歷年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析1989~1999_第1頁
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90/90歷年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析1989~19991989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題

一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)已知(3)2f'=,則0

(3)(3)

lim

2hfhfh

→--=_______.

(2)設(shè)()fx是連續(xù)函數(shù),且1

()2

()fxxftdt=+?

,則()fx=_______.

(3)設(shè)平面曲線L為下半圓周21,yx=--則曲線積分

22()L

xyds+=?

_______.

(4)向量場2

2

(,,)ln(1)z

uxyzxyiyejxzk=+++在點(1,1,0)P處的散度divu=_______.

(5)設(shè)矩陣300140003A???=????,100010001E???=????

,則逆矩陣1

(2)AE--=_______.

二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)當(dāng)0x>時,曲線1

sin

yxx

=()(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線

(C)既有水平漸近線,也有鉛直漸近線(D)既無水平漸近線,也無鉛直漸近線

(2)已知曲面2

2

4zxy=--上點P處的切平面平行于平面2210xyz++-=,則點P的

坐標(biāo)是()(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)

(3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)1y、2y、3y都是二階非齊次線性方程()()()ypxyqxyfx'''++=的

解,1C、2C是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是()(A)11223CyCyy++(B)1122123()CyCyCCy+-+(C)1122123(1)CyCyCCy+(D)1122123(1)CyCyCCy++--(4)設(shè)函數(shù)2

(),01,fxxx=≤上,問當(dāng)R為何值時,球面∑在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大?

十、填空題(本題滿分6分,每小題2分.)

(1)已知隨機事件A的概率()PA=0.5,隨機事件B的概率()PB=0.6及條件概率

()PBA|=0.8,則和事件ABU的概率()PABU=_______.

(2)甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5.現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,

則它是甲射中的概率為_______.(3)若隨機變量ξ在(1,6)上服從均勻分布,則方程2

10xxξ++=有實根的概率是______.

十一、(本題滿分6分.)

設(shè)隨機變量X與Y獨立,且X服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)2,而Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.試求隨機變量23ZXY=-+的概率密度函數(shù).

1989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析

一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】1-【解析】原式=01(3)(3)1lim(3)122

hfhffh-→--'-=-=--.(2)【答案】1x-

【解析】由定積分的性質(zhì)可知,

1

()ftdt?

和變量沒有關(guān)系,且()fx是連續(xù)函數(shù),故

1

()ftdt?

為一常數(shù),為簡化計算和防止混淆,令10

()ftdta=?,則有恒等式()2fxxa=+,

兩邊0到1積分得

1

1

()(2)fxdxxadx=+?

?,

即[]1

1

1

1

1200000

1(2)222axadxxdxadxxax??

=+=+=+???????122a=+,

解之得1

2

a=-

,因此()21fxxax=+=-.(3)【答案】π

【解析】方法一:L的方程又可寫成2

2

1(0)xyy+=≤,被積分函數(shù)在L上取值,于是

原積分=

1L

dsπ=?(半徑為1的的半圓周長).

方法二:寫出L的參數(shù)方程,

cossinxt

yt

=??

=?,(0)tπ-≤≤則

00

222222()(cossin)(sin)cos1L

xydsttttdtdtπ

π

π--+=+-+=?=?

??.

(4)【答案】2

【解析】直接用散度公式

22[

()()(ln(1))]zP

Pdivu

xyyexzxyz

???

=+++???r220(1,1,0)

2

2

220

()10112110zz

yexez=++?

=++?

=+=++.

(5)【答案】10

01

1

022001????-

???

?

【解析】由于

3002001002140020120003002001AE??????

???

-=-=????????????

,

為求矩陣的逆可有多種辦法,可用伴隨,可用初等行變換,也可用分塊求逆.

方法一:如果對(2)AEE-M

作初等行變換,則由1

(2)((2))AEEEAE--→-MM可以直接得出1

(2)AE--.

本題中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以

1

2

,有100100100100100100

11

120010020110010022001001001001001001?

?

???????

?→-→-????????????

,從而知1

1

0011

(2)022001AE-??

??-=-

???

?

.方法二:對于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律:abAcd??

=

???

,則求A的伴隨矩陣*abdbAcdca*

-????

==??-????

.

如果0A≠,這樣

1

11abdbdbcdcacaAadbc??????

==??

???

????

.再利用分塊矩陣求逆的法則:1

110000

AA

BB????

=

??????

,

本題亦可很容易求出1

10011

(2)022001AE-??

??-=-

???

?

.

二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(A)

【解析】函數(shù)1

sin

yxx=只有間斷點0x=.001limlimsinxxyxx++

→→=,其中1sinx

是有界函數(shù),而當(dāng)0x+

→時,x為無窮小,而無窮小量和一個有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小,所以001

limlimsin0xxyxx

++

→→==,故函數(shù)沒有鉛直漸近線.

01sin

1sinlimlim

lim11xxxtxytxt

x

+→+∞→+∞→===令,所以1y=為函數(shù)的水平漸近線,所以答案為(A).

【相關(guān)知識點】鉛直漸近線:如函數(shù)()yfx=在其間斷點0xx=處有0

lim()xxfx→=∞,則

0xx=是函數(shù)的一條鉛直漸近線;

水平漸近線:當(dāng)lim(),(xfxaa→∞

=為常數(shù)),則ya=為函數(shù)的水平漸近線.

(2)【答案】(C)

【解析】題設(shè)為求曲面:(,,)0SFxyz=(其中2

2

(,,)4Fxyzzxy=++-)上點P使S

在該點處的法向量nr

與平面2210xyz++-=的法向量{}02,2,1n=平行.

S在(,,)Pxyz處的法向量

{},,2,2,1FFFnxyxyz?????==??????

?,

若0//,nn則0,nnλλ=為常數(shù),即22,22,1xyλλλ===.即1,1xy==.又點(,,)PxyzS∈,所以2

2

22(,)(1,1)

44112xyzxy==--=--=,故求得(1,1,2)P.

因此應(yīng)選(C).

(3)【答案】(D)

【解析】由二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知,1323,yyyy--為方程對應(yīng)齊次方程的特解,所以方程()()()ypxyqxyfx'''++=的通解為

1132233()()yCyyCyyy=-+-+,

即1122123(1)yCyCyCCy=++--,故應(yīng)選D.(4)【答案】(B)

【解析】()Sx是函數(shù)()fx先作奇延拓后再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅式級數(shù)的和函數(shù),由于()Sx是奇函數(shù),于是1

1()()22

SS-=-.

當(dāng)12x=時,()fx連續(xù),由傅式級數(shù)的收斂性定理,21111

()()()2224Sf===.因此,11

()24

S-=-.應(yīng)選(B).

(5)【答案】(C)

【解析】本題考查||0A=的充分必要條件,而選項(A)、(B)、(D)都是充分條件,并不必要.

因為對矩陣A來說,行和列具有等價性,所以單說列或者單說行滿足什么條件就構(gòu)成了

||0A=的必要條件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的線性組合.

以3階矩陣為例,若112123134A??

?

=????

,

條件(A)必有一列元素全為0,(B)必有兩列元素對應(yīng)成比例均不成立,但有||0A=,所以(A)、(B)不滿足題意,不可選.

若123124125A??

?

=????

,則||0A=,但第三列并不是其余兩列的線性組合,可見(D)不正確.

這樣用排除法可知應(yīng)選(C).

三、(本題滿分15分,每小題5分.)

(1)【解析】由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無關(guān),可以先求

z

x

??,也可以先求zy??.

方法一:先求z

x

??,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,

1

212(2)()()2zfxygxgxyfgygxxxx

????

''''''=-++=++????,再對y求偏導(dǎo),得

21

2(2)2(2)zfgygfxyxyyy

???

'''''=++=-????111222122()()()()gxgxygygxygxyyyyy????????

'''''''''+++++????

????????

11

1222122200fgxggygxyg'''''''''''=-+?+++?+21

2222fxggxyg'''''''=-+++.方法二:先求

z

y

??,1

22(2)()()zfxygxgxyfxgyyyy

????

'''''=-++=-+????,再對x求偏導(dǎo)數(shù),得

222

()zzfxgxyyxx

???

''==-+?????22122(2)()()fxygxgxxgxyxxx

???

''

'''''=--+++???

2

21222fgxgxyg'''''''=-+++.【相關(guān)知識點】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:若(,)uuxy=和(,)vvxy=在點(,)xy處偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)(,)zfuv=在對應(yīng)點(,)uv具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)[(,),(,)]zfuxyvxy=在點

(,)xy處的偏導(dǎo)數(shù)存在,且

,zfufvzfufvxuxvxyuyvy

??????????=+=+??????????.(2)【解析】方法一:先求出()x?,再求曲線積分.

設(shè)(,),(,)PxyQxy有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),在所給的單連通區(qū)域D上,

L

PdxQdy+?

與路徑無

關(guān),則在D上有

QPxy

??=??,所以()2,yxxy?'=即2

()2,()xxxxC??'==+.由(0)?=0,得

0C=,即2()xx?=,因此

(1,1)(1,1)

(1,1)2222222

(0,0)

(0,0)

(0,0)1()2

Ixydxyxdyxydxyxdyydxxdy?=+=+=+?

?

?(1,1)

(0,0)

(1,1)2222(0,0)11

1()()22

2

dxyxy===?.或取特殊路徑如圖:

1

1

2220

01L

Ixydxyxdydxydy=+=+???gg

1

201122

y??

==????.方法二:不必求出()x?,選取特殊的路徑,取積分路徑如圖,則

(1,1)

2(0,0)

()Ixydxyxdy?=+?

1

10

11(0)022

ydyxdx?=+=+

=??.(3)【解析】利用三重積分的性質(zhì),

Ω關(guān)于yz平面對稱,x對x為奇函數(shù),所以0xdVΩ

=???,即()xzdVzdVΩΩ

+=??????.

Ω是由球心在原點半徑為1的上半球面與頂點在原點、對稱軸為z軸、半頂角為

4

π

的錐面所圍成.故可選用球坐標(biāo)變換,則020014

π

θπ?ρΩ≤≤≤≤≤≤:,,,

所以2

cossinIzdVdddρ?ρ?ρ?θΩ

Ω

=

=???????21

13

3440

0000

1

cossin2sin22dddddππ

π

θ???ρρπ??ρρ=

=?

????

1

4

40

011cos2248

π

ππ?ρ????=-?=????????.

四、(本題滿分6分.)

【解析】直接展開()fx相對比較麻煩,可()fx'容易展開,

2222

211(1)(1)21

()1(1)(1)(1)11()1xxfxxxxxxx

--+?-'=

?==+--++++-.由20

11(1)(1),(||1)1nn

nnntttttt∞

==-+-+-+=-?

,為簡化計算,令0

1cos20xdxkπ-=>?

,即()lnx

fxxke

=-+,

則其導(dǎo)數(shù)11

()fxxe

'=

-,令()0fx'=解得唯一駐點xe=,即()0,0()0,fxxe

fxex'>.又因為00lim()lim(ln)lim()lim(ln)xxxxxfxxke

xfxxke++→→→+∞

→+∞?

=-+=-∞????=-+=-∞

??,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在(0,)e與(,)

e+∞各有且僅有一個零點(不相同),故方程0

ln1cos2xxxdxeπ

=--?在(0,)+∞有且僅有兩個不同實根.

方法二:

20

1cos2sinxdxxdxπ

π

-=?

?

,

因為當(dāng)0xπ≤≤時,sin0x≥,所以

]200

2sin2sin2cos220xdxxdxxπ

π

π

==-=>?

,

其它同方法一.

七、(本題滿分6分.)

【解析】對方程組的增廣矩陣作初等行變換.

第一行分別乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上,有

1011011014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ?????????+→--+→--+??????+--+-+??????

MMMMMMMMM.由于方程組有解的充要條件是()()rArA=,故僅當(dāng)10λ-+=,即1λ=時,方程組有解.此時秩()()23rArAn==中,求一條曲線L,使沿該曲線從

O到A的積分3(1)(2)L

ydxxydy+++?的值最小.

五、(本題滿分8分.)

將函數(shù)()2||(11)fxxx=+-≤≤展開成以2為周期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)

21

1

nn∞

=∑的和.

六、(本題滿分7分.)

設(shè)函數(shù)()fx在[0,1]上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且1

23

3

()(0)fxdxf=?

,證明在(0,1)內(nèi)存在

一點c,使()0fc'=.

七、(本題滿分8分.)

已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)aα=-+,4(1,2,4,8)aα=+,及

(1,1,3,5)bβ=+.

(1)a、b為何值時,β不能表示成1234αααα、、、的線性組合?

(2)a、b為何值時,β有1234αααα、、、的唯一的線性表示式?并寫出該表示式.

八、(本題滿分6分)

設(shè)A為n階正定陣,E是n階單位陣,證明AE+的行列式大于1.

九、(本題滿分8分)

在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點(,)Pxy處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ長度的倒數(shù)(Q是法線與x軸的交點),且曲線在點(1,1)處的切線與x軸平行.

十、填空題(本題滿分6分,每小題3分.)

(1)若隨機變量X服從均值為2,方差為2

σ的正態(tài)分布,且{}240.3PX>=?

?其他

,求隨機變量2ZXY=+的分布函數(shù).

1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析

一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】

3

sincos4ttt

t-

【解析】這是個函數(shù)的參數(shù)方程,滿足參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法,即如果()()

xtytφ?=??

=?,則()

()dytdxt?φ'='.

所以sin2dy

dyt

dtdxdxt

dt

-==

,再對x求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

22

sin1

()()22dyddydtdtdxdtdxdxdttt

-=?=?

23

2cos2sin1sincos424tttttt

ttt

-+-=

?=.(2)【答案】2dxdy-

【解析】這是求隱函數(shù)在某點的全微分,這里點(1,0,1)-的含義是(1,0)1zz==-.將方程兩邊求全微分,由一階全微分形式不變性得

2222

2

2

()02dxyzxyz

+

=++,

再由全微分四則運算法則得

2

2

2

()()xydzydxxdyzxyz

++=++,

令1,0,1xyz===-,得2

dy=

,即2dzdxdy=.(3)【答案】320xyz-++=

【解析】所求平面∏過直線1L,因而過1L上的點(1,2,3);

因為∏過1L平行于2L,于是∏平行于1L和2L的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l=-r

和向量2(2,1,1)l=r

,且兩向量不共線,于是平面∏的方程

12310102

1

1

xyz=,即320xyz-++=.(4)【答案】32

-

【解析】因為當(dāng)0x→時,11sin,(1)1n

xxxxn

+-::

,當(dāng)0x→時2

0ax→,所以有

122223

111(1)1,cos1sin,322

axaxxxx+--=--:

:

所以1223

002

1(1)123limlim1cos132

xxax

axaxx→→+-==.因為當(dāng)0x→時,123

(1)1ax+-與cos1x-是等價無窮小,所以213a-

=,故32

a=-.(5)【答案】120

025

001200

33110033-??

?-???

?

?-

???

.【解析】為求矩陣的逆可有多種辦法,可用伴隨,可用初等行變換,也可用分塊求逆.根據(jù)本題的特點,若知道分塊求逆法,則可以簡單解答.

注意:1

110000

AA

BB????

=

??????,1

110

00ABBA

??

??=??????

.對于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律:abAcd??

=

???

,則求A的伴隨矩陣

*abdbAcdca*

-????==??-????

.

如果0A≠,這樣

1

11

abdbdbcdcacaAadbc

??????

==??

???????

.再利用分塊矩陣求逆的法則:1

110000

AA

BB??

??

=

??????

,易見1120025

001200

33110033A--??

?-??=?

?

?-

??

?

.

二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)

(1)【答案】(D)

【解析】由于函數(shù)的定義域為0x≠,所以函數(shù)的間斷點為0x=,

2

2

2

2

11limlim

lim

11

xxxxxxxeeye

e--→→→++===∞--,所以0x=為鉛直漸近線,

2

2

2

2

11limlim

lim

111

xxxxxxxeeye

e--→∞

→∞

→∞

++====--,所以1y=為水平漸近線.

所以選(D).

【相關(guān)知識點】鉛直漸近線:如函數(shù)()yfx=在其間斷點0xx=處有0

lim()xxfx→=∞,則

0xx=是函數(shù)的一條鉛直漸近線;

水平漸近線:當(dāng)lim(),(xfxaa→∞

=為常數(shù)),則ya=為函數(shù)的水平漸近線.

(2)【答案】(B)【解析】令2t

u=

,則2,2tudtdu==,所以20

()ln22()ln22xxtfxfdtfudu??

=+=+???

?

?,

兩邊對x求導(dǎo),得()2()fxfx'=,這是一個變量可分離的微分方程,即

[()]

2()

dfxdxfx=.解之得2()x

fxCe=,其中C是常數(shù).

又因為0

(0)2()ln2ln2ffudu=

+=?

,代入2()xfxCe=,得0(0)ln2fCe==,得

ln2C=,即2()ln2xfxe=?.

(3)【答案】(C)【解析】因為

1

12342121

(1)

nnnnnaaaaaaa∞

--=-=-+-++-+∑LL

1234212()()()nnaaaaaa-=-+-++-+LL21

22121

1

1

()nnnnnnna

aaa∞

∞∞

--====

-=-∑∑∑(收斂級數(shù)的結(jié)合律與線性性質(zhì)),

所以

12211

1

1

(1)523nn

nnnnna

aa∞

--====--=-=∑∑∑.

12342121

()()()n

nnna

aaaaaa∞

-==+++++++∑LL

21

22121

1

1

()nnnnnnna

aaa∞

∞∞

--====+=+∑∑∑538=+=,

故應(yīng)選(C).

(4)【答案】(A)

【解析】如圖,將區(qū)域D分為1234,,,DDDD四個子區(qū)域.顯然,12,DD關(guān)于y軸對稱,34,DD關(guān)于x軸對稱.

令12cossinD

D

IxydxdyIxydxdy?=

??=??????,

由于xy對x及對y都是奇函數(shù),所以

12

34

0,

0DDDDxydxdyxydxdy++==??

??

.

而cossinxy對x是偶函數(shù),對y是奇函數(shù),故有

34

12

1

cossin0,

cossin2cossinDDDDDxydxdyxydxdyxydxdy++==??

????,

所以1

1

2(cossin)2cossinD

DxyxydxdyI

Ixydxdy+=+=????,

故選(A).

(5)【答案】(D)

【解析】矩陣的乘法公式?jīng)]有交換律,只有一些特殊情況可以交換.

由于A、B、C均為n階矩陣,且ABCE=,對等式兩邊取行列式,據(jù)行列式乘法公式

||||||1ABC=,得到0A≠、0B≠、0C≠,知A、B、C均可逆,那么,對于ABCE=,

先左乘1

A-再右乘A有1

ABCEBCABCAE-=→=→=,故應(yīng)選(D).

其實,對于ABCE=先右乘1

C-再左乘C,有1

ABCEABCCABE-=→=→=.

三、(本題滿分15分,每小題5分.)(1)【解析】這是1∞

型未定式求極限.

1

(cos1)

cos1

lim(cos)lim(1(cos1))xx

xxxxxxππ

++

-?

-→→=+-

令1xt=,則0x+→時0t-

→,所以

1

cos1

00

lim(11))

lim(1)xt

xtxte+

-

-→→+=+=,所以01

(cos1)

(cos1)

(cos1)

lim

cos1

lim(1limxxxxx

xxxxeeπππ→+

+

?

-→→+==.

因為當(dāng)0x→時,sinxx:,所以

2

20002sin21)lim

limlim2

xxxxxxxxxππππ+++→→→--????===-,

故0(cos1)

lim

2

lim)xxx

xxee

ππ

π→+

--

→==.

(2)【解析】先求方向nr的方向余弦,再求

,,uuu

xyz??????,最后按方向?qū)?shù)的計算公式coscoscosuuuunxyz

αβγ????=++????求出方向?qū)?shù).曲面2

2

2

236xyz++=在點(1,1,1)P處的法向量為

{}

{}

{}(1,1,1)

4,6,24,6,222,3,1P

xyzxyz±==±,

在點(1,1,1)P處指向外側(cè),取正號,并單位化得

}}{}222,3,12,3,1cos,cos,cos.14

231

nαβγ=

=

=++r

又22222222

2222

2

2661468688814

6868686814

PPPuxxxzxyzxyuyyyzxyzxyxyxyuzzz?

??==

=

??++??

??===

?

?++???++?===????

,所以方向?qū)?shù)

coscoscosuuuunxyzαβγ????=++????11

147

1414141414=

?+?-?=.(3)【解析】由曲線22,0

yzx?=?=?繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而圍成的旋轉(zhuǎn)面方程是22

2xyz+=.

于是,Ω是由旋轉(zhuǎn)拋物面2

21()2

zxy=

+與平面4z=所圍成.曲面與平面的交線是228,4xyz+==.

選用柱坐標(biāo)變換,令cos,sin,xryrzzθθ===,于是

:02,04,02zrzθπΩ≤≤≤≤≤≤,

因此22()IxyzdVΩ=++???4

2220

()z

dzdrzrdrπθ=

+?

??

2424

0242rzrrrzdzπ

==??????=+???????

?

4

20

256

43

zdzππ==

?

.

四、(本題滿分6分)

【解析】曲線sin,([0,])yaxxπ=∈,則cosdyaxdx=,所以3(1)(2)L

Iydxxydy=

+++?

3

[1(sin)(2sin)cos]axxaxaxdxπ

=+++??

2330

1sin2cossin22aaxaxxxdxπ

??=

+++???

?

2

3

3

sin2cossin22

aa

xdxaxxdxxdxπ

π

π

π=+++

??

?

2

3

2

(cos1)cos2sinsin224

aa

xdxaxdxxdxπ

π

π

π=+-++

?

?

?

[][]23

3000

1coscos2sincoscos234aaxxaxxxxπ

πππ??

=+-+++-????

3

443

aaπ=+

-.對關(guān)于a的函數(shù)34

43

Iaaπ=+-兩邊對a求導(dǎo)數(shù),其中0a>,并令0,I'=得

2440Ia'=-=.

所以1a=,且0,01

0,1IaIa'的極小值點,也是最小值點.故所求的曲線為sin,([0,])yxxπ=∈.

五、(本題滿分8分.)

【解析】按傅式級數(shù)公式,先求()fx的傅式系數(shù)na與nb.因()fx為偶函數(shù),所以

1()sin0(1,2,3,)lnlnbfxxdxnllπ

-=

==?L,012()cos()cosllnlnnafxxdxfxxdxllllππ

-==??

111

00022(2)cos4cossinxnxdxnxdxxdnxnππππ=+=+???

122022(cos1)

sin(1,2,3,)nnxdxnnnππππ

-=-==?L,1

00

2(2)5axdx=+=?.

因為()2||fxx=+在區(qū)間(11)x-≤≤上滿足狄利克雷收斂定理的條件,所以

01()2||cossin2nnnannfxxaxbxllππ

∞=??=+=

++???

∑22152(cos1)

cos2nnnxnπππ∞=-=+∑

2

2

154

1

cos(21)(11)2(21)

nnxxnππ

==---≤≤-∑.令0x=,有2

2

154

1

(0)20cos02(21)nfnπ

==+=--∑,所以,2211(21)8nnπ∞

==-∑.

又2222

21111111111

(21)

(2)(21)4nnnnnnnnn∞

∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑,所以,2213148nnπ∞==∑,即2

21

16nnπ∞

==∑.

六、(本題滿分7分.)

【解析】由定積分中值定理可知,對于

1

23

()fxdx?

,在區(qū)間2

(,1)3

上存在一點ξ使得

1

23

21

()()(1)()33

fxdxffξξ=-=?

,

即1

23

3

()()(0)fxdxffξ==?

.

由羅爾定理可知,在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在一點(01)ccξ.

方法2:設(shè)A的n個特征值是12n,,,.λλλL由于A為n階正定陣,故特征值全大于0.

由λ為A的特征值可知,存在非零向量α使Aαλα=,兩端同時加上α,

得()()1AEαλα+=+.按特征值定義知1λ+是AE+的特征值.因為AE+的特征值是

12111n,,,.λλλ+++L它們?nèi)笥?,根據(jù)iAλ=∏,知||(1)1iAEλ+=+>∏.

【相關(guān)知識點】陣特征值與特征向量的定義:設(shè)A是n階矩陣,若存在數(shù)λ及非零的n維列向量X使得AXXλ=成立,則稱λ是矩陣A的特征值,稱非零向量X是矩陣A的特征向量.

九、(本題滿分8分)

【解析】曲線()yyx=在點(,)Pxy處的法線方程為

1

()YyXxy-=-

-'

(當(dāng)0y'≠時),它與x軸的交點是(,0)Qxyy'+,從而

122

22

||()(1)PQyyyyy''=+=+.

當(dāng)0y'=時,有(,0),||QxPQy=,上式仍然成立.因此,根據(jù)題意得微分方程

31222

2

1(1)

(1)

yyyy''=

''++,

即2

1yyy'''=+.這是可降階的高階微分方程,且當(dāng)1x=時,1,0yy'==.

令()yPy'=,則dPyP

dy''=,二階方程降為一階方程21dPyPPdy=+,即2

1PdPdy

Py

=+.即21yP=+C為常數(shù).

因為當(dāng)1x=時,1,0yPy'===,所以1C=,即2211yPy'=+=+所以21yy'=-分離變量得2

1

dxy=±-.

令secyt=,并積分,則上式左端變?yōu)?/p>

2sectanlnsectantan1

ttdt

ttCt

y==++-?

22lnsecsec1ln1ttCyyC=-+=+-.

因曲線在上半平面,所以210yy+

->,即(2ln1yyCx-=±.

故21xyyCe±-=.

當(dāng)1x=時,1,y=當(dāng)x前取+時,1Ce-=,211xyye--=,22

11

2221

11(1)(1)

1

xxyyyyeeyyyyyy=

=

==++-;

當(dāng)x前取-時,Ce=,211xyye-+-=,22

112221

11(1)(1)

1

xx

yyyyeeyyyyyy=

=

==++-;

所以(1)(1)1()2

xxyee=+.

十、填空題(本題滿分6分,每小題3分.)

(1)【解析】一般說來,若計算正態(tài)分布隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率,應(yīng)該已知分布的兩個參數(shù)μ和2

σ,否則應(yīng)先根據(jù)題設(shè)條件求出μ,2

σ,再計算有關(guān)事件的概率,本題可從

2()0.8σΦ=,通過查()xΦ表求出σ,但是注意到所求概率(0)Px>(即第一象限)沒有公共區(qū)域,

所以()0Fz=.

當(dāng)0z>時,2xyz+=在直線20xy+=

的上方與第一象限相交成一個三角形區(qū)域D,此即為積分區(qū)間.

(2)20

()2()1zxz

z

xyxzzzFzdxedyeedxeze--+==-=--??

?.

所以2ZXY=+的分布函數(shù)0,0,

()1,0.zz

zFzezez--)()(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性與α有關(guān)(3)在曲線2

3

,,xtytzt==-=的所有切線中,與平面24xyz++=平行的切線()(A)只有1條(B)只有2條(C)至少有3條(D)不存在

(4)設(shè)3

2()3||fxxxx=+,則使(0)n

f存在的最高階數(shù)n為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(5)要使12100,121ξξ????????==????????-????

都是線性方程組0Ax=的解,只要系數(shù)矩陣A為()(A)()211-(B)201011-??

???

(C)102011-???-??(D)011422011-??

?--??

??

三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分.)(1)求2

11xxx

→--.

(2)設(shè)2

2

(sin,)x

zfeyxy=+,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求2z

xy

???.

(3)設(shè)2

1,0,

(),>0,

xxxfxex-?+≤?=???求31

(2)fxdx-?.

四、(本題滿分6分.)

求微分方程323x

yyye-'''+-=的通解.

五、(本題滿分8分)

計算曲面積分323232()()()xazdydzyaxdzdxzaydxdy∑

+++++??,其中∑為上半球面222zaxy=

--.

六、(本題滿分7分)

設(shè)()0fx''>,有1212()()()fxxfxfx+時收斂;當(dāng)1p≤時發(fā)散.所以有2

2

112nn

α∞

=∑收斂.1

(1)(1cos)nnnα

=?--∑收斂.所以原級數(shù)絕對收斂.應(yīng)選(C).

注:對于正項級數(shù)

1

nna∞

=∑,確定無窮小na關(guān)于

1

n

的階(即與p級數(shù)作比較)是判斷它的斂散性的一個常用方法.該題用的就是這個方法.(3)【答案】B

【解析】先求出切線的方向向量,再利用方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為0得切點對應(yīng)的t值.

求曲線上的點,使該點處的切向量τ與平面24xyz++=的法向量{}1,2,1n=垂直,即可以讓切線與平面平行.

曲線在任意點處的切向量{}{}

2(),(),()1,2,3xtytztttτ'''==-,0nnττ⊥??=,即

31430tt-+=,解得1

1,3

tt==.(對應(yīng)于曲線上的點均不在給定的平面上)

因此,只有兩條這種切線,應(yīng)選(B).(4)【答案】(C)

【解析】因3

3x處處任意階可導(dǎo),只需考查2

||()xxx?@

,它是分段函數(shù),0x=是連接點.所以,寫成分段函數(shù)的形式,有

33,0,(),0,

xxxxx??-??

再考查()x?在連接點0x=處的導(dǎo)數(shù)是否存在,需要根據(jù)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的定義進行討論.

30

(0)()0xx?++

=''==,30

(0)()0(0)0xx??--

='''=-=?=,

即223,0,

()3,0.

xxxxx??-≤?'=?>??

同理可得6,0,

()6,0,

xxxxx?-?(0)0?''=,即6,0()6||6,0xxxxxx?-≤?''==?>?.

對于yx=有(0)1,(0)1.yy+

-''==-所以yx=在0x=不可導(dǎo),(0)?'''?不存在,應(yīng)選(C).(5)【答案】(A)

【解析】1ξ,2ξ向量對應(yīng)的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax=兩個線性無關(guān)的解,故

()2nrA-≥.由3n=知()1rA≤.

再看(A)選項秩為1;(B)和(C)選項秩為2;而(D)選項秩為3.故本題選(A).【相關(guān)知識點】對齊次線性方程組0Ax=,有定理如下:

對矩陣A按列分塊,有()12nA,,,ααα=L,則0Ax=的向量形式為

11220nnxxx.ααα+++=L

那么,0Ax=有非零解12n,,,ααα?L線性相關(guān)

()12nr,,,nααα?>,要證的不等式是1221()()()(0)fxxfxfxf+-,所以

12211()()()(0)()fxxfxfxffx+-,構(gòu)造輔助函數(shù)

11()()()()xfxfxfxx?=+-+,

則1()()()xfxfxx?'''=-+.由()0,()fxfx'''+>.由此,11()(0)()(0)()0(0)xfxffxx??>=+-=>.改x為2x即得證.

【相關(guān)知識點】拉格朗日中值定理:如果函數(shù)()fx滿足在閉區(qū)間[,]ab上連續(xù),在開區(qū)間

(),ab內(nèi)可導(dǎo),那么在(),ab內(nèi)至少有一點()abξξ=?

≤?根據(jù)連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法,得出

2220

()()()()X

x

xxEXe

xe

fxdxxeedx+∞

+∞

+=+=+??

30

14133

xxxedxedx+∞

+∞--=+=+

=?

?.

十一、(本題滿分6分)

【解析】方法一:利用分布函數(shù)求密度函數(shù):

首先,因2

(,)XNμσ:,所以X的密度函數(shù)為2

2

()()2xXfxμσπσ

--

=

,

因Y服從[,]ππ-上的均勻分布,故Y的密度函數(shù)為11

()()2Yfyπππ

=

=--.

因為隨機變量X與Y相互獨立,所以二維隨機變量(,)XY的聯(lián)合概率密度為

(,)()()XYfxyfxfy=.要求Z的密度函數(shù),先求Z的分布函數(shù)

()()()ZFzPZzPXYz=≤=+≤(,)xyz

fxydxdy+≤=

??

()()XYxyz

fxfydxdy+≤=

??

2

2

()122xxyz

dxdyμσππσ--+≤=??.

2

2

2

2

()()112222xxzy

zy

dydxdydxμμππ

σσπ

π

ππ

πσ

πσ

-

-

-∞

==

??

??

12zydyπ

πμπ

σ??=

Φ???

?(由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來表示一般正態(tài)分布)求出Z的分布函數(shù),因此,對分布函數(shù)求導(dǎo)得密度函數(shù),Z的密度函數(shù)為

1

1

()()2ZZzyfzFzdyπ

πμ?π

σ

σ-

--??

'==

???

?其中()x?是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布密度.由于()x?是偶函數(shù),故有

zyyzμμ??σσ--+-????

=

??????

于是111()22Zyzzzfzdyππμπμπμ?π

σσπσσ-+-?+--+-?

??????=

=Φ-Φ???????

?

??????.最終用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)()xΦ表示出來ZXY=+的概率分布密度.方法二:用卷積公式直接計算:

直接應(yīng)用相互獨立隨機變量之和密度的卷積公式,求()Zfz更為簡單.因為隨機變量X與Y相互獨立,由卷積公式

1

()()()2ZXYfzfzyfydyπ

+∞

-∞

=

-?

2

2

2

2

()()11

2222zyzydydyμμπ

π

σσππ

ππ

πσ

πσ

==

??

2

2

()122yzdyμπ

σπ

π

πσ

+--

-

=

?

12yzdyπ

πμπσ-+-??=

Φ???

?112yzdyπ

πμ?π

σσ-+-??

=

???

?1

2zzπμπμπ

σσ?+--+-?????=

Φ-Φ?????

?????.最終用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)()xΦ表示出來ZXY=+的概率分布密度.

1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)函數(shù)1

()(2(0)x

Fxdtxt

=

>?

的單調(diào)減少區(qū)間為______________.(2)由曲線223212,

0xyz?+=?=?

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點3,2)處的指向外側(cè)

的單位法向量為______________.

(3)設(shè)函數(shù)2

()()fxxxxπππ=+->,證明ba

ab>.

七、(本題滿分8分)

已知二次型222

12312323(,,)2332(0)fxxxxxxaxxa=+++>,通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形222

12325fyyy=++,求參數(shù)a及所用的正交變換矩陣.

八、(本題滿分6分)

設(shè)A是nm?矩陣,B是mn?矩陣,其中nm,所以當(dāng)x→+∞時,()xfξ'→+∞,故()fx→+∞.由(0)0f,故()fx為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),故η值唯一.證法二:用牛頓-萊布尼茲公式,由于

()(0)()(0)(0)x

x

fxfftdtfkdtfkx'=+≥+=+?

?,

以下同方法1.

(2)【解析】先將不等式做恒等變形:

因為bae>>,故原不等式等價于lnlnbaab>或

lnlnab

ab

>

.證法一:令()lnln,()fxxaaxxae=->>,則()lna

fxax

'=-.

因為xae>>,所以ln1,1aax>,即b

a

ab>.證法二:令ln()()xfxxex=

>,則2

1ln()x

fxx-'=

.當(dāng)(,)xe∈+∞時,()0fx'>使得

lnln()()ba

fbfaba

=

.

七、(本題滿分8分)

【解析】寫出二次型f的矩陣為2000303Aaa???

=????

,它的特征方程是

222

00

||03

(2)(69)00

3

EAaaa

λλλλλλλ--=

--=--+-=--.

f經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形222

12

325fyyy=++,那么標(biāo)準(zhǔn)形中平方項的系數(shù)1,2,5就是A的特征值.

把1λ=代入特性方程,得2

40a-=2a?=±.

因0a>知2a=.這時200032023A??

?

=????

.

對于11λ=,由()0EAx-=,100100022011022000-??????--→????--????

,得1(0,11)T

X=-.

對于22λ=,由(2)0EAx-=,000012012003021000??????--→????--????,得2(1,0,0)T

X=.

對于35λ=,由(5)0EAx-=,300300022011022000??????-→-????-????

,得3(0,1,1)T

X=.

將123,,XXX單位化,得

1230101,0,122101γγγ?????????===??????-????

.故所用的正交變換矩陣為

123010(,,)0220

22Pγγγ?

?

??==

?

.【相關(guān)知識點】二次型的定義:含有n個變量12,,,nxxxL的二次齊次多項式(即每項都是二次的多項式)

()1211

,,,,nn

nijijijfxxxaxx===∑∑L其中ijjiaa=,

稱為n元二次型.令()12,,,T

nxxxx=L,()

ijAa=,則二次型可用矩陣乘法表示為

()12,,,,TnfxxxxAx=L

其中A是對稱矩陣()

TAA=,稱A為二次型()12,,,nfxxxL的矩陣.

八、(本題滿分6分)

【解析】證法一:對B按列分塊,記12(,,)nBβββ=L,若

11220nnkkkβββ+++=L,

即1212(,,,)0nnkkkβββ??

??=?

?

??LM,亦即120nkkB

k????=????M.兩邊左乘A,得120nkkABk????=????M,即12

0nkkEk????=????M,亦即120nkkk????=??

??

M.

所以12,,nβββL線性無關(guān).

證法二:因為B是mn?矩陣,nm,所以21()2dxdydYdtdxdt+=.亦即21()2dydYdxdx

+=.(2)由(1),(2)消去Y,

dYdx

,便得微分方程2

210xyy'''++=.

初始條件顯然是(1)0,(1)1yy'-=-=.

十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分,把答案填在題中橫線上.)(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽簽原理.

方法一:從直觀上看,第二次抽出次品的可能性與第一次抽到正品還是次品有關(guān),所以考慮用全概率公式計算.

設(shè)事件iB=“第i次抽出次品”1,2,i=由已知得11210

(),(),1212

PBPB=

=121212

(|),(|)1111

PBBPBB=

=.應(yīng)用全概率公式1121212211021

()()(|)()(|)121112116

PBPBPBBPBPBB=+=

?+?=.方法二:對填空題和選擇題可直接用抽簽原理得到結(jié)果.

由抽簽原理(抽簽與先后次序無關(guān)),不放回抽樣中第二次抽得次品的概率與第一次抽得次品的概率相同,都是

21126

=.(2)【解析】方法一:可以用分布函數(shù)法,即先求出分布函數(shù),再求導(dǎo)得到概率密度函數(shù).

由已知條件,X在區(qū)間(0,2)上服從均勻分布,得X的概率密度函數(shù)為

1

,02

()2

0,XxFx?,且級數(shù)

21

nna∞=∑收斂,則級數(shù)2

1

(1)n

nnnλ

=-+∑()

(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性與λ有關(guān)(4)2

tan(1cos)lim

2ln(12)(1)

xxaxbx

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