2021年省直轄縣級行政區(qū)劃天門市凈潭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2021年省直轄縣級行政區(qū)劃天門市凈潭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.“a=﹣1”是方程“a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分有不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】由題意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化簡整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1﹣a，結(jié)合題意可得a2=a+2，并且1﹣a＞0，再根據(jù)充要條件的定義即可判斷．【解答】解：由題意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化簡整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1﹣a，因為此曲線表示圓，所以a2=a+2，并且1﹣a＞0，所以解得：a=﹣1．故“a=﹣1”是方程“a2x2+（a+2）y2+ax+a=0表示圓”的充要條件，故選：A．【點評】本題主要考查二元二次方程與圓的對應(yīng)關(guān)系，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的方程，以及學(xué)生要有較強的運算能力．3.若，其中，是虛數(shù)單位，則（

）A．0 B．2 C． D．5參考答案：D略4.已知等邊△ABC的兩個頂點A（0，0），B（4，0），且第三個頂點在第四象限，則BC邊所在的直線方程是（）A．y=﹣x B．y=﹣（x﹣4） C．y=（x﹣4） D．y=（x+4）參考答案：C【考點】直線的點斜式方程；直線的一般式方程．【分析】先求出點C的坐標，再求出直線BC的斜率，利用點斜式方程即可求出．【解答】解：如圖所示：xC=2，=﹣2，∴C（2，﹣2）．∴BC邊所在的直線方程是，即y=（x﹣4）．故選C．【點評】熟練掌握直線的斜率計算公式、點斜式方程是解題的關(guān)鍵．5.某教師一天上3個班級的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課的所有排法有A.474種

B.77種

C.462種

D.79種參考答案：A略6.設(shè),當(dāng)實數(shù)滿足不等式組時，目標函數(shù)的最大值等于2，則的值是A.2

B.3

C.

D.參考答案：D略7.已知集合則實數(shù)等于

（A）

（B）或

（C）或

（D）參考答案：D8.與命題“若則”的等價的命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則參考答案：答案：D9.設(shè)復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則等于

A.1－2i

B.1+2i

C.

－2i

D.2i參考答案：B10.下列說法正確的是（

）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．為等比數(shù)列，則“”是“”的既不充分也不必要條件C．，使成立D．“若，則”是真命題參考答案：D試題分析：對于答案A，“若，則”的否命題是“若，則”；對于答案B，若“”則“”成立；對于答案C，，使不成立；對于答案D，“若，則”是真命題成立,故應(yīng)選D.考點：命題的真假及充分必要條件的等知識的綜合運用.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若的展開式中各項系數(shù)的和為1458，則該展開式中項的系數(shù)為___________參考答案：61略12.（如圖）一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點為端點的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長為

▲

。參考答案：略13.已知函數(shù)f（x）=x?ex﹣1，g（x）=lnx+kx，且f（x）≥g（x）對任意的x∈（0，+∞）恒成立，則實數(shù)k的最大值為

．參考答案：1【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】運用夠造函數(shù)的方法求解k≤ex，h（x）=ex，k≤h（x）小即可．運用求解導(dǎo)數(shù)得出h（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，（x0，+∞）單調(diào)遞增．估算出，1＜h（x0）＜2，得出k≤1．【解答】解：∵f（x）=x?ex﹣1，g（x）=lnx+kx，且f（x）≥g（x），∴x?ex﹣1≥lnx+kx，k≤ex，h（x）=ex，k≤h（x）小即可．h′（x）=，h′（1）＞0，h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，令h′（x）=0，x=x0，x02e+lnx0=0，則h（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，（x0，+∞）單調(diào)遞增．h（x）小=e，h（）=﹣ln16＜0，h（）=ln＞0∴，h（）=+2ln2﹣2=1.035，h（）=e（ln+1）=1.1681＜h（x0）＜2，k≤1故答案為：114.已知點F為橢圓的左焦點，直線與C相交于M，N兩點（其中M在第一象限），若，，則C的離心率的最大值是____．參考答案：【分析】設(shè)右焦點為,連接,由橢圓對稱性得四邊形為矩形，結(jié)合橢圓定義及勾股定理得a,c不等式求解即可【詳解】設(shè)右焦點為,連接,由橢圓對稱性知四邊形為平行四邊形，又=2c=，故為矩形，=，，即,∴又,故0<e≤故答案為【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓定義的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸思想，利用定義轉(zhuǎn)化為矩形是關(guān)鍵，是中檔題15.在中，三內(nèi)角滿足，則角的取值范圍為___________.參考答案：略16.設(shè)是定義在上的函數(shù)，給定下列三個條件：（1）是偶函數(shù)；（2）的圖象關(guān)于直線對稱；（3）為的一個周期．如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個命題中真命題的個數(shù)有

個．參考答案：答案：317.已知向量，，若向量與的夾角為，則實數(shù)的值為__________．參考答案：,顯然,所以.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(14分)設(shè)是函數(shù)的一個極值點。

（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若存在，使得成立，求的取值范圍。參考答案：解析：（1）∵

∴

2分

由題意得：，即，

3分

∴且

令得，

∵是函數(shù)的一個極值點

∴，即

故與的關(guān)系式為

5分（Ⅰ）當(dāng)時，，由得單增區(qū)間為：；

由得單減區(qū)間為：、；（Ⅰ）當(dāng)時，，由得單增區(qū)間為：；

由得單減區(qū)間為：、；

8分（2）由（1）知：當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴在上的值域為

10分易知在上是增函數(shù)∴在上的值域為

12分由于，又∵要存在，使得成立，∴必須且只須解得：

所以：的取值范圍為

14分19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E為棱PD中點．（1）求證：PD⊥平面ABE；（2）若F為AB中點，，試確定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值為．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（I）證明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可證明PD⊥平面ABE．（II）以A為原點，以為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣BDP，求出相關(guān)點的坐標，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：（I）證明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD為矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E為PD中點，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A為原點，以為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣BDP，令|AB|=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）設(shè)平面PFM的法向量，，即，設(shè)平面BFM的法向量，，即，，解得．【點評】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．20.（本小題滿分12分）“ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動，活動規(guī)定：被邀請者要么在24小時內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動.若被邀請者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請另外3個人參與這項活動.假設(shè)每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響.（Ⅰ）若某被邀請者接受挑戰(zhàn)后，對其他3個人發(fā)出邀請，則這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀請到的3個人中恰有兩人接受挑戰(zhàn).根據(jù)活動規(guī)定，現(xiàn)記為接下來被邀請到的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（12分）解法一：（Ⅰ）這3個人接受挑戰(zhàn)分別記為、、，則分別表示這3個人不接受挑戰(zhàn)．這3個人參與該項活動的可能結(jié)果為：，，，，，，，．共有8種；

2分其中，至少有2個人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有：，，，，共有4種．

3分根據(jù)古典概型的概率公式，所求的概率為．

4分（說明：若學(xué)生先設(shè)“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑戰(zhàn)的情況”，再將所有結(jié)果寫成,,，,,,,，不扣分．）（Ⅱ）因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為．

5分所以，，，，，，

9分0123456

故的分布列為：

所以．故所求的期望為．

12分解法二：因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為．

1分（Ⅰ）設(shè)事件M為“這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)”，則．

4分（Ⅱ）因為為接下來被邀請的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，所以．

5分所以，，，，，，

9分故的分布列為：

10分0123456所以．故所求的期望為．

12分21.（本小題共13分）

已知曲線的方程為：.（Ⅰ）分別求出時，曲線所圍成的圖形的面積;（Ⅱ）若表示曲線所圍成的圖形的面積，求證：關(guān)于是遞增的;(III)若方程，，沒有正整數(shù)解，求證：曲線上任一點對應(yīng)的坐標，不能全是有理數(shù).參考答案：（1），；（2）見解析；（3）見解析考點：數(shù)列綜合應(yīng)用（1）當(dāng)時，

由圖可知，

.

（2）要證是關(guān)于遞增的，只需證明：．

由于曲線具有對稱性，只需證明曲線在第一象限的部分與坐標軸所圍成的面積遞增．

現(xiàn)在考慮曲線與，

因為

因為

在(1)和(2)中令，

當(dāng)，存在使得，成立，

此時必有．

因為當(dāng)時，

所以．

兩邊同時開n次方有，．（指數(shù)函數(shù)單調(diào)性）

這就得到了，

從而是關(guān)于遞增的．

（3）由于可等價轉(zhuǎn)化為，

反證：若曲線上存在一點對應(yīng)的坐標，全是有理數(shù)，

不妨設(shè)，，且互質(zhì)，互質(zhì)．

則由可得，

．

即．

這時就是的一組解，

這與方程，，沒有正整數(shù)解矛盾，

所以