高等數(shù)學(xué)（下冊）課件：第七章 第2節(jié) 向量及其運(yùn)算

12向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模為1的向量.零向量：模為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：或或或3自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.4如果則稱向量如果則稱向量5[1]加法：平行四邊形法則,特殊地：若‖分為同向和反向三角形法則1.向量的加減法6向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）7[2]減法82、向量與數(shù)的乘法9數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.10兩個(gè)向量的共線(平行)關(guān)系11例1

化簡解12例2

試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.131、向量在軸上的投影與投影定理1415證于是16空間一點(diǎn)在軸上的投影17空間一向量在軸上的投影18關(guān)于向量的投影定理（1）證19定理1的說明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)

相等向量在同一軸上投影相等；20關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個(gè)）212、向量的坐標(biāo)表達(dá)式222324(3)、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式2526非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.3.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式27由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標(biāo)表示式28當(dāng)時(shí)，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式29方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為30解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或31對角線的長為32啟示實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.1、定義5、兩向量的數(shù)量積33數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.34證證35(3)數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律：交換律：分配律：若為數(shù)：若、為數(shù)：36設(shè)375、兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式38解39證4041實(shí)例6、兩向量的向量積421、定義(1)向量積也稱為“叉積”、“外積”.4344（3）向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：分配律：

若為數(shù)：反交換律：45設(shè)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式46向量積還可用三階行列式表示47例如，//由上式可推出48解49解三角形ABC的面積為50向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意