微分方程解法課件

第八章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介8.1微分方程的基本概念8.2可分離變量的一階微分方程8.3一階線性微分方程8.4可降階的高階微分方程8.5二階常系數(shù)線性微分方程8.6微分方程應(yīng)用實(shí)例退出1第八章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介8.1微分方程的基

第八章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介我們知道，函數(shù)是研究客觀事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要工具，找出函數(shù)關(guān)系，在實(shí)踐中具有重要意義。可在許多實(shí)際問(wèn)題中，我們常常不能直接給出所需要的函數(shù)關(guān)系，但我們能給出含有所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）或差分（即增量）的方程，這樣的方程稱為微分方程或差分方程，我們需要從這些方程中求出所要的函數(shù)。本章主要介紹微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函數(shù)的幾種常見的解析方法；并對(duì)差分方程的有關(guān)內(nèi)容做一簡(jiǎn)單介紹。

2第八章微分方程8.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲線通過(guò)（1，2），且在改曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。

解設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，y(x)應(yīng)滿足：38.1微分方程的基本概念

例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)汽車前放20米處有一小孩在路上玩耍，司機(jī)立即剎車，已知汽車剎車后獲得加速度為－4,問(wèn)汽車是否會(huì)撞到小孩？解設(shè)汽車剎車后t秒內(nèi)行駛了s米，根據(jù)題意，反映剎車階段汽車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)S=S(t),應(yīng)滿足方程：4例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機(jī)突然發(fā)在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要5在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要5的時(shí)間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使距離為：二.微分方程的基本概念凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程（differentialequation）.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程（ordinarydifferentialequation）.未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，叫做偏微分方程（partialdifferentialequation）.這里我們只討論常微分方程，簡(jiǎn)稱為微分方程，例如6的時(shí)間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使距離為：二.微分方程的等都是常微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)，稱為該微分方程的階（order），例如（1）和（12）為一階微分方程，（5）和（11）為二階微分方程，而（13）是n階微分方程。7等都是常微分方程。7如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解（solution）.將（3）。（4）為微分方程（1）的解，而（8）和（10）則是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分別是微分方程（1）與（5）的通解。由于通解中含有任一常數(shù)，所以它還不能確切的反應(yīng)某客觀事物的特定規(guī)律。為此，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，提出確定這些常數(shù)的條件，這種條件稱為定解條件。確定了通解中的任意常數(shù)后所得。8如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個(gè)的解，稱為微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的滿足條件（6）的特解時(shí)刻的狀態(tài)得到的定解條件，稱為初值條件（initialvaluecondition）.初值條件的個(gè)數(shù)通常等于微分方程的階數(shù)，一階微分方程的初值條件一般為9的解，稱為微分方程的特解（particularsoluti

從幾何上看，微分方程的通解對(duì)應(yīng)著平面上的一族曲線，稱其為微分方程的積分曲線族，而特解則對(duì)應(yīng)著積分曲線族中的某一條曲線，稱其為積分曲線(integralcurve).如是方程（1）的積分曲線族,而10從幾何上看，微分方程的通解對(duì)應(yīng)著平面上的一族曲線

8.2可分離變量的一階微分方程一階微分方程（differentialequationoffirstorder）(differentialequationofseparatedvariables).118.2例1求微分方程解首先分離變量，得12例1求微分方程解首先分離變量，得12

以后為了方便起見，我們可把記住結(jié)果中的常數(shù)C可正可負(fù)。顯然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程的通解即在條件解分離變量，得13以后為了方便

例3種群的自然生長(zhǎng)受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù)的最大容量為b，則種群生長(zhǎng)速度不僅與t時(shí)刻種群數(shù)量N成正比，且與密度制約因子成正比，試確定種群生長(zhǎng)規(guī)律。14例3種群的自然生長(zhǎng)受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù)1515

8.3一階線性微分方程

（lineardifferentialequationoffirstOrder),它的特點(diǎn)為左端是關(guān)于未知函數(shù)y及一階導(dǎo)數(shù)168.3一階線性微分方程（1717二.一階線性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）當(dāng)它們的解之間也必有某種關(guān)系?，F(xiàn)在，我們把對(duì)應(yīng)的其齊次方程的通解（3）中的任意常數(shù)C換成X的待定函數(shù)C（x）,即令情形，可以設(shè)想,18二.一階線性非其次微分方程它們的解之間也必有某種關(guān)系?，F(xiàn)在，1919

上述將對(duì)應(yīng)的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成x的待定函數(shù)，并將其代入非齊次方程中以確定C(x)，從而求得非齊此方程的通解的方法叫做常數(shù)變易法（methodofconstant）.

將（5）式改寫成兩項(xiàng)之和的形式20上述將對(duì)應(yīng)的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成20上式右端第一項(xiàng)是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）的通解，令C=0，則得到第二項(xiàng)，它是非齊次方程（1）的一個(gè)特解。由此可知，一階線性非齊次微分方程的通解等于它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和。

對(duì)于高階線性微分方程，其通解結(jié)構(gòu)也有類似的結(jié)論。21上式右端第一項(xiàng)是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）的通解，令C=2222

方法二直接利用非齊次方程的通解公式（5），得23方法二直接利用非齊次方程的通解公式（5），24242525262627272828(Bernoullidifferentialequation).29(Bernoullidifferentialequati3030313132323333

8.4可降階的高階微分方程二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程（differentialequationofhigherorder）.對(duì)于有些高階微分方程。可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將它轉(zhuǎn)化為較低階的方程來(lái)求解。下面介紹三種常見的可降階的微分方程的求解方法。348.4可降階的高階微分方程343535

例2一物體由靜止?fàn)顟B(tài)開始做直線運(yùn)動(dòng)，其加速度

試求其位移s與時(shí)間t的關(guān)系式。

解由題意知?jiǎng)t需要n個(gè)初值條件。36試求其位移s與時(shí)37373838393940404141424243434444

8.5二階常系數(shù)線性微分方程的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程（linearsecondorderdifferentialequationwithconstantcoefficients），其中f(x)叫做自由項(xiàng)，當(dāng)

時(shí)，方程（1）叫做二階線性齊次微分方程，當(dāng)時(shí)，方程（1）叫做二階線性非齊次微分

方程。

458.5二階常系數(shù)線性微分方程的微分方下面先來(lái)討論這類方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)。一.通解的結(jié)構(gòu)定理1如果是二階線性齊次方程46下面先來(lái)討論這類方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)。464747

4848綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)的定理。49綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)的定理。4知道，一結(jié)線性非齊次方程的通解等于它所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和它的一個(gè)特解之和。實(shí)際上，二階及更高階的線性非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)也由類似的結(jié)論。50知道，一結(jié)線性非齊次方程的通解等于它所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和5151二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程由定理2可知，求二階線性齊次微分方程的通解，可歸結(jié)為求方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解。二階線性齊次方程的特點(diǎn)是各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個(gè)函數(shù)y，使它和它的導(dǎo)數(shù)間只差一個(gè)常數(shù)因52二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如

我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就歸結(jié)為求特征方程的根：53我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，554545555565657575858特征方程的根齊次方程的通解兩個(gè)相異實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根一對(duì)共扼復(fù)根59特征方程的根齊次方程60606161

三.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程由定理3可知，求二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解，可歸結(jié)為求它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和它本身的一個(gè)特解。在解決了齊次方程的通解問(wèn)題之后，這里只需討論求非齊次方程（3）的一個(gè)特解的方法我們只介紹當(dāng)方程（3）中的取兩種常見形式時(shí)求的方法，這種方法的特點(diǎn)是不用積分就可求出來(lái)，把它叫做待定系數(shù)法。62三.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程626363646465656666676768686969707071717272737374747575

8.6微分方程應(yīng)用實(shí)例許多實(shí)際問(wèn)題的解決歸結(jié)為尋找變量間的函數(shù)關(guān)系。但在很多情況下，函數(shù)關(guān)系不能直接找到，而只能間接的得到這些量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而使得微分方程在眾多領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。本節(jié)只舉幾個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程的應(yīng)用。進(jìn)一步的介紹見第十章。一。嫌疑犯問(wèn)題受害者的尸體于晚上7：30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8：20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體體溫為，一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為768.6微分方程室溫在幾小時(shí)內(nèi)始終保持，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時(shí)打了一個(gè)電話，打完電話后就離開了辦公室。”從張某的辦公室到受害者家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問(wèn)題：是張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？77室溫在幾小時(shí)內(nèi)始終保持，此案最大的嫌疑犯

人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界溫度的影響。假定尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，即78人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)功能797980808181

三.懸鏈線方程問(wèn)題將一均勻柔軟的繩索兩端固定，使之僅受重力的作用而下垂，求該繩索在平衡狀態(tài)下的曲線方程（鐵塔之間懸掛的高壓電纜的形狀就是這樣的曲線）。解以繩索所在的平面為平面，設(shè)繩索最低點(diǎn)為y軸上的P點(diǎn)，如圖8－1所示?？疾炖K索上從點(diǎn)p到另一點(diǎn)Q(x,y)的一段弧，該段弧長(zhǎng)為，繩索線密度為,則這段繩索所受重力為。由于繩索是軟的，82三.懸鏈線方程問(wèn)題82838384848585第八章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介8.1微分方程的基本概念8.2可分離變量的一階微分方程8.3一階線性微分方程8.4可降階的高階微分方程8.5二階常系數(shù)線性微分方程8.6微分方程應(yīng)用實(shí)例退出86第八章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介8.1微分方程的基

第八章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介我們知道，函數(shù)是研究客觀事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要工具，找出函數(shù)關(guān)系，在實(shí)踐中具有重要意義?？稍谠S多實(shí)際問(wèn)題中，我們常常不能直接給出所需要的函數(shù)關(guān)系，但我們能給出含有所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）或差分（即增量）的方程，這樣的方程稱為微分方程或差分方程，我們需要從這些方程中求出所要的函數(shù)。本章主要介紹微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函數(shù)的幾種常見的解析方法；并對(duì)差分方程的有關(guān)內(nèi)容做一簡(jiǎn)單介紹。

87第八章微分方程8.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲線通過(guò)（1，2），且在改曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。

解設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，y(x)應(yīng)滿足：888.1微分方程的基本概念

例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)汽車前放20米處有一小孩在路上玩耍，司機(jī)立即剎車，已知汽車剎車后獲得加速度為－4,問(wèn)汽車是否會(huì)撞到小孩？解設(shè)汽車剎車后t秒內(nèi)行駛了s米，根據(jù)題意，反映剎車階段汽車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)S=S(t),應(yīng)滿足方程：89例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機(jī)突然發(fā)在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要90在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要5的時(shí)間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使距離為：二.微分方程的基本概念凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程（differentialequation）.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程（ordinarydifferentialequation）.未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，叫做偏微分方程（partialdifferentialequation）.這里我們只討論常微分方程，簡(jiǎn)稱為微分方程，例如91的時(shí)間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使距離為：二.微分方程的等都是常微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)，稱為該微分方程的階（order），例如（1）和（12）為一階微分方程，（5）和（11）為二階微分方程，而（13）是n階微分方程。92等都是常微分方程。7如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解（solution）.將（3）。（4）為微分方程（1）的解，而（8）和（10）則是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分別是微分方程（1）與（5）的通解。由于通解中含有任一常數(shù)，所以它還不能確切的反應(yīng)某客觀事物的特定規(guī)律。為此，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，提出確定這些常數(shù)的條件，這種條件稱為定解條件。確定了通解中的任意常數(shù)后所得。93如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個(gè)的解，稱為微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的滿足條件（6）的特解時(shí)刻的狀態(tài)得到的定解條件，稱為初值條件（initialvaluecondition）.初值條件的個(gè)數(shù)通常等于微分方程的階數(shù)，一階微分方程的初值條件一般為94的解，稱為微分方程的特解（particularsoluti

從幾何上看，微分方程的通解對(duì)應(yīng)著平面上的一族曲線，稱其為微分方程的積分曲線族，而特解則對(duì)應(yīng)著積分曲線族中的某一條曲線，稱其為積分曲線(integralcurve).如是方程（1）的積分曲線族,而95從幾何上看，微分方程的通解對(duì)應(yīng)著平面上的一族曲線

8.2可分離變量的一階微分方程一階微分方程（differentialequationoffirstorder）(differentialequationofseparatedvariables).968.2例1求微分方程解首先分離變量，得97例1求微分方程解首先分離變量，得12

以后為了方便起見，我們可把記住結(jié)果中的常數(shù)C可正可負(fù)。顯然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程的通解即在條件解分離變量，得98以后為了方便

例3種群的自然生長(zhǎng)受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù)的最大容量為b，則種群生長(zhǎng)速度不僅與t時(shí)刻種群數(shù)量N成正比，且與密度制約因子成正比，試確定種群生長(zhǎng)規(guī)律。99例3種群的自然生長(zhǎng)受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù)10015

8.3一階線性微分方程

（lineardifferentialequationoffirstOrder),它的特點(diǎn)為左端是關(guān)于未知函數(shù)y及一階導(dǎo)數(shù)1018.3一階線性微分方程（10217二.一階線性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）當(dāng)它們的解之間也必有某種關(guān)系?，F(xiàn)在，我們把對(duì)應(yīng)的其齊次方程的通解（3）中的任意常數(shù)C換成X的待定函數(shù)C（x）,即令情形，可以設(shè)想,103二.一階線性非其次微分方程它們的解之間也必有某種關(guān)系。現(xiàn)在，10419

上述將對(duì)應(yīng)的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成x的待定函數(shù)，并將其代入非齊次方程中以確定C(x)，從而求得非齊此方程的通解的方法叫做常數(shù)變易法（methodofconstant）.

將（5）式改寫成兩項(xiàng)之和的形式105上述將對(duì)應(yīng)的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成20上式右端第一項(xiàng)是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）的通解，令C=0，則得到第二項(xiàng)，它是非齊次方程（1）的一個(gè)特解。由此可知，一階線性非齊次微分方程的通解等于它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和。

對(duì)于高階線性微分方程，其通解結(jié)構(gòu)也有類似的結(jié)論。106上式右端第一項(xiàng)是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）的通解，令C=10722

方法二直接利用非齊次方程的通解公式（5），得108方法二直接利用非齊次方程的通解公式（5），1092411025111261122711328(Bernoullidifferentialequation).114(Bernoullidifferentialequati11530116311173211833

8.4可降階的高階微分方程二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程（differentialequationofhigherorder）.對(duì)于有些高階微分方程?？赏ㄟ^(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將它轉(zhuǎn)化為較低階的方程來(lái)求解。下面介紹三種常見的可降階的微分方程的求解方法。1198.4可降階的高階微分方程3412035

例2一物體由靜止?fàn)顟B(tài)開始做直線運(yùn)動(dòng)，其加速度

試求其位移s與時(shí)間t的關(guān)系式。

解由題意知?jiǎng)t需要n個(gè)初值條件。121試求其位移s與時(shí)1223712338124391254012641127421284312944

8.5二階常系數(shù)線性微分方程的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程（linearsecondorderdifferentialequationwithconstantcoefficients），其中f(x)叫做自由項(xiàng)，當(dāng)

時(shí)，方程（1）叫做二階線性齊次微分方程，當(dāng)時(shí)，方程（1）叫做二階線性非齊次微分

方程。

1308.5二階常系數(shù)線性微分方程的微分方下面先來(lái)討論這類方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)。一.通解的結(jié)構(gòu)定理1如果是二階線性齊次方程131下面先來(lái)討論這類方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)。4613247

13348綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)的定理。134綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)的定理。4知道，一結(jié)線性非齊次方程的通解等于它所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和它的一個(gè)特解之和。實(shí)際上，二階及更高階的線性非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)也由類似的結(jié)論。135知道，一結(jié)線性非齊次方程的通解等于它所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和13651二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程由定理2可知，求二階線性齊次微分方程的通解，可歸結(jié)為求方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解。二階線性齊次方程的特點(diǎn)是各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個(gè)函數(shù)y，使它和它的導(dǎo)數(shù)間只差一個(gè)常數(shù)因137二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如

我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就歸結(jié)為求特征方程的根：138我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，51395414055141561425714358特征方程的根齊次方程的通解兩個(gè)相異實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根一對(duì)共扼復(fù)根144特征方程的根齊次方程1456014661

三.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程由定理3可知，求二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解，可