xù)函數(shù),故
1
()ftdt?
為一常數(shù),為簡化計算和防止混淆,令10
()ftdta=?,則有恒等式()2fxxa=+,
兩邊0到1積分得
1
1
()(2)fxdxxadx=+?
?,
即[]1
1
1
1
1200000
1(2)222axadxxdxadxxax??
=+=+=+???????122a=+,
解之得1
2
a=-
,因此()21fxxax=+=-.(3)【答案】π
【解析】方法一:L的方程又可寫成2
2
1(0)xyy+=≤,被積分函數(shù)在L上取值,于是
原積分=
1L
dsπ=?(半徑為1的的半圓周長).
方法二:寫出L的參數(shù)方程,
cossinxt
yt
=??
=?,(0)tπ-≤≤則
00
222222()(cossin)(sin)cos1L
xydsttttdtdtπ
π
π--+=+-+=?=?
??.
(4)【答案】2
【解析】直接用散度公式
22[
()()(ln(1))]zP
Pdivu
xyyexzxyz
???
=+++???r220(1,1,0)
2
2
220
()10112110zz
yexez=++?
=++?
=+=++.
(5)【答案】10
01
1
022001????-
???
?
【解析】由于
3002001002140020120003002001AE??????
???
-=-=????????????
,
為求矩陣的逆可有多種辦法,可用伴隨,可用初等行變換,也可用分塊求逆.
方法一:如果對(2)AEE-M
作初等行變換,則由1
(2)((2))AEEEAE--→-MM可以直接得出1
(2)AE--.
本題中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以
1
2
,有100100100100100100
11
120010020110010022001001001001001001?
?
???????
?→-→-????????????
,從而知1
1
0011
(2)022001AE-??
??-=-
???
?
.方法二:對于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律:abAcd??
=
???
,則求A的伴隨矩陣*abdbAcdca*
-????
==??-????
.
如果0A≠,這樣
1
11abdbdbcdcacaAadbc??????
==??
???
????
.再利用分塊矩陣求逆的法則:1
110000
AA
BB????
=
??????
,
本題亦可很容易求出1
10011
(2)022001AE-??
??-=-
???
?
.
二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(A)
【解析】函數(shù)1
sin
yxx=只有間斷點0x=.001limlimsinxxyxx++
→→=,其中1sinx
是有界函數(shù),而當(dāng)0x+
→時,x為無窮小,而無窮小量和一個有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小,所以001
limlimsin0xxyxx
++
→→==,故函數(shù)沒有鉛直漸近線.
01sin
1sinlimlim
lim11xxxtxytxt
x
+→+∞→+∞→===令,所以1y=為函數(shù)的水平漸近線,所以答案為(A).
【相關(guān)知識點】鉛直漸近線:如函數(shù)()yfx=在其間斷點0xx=處有0
lim()xxfx→=∞,則
0xx=是函數(shù)的一條鉛直漸近線;
水平漸近線:當(dāng)lim(),(xfxaa→∞
=為常數(shù)),則ya=為函數(shù)的水平漸近線.
(2)【答案】(C)
【解析】題設(shè)為求曲面:(,,)0SFxyz=(其中2
2
(,,)4Fxyzzxy=++-)上點P使S
在該點處的法向量nr
與平面2210xyz++-=的法向量{}02,2,1n=平行.
S在(,,)Pxyz處的法向量
{},,2,2,1FFFnxyxyz?????==??????
?,
若0//,nn則0,nnλλ=為常數(shù),即22,22,1xyλλλ===.即1,1xy==.又點(,,)PxyzS∈,所以2
2
22(,)(1,1)
44112xyzxy==--=--=,故求得(1,1,2)P.
因此應(yīng)選(C).
(3)【答案】(D)
【解析】由二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知,1323,yyyy--為方程對應(yīng)齊次方程的特解,所以方程()()()ypxyqxyfx'''++=的通解為
1132233()()yCyyCyyy=-+-+,
即1122123(1)yCyCyCCy=++--,故應(yīng)選D.(4)【答案】(B)
【解析】()Sx是函數(shù)()fx先作奇延拓后再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅式級數(shù)的和函數(shù),由于()Sx是奇函數(shù),于是1
1()()22
SS-=-.
當(dāng)12x=時,()fx連續(xù),由傅式級數(shù)的收斂性定理,21111
()()()2224Sf===.因此,11
()24
S-=-.應(yīng)選(B).
(5)【答案】(C)
【解析】本題考查||0A=的充分必要條件,而選項(A)、(B)、(D)都是充分條件,并不必要.
因為對矩陣A來說,行和列具有等價性,所以單說列或者單說行滿足什么條件就構(gòu)成了
||0A=的必要條件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的線性組合.
以3階矩陣為例,若112123134A??
?
=????
,
條件(A)必有一列元素全為0,(B)必有兩列元素對應(yīng)成比例均不成立,但有||0A=,所以(A)、(B)不滿足題意,不可選.
若123124125A??
?
=????
,則||0A=,但第三列并不是其余兩列的線性組合,可見(D)不正確.
這樣用排除法可知應(yīng)選(C).
三、(本題滿分15分,每小題5分.)
(1)【解析】由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無關(guān),可以先求
z
x
??,也可以先求zy??.
方法一:先求z
x
??,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,
1
212(2)()()2zfxygxgxyfgygxxxx
????
''''''=-++=++????,再對y求偏導(dǎo),得
21
2(2)2(2)zfgygfxyxyyy
???
'''''=++=-????111222122()()()()gxgxygygxygxyyyyy????????
'''''''''+++++????
????????
11
1222122200fgxggygxyg'''''''''''=-+?+++?+21
2222fxggxyg'''''''=-+++.方法二:先求
z
y
??,1
22(2)()()zfxygxgxyfxgyyyy
????
'''''=-++=-+????,再對x求偏導(dǎo)數(shù),得
222
()zzfxgxyyxx
???
''==-+?????22122(2)()()fxygxgxxgxyxxx
???
''
'''''=--+++???
2
21222fgxgxyg'''''''=-+++.【相關(guān)知識點】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:若(,)uuxy=和(,)vvxy=在點(,)xy處偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)(,)zfuv=在對應(yīng)點(,)uv具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)[(,),(,)]zfuxyvxy=在點
(,)xy處的偏導(dǎo)數(shù)存在,且
,zfufvzfufvxuxvxyuyvy
??????????=+=+??????????.(2)【解析】方法一:先求出()x?,再求曲線積分.
設(shè)(,),(,)PxyQxy有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),在所給的單連通區(qū)域D上,
L
PdxQdy+?
與路徑無
關(guān),則在D上有
QPxy
??=??,所以()2,yxxy?'=即2
()2,()xxxxC??'==+.由(0)?=0,得
0C=,即2()xx?=,因此
(1,1)(1,1)
(1,1)2222222
(0,0)
(0,0)
(0,0)1()2
Ixydxyxdyxydxyxdyydxxdy?=+=+=+?
?
?(1,1)
(0,0)
(1,1)2222(0,0)11
1()()22
2
dxyxy===?.或取特殊路徑如圖:
1
1
2220
01L
Ixydxyxdydxydy=+=+???gg
1
201122
y??
==????.方法二:不必求出()x?,選取特殊的路徑,取積分路徑如圖,則
(1,1)
2(0,0)
()Ixydxyxdy?=+?
1
10
11(0)022
ydyxdx?=+=+
=??.(3)【解析】利用三重積分的性質(zhì),
Ω關(guān)于yz平面對稱,x對x為奇函數(shù),所以0xdVΩ
=???,即()xzdVzdVΩΩ
+=??????.
Ω是由球心在原點半徑為1的上半球面與頂點在原點、對稱軸為z軸、半頂角為
4
π
的錐面所圍成.故可選用球坐標(biāo)變換,則020014
π
θπ?ρΩ≤≤≤≤≤≤:,,,
所以2
cossinIzdVdddρ?ρ?ρ?θΩ
Ω
=
=???????21
13
3440
0000
1
cossin2sin22dddddππ
π
θ???ρρπ??ρρ=
=?
????
1
4
40
011cos2248
π
ππ?ρ????=-?=????????.
四、(本題滿分6分.)
【解析】直接展開()fx相對比較麻煩,可()fx'容易展開,
2222
211(1)(1)21
()1(1)(1)(1)11()1xxfxxxxxxx
--+?-'=
?==+--++++-.由20
11(1)(1),(||1)1nn
nnntttttt∞
==-+-+-+=-?
,為簡化計算,令0
1cos20xdxkπ-=>?
,即()lnx
fxxke
=-+,
則其導(dǎo)數(shù)11
()fxxe
'=
-,令()0fx'=解得唯一駐點xe=,即()0,0()0,fxxe
fxex'>.又因為00lim()lim(ln)lim()lim(ln)xxxxxfxxke
xfxxke++→→→+∞
→+∞?
=-+=-∞????=-+=-∞
??,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在(0,)e與(,)
e+∞各有且僅有一個零點(不相同),故方程0
ln1cos2xxxdxeπ
=--?在(0,)+∞有且僅有兩個不同實根.
方法二:
20
1cos2sinxdxxdxπ
π
-=?
?
,
因為當(dāng)0xπ≤≤時,sin0x≥,所以
]200
2sin2sin2cos220xdxxdxxπ
π
π
==-=>?
,
其它同方法一.
七、(本題滿分6分.)
【解析】對方程組的增廣矩陣作初等行變換.
第一行分別乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上,有
1011011014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ?????????+→--+→--+??????+--+-+??????
MMMMMMMMM.由于方程組有解的充要條件是()()rArA=,故僅當(dāng)10λ-+=,即1λ=時,方程組有解.此時秩()()23rArAn==中,求一條曲線L,使沿該曲線從
O到A的積分3(1)(2)L
ydxxydy+++?的值最小.
五、(本題滿分8分.)
將函數(shù)()2||(11)fxxx=+-≤≤展開成以2為周期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)
21
1
nn∞
=∑的和.
六、(本題滿分7分.)
設(shè)函數(shù)()fx在[0,1]上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且1
23
3
()(0)fxdxf=?
,證明在(0,1)內(nèi)存在
一點c,使()0fc'=.
七、(本題滿分8分.)
已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)aα=-+,4(1,2,4,8)aα=+,及
(1,1,3,5)bβ=+.
(1)a、b為何值時,β不能表示成1234αααα、、、的線性組合?
(2)a、b為何值時,β有1234αααα、、、的唯一的線性表示式?并寫出該表示式.
八、(本題滿分6分)
設(shè)A為n階正定陣,E是n階單位陣,證明AE+的行列式大于1.
九、(本題滿分8分)
在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點(,)Pxy處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ長度的倒數(shù)(Q是法線與x軸的交點),且曲線在點(1,1)處的切線與x軸平行.
十、填空題(本題滿分6分,每小題3分.)
(1)若隨機變量X服從均值為2,方差為2
σ的正態(tài)分布,且{}240.3PX>=?
?其他
,求隨機變量2ZXY=+的分布函數(shù).
1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析
一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】
3
sincos4ttt
t-
【解析】這是個函數(shù)的參數(shù)方程,滿足參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法,即如果()()
xtytφ?=??
=?,則()
()dytdxt?φ'='.
所以sin2dy
dyt
dtdxdxt
dt
-==
,再對x求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得
22
sin1
()()22dyddydtdtdxdtdxdxdttt
-=?=?
23
2cos2sin1sincos424tttttt
ttt
-+-=
?=.(2)【答案】2dxdy-
【解析】這是求隱函數(shù)在某點的全微分,這里點(1,0,1)-的含義是(1,0)1zz==-.將方程兩邊求全微分,由一階全微分形式不變性得
2222
2
2
()02dxyzxyz
+
=++,
再由全微分四則運算法則得
2
2
2
()()xydzydxxdyzxyz
++=++,
令1,0,1xyz===-,得2
dy=
,即2dzdxdy=.(3)【答案】320xyz-++=
【解析】所求平面∏過直線1L,因而過1L上的點(1,2,3);
因為∏過1L平行于2L,于是∏平行于1L和2L的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l=-r
和向量2(2,1,1)l=r
,且兩向量不共線,于是平面∏的方程
12310102
1
1
xyz=,即320xyz-++=.(4)【答案】32
-
【解析】因為當(dāng)0x→時,11sin,(1)1n
xxxxn
+-::
,當(dāng)0x→時2
0ax→,所以有
122223
111(1)1,cos1sin,322
axaxxxx+--=--:
:
所以1223
002
1(1)123limlim1cos132
xxax
axaxx→→+-==.因為當(dāng)0x→時,123
(1)1ax+-與cos1x-是等價無窮小,所以213a-
=,故32
a=-.(5)【答案】120
025
001200
33110033-??
?-???
?
?-
???
.【解析】為求矩陣的逆可有多種辦法,可用伴隨,可用初等行變換,也可用分塊求逆.根據(jù)本題的特點,若知道分塊求逆法,則可以簡單解答.
注意:1
110000
AA
BB????
=
??????,1
110
00ABBA
??
??=??????
.對于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律:abAcd??
=
???
,則求A的伴隨矩陣
*abdbAcdca*
-????==??-????
.
如果0A≠,這樣
1
11
abdbdbcdcacaAadbc
??????
==??
???????
.再利用分塊矩陣求逆的法則:1
110000
AA
BB??
??
=
??????
,易見1120025
001200
33110033A--??
?-??=?
?
?-
??
?
.
二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】由于函數(shù)的定義域為0x≠,所以函數(shù)的間斷點為0x=,
2
2
2
2
11limlim
lim
11
xxxxxxxeeye
e--→→→++===∞--,所以0x=為鉛直漸近線,
2
2
2
2
11limlim
lim
111
xxxxxxxeeye
e--→∞
→∞
→∞
++====--,所以1y=為水平漸近線.
所以選(D).
【相關(guān)知識點】鉛直漸近線:如函數(shù)()yfx=在其間斷點0xx=處有0
lim()xxfx→=∞,則
0xx=是函數(shù)的一條鉛直漸近線;
水平漸近線:當(dāng)lim(),(xfxaa→∞
=為常數(shù)),則ya=為函數(shù)的水平漸近線.
(2)【答案】(B)【解析】令2t
u=
,則2,2tudtdu==,所以20
()ln22()ln22xxtfxfdtfudu??
=+=+???
?
?,
兩邊對x求導(dǎo),得()2()fxfx'=,這是一個變量可分離的微分方程,即
[()]
2()
dfxdxfx=.解之得2()x
fxCe=,其中C是常數(shù).
又因為0
(0)2()ln2ln2ffudu=
+=?
,代入2()xfxCe=,得0(0)ln2fCe==,得
ln2C=,即2()ln2xfxe=?.
(3)【答案】(C)【解析】因為
1
12342121
(1)
nnnnnaaaaaaa∞
--=-=-+-++-+∑LL
1234212()()()nnaaaaaa-=-+-++-+LL21
22121
1
1
()nnnnnnna
aaa∞
∞∞
--====
-=-∑∑∑(收斂級數(shù)的結(jié)合律與線性性質(zhì)),
所以
12211
1
1
(1)523nn
nnnnna
aa∞
∞
∞
--====--=-=∑∑∑.
而
12342121
()()()n
nnna
aaaaaa∞
-==+++++++∑LL
21
22121
1
1
()nnnnnnna
aaa∞
∞∞
--====+=+∑∑∑538=+=,
故應(yīng)選(C).
(4)【答案】(A)
【解析】如圖,將區(qū)域D分為1234,,,DDDD四個子區(qū)域.顯然,12,DD關(guān)于y軸對稱,34,DD關(guān)于x軸對稱.
令12cossinD
D
IxydxdyIxydxdy?=
??=??????,
由于xy對x及對y都是奇函數(shù),所以
12
34
0,
0DDDDxydxdyxydxdy++==??
??
.
而cossinxy對x是偶函數(shù),對y是奇函數(shù),故有
34
12
1
cossin0,
cossin2cossinDDDDDxydxdyxydxdyxydxdy++==??
????,
所以1
1
2(cossin)2cossinD
DxyxydxdyI
Ixydxdy+=+=????,
故選(A).
(5)【答案】(D)
【解析】矩陣的乘法公式?jīng)]有交換律,只有一些特殊情況可以交換.
由于A、B、C均為n階矩陣,且ABCE=,對等式兩邊取行列式,據(jù)行列式乘法公式
||||||1ABC=,得到0A≠、0B≠、0C≠,知A、B、C均可逆,那么,對于ABCE=,
先左乘1
A-再右乘A有1
ABCEBCABCAE-=→=→=,故應(yīng)選(D).
其實,對于ABCE=先右乘1
C-再左乘C,有1
ABCEABCCABE-=→=→=.
三、(本題滿分15分,每小題5分.)(1)【解析】這是1∞
型未定式求極限.
1
(cos1)
cos1
lim(cos)lim(1(cos1))xx
xxxxxxππ
++
-?
-→→=+-
令1xt=,則0x+→時0t-
→,所以
1
cos1
00
lim(11))
lim(1)xt
xtxte+
-
-→→+=+=,所以01
(cos1)
(cos1)
(cos1)
lim
cos1
lim(1limxxxxx
xxxxeeπππ→+
+
?
-→→+==.
因為當(dāng)0x→時,sinxx:,所以
2
20002sin21)lim
limlim2
xxxxxxxxxππππ+++→→→--????===-,
故0(cos1)
lim
2
lim)xxx
xxee
ππ
π→+
--
→==.
(2)【解析】先求方向nr的方向余弦,再求
,,uuu
xyz??????,最后按方向?qū)?shù)的計算公式coscoscosuuuunxyz
αβγ????=++????求出方向?qū)?shù).曲面2
2
2
236xyz++=在點(1,1,1)P處的法向量為
{}
{}
{}(1,1,1)
4,6,24,6,222,3,1P
xyzxyz±==±,
在點(1,1,1)P處指向外側(cè),取正號,并單位化得
}}{}222,3,12,3,1cos,cos,cos.14
231
nαβγ=
=
=++r
又22222222
2222
2
2661468688814
6868686814
PPPuxxxzxyzxyuyyyzxyzxyxyxyuzzz?
??==
=
??++??
??===
?
?++???++?===????
,所以方向?qū)?shù)
coscoscosuuuunxyzαβγ????=++????11
147
1414141414=
?+?-?=.(3)【解析】由曲線22,0
yzx?=?=?繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而圍成的旋轉(zhuǎn)面方程是22
2xyz+=.
于是,Ω是由旋轉(zhuǎn)拋物面2
21()2
zxy=
+與平面4z=所圍成.曲面與平面的交線是228,4xyz+==.
選用柱坐標(biāo)變換,令cos,sin,xryrzzθθ===,于是
:02,04,02zrzθπΩ≤≤≤≤≤≤,
因此22()IxyzdVΩ=++???4
2220
()z
dzdrzrdrπθ=
+?
??
2424
0242rzrrrzdzπ
==??????=+???????
?
4
20
256
43
zdzππ==
?
.
四、(本題滿分6分)
【解析】曲線sin,([0,])yaxxπ=∈,則cosdyaxdx=,所以3(1)(2)L
Iydxxydy=
+++?
3
[1(sin)(2sin)cos]axxaxaxdxπ
=+++??
2330
1sin2cossin22aaxaxxxdxπ
??=
+++???
?
2
3
3
sin2cossin22
aa
xdxaxxdxxdxπ
π
π
π=+++
??
?
2
3
2
(cos1)cos2sinsin224
aa
xdxaxdxxdxπ
π
π
π=+-++
?
?
?
[][]23
3000
1coscos2sincoscos234aaxxaxxxxπ
πππ??
=+-+++-????
3
443
aaπ=+
-.對關(guān)于a的函數(shù)34
43
Iaaπ=+-兩邊對a求導(dǎo)數(shù),其中0a>,并令0,I'=得
2440Ia'=-=.
所以1a=,且0,01
0,1IaIa'的極小值點,也是最小值點.故所求的曲線為sin,([0,])yxxπ=∈.
五、(本題滿分8分.)
【解析】按傅式級數(shù)公式,先求()fx的傅式系數(shù)na與nb.因()fx為偶函數(shù),所以
1()sin0(1,2,3,)lnlnbfxxdxnllπ
-=
==?L,012()cos()cosllnlnnafxxdxfxxdxllllππ
-==??
111
00022(2)cos4cossinxnxdxnxdxxdnxnππππ=+=+???
122022(cos1)
sin(1,2,3,)nnxdxnnnππππ
-=-==?L,1
00
2(2)5axdx=+=?.
因為()2||fxx=+在區(qū)間(11)x-≤≤上滿足狄利克雷收斂定理的條件,所以
01()2||cossin2nnnannfxxaxbxllππ
∞=??=+=
++???
∑22152(cos1)
cos2nnnxnπππ∞=-=+∑
2
2
154
1
cos(21)(11)2(21)
nnxxnππ
∞
==---≤≤-∑.令0x=,有2
2
154
1
(0)20cos02(21)nfnπ
∞
==+=--∑,所以,2211(21)8nnπ∞
==-∑.
又2222
21111111111
(21)
(2)(21)4nnnnnnnnn∞
∞
∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑,所以,2213148nnπ∞==∑,即2
21
16nnπ∞
==∑.
六、(本題滿分7分.)
【解析】由定積分中值定理可知,對于
1
23
()fxdx?
,在區(qū)間2
(,1)3
上存在一點ξ使得
1
23
21
()()(1)()33
fxdxffξξ=-=?
,
即1
23
3
()()(0)fxdxffξ==?
.
由羅爾定理可知,在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在一點(01)ccξ.
方法2:設(shè)A的n個特征值是12n,,,.λλλL由于A為n階正定陣,故特征值全大于0.
由λ為A的特征值可知,存在非零向量α使Aαλα=,兩端同時加上α,
得()()1AEαλα+=+.按特征值定義知1λ+是AE+的特征值.因為AE+的特征值是
12111n,,,.λλλ+++L它們?nèi)笥?,根據(jù)iAλ=∏,知||(1)1iAEλ+=+>∏.
【相關(guān)知識點】陣特征值與特征向量的定義:設(shè)A是n階矩陣,若存在數(shù)λ及非零的n維列向量X使得AXXλ=成立,則稱λ是矩陣A的特征值,稱非零向量X是矩陣A的特征向量.
九、(本題滿分8分)
【解析】曲線()yyx=在點(,)Pxy處的法線方程為
1
()YyXxy-=-
-'
(當(dāng)0y'≠時),它與x軸的交點是(,0)Qxyy'+,從而
122
22
||()(1)PQyyyyy''=+=+.
當(dāng)0y'=時,有(,0),||QxPQy=,上式仍然成立.因此,根據(jù)題意得微分方程
31222
2
1(1)
(1)
yyyy''=
''++,
即2
1yyy'''=+.這是可降階的高階微分方程,且當(dāng)1x=時,1,0yy'==.
令()yPy'=,則dPyP
dy''=,二階方程降為一階方程21dPyPPdy=+,即2
1PdPdy
Py
=+.即21yP=+C為常數(shù).
因為當(dāng)1x=時,1,0yPy'===,所以1C=,即2211yPy'=+=+所以21yy'=-分離變量得2
1
dxy=±-.
令secyt=,并積分,則上式左端變?yōu)?/p>
2sectanlnsectantan1
ttdt
ttCt
y==++-?
22lnsecsec1ln1ttCyyC=-+=+-.
因曲線在上半平面,所以210yy+
->,即(2ln1yyCx-=±.
故21xyyCe±-=.
當(dāng)1x=時,1,y=當(dāng)x前取+時,1Ce-=,211xyye--=,22
11
2221
11(1)(1)
1
xxyyyyeeyyyyyy=
=
==++-;
當(dāng)x前取-時,Ce=,211xyye-+-=,22
112221
11(1)(1)
1
xx
yyyyeeyyyyyy=
=
==++-;
所以(1)(1)1()2
xxyee=+.
十、填空題(本題滿分6分,每小題3分.)
(1)【解析】一般說來,若計算正態(tài)分布隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率,應(yīng)該已知分布的兩個參數(shù)μ和2
σ,否則應(yīng)先根據(jù)題設(shè)條件求出μ,2
σ,再計算有關(guān)事件的概率,本題可從
2()0.8σΦ=,通過查()xΦ表求出σ,但是注意到所求概率(0)Px>(即第一象限)沒有公共區(qū)域,
所以()0Fz=.
當(dāng)0z>時,2xyz+=在直線20xy+=
的上方與第一象限相交成一個三角形區(qū)域D,此即為積分區(qū)間.
(2)20
()2()1zxz
z
xyxzzzFzdxedyeedxeze--+==-=--??
?.
所以2ZXY=+的分布函數(shù)0,0,
()1,0.zz
zFzezez--)()(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性與α有關(guān)(3)在曲線2
3
,,xtytzt==-=的所有切線中,與平面24xyz++=平行的切線()(A)只有1條(B)只有2條(C)至少有3條(D)不存在
(4)設(shè)3
2()3||fxxxx=+,則使(0)n
f存在的最高階數(shù)n為()
(A)0(B)1(C)2(D)3
(5)要使12100,121ξξ????????==????????-????
都是線性方程組0Ax=的解,只要系數(shù)矩陣A為()(A)()211-(B)201011-??
???
(C)102011-???-??(D)011422011-??
?--??
??
三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分.)(1)求2
11xxx
→--.
(2)設(shè)2
2
(sin,)x
zfeyxy=+,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求2z
xy
???.
(3)設(shè)2
1,0,
(),>0,
xxxfxex-?+≤?=???求31
(2)fxdx-?.
四、(本題滿分6分.)
求微分方程323x
yyye-'''+-=的通解.
五、(本題滿分8分)
計算曲面積分323232()()()xazdydzyaxdzdxzaydxdy∑
+++++??,其中∑為上半球面222zaxy=
--.
六、(本題滿分7分)
設(shè)()0fx''>,有1212()()()fxxfxfx+時收斂;當(dāng)1p≤時發(fā)散.所以有2
2
112nn
α∞
=∑收斂.1
(1)(1cos)nnnα
∞
=?--∑收斂.所以原級數(shù)絕對收斂.應(yīng)選(C).
注:對于正項級數(shù)
1
nna∞
=∑,確定無窮小na關(guān)于
1
n
的階(即與p級數(shù)作比較)是判斷它的斂散性的一個常用方法.該題用的就是這個方法.(3)【答案】B
【解析】先求出切線的方向向量,再利用方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為0得切點對應(yīng)的t值.
求曲線上的點,使該點處的切向量τ與平面24xyz++=的法向量{}1,2,1n=垂直,即可以讓切線與平面平行.
曲線在任意點處的切向量{}{}
2(),(),()1,2,3xtytztttτ'''==-,0nnττ⊥??=,即
31430tt-+=,解得1
1,3
tt==.(對應(yīng)于曲線上的點均不在給定的平面上)
因此,只有兩條這種切線,應(yīng)選(B).(4)【答案】(C)
【解析】因3
3x處處任意階可導(dǎo),只需考查2
||()xxx?@
,它是分段函數(shù),0x=是連接點.所以,寫成分段函數(shù)的形式,有
33,0,(),0,
xxxxx??-??
再考查()x?在連接點0x=處的導(dǎo)數(shù)是否存在,需要根據(jù)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的定義進行討論.
30
(0)()0xx?++
=''==,30
(0)()0(0)0xx??--
='''=-=?=,
即223,0,
()3,0.
xxxxx??-≤?'=?>??
同理可得6,0,
()6,0,
xxxxx?-?(0)0?''=,即6,0()6||6,0xxxxxx?-≤?''==?>?.
對于yx=有(0)1,(0)1.yy+
-''==-所以yx=在0x=不可導(dǎo),(0)?'''?不存在,應(yīng)選(C).(5)【答案】(A)
【解析】1ξ,2ξ向量對應(yīng)的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax=兩個線性無關(guān)的解,故
()2nrA-≥.由3n=知()1rA≤.
再看(A)選項秩為1;(B)和(C)選項秩為2;而(D)選項秩為3.故本題選(A).【相關(guān)知識點】對齊次線性方程組0Ax=,有定理如下:
對矩陣A按列分塊,有()12nA,,,ααα=L,則0Ax=的向量形式為
11220nnxxx.ααα+++=L
那么,0Ax=有非零解12n,,,ααα?L線性相關(guān)
()12nr,,,nααα?>,要證的不等式是1221()()()(0)fxxfxfxf+-,所以
12211()()()(0)()fxxfxfxffx+-,構(gòu)造輔助函數(shù)
11()()()()xfxfxfxx?=+-+,
則1()()()xfxfxx?'''=-+.由()0,()fxfx'''+>.由此,11()(0)()(0)()0(0)xfxffxx??>=+-=>.改x為2x即得證.
【相關(guān)知識點】拉格朗日中值定理:如果函數(shù)()fx滿足在閉區(qū)間[,]ab上連續(xù),在開區(qū)間
(),ab內(nèi)可導(dǎo),那么在(),ab內(nèi)至少有一點()abξξ=?
≤?根據(jù)連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法,得出
2220
()()()()X
x
xxEXe
xe
fxdxxeedx+∞
+∞
∞
+=+=+??
30
14133
xxxedxedx+∞
+∞--=+=+
=?
?.
十一、(本題滿分6分)
【解析】方法一:利用分布函數(shù)求密度函數(shù):
首先,因2
(,)XNμσ:,所以X的密度函數(shù)為2
2
()()2xXfxμσπσ
--
=
,
因Y服從[,]ππ-上的均勻分布,故Y的密度函數(shù)為11
()()2Yfyπππ
=
=--.
因為隨機變量X與Y相互獨立,所以二維隨機變量(,)XY的聯(lián)合概率密度為
(,)()()XYfxyfxfy=.要求Z的密度函數(shù),先求Z的分布函數(shù)
()()()ZFzPZzPXYz=≤=+≤(,)xyz
fxydxdy+≤=
??
()()XYxyz
fxfydxdy+≤=
??
2
2
()122xxyz
dxdyμσππσ--+≤=??.
2
2
2
2
()()112222xxzy
zy
dydxdydxμμππ
σσπ
π
ππ
πσ
πσ
-
∞
-
-∞
==
??
??
12zydyπ
πμπ
σ??=
Φ???
?(由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來表示一般正態(tài)分布)求出Z的分布函數(shù),因此,對分布函數(shù)求導(dǎo)得密度函數(shù),Z的密度函數(shù)為
1
1
()()2ZZzyfzFzdyπ
πμ?π
σ
σ-
--??
'==
???
?其中()x?是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布密度.由于()x?是偶函數(shù),故有
zyyzμμ??σσ--+-????
=
??????
于是111()22Zyzzzfzdyππμπμπμ?π
σσπσσ-+-?+--+-?
??????=
=Φ-Φ???????
?
??????.最終用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)()xΦ表示出來ZXY=+的概率分布密度.方法二:用卷積公式直接計算:
直接應(yīng)用相互獨立隨機變量之和密度的卷積公式,求()Zfz更為簡單.因為隨機變量X與Y相互獨立,由卷積公式
1
()()()2ZXYfzfzyfydyπ
+∞
-∞
=
-?
2
2
2
2
()()11
2222zyzydydyμμπ
π
σσππ
ππ
πσ
πσ
==
??
2
2
()122yzdyμπ
σπ
π
πσ
+--
-
=
?
12yzdyπ
πμπσ-+-??=
Φ???
?112yzdyπ
πμ?π
σσ-+-??
=
???
?1
2zzπμπμπ
σσ?+--+-?????=
Φ-Φ?????
?????.最終用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)()xΦ表示出來ZXY=+的概率分布密度.
1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題
一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)函數(shù)1
()(2(0)x
Fxdtxt
=
>?
的單調(diào)減少區(qū)間為______________.(2)由曲線223212,
0xyz?+=?=?
繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點3,2)處的指向外側(cè)
的單位法向量為______________.
(3)設(shè)函數(shù)2
()()fxxxxπππ=+->,證明ba
ab>.
七、(本題滿分8分)
已知二次型222
12312323(,,)2332(0)fxxxxxxaxxa=+++>,通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形222
12325fyyy=++,求參數(shù)a及所用的正交變換矩陣.
八、(本題滿分6分)
設(shè)A是nm?矩陣,B是mn?矩陣,其中nm,所以當(dāng)x→+∞時,()xfξ'→+∞,故()fx→+∞.由(0)0f,故()fx為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),故η值唯一.證法二:用牛頓-萊布尼茲公式,由于
()(0)()(0)(0)x
x
fxfftdtfkdtfkx'=+≥+=+?
?,
以下同方法1.
(2)【解析】先將不等式做恒等變形:
因為bae>>,故原不等式等價于lnlnbaab>或
lnlnab
ab
>
.證法一:令()lnln,()fxxaaxxae=->>,則()lna
fxax
'=-.
因為xae>>,所以ln1,1aax>,即b
a
ab>.證法二:令ln()()xfxxex=
>,則2
1ln()x
fxx-'=
.當(dāng)(,)xe∈+∞時,()0fx'>使得
lnln()()ba
fbfaba
=
.
七、(本題滿分8分)
【解析】寫出二次型f的矩陣為2000303Aaa???
=????
,它的特征方程是
222
00
||03
(2)(69)00
3
EAaaa
λλλλλλλ--=
--=--+-=--.
f經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形222
12
325fyyy=++,那么標(biāo)準(zhǔn)形中平方項的系數(shù)1,2,5就是A的特征值.
把1λ=代入特性方程,得2
40a-=2a?=±.
因0a>知2a=.這時200032023A??
?
=????
.
對于11λ=,由()0EAx-=,100100022011022000-??????--→????--????
,得1(0,11)T
X=-.
對于22λ=,由(2)0EAx-=,000012012003021000??????--→????--????,得2(1,0,0)T
X=.
對于35λ=,由(5)0EAx-=,300300022011022000??????-→-????-????
,得3(0,1,1)T
X=.
將123,,XXX單位化,得
1230101,0,122101γγγ?????????===??????-????
.故所用的正交變換矩陣為
123010(,,)0220
22Pγγγ?
?
??==
?
.【相關(guān)知識點】二次型的定義:含有n個變量12,,,nxxxL的二次齊次多項式(即每項都是二次的多項式)
()1211
,,,,nn
nijijijfxxxaxx===∑∑L其中ijjiaa=,
稱為n元二次型.令()12,,,T
nxxxx=L,()
ijAa=,則二次型可用矩陣乘法表示為
()12,,,,TnfxxxxAx=L
其中A是對稱矩陣()
TAA=,稱A為二次型()12,,,nfxxxL的矩陣.
八、(本題滿分6分)
【解析】證法一:對B按列分塊,記12(,,)nBβββ=L,若
11220nnkkkβββ+++=L,
即1212(,,,)0nnkkkβββ??
??=?
?
??LM,亦即120nkkB
k????=????M.兩邊左乘A,得120nkkABk????=????M,即12
0nkkEk????=????M,亦即120nkkk????=??
??
M.
所以12,,nβββL線性無關(guān).
證法二:因為B是mn?矩陣,nm,所以21()2dxdydYdtdxdt+=.亦即21()2dydYdxdx
+=.(2)由(1),(2)消去Y,
dYdx
,便得微分方程2
210xyy'''++=.
初始條件顯然是(1)0,(1)1yy'-=-=.
十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分,把答案填在題中橫線上.)(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽簽原理.
方法一:從直觀上看,第二次抽出次品的可能性與第一次抽到正品還是次品有關(guān),所以考慮用全概率公式計算.
設(shè)事件iB=“第i次抽出次品”1,2,i=由已知得11210
(),(),1212
PBPB=
=121212
(|),(|)1111
PBBPBB=
=.應(yīng)用全概率公式1121212211021
()()(|)()(|)121112116
PBPBPBBPBPBB=+=
?+?=.方法二:對填空題和選擇題可直接用抽簽原理得到結(jié)果.
由抽簽原理(抽簽與先后次序無關(guān)),不放回抽樣中第二次抽得次品的概率與第一次抽得次品的概率相同,都是
21126
=.(2)【解析】方法一:可以用分布函數(shù)法,即先求出分布函數(shù),再求導(dǎo)得到概率密度函數(shù).
由已知條件,X在區(qū)間(0,2)上服從均勻分布,得X的概率密度函數(shù)為
1
,02
()2
0,XxFx?,且級數(shù)
21
nna∞=∑收斂,則級數(shù)2
1
(1)n
nnnλ
∞
=-+∑()
(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性與λ有關(guān)(4)2
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