結(jié)構(gòu)力學(xué) 力法(二)

§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對(duì)稱(chēng)性的概念對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)：幾何形狀、支承情況、剛度分布均對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)。幾何對(duì)稱(chēng)剛度對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)支承不對(duì)稱(chēng)剛度不對(duì)稱(chēng)非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)荷載：作用在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè),大小相等,方向和作用點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的荷載。

反對(duì)稱(chēng)荷載：作用在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè),大小相等，作用點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

反對(duì)稱(chēng)的荷載。1§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對(duì)稱(chēng)性的概念對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)：幾何形狀、支承情況、剛度分布均對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)。對(duì)稱(chēng)荷載：作用在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè),大小相等,方向和作用點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的荷載。

反對(duì)稱(chēng)荷載：作用在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè),大小相等，作用點(diǎn)對(duì)稱(chēng),方向

反對(duì)稱(chēng)的荷載。對(duì)稱(chēng)荷載反對(duì)稱(chēng)荷載MEI=CEI=CM下面這些荷載是對(duì)稱(chēng)？反對(duì)稱(chēng)荷載？還是一般性荷載?2§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對(duì)稱(chēng)性的概念對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)：幾何形狀、支承情況、剛度分布均對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)。對(duì)稱(chēng)荷載：作用在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè),大小相等,方向和作用點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的荷載。

反對(duì)稱(chēng)荷載：作用在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè),大小相等，作用點(diǎn)對(duì)稱(chēng),方向

反對(duì)稱(chēng)的荷載。任意荷載均可分解為對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載的疊加，且對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載均為原荷載值的一半。疊加原理：P原結(jié)構(gòu)AX1對(duì)稱(chēng)荷載AA’X1X2反對(duì)稱(chēng)荷載AA’X2EI=C3§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)荷載作用下的特征以圖示結(jié)構(gòu)為例推導(dǎo)說(shuō)明。選取對(duì)稱(chēng)基本結(jié)構(gòu)、對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)基本未知量。P原結(jié)構(gòu)EI=CX3X1X2P基本結(jié)構(gòu)基本未知量對(duì)稱(chēng)反對(duì)稱(chēng)只包含兩個(gè)對(duì)稱(chēng)基本未知量只包含一個(gè)反對(duì)稱(chēng)基本未知量利用對(duì)稱(chēng)性，可將原高階方程組解耦降階，化為兩個(gè)低階方程(組)4§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)荷載作用下的特征進(jìn)一步考慮荷載的對(duì)稱(chēng)、反對(duì)稱(chēng)性⑴對(duì)稱(chēng)荷載作用下P/2P/2⑵反對(duì)稱(chēng)荷載作用下P/2P/2Mp對(duì)稱(chēng)Mp反對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，只產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力、變形和位移，反對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力、變形和位移為零。對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，只產(chǎn)生反稱(chēng)的內(nèi)力、變形和位移，對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力、變形和位移為零。5§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)荷載作用下的特征綜上所述，將利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化力法計(jì)算的要點(diǎn)歸納如下：⑴選擇對(duì)稱(chēng)的基本結(jié)構(gòu)，取對(duì)稱(chēng)約束力或反對(duì)稱(chēng)約束力作為基本未知量。⑵對(duì)稱(chēng)荷載作用下，只考慮對(duì)稱(chēng)未知力。（反對(duì)稱(chēng)未知力為零）⑶反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，只考慮反對(duì)稱(chēng)未知力。（對(duì)稱(chēng)未知力為零）⑷一般荷載分解為對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載。

【例】試用力法求作圖示剛架的彎矩圖。

各桿。6§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis【例】試用力法求作圖示剛架的彎矩圖。各桿?！窘狻坷脤?duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化為一次超靜定。7§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計(jì)算根據(jù)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的受力特征，在對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，可以取半結(jié)構(gòu)計(jì)算，另外半結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可通過(guò)對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)鏡像得到。半結(jié)構(gòu)選取的關(guān)鍵在于正確判別另外半結(jié)構(gòu)對(duì)選取半結(jié)構(gòu)的約束作用。判別方法有兩種：根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸上的桿件和截面的變形（或位移）特征判別。根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸上的桿件和截面的內(nèi)力特征判別。對(duì)稱(chēng)軸上的桿件對(duì)稱(chēng)軸上的截面彎曲變形軸線(xiàn)變形剪切變形彎矩軸力剪力角位移沿對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)位移垂直對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)位移約束力矩沿對(duì)稱(chēng)軸約束力垂直對(duì)稱(chēng)軸約束力對(duì)稱(chēng)荷載×√××√××√×√×√反對(duì)稱(chēng)荷載√×√√×√√×√×√×變形(位移)與約束力是一一對(duì)應(yīng)的；有變形(或位移)，則無(wú)約束力，也就沒(méi)有約束；反之，無(wú)變形(或位移)，則有約束力，也就存在約束。(適用于所有結(jié)構(gòu))(一般只適用于奇數(shù)跨結(jié)構(gòu))8§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計(jì)算奇數(shù)跨對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)：對(duì)稱(chēng)軸上截面的約束既可根據(jù)變形特征判別，也可根據(jù)內(nèi)力

特征判別。對(duì)稱(chēng)荷載原結(jié)構(gòu)EIEIEIPP半結(jié)構(gòu)EIEIP梁跨中截面內(nèi)力軸力彎矩剪力對(duì)稱(chēng)反對(duì)稱(chēng)(×)梁跨中截面位移水平線(xiàn)位移角位移豎向線(xiàn)位移反對(duì)稱(chēng)(×)對(duì)稱(chēng)反對(duì)稱(chēng)荷載原結(jié)構(gòu)EIEIEIPPEIEIP梁跨中截面內(nèi)力軸力彎矩剪力對(duì)稱(chēng)(×)反對(duì)稱(chēng)梁跨中截面位移水平線(xiàn)位移角位移豎向線(xiàn)位移反對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)(×)半結(jié)構(gòu)9§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計(jì)算偶數(shù)跨對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)：對(duì)稱(chēng)軸上有桿件或支座，一般先判別對(duì)稱(chēng)軸上桿件的變形特

征，再判別對(duì)稱(chēng)軸上截面的位移特征。對(duì)稱(chēng)荷載半結(jié)構(gòu)EIEIP原結(jié)構(gòu)EIEIEIPPEIEI①中柱無(wú)彎矩和彎曲變形；②結(jié)點(diǎn)A無(wú)轉(zhuǎn)角和水平線(xiàn)位移（反對(duì)稱(chēng)位移），無(wú)豎向線(xiàn)位移（不計(jì)中柱伸縮變形）。A反對(duì)稱(chēng)荷載原結(jié)構(gòu)EIEIEIPPEIEI①中柱有彎矩和彎曲變形—必須保留；②結(jié)點(diǎn)A有轉(zhuǎn)角和水平線(xiàn)位移（反對(duì)稱(chēng)位移），無(wú)豎向線(xiàn)位移（對(duì)稱(chēng)位移且不計(jì)中柱伸縮變形）。PEIEI不計(jì)中柱伸縮變形，可取消半結(jié)構(gòu)10§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計(jì)算【練習(xí)】利用對(duì)稱(chēng)性選擇半結(jié)構(gòu)。EIEIEIPEIEIEIEIEIPPEIEIEIEIPEIEIEIPEIEIEIEIEI=cPEI=c11§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計(jì)算【練習(xí)】利用對(duì)稱(chēng)性選擇半結(jié)構(gòu)。PEI=cEI=cPEI=cABEI=cEA=∞EI=cEI1=∞PEI=cABPPAB桿EIAB=EI/2其它桿EI=cAB12§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計(jì)算【練習(xí)】利用對(duì)稱(chēng)性選擇半結(jié)構(gòu)。EI=cEI=cEI=c上下對(duì)稱(chēng)EI=c左右對(duì)稱(chēng)EI=cEI=c對(duì)稱(chēng)無(wú)彎矩反對(duì)稱(chēng)上下反對(duì)稱(chēng)左右對(duì)稱(chēng)13§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計(jì)算【例1】試用力法求作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EIEIEI2EIEIEIEIEI2EIEIEIEIEI2EIEI對(duì)稱(chēng)無(wú)彎矩反對(duì)稱(chēng)EIEIEIEIEIEIEIEIEI對(duì)稱(chēng)無(wú)彎矩反對(duì)稱(chēng)EIEIEIEI基本結(jié)構(gòu)

又看到您了！14§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半結(jié)構(gòu)計(jì)算【例2】試用力法求作圖示對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EI=cX1左右對(duì)稱(chēng)上下對(duì)稱(chēng)1Pl/23Pl/8Pl/83Pl/8Pl/8Pl/8Pl/8Pl/83Pl/815§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis選用成對(duì)的廣義未知力簡(jiǎn)化計(jì)算【例1】試用力法求作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EI=cABCD求解思路：本結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，為了利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算，應(yīng)盡量選擇對(duì)稱(chēng)位置上的多余力作為基本未知量，從而使基本結(jié)構(gòu)也對(duì)稱(chēng)。2次超靜定，可以選擇A、C支座約束作為多余約束，對(duì)應(yīng)基本結(jié)構(gòu)如圖所示。EI=cABCDY1Y2為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算，使方程的副系數(shù)盡可能為零，將一般多余約束力Y1、Y2重新分解與組合，即

這就形成了兩個(gè)(兩組)新的廣義未知力。從數(shù)學(xué)上看，是Y1、Y2的線(xiàn)性組合，反映出來(lái)的物理含義是：將一般多余約束力分解成了一對(duì)對(duì)稱(chēng)的未知力和一對(duì)反對(duì)稱(chēng)的未知力。見(jiàn)上圖。ABCDX1X1ABCDX2X216§6-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis選用成對(duì)的廣義未知力簡(jiǎn)化計(jì)算【例1】試用力法求作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EI=cABCDABCDX1X1X2X2基本結(jié)構(gòu)（物理含義？）第一個(gè)方程：A、C兩點(diǎn)豎向位移和等于零。第二個(gè)方程：A、C兩點(diǎn)豎向位移差等于零。解得17力法方程的物理含義：左右兩個(gè)截面剪切變形的和等于零。由于兩個(gè)截面的剪切變形大小相等，故，等效于兩個(gè)截面的剪切均等于零?！?-5對(duì)稱(chēng)性的利用—力法簡(jiǎn)化計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis選用成對(duì)的廣義未知力簡(jiǎn)化計(jì)算【例2】作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。（本例前面已講過(guò)選擇半結(jié)構(gòu)的求解方法）EI=cEI=c對(duì)稱(chēng)無(wú)彎矩EI=c反對(duì)稱(chēng)EI=c反對(duì)稱(chēng)受力狀態(tài)的基本結(jié)構(gòu)X1X1Why?上下反對(duì)稱(chēng)，故，截面彎矩、軸力為零。左右對(duì)稱(chēng)，故，兩截面剪力大小相等，性質(zhì)相反。（后續(xù)計(jì)算略）18§6-6支座移動(dòng)和溫度改變時(shí)的力法計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis超靜定結(jié)構(gòu)在廣義荷載作用下產(chǎn)生的內(nèi)力稱(chēng)為自?xún)?nèi)力。廣義荷載一般包括以下三種：支座移動(dòng)、溫度變化、制造誤差。支座移動(dòng)時(shí)的力法計(jì)算【例1】支座位移和已知，求梁的彎矩。EIABB’基本結(jié)構(gòu)ABX1ABB’X1求解方法方法一方法二計(jì)算ABAB力法方程(B豎向位移)(跨中截面相對(duì)角位移)19可見(jiàn)，與絕對(duì)剛度有關(guān)§6-6支座移動(dòng)和溫度改變時(shí)的力法計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis支座移動(dòng)時(shí)的力法計(jì)算【例1】支座位移和已知，求梁的彎矩。EIABB’基本結(jié)構(gòu)ABX1ABB’X1求解方法方法一方法二計(jì)算ABAB力法方程(B豎向位移)(跨中截面相對(duì)角位移)多余約束力最終彎矩圖由于基本結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，在支座位移情況下不產(chǎn)生內(nèi)力，故，最終彎矩圖完全由多余約束力產(chǎn)生，即20§6-6支座移動(dòng)和溫度改變時(shí)的力法計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis支座移動(dòng)時(shí)的力法計(jì)算支座移動(dòng)時(shí)力法計(jì)算的特點(diǎn)如選有位移的支座作為多余約束，則方程右邊不為零，應(yīng)等于已知的支座位移。方程自由項(xiàng)由基本結(jié)構(gòu)的支座位移產(chǎn)生。（注意：多余約束力對(duì)應(yīng)支座位移不再是基本結(jié)構(gòu)的支座位移）結(jié)構(gòu)的最終內(nèi)力完全由多余約束力引起。內(nèi)力與絕對(duì)剛度有關(guān)。（一般荷載作用下的內(nèi)力只與相對(duì)剛度有關(guān)）內(nèi)力相同內(nèi)力不同EI1ABEI2C2EI1AB2EI2CEI1ABEI2C2EI1AB2EI2CB’DB’D21§6-6支座移動(dòng)和溫度改變時(shí)的力法計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis溫度改變時(shí)的力法計(jì)算【例1】求圖示剛架由于溫度變化引起的內(nèi)力。，，

常數(shù)，矩形截面，?！窘狻浚瓬囟雀淖円鸬膬?nèi)力與各桿的絕對(duì)剛度EI

有關(guān)。基本結(jié)構(gòu)在溫度改變情況下無(wú)內(nèi)力22§6-6支座移動(dòng)和溫度改變時(shí)的力法計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis思考題【1】圖示剛架EI=c，B支座發(fā)生支座位移。選取不同的基本結(jié)構(gòu)形式如圖所示，試寫(xiě)出與基本結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的力法方程，并求出自由項(xiàng)。X1X2X3基本結(jié)構(gòu)形式一X1X2X3基本結(jié)構(gòu)形式二X1X2X3基本結(jié)構(gòu)形式三【2】圖示剛架EI=c，AB桿造長(zhǎng)了1cm，如何作彎矩圖？X1X2X3基本結(jié)構(gòu)AB23§6-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis基本原理和方法變形體的虛功原理及其相應(yīng)的單位荷載法并不限定于靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算，同樣適用于超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。如果直接對(duì)原始超靜定結(jié)構(gòu)應(yīng)用虛功原理，位移狀態(tài)和虛力狀態(tài)的內(nèi)力都必須經(jīng)過(guò)力法計(jì)算才能得到，計(jì)算工作量較大，十分繁瑣。能否簡(jiǎn)化呢？怎樣簡(jiǎn)化？根據(jù)力法基本原理知：基本結(jié)構(gòu)在多余約束力和已知外荷載共同作用下與原始超靜定結(jié)構(gòu)等效，所以，超靜定結(jié)構(gòu)的位移就是基本結(jié)構(gòu)在多余約束力和已知外荷載共同作用下的位移。這樣，就將超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算化成了基本結(jié)構(gòu)（靜定結(jié)構(gòu)）的位移計(jì)算。按照上述思路，只需在基本結(jié)構(gòu)上建立虛力狀態(tài)即可，由于基本結(jié)構(gòu)是靜定，單位荷載作用下的內(nèi)力極易求得，這將使計(jì)算工作大為簡(jiǎn)化?；窘Y(jié)構(gòu)位移狀態(tài)的內(nèi)力就是原超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。由于超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)不唯一，故，位移計(jì)算時(shí)，虛力狀態(tài)的建立有多種方式，應(yīng)盡量選擇使內(nèi)力功計(jì)算(圖乘)比較方便的基本結(jié)構(gòu)。24§6-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算StrucuralAnalysis一般荷載作用下的位移計(jì)算【例1】圖示超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的彎矩圖已知，試求跨中F點(diǎn)的豎向位移和D點(diǎn)的水平位移。原結(jié)構(gòu)2EI3EI2EI7kN/mABCFDM圖23.414.430.657.6(單位：kNm)【解】⑴求，應(yīng)選擇怎樣的虛力狀態(tài)？3m虛力狀態(tài)(一)3m虛力狀態(tài)(二)1.5m虛力狀態(tài)(三)顯然，虛力狀態(tài)(三)與原結(jié)構(gòu)彎矩圖圖乘簡(jiǎn)單。(真實(shí)方向：向上)比較右邊三種虛力狀態(tài)，選擇哪個(gè)計(jì)算簡(jiǎn)單？25§6-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算StrucuralAnalysis一般荷載作用下的位移計(jì)算【例1】圖示超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的彎矩圖已知，試求跨中F點(diǎn)的豎向位移和D點(diǎn)的水平位移。原結(jié)構(gòu)2EI3EI2EI7kN/mABCFDM圖23.414.430.657.6(單位：kNm)【解】⑵求，應(yīng)選擇怎樣的虛力狀態(tài)？6m虛力狀態(tài)(真實(shí)方向：向右)SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.26§6-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算溫度變化情況下的位移計(jì)算【解】⑴多余力引起的位移超靜定結(jié)構(gòu)位移＝基本結(jié)構(gòu)位移基本結(jié)構(gòu)由多余約束力引起的位移(有內(nèi)力)基本結(jié)構(gòu)由溫度變化引起的位移(無(wú)內(nèi)力)2m單位彎矩圖-0.5單位軸力圖-0.5⑵溫度變化引起的位移原結(jié)