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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.2.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則A.3 B.4 C.5 D.63.M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A.π B.π C.π D.2π4.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.5.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)()A. B. C.4 D.56.二項(xiàng)式展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何體中最長的棱長為().A. B. C.1 D.8.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,函數(shù)(),則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A.2 B.4 C.5 D.69.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為,圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.210.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖(軸表示氣溫,軸表示銷售量),由散點(diǎn)圖可知與的相關(guān)關(guān)系為()A.正相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為B.負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為C.負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為D.正相關(guān),相關(guān)負(fù)數(shù)的值為12.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知△ABC得三邊長成公比為2的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_____.14.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的實(shí)部為____________.15.展開式中項(xiàng)系數(shù)為160,則的值為______.16.已知,復(fù)數(shù)且(為虛數(shù)單位),則__________,_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),要使恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是,直線和直線的極坐標(biāo)方程分別是()和(),其中().(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線和直線分別與曲線交于除極點(diǎn)的另外點(diǎn),,求的面積最小值.19.(12分)已知凸邊形的面積為1,邊長,,其內(nèi)部一點(diǎn)到邊的距離分別為.求證:.20.(12分)已知函數(shù).⑴當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;⑵若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,22.(10分)已知.(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),圓的方程的有關(guān)計(jì)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解析】
方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因?yàn)椋?,則.故選C.3、C【解析】
兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.4、C【解析】
由三視圖知,該幾何體是一個(gè)圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計(jì)算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個(gè)圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計(jì)算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z,再計(jì)算它的模長.【詳解】解:復(fù)數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算問題,要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長度的計(jì)算公式,是基礎(chǔ)題.6、D【解析】
寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,得,故項(xiàng)的系數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
首先由三視圖還原幾何體,進(jìn)一步求出幾何體的棱長.【詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長的棱長為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由函數(shù)的性質(zhì)可得:的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足,可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9、B【解析】
首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點(diǎn)處,根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點(diǎn)處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.10、A【解析】
由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn),求出,由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準(zhǔn)線方程為,拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn),.拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點(diǎn)的弦長求離心率.弦過焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.11、C【解析】
根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷.【詳解】由散點(diǎn)圖知隨著的增大而減小,因此是負(fù)相關(guān).相關(guān)系數(shù)為負(fù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系,考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別.掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ).12、C【解析】
根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-【解析】試題分析:根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所對的角為最大角,設(shè)為θ,則根據(jù)余弦定理得考點(diǎn):余弦定理及等比數(shù)列的定義.14、【解析】
利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得到答案.【詳解】,所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為2.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、-2【解析】
表示該二項(xiàng)式的展開式的第r+1項(xiàng),令其指數(shù)為3,再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項(xiàng)式的展開式的第r+1項(xiàng)為令,所以,則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù),屬于簡單題.16、【解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴,故答案為,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可求得切線的斜率,則切線方程得解;(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),對參數(shù)分類討論,求得函數(shù)的單調(diào)性,以及最值,即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則.所以.又,故所求切線方程為,即.(Ⅱ)依題意,得,即恒成立.令,則.①當(dāng)時(shí),因?yàn)?,不合題意.②當(dāng)時(shí),令,得,,顯然.令,得或;令,得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,,單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí),,,所以,只需,所以,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題,屬綜合中檔題.18、(1);(2)16.【解析】
(1)將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可;(2)利用極徑的幾何意義,聯(lián)立曲線,直線,直線的極坐標(biāo)方程,得出,利用三角形面積公式,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì),得出的面積最小值.【詳解】(1)曲線:,即化為直角坐標(biāo)方程為:;(2),即同理∴當(dāng)且僅當(dāng),即()時(shí)取等號即的面積最小值為16【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的應(yīng)用,屬于中檔題.19、證明見解析【解析】
由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可證明.【詳解】因?yàn)橥惯呅蔚拿娣e為1,所以,所以(由柯西不等式得)(由均值不等式得)【點(diǎn)睛】本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問題,考查學(xué)生對不等式靈活運(yùn)用的能力,是一道容易題.20、(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)【解析】試題分析:(1),通過求導(dǎo)分析,得函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2),所以,通過求導(dǎo)討論,得到的取值范圍是.試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同,則所以所以,代入得:設(shè),則不妨設(shè)則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,代入可得:設(shè),則對恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,又所以當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),又當(dāng)時(shí)因此當(dāng)時(shí),函數(shù)必有零點(diǎn);即當(dāng)時(shí),必存在使得成立;即存在使得函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同.又由得:所以單調(diào)遞減,因此所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、(1)選取更合適;(2);(3)時(shí),煤氣用量最小.【解析】
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn),可得更適合;(2)先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;(3)寫出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】(1)選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型;(2)由公式可得:,,所以所求回歸直線方程為:;(3)根據(jù)題意,設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,即時(shí),煤氣用量最小.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程,利用線性回歸方程的求法得解,結(jié)合基本不等式求最值.22、(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)分離
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