微分方程解法課件

第八章微分方程與差分方程簡介8.1微分方程的基本概念8.2可分離變量的一階微分方程8.3一階線性微分方程8.4可降階的高階微分方程8.5二階常系數(shù)線性微分方程8.6微分方程應(yīng)用實例退出1第八章微分方程與差分方程簡介8.1微分方程的基

第八章微分方程與差分方程簡介我們知道，函數(shù)是研究客觀事物運動規(guī)律的重要工具，找出函數(shù)關(guān)系，在實踐中具有重要意義?？稍谠S多實際問題中，我們常常不能直接給出所需要的函數(shù)關(guān)系，但我們能給出含有所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）或差分（即增量）的方程，這樣的方程稱為微分方程或差分方程，我們需要從這些方程中求出所要的函數(shù)。本章主要介紹微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函數(shù)的幾種常見的解析方法；并對差分方程的有關(guān)內(nèi)容做一簡單介紹。

2第八章微分方程8.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲線通過（1，2），且在改曲線上任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。

解設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，y(x)應(yīng)滿足：38.1微分方程的基本概念

例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機突然發(fā)現(xiàn)汽車前放20米處有一小孩在路上玩耍，司機立即剎車，已知汽車剎車后獲得加速度為－4,問汽車是否會撞到小孩？解設(shè)汽車剎車后t秒內(nèi)行駛了s米，根據(jù)題意，反映剎車階段汽車運動規(guī)律的函數(shù)S=S(t),應(yīng)滿足方程：4例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機突然發(fā)在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要5在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要5的時間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使距離為：二.微分方程的基本概念凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程（differentialequation）.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程（ordinarydifferentialequation）.未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，叫做偏微分方程（partialdifferentialequation）.這里我們只討論常微分方程，簡稱為微分方程，例如6的時間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使距離為：二.微分方程的等都是常微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)，稱為該微分方程的階（order），例如（1）和（12）為一階微分方程，（5）和（11）為二階微分方程，而（13）是n階微分方程。7等都是常微分方程。7如果將一個函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個函數(shù)為該微分方程的解（solution）.將（3）。（4）為微分方程（1）的解，而（8）和（10）則是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分別是微分方程（1）與（5）的通解。由于通解中含有任一常數(shù)，所以它還不能確切的反應(yīng)某客觀事物的特定規(guī)律。為此，要根據(jù)問題的實際情況，提出確定這些常數(shù)的條件，這種條件稱為定解條件。確定了通解中的任意常數(shù)后所得。8如果將一個函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個的解，稱為微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的滿足條件（6）的特解時刻的狀態(tài)得到的定解條件，稱為初值條件（initialvaluecondition）.初值條件的個數(shù)通常等于微分方程的階數(shù)，一階微分方程的初值條件一般為9的解，稱為微分方程的特解（particularsoluti

從幾何上看，微分方程的通解對應(yīng)著平面上的一族曲線，稱其為微分方程的積分曲線族，而特解則對應(yīng)著積分曲線族中的某一條曲線，稱其為積分曲線(integralcurve).如是方程（1）的積分曲線族,而10從幾何上看，微分方程的通解對應(yīng)著平面上的一族曲線

8.2可分離變量的一階微分方程一階微分方程（differentialequationoffirstorder）(differentialequationofseparatedvariables).118.2例1求微分方程解首先分離變量，得12例1求微分方程解首先分離變量，得12

以后為了方便起見，我們可把記住結(jié)果中的常數(shù)C可正可負。顯然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程的通解即在條件解分離變量，得13以后為了方便

例3種群的自然生長受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù)的最大容量為b，則種群生長速度不僅與t時刻種群數(shù)量N成正比，且與密度制約因子成正比，試確定種群生長規(guī)律。14例3種群的自然生長受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù)1515

8.3一階線性微分方程

（lineardifferentialequationoffirstOrder),它的特點為左端是關(guān)于未知函數(shù)y及一階導(dǎo)數(shù)168.3一階線性微分方程（1717二.一階線性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）當它們的解之間也必有某種關(guān)系?，F(xiàn)在，我們把對應(yīng)的其齊次方程的通解（3）中的任意常數(shù)C換成X的待定函數(shù)C（x）,即令情形，可以設(shè)想,18二.一階線性非其次微分方程它們的解之間也必有某種關(guān)系?，F(xiàn)在，1919

上述將對應(yīng)的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成x的待定函數(shù)，并將其代入非齊次方程中以確定C(x)，從而求得非齊此方程的通解的方法叫做常數(shù)變易法（methodofconstant）.

將（5）式改寫成兩項之和的形式20上述將對應(yīng)的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成20上式右端第一項是方程（1）對應(yīng)的齊次方程（2）的通解，令C=0，則得到第二項，它是非齊次方程（1）的一個特解。由此可知，一階線性非齊次微分方程的通解等于它對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。

對于高階線性微分方程，其通解結(jié)構(gòu)也有類似的結(jié)論。21上式右端第一項是方程（1）對應(yīng)的齊次方程（2）的通解，令C=2222

方法二直接利用非齊次方程的通解公式（5），得23方法二直接利用非齊次方程的通解公式（5），24242525262627272828(Bernoullidifferentialequation).29(Bernoullidifferentialequati3030313132323333

8.4可降階的高階微分方程二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程（differentialequationofhigherorder）.對于有些高階微分方程?？赏ㄟ^適當?shù)淖兞看鷵Q將它轉(zhuǎn)化為較低階的方程來求解。下面介紹三種常見的可降階的微分方程的求解方法。348.4可降階的高階微分方程343535

例2一物體由靜止狀態(tài)開始做直線運動，其加速度

試求其位移s與時間t的關(guān)系式。

解由題意知則需要n個初值條件。36試求其位移s與時37373838393940404141424243434444

8.5二階常系數(shù)線性微分方程的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程（linearsecondorderdifferentialequationwithconstantcoefficients），其中f(x)叫做自由項，當

時，方程（1）叫做二階線性齊次微分方程，當時，方程（1）叫做二階線性非齊次微分

方程。

458.5二階常系數(shù)線性微分方程的微分方下面先來討論這類方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)。一.通解的結(jié)構(gòu)定理1如果是二階線性齊次方程46下面先來討論這類方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)。464747

4848綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)的定理。49綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)的定理。4知道，一結(jié)線性非齊次方程的通解等于它所對應(yīng)的齊次方程的通解和它的一個特解之和。實際上，二階及更高階的線性非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)也由類似的結(jié)論。50知道，一結(jié)線性非齊次方程的通解等于它所對應(yīng)的齊次方程的通解和5151二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程由定理2可知，求二階線性齊次微分方程的通解，可歸結(jié)為求方程的兩個線性無關(guān)的特解。二階線性齊次方程的特點是各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個函數(shù)y，使它和它的導(dǎo)數(shù)間只差一個常數(shù)因52二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如

我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就歸結(jié)為求特征方程的根：53我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，554545555565657575858特征方程的根齊次方程的通解兩個相異實根兩個相等實根一對共扼復(fù)根59特征方程的根齊次方程60606161

三.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程由定理3可知，求二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解，可歸結(jié)為求它對應(yīng)的齊次方程的通解和它本身的一個特解。在解決了齊次方程的通解問題之后，這里只需討論求非齊次方程（3）的一個特解的方法我們只介紹當方程（3）中的取兩種常見形式時求的方法，這種方法的特點是不用積分就可求出來，把它叫做待定系數(shù)法。62三.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程626363646465656666676768686969707071717272737374747575

8.6微分方程應(yīng)用實例許多實際問題的解決歸結(jié)為尋找變量間的函數(shù)關(guān)系。但在很多情況下，函數(shù)關(guān)系不能直接找到，而只能間接的得到這些量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而使得微分方程在眾多領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。本節(jié)只舉幾個實例來說明微分方程的應(yīng)用。進一步的介紹見第十章。一。嫌疑犯問題受害者的尸體于晚上7：30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8：20趕到兇案現(xiàn)場，測得尸體體溫為，一小時后，當尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為768.6微分方程室溫在幾小時內(nèi)始終保持，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時打了一個電話，打完電話后就離開了辦公室?！睆膹埬车霓k公室到受害者家（兇案現(xiàn)場）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問題：是張某不在兇案現(xiàn)場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？77室溫在幾小時內(nèi)始終保持，此案最大的嫌疑犯

人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界溫度的影響。假定尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，即78人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)功能797980808181

三.懸鏈線方程問題將一均勻柔軟的繩索兩端固定，使之僅受重力的作用而下垂，求該繩索在平衡狀態(tài)下的曲線方程（鐵塔之間懸掛的高壓電纜的形狀就是這樣的曲線）。解以繩索所在的平面為平面，設(shè)繩索最低點為y軸上的P點，如圖8－1所示?？疾炖K索上從點p到另一點Q(x,y)的一段弧，該段弧長為，繩索線密度為,則這段繩索所受重力為。由于繩索是軟的，82三.懸鏈線方程問題82838384848585第八章微分方程與差分方程簡介8.1微分方程的基本概念8.2可分離變量的一階微分方程8.3一階線性微分方程8.4可降階的高階微分方程8.5二階常系數(shù)線性微分方程8.6微分方程應(yīng)用實例退出86第八章微分方程與差分方程簡介8.1微分方程的基

第八章微分方程與差分方程簡介我們知道，函數(shù)是研究客觀事物運動規(guī)律的重要工具，找出函數(shù)關(guān)系，在實踐中具有重要意義?？稍谠S多實際問題中，我們常常不能直接給出所需要的函數(shù)關(guān)系，但我們能給出含有所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）或差分（即增量）的方程，這樣的方程稱為微分方程或差分方程，我們需要從這些方程中求出所要的函數(shù)。本章主要介紹微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函數(shù)的幾種常見的解析方法；并對差分方程的有關(guān)內(nèi)容做一簡單介紹。

87第八章微分方程8.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲線通過（1，2），且在改曲線上任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x，求該曲線的方程。

解設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，y(x)應(yīng)滿足：888.1微分方程的基本概念

例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機突然發(fā)現(xiàn)汽車前放20米處有一小孩在路上玩耍，司機立即剎車，已知汽車剎車后獲得加速度為－4,問汽車是否會撞到小孩？解設(shè)汽車剎車后t秒內(nèi)行駛了s米，根據(jù)題意，反映剎車階段汽車運動規(guī)律的函數(shù)S=S(t),應(yīng)滿足方程：89例2一汽車在公路上以10m/s的速度行駛，司機突然發(fā)在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要90在（9）式中令v=0,得到從開始剎車到完全停住所需要5的時間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使距離為：二.微分方程的基本概念凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為微分方程（differentialequation）.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程（ordinarydifferentialequation）.未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，叫做偏微分方程（partialdifferentialequation）.這里我們只討論常微分方程，簡稱為微分方程，例如91的時間t=2.5秒，因此剎車后汽車行使距離為：二.微分方程的等都是常微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)，稱為該微分方程的階（order），例如（1）和（12）為一階微分方程，（5）和（11）為二階微分方程，而（13）是n階微分方程。92等都是常微分方程。7如果將一個函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個函數(shù)為該微分方程的解（solution）.將（3）。（4）為微分方程（1）的解，而（8）和（10）則是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分別是微分方程（1）與（5）的通解。由于通解中含有任一常數(shù)，所以它還不能確切的反應(yīng)某客觀事物的特定規(guī)律。為此，要根據(jù)問題的實際情況，提出確定這些常數(shù)的條件，這種條件稱為定解條件。確定了通解中的任意常數(shù)后所得。93如果將一個函數(shù)代入微分方程后能是該方程成為恒等式，則稱這個的解，稱為微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的滿足條件（6）的特解時刻的狀態(tài)得到的定解條件，稱為初值條件（initialvaluecondition）.初值條件的個數(shù)通常等于微分方程的階數(shù)，一階微分方程的初值條件一般為94的解，稱為微分方程的特解（particularsoluti

從幾何上看，微分方程的通解對應(yīng)著平面上的一族曲線，稱其為微分方程的積分曲線族，而特解則對應(yīng)著積分曲線族中的某一條曲線，稱其為積分曲線(integralcurve).如是方程（1）的積分曲線族,而95從幾何上看，微分方程的通解對應(yīng)著平面上的一族曲線

8.2可分離變量的一階微分方程一階微分方程（differentialequationoffirstorder）(differentialequationofseparatedvariables).968.2例1求微分方程解首先分離變量，得97例1求微分方程解首先分離變量，得12

以后為了方便起見，我們可把記住結(jié)果中的常數(shù)C可正可負。顯然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程的通解即在條件解分離變量，得98以后為了方便

例3種群的自然生長受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù)的最大容量為b，則種群生長速度不僅與t時刻種群數(shù)量N成正比，且與密度制約因子成正比，試確定種群生長規(guī)律。99例3種群的自然生長受到環(huán)境資源的限制，若種群數(shù)10015

8.3一階線性微分方程

（lineardifferentialequationoffirstOrder),它的特點為左端是關(guān)于未知函數(shù)y及一階導(dǎo)數(shù)1018.3一階線性微分方程（10217二.一階線性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）當它們的解之間也必有某種關(guān)系?，F(xiàn)在，我們把對應(yīng)的其齊次方程的通解（3）中的任意常數(shù)C換成X的待定函數(shù)C（x）,即令情形，可以設(shè)想,103二.一階線性非其次微分方程它們的解之間也必有某種關(guān)系?，F(xiàn)在，10419

上述將對應(yīng)的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成x的待定函數(shù)，并將其代入非齊次方程中以確定C(x)，從而求得非齊此方程的通解的方法叫做常數(shù)變易法（methodofconstant）.

將（5）式改寫成兩項之和的形式105上述將對應(yīng)的齊次方程通解中的任意常數(shù)C替換成20上式右端第一項是方程（1）對應(yīng)的齊次方程（2）的通解，令C=0，則得到第二項，它是非齊次方程（1）的一個特解。由此可知，一階線性非齊次微分方程的通解等于它對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。

對于高階線性微分方程，其通解結(jié)構(gòu)也有類似的結(jié)論。106上式右端第一項是方程（1）對應(yīng)的齊次方程（2）的通解，令C=10722

方法二直接利用非齊次方程的通解公式（5），得108方法二直接利用非齊次方程的通解公式（5），1092411025111261122711328(Bernoullidifferentialequation).114(Bernoullidifferentialequati11530116311173211833

8.4可降階的高階微分方程二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程（differentialequationofhigherorder）.對于有些高階微分方程?？赏ㄟ^適當?shù)淖兞看鷵Q將它轉(zhuǎn)化為較低階的方程來求解。下面介紹三種常見的可降階的微分方程的求解方法。1198.4可降階的高階微分方程3412035

例2一物體由靜止狀態(tài)開始做直線運動，其加速度

試求其位移s與時間t的關(guān)系式。

解由題意知則需要n個初值條件。121試求其位移s與時1223712338124391254012641127421284312944

8.5二階常系數(shù)線性微分方程的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程（linearsecondorderdifferentialequationwithconstantcoefficients），其中f(x)叫做自由項，當

時，方程（1）叫做二階線性齊次微分方程，當時，方程（1）叫做二階線性非齊次微分

方程。

1308.5二階常系數(shù)線性微分方程的微分方下面先來討論這類方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)。一.通解的結(jié)構(gòu)定理1如果是二階線性齊次方程131下面先來討論這類方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)。4613247

13348綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)的定理。134綜上所述，有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)的定理。4知道，一結(jié)線性非齊次方程的通解等于它所對應(yīng)的齊次方程的通解和它的一個特解之和。實際上，二階及更高階的線性非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)也由類似的結(jié)論。135知道，一結(jié)線性非齊次方程的通解等于它所對應(yīng)的齊次方程的通解和13651二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程由定理2可知，求二階線性齊次微分方程的通解，可歸結(jié)為求方程的兩個線性無關(guān)的特解。二階線性齊次方程的特點是各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如果能找到一個函數(shù)y，使它和它的導(dǎo)數(shù)間只差一個常數(shù)因137二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程各乘以常數(shù)因子后相加等于零，如

我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就歸結(jié)為求特征方程的根：138我們把代數(shù)方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，51395414055141561425714358特征方程的根齊次方程的通解兩個相異實根兩個相等實根一對共扼復(fù)根144特征方程的根齊次方程1456014661

三.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程由定理3可知，求二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解，可