概率第三章-p第二節(jié)

二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.

而單個(gè)隨 量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問(wèn):二者之間有什么關(guān)系呢?這一節(jié)里,就來(lái)探求這個(gè)問(wèn)題.數(shù)F

x而X

和Y

都是隨量,也有各自的分布函數(shù),

分別記為

FX

x

,

FY

y

,

依次稱(chēng)為二維隨機(jī)變量

(X,Y)

關(guān)于X

和Y的邊緣分布函數(shù).一、邊緣分布函數(shù)二維隨

量(X,Y)作為一個(gè)整體,

具有分布函FX

x

P

X

x

PX

F

x,

FY

y

P

Y

y

P

X

,Y

y

F

,

y

ijP(X

xi

,Y

y

j

)ijijPp則(X,Y)關(guān)于X

的邊緣分布律為j1X

x

,Y

yj1

i

1,

2,

iP

X

x

j1ji

x

,Y

y

二、離散型隨

量的邊緣分布律一般地，對(duì)離散型

r.v

(X,Y

)，X和Y

的聯(lián)合分布律為pi

.(X,Y)

關(guān)于Y

的邊緣分布律為P

Y

y

ij.

jp

pi

1j

i

1P

X

xi

,Y

y

j

j

1,

2,例1

把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而

Y

為正面出現(xiàn)次數(shù)與出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,

求(X

,Y)

的分布律.解

(

X,

Y

)可取值(0,3)

,

(1,1)

,

(2,1)

,

(3,3)XY081808038P{X=1,

Y=1}

1

2

3

P{X=2,

Y=1}

2

P{X=3,

Y=0}

1

23

1

8.=3/8

2

=3/8P{X=0,

Y=3}

1

23

1

3

13P{X=0}=P{X=0,

Y=1}+P{X=0,

Y=3}=1/8,P{X=1}=P{X=1,

Y=1}+P{X=1,

Y=3}=3/8,P{X=2}=

P{X=2,

Y=1}+P{X=2,

Y=3}=3/8,P{X=3}=P{X=3,

Y=1}+P{X=3,

Y=3}=1/8.P{Y=1}=

P

X

k,Y

1=3/8+3/8=6/8,3k

0P{Y=3}=

P

X

k,Y

3=1/8+1/8=2/8.k

0常將邊緣分布律寫(xiě)在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.X

YPX

xi

081803

88038P

Y

j82

8聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.YX880013808jP

Y

PX

xi

1

83

882

8f

X

(x)

f

(x,

y)dyX

f

x,

ydyF

x

F

x

,

x

dx事實(shí)上,

f

x,

y

dyf

X

x

FX

x

三、連續(xù)型隨

量的邊緣概率密度對(duì)連續(xù)型r.v

(X,Y

)，X

和Y

的聯(lián)合概率密度為f

(x,y)則(X,Y

)關(guān)于X

的邊緣概率密度為

x

(X,Y

)關(guān)于Y

的邊緣概率密度為fY

(

y

)

f

(

x,

y

)dx

y

例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是0

,0

x

1,0

y

x其它f

(

x,

y

)

cy(

2

x

),求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。=

5c/24

,c=24/5.001

xdxcy(2

x)dy解(1)1

f

x,

y

dxdyR2故y

xxy0x

1

102c2x2

x3

dx解求

(1)

c的值;

(2)

兩個(gè)邊緣密度0

,

其它例2

設(shè)(X,Y)

的概率密度是f

(x,

y)

cy(2

x),

0

x

1,

0

y

xXf

x,

ydy

0Xxff x,

y

dyf

x,

y

dy

.xx

f x,

y

dy

(2)

f

x

xxyy

xx

1xx0y

,

,當(dāng)x

1或x

0時(shí),都有f

x,y

0,故f

X

x

0.當(dāng)0

x

1時(shí),0暫時(shí)固定5

12

x2

(2

x),注意取值范圍x0y(2

x)dy524綜上,12

1,0,

,其它.f

x

5Xy

xxyxx

0

x

1

x

00Xxff x,

y

dyf

x,

y

dy

.xx

f x,

y

dy

當(dāng)0

x

1時(shí),解(2)求

(1)

c的值;

(2)

兩個(gè)邊緣密度

.0

,

其它例

2

設(shè)(X,Y)的概率密度是f

(

x,

y)

cy(2

x), 0

x

1,

0

y

xYf

y

f

x,

ydx當(dāng)y

1或y

0時(shí),對(duì)x

,,都有f

x,y

0,故fY

y

0.11f

x,

ydx

.f

x,

ydxyYf

x,

ydx

f

y

當(dāng)0

y

1時(shí),yy

xyy1yy

1暫時(shí)固定0yx25

2y2y(

2

y

),

24

31524yy(2

x)dx0,25

224

3), 0

y

1其它y2y(

2

y

f

(

y)

Y綜上,注意取值范圍在求連續(xù)型

r.v

的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分.當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限.下面介紹兩個(gè)常見(jiàn)的二維分布.設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨

量（

X,Y）具有概率密度0,

1

,(

x,

y)

G其它f

(

x,

y)

A則稱(chēng)（X,Y）在G上服從均勻分布.向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無(wú)關(guān). 則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)

(X,Y)在G上服從均勻分布.例若二維隨量（X,Y）具有概率密度則稱(chēng)（

X,Y）服從參數(shù)為1,

2

,1,2

,

0,其中1,2

,1,2

,

均為常數(shù),且1

0,2ρ

的二維正態(tài)分布.記作（

X,Y）～

N(μ

,μ

,σ2

,σ2

,ρ).1

2

1

2

x

,

y

,

211

21

21σ

22πσ

σσ

σσ

21

(

x

μ

)2f

x,

y

exp

1

2 1

ρ1

ρ2(

x

μ

)(

y

μ

)(

y

μ

)2

2

ρ

1

2

2

2

例

3

試求二維正態(tài)隨

量的邊緣概率密度.

Xf

x,

y

dyx

解

f21

2σ

2σ

σ(

y

μ

)2(

x

μ

)(

y

μ

)

2

2

ρ

1

2

211σσσ1

y

μ x

μ

2(

x

μ

)2

ρ2

1

2

ρ

1

因?yàn)樗?/p>

2212

121σ2σ12σ

2Xee1

y

μx

μ

2

2

ρ 1

(

x

μ1

)

ρ

dyf

x

2πσ1σ2

1

ρ12,σσ1

y

μ2x

μ

ρ1

ρ

21

令

t

則有211t

22σ1X2πσ(

x

μ1

)2

f

x

e

2212

121σ2σ12σ

2Xee1

y

μx

μ

2

2

ρ 1

(

x

μ1

)

ρ

dyf

x

2πσ1σ2

1

ρ1112σ

2e2πσ(

x

μ

)2

1

e

2

dt

2π112σ

2e2πσ1(

x

μ1)2

x

同理222σ

2Y2πσ(

y

μ2

)2f

y

1

e

y

可見(jiàn)二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴(lài)于參數(shù)

ρ

.也就是說(shuō),對(duì)于給定的

μ1

,

μ2

,σ1

,σ2

,

不同的

ρ

對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明

由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.四、課堂練習(xí)設(shè)(X,Y)的概率密度是e

y

,

x

0,

y

xf

x,

y

0,

其它求(

X,Y

)關(guān)于

X

和

Y

的邊緣概率密度.