2022年廣東省中山一中等七校聯合體數學高三第一學期期末達標檢測試題含解析

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．2．已知函數，則（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若和的圖象都關于對稱，則下述四個結論：①②③④點為函數的一個對稱中心其中所有正確結論的編號是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④4．已知實數滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．45．已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．6．秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入的值為2，則輸出的值為A． B． C． D．7．復數的共軛復數為（）A． B． C． D．8．設為的兩個零點，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．9．某學校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5，30]，樣本數據分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（）A．56 B．60 C．140 D．12010．若非零實數、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．11．著名的斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．404012．設集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，若，且，則實數所有的可能取值構成的集合是________.14．已知數列滿足對任意，若，則數列的通項公式________．15．的展開式中，的系數是______.16．在平面直角坐標系xOy中，已知A0,a,B3,a+4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.19．（12分）超級病菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.（i）試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求p關于k的函數關系式；（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.參考數據：，，，，20．（12分）已知函數，函數（）.（1）討論的單調性；（2）證明：當時，.（3）證明：當時，.21．（12分）某商場為改進服務質量，隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調查．調查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？（2）為答謝顧客，該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動．據統(tǒng)計，在此期間顧客購買該商品的支付情況如下：支付方式現金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數學期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點睛】本題考查余弦定理邊角互化的應用，屬于基礎題.2、C【解析】

結合分段函數的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數的值,考查了分段函數的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.3、B【解析】

首先根據三角函數的平移規(guī)則表示出，再根據對稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關于對稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯誤.故選：B【點睛】本題考查三角函數的性質的應用，三角函數的變換規(guī)則，屬于基礎題.4、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．5、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標的關系，再根據點差法得到直線的斜率與坐標的關系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設，且線過定點即為的圓心，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的，大大簡化運算.6、C【解析】

由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值，當時，不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的值．【詳解】解：初始值，，程序運行過程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出的值為其中①②①—②得．故選：．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環(huán)得到，的值是解題的關鍵，屬于基礎題．7、D【解析】

直接相乘，得，由共軛復數的性質即可得結果【詳解】∵∴其共軛復數為.故選：D【點睛】熟悉復數的四則運算以及共軛復數的性質.8、A【解析】

先化簡已知得,再根據題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個零點，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題．9、C【解析】

試題分析：由題意得，自習時間不少于小時的頻率為，故自習時間不少于小時的頻率為，故選C.考點：頻率分布直方圖及其應用．10、C【解析】

令，則，，將指數式化成對數式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數式與對數式的轉化，考查推理能力，屬于中等題．11、D【解析】

計算，代入等式，根據化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.【點睛】本題考查了斐波那契數列，意在考查學生的計算能力和應用能力.12、C【解析】

解對數不等式求得集合，由此求得兩個集合的交集.【詳解】由，解得，故.依題意，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查對數不等式的解法，考查集合交集的概念和運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

化簡集合，由，以及，即可求出結論.【詳解】集合，若，則的可能取值為，0，2，3，又因為，所以實數所有的可能取值構成的集合是.故答案為:.【點睛】本題考查集合與元素的關系，理解題意是解題的關鍵，屬于基礎題.14、【解析】

由可得，利用等比數列的通項公式可得，再利用累加法求和與等比數列的求和公式，即可得出結論.【詳解】由，得，數列是等比數列，首項為2，公比為2，，，，，滿足上式，.故答案為:.【點睛】本題考查數列的通項公式，遞推公式轉化為等比數列是解題的關鍵，利用累加法求通項公式，屬于中檔題.15、【解析】

先將原式展開成，發(fā)現中不含，故只研究后面一項即可得解.【詳解】，依題意，只需求中的系數，是.故答案為：-40【點睛】本題考查二項式定理性質，關鍵是先展開再利用排列組合思想解決，屬于基礎題.16、（-53，【解析】

求出AB的長度，直線方程，結合△ABC的面積為5，轉化為圓心到直線的距離進行求解即可．【詳解】解：AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3設△ABC的高為h，則∵△ABC的面積為5，∴S=12|AB|h=即h＝2，直線AB的方程為y﹣a=43x，即4x﹣3y+3若圓x2+y2＝9上有且僅有四個不同的點C，則圓心O到直線4x﹣3y+3a＝0的距離d=|3a|則應該滿足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，即|3a|5得|3a|＜5得-53＜故答案為：（-53，【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系的應用，求出直線方程和AB的長度，轉化為圓心到直線的距離是解決本題的關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范圍，判斷，為正，去掉絕對值，轉化為在時恒成立,得到，，在恒成立，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，，由，得，即，或，即，或，即，綜上：或，所以不等式的解集為.（2），，因為，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在時恒成立，不等式恒成立必須，，解得.所以，解得，結合，所以，即的取值范圍為.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，含有絕對值的不等式的恒成立問題.屬于中檔題.18、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）取的中點D，連結，.根據線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內的直線且交于點，由（1）得，再結合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點D，連結，.在中，P，D分別為，中點，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.19、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值為4.【解析】

（1）設恰好經過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,利用古典概型、排列組合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,,則可求得,,即可得到,進而由可得到p關于k的函數關系式；（ii）由可得,推導出,設（）,利用導函數判斷的單調性,由單調性可求出的最大值【詳解】（1）設恰好經過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,則,∴恰好經過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,,,,,若,則,則,,,∴p關于k的函數關系式為（,且）（ii）由題意知,得,,,,設（）,則,令,則,∴當時,,即在上單調增減,又,,,又,,,∴k的最大值為4【點睛】本題考查古典概型的概率公式的應用,考查隨機變量及其分布,考查利用導函數判斷函數的單調性20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）求出的定義域，導函數，對參數、分類討論得到答案.（2）設函數，求導說明函數的單調性，求出函數的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域為，，當，時，，則在上單調遞增；當，時，令，得，令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增；當，時，，則在上單調遞減；當，時，令，得，令，得，則在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明：設函數，則.因為，所以，，則，從而在上單調遞減，所以，即.（3）證明：當時，.由（1）知，，所以，即.當時，，，則，即，又，所以，即.【點睛】本題考查利用導數研究含參函數的單調性，利用導數證明不等式，屬于難題.21、（1）有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關；（2）67元，見解析.【解析】

（1）根據表格數據代入公式，結合臨界值即得解；（2）的可能取值為40，60，80，1，根據題意依次計算概率，列出分布列，