2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何28直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課件新人教B版選擇性必修第一冊

2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系核心素養(yǎng)

1.清楚直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.會用坐標法求解直線與圓錐曲線的有關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運算)3.加強數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練與應(yīng)用.(直觀想象)思維脈絡(luò)核心素養(yǎng)1.清楚直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)激趣誘思知識點撥廊橋,顧名思義,橋上建有廊屋的橋,以便過往的行人在橋上納涼休息,躲避風(fēng)雨日曬.江西省境內(nèi)就保存著大量的古廊橋,這些古廊橋最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我國重要的文化遺產(chǎn).風(fēng)雨廊橋、徽派建筑、青石小道勾勒出了獨具韻味的古典美,猶如一幅恬靜的水墨丹青畫卷.這幅畫卷不僅給大家?guī)硭囆g(shù)美的享受,里面還蘊含著建筑結(jié)構(gòu)、幾何圖形等理性的知識,比如,橋洞的截面有的呈半圓形,有的是方形,還有的呈拋物線形,如果把橋面的邊沿和廊屋的立柱看成線段,同學(xué)們能找出直線和拋物線的哪些關(guān)系?激趣誘思知識點撥廊橋,顧名思義,橋上建有廊屋的橋,以便過往的激趣誘思知識點撥1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看,可分為三類:無公共點,有且只有一個公共點及有兩個相異的公共點.(2)從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程,消元后所得方程解的情況來判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.激趣誘思知識點撥1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系激趣誘思知識點撥①若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行或重合;當圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合).②若a≠0,設(shè)Δ=b2-4ac.Δ>0時,直線和圓錐曲線相交于不同兩點;Δ=0時,直線和圓錐曲線相切于一點;Δ<0時,直線和圓錐曲線沒有公共點.激趣誘思知識點撥①若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙激趣誘思知識點撥微判斷

答案:(1)×

(2)√

(3)×微思考橢圓與圓類似,是封閉曲線,能否用中心到直線的距離來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系?提示:不能.橢圓雖然與圓類似,但中心到橢圓上各點的距離不完全相等.激趣誘思知識點撥微判斷答案:(1)×(2)√(3)×激趣誘思知識點撥2.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦(2)當斜率k不存在時,可求出交點坐標,利用兩點間距離公式直接運算.激趣誘思知識點撥2.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題激趣誘思知識點撥微練習(xí)頂點在原點,焦點在x軸上且截直線2x-y+1=0所得弦長為

的拋物線方程為

.

解析:設(shè)所求拋物線的方程為y2=ax(a≠0).①直線方程變形為y=2x+1,②設(shè)拋物線截直線所得弦為AB.將②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,答案:y2=12x或y2=-4x激趣誘思知識點撥微練習(xí)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測點與橢圓位置關(guān)系的判斷

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測點與橢圓位置關(guān)系的判探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

處理點與橢圓位置關(guān)系問題時,緊扣判定條件,然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題,注意求解過程與結(jié)果的準確性.對于橢圓來說:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟處理點與橢探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

若將本例中P點坐標改為“P(1,k)”呢?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究若將本例中探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷例2已知直線l:kx-y+2-k=0,雙曲線C:x2-4y2=4,當k為何值時,(1)l與C無公共點;(2)l與C有唯一公共點;(3)l與C有兩個不同的公共點.分析直線與圓錐曲線的公共點的個數(shù),就等于直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組的解的個數(shù).因此本題可轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)的判定,從而確定參數(shù)的取值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測直線與圓錐曲線的位置探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時,可將直線l的方程代入曲線C的方程,消去y(或x)得一個關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)當a≠0時,若Δ>0,則直線l與曲線C相交;若Δ=0,則直線l與曲線C相切;若Δ<0,則直線l與曲線C相離.(2)當a=0時,即得到一個一次方程,則直線l與曲線C相交,且只有一個交點.此時,若C為雙曲線,則l平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則l平行于拋物線的對稱軸.(3)當直線與雙曲線或拋物線只有一個公共點時,直線與雙曲線或拋物線可能相切,也可能相交.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟判斷直線l探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練1已知直線l:y=2x+m,橢圓C:.試問當m取何值時,直線l與橢圓C:(1)有兩個不同的公共點;(2)有且只有一個公共點;(3)沒有公共點?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練1已知直線l探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測相交弦長問題例3已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,直線y=x+1與橢圓交于P,Q兩點,且OP⊥OQ,|PQ|=,求橢圓的方程.分析設(shè)出橢圓方程,將橢圓方程和直線方程聯(lián)立消去y,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)向量數(shù)量積和弦長公式建立方程組求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測相交弦長問題探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

若直線l與圓錐曲線F(x,y)=0相交于A,B兩點,求弦AB的長可用下列兩種方法:(1)把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,解得點A,B的坐標,然后用兩點間距離公式,便得到弦AB的長,一般來說,這種方法較為麻煩.(2)不求交點坐標,可用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.設(shè)直線方程為y=kx+m,與圓錐曲線F(x,y)=0交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟若直線l與探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練2拋物線y2=12x截直線y=2x+1所得弦長等于(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練2拋物線y2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測中點弦問題(1)以P(2,-1)為中點的弦所在直線的方程;(2)斜率為2的平行弦中點的軌跡方程;(3)過Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程.分析可利用平方差法求解,在求軌跡方程時要注意變量的范圍.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測中點弦問題探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:設(shè)弦的兩端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點為R(x,y),則2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B兩點均在橢圓上,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:設(shè)弦的兩端點分別探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

對中點弦問題,常用的解題方法——平方差法,其解題步驟為:(1)設(shè)點,即設(shè)出弦的兩端點坐標;(2)代入,即代入圓錐曲線方程;(3)作差,即兩式相減,然后用平方差公式把上式展開,整理.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟?qū)χ悬c弦問探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練3已知橢圓x2+2y2=4,則以(1,1)為中點的弦的長度為(

)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練3已知橢圓x探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測存在性問題之探究案例

已知雙曲線2x2-y2=2,過點B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于點Q1,Q2,且點B是弦Q1Q2的中點,若存在這樣的直線l,求出它的方程;若不存在,請說明理由.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測存在性問題之探究探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測歸納提升(1)利用“點差法”解題,其過程是無法保證直線與雙曲線相交的,因此必須對所求得直線方程的存在性進行驗證.(2)確定好運算方法,形成運算程序的完備性,有利于培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)素養(yǎng).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測歸納提升(1)利用“探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線有(

)A.1條 B.2條 C.3條D.4條答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.過點(0,1)作探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.已知直線l:x-y+m=0與雙曲線x2-=1交于不同的兩點A,B,若線段AB的中點在圓x2+y2=5上,則m的值是

.

解析:設(shè)線段AB的中點為M(x0,y0),∴x0=m,∴y0=x0+m=2m,∵點M(x0,y0)在圓x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,檢驗可知判別式Δ>0.故m=±1.答案:±1探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.已知直線l:x-探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.拋物線x2=-y上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值為

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.拋物線x2=-y探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系核心素養(yǎng)

1.清楚直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.會用坐標法求解直線與圓錐曲線的有關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運算)3.加強數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練與應(yīng)用.(直觀想象)思維脈絡(luò)核心素養(yǎng)1.清楚直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)激趣誘思知識點撥廊橋,顧名思義,橋上建有廊屋的橋,以便過往的行人在橋上納涼休息,躲避風(fēng)雨日曬.江西省境內(nèi)就保存著大量的古廊橋,這些古廊橋最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我國重要的文化遺產(chǎn).風(fēng)雨廊橋、徽派建筑、青石小道勾勒出了獨具韻味的古典美,猶如一幅恬靜的水墨丹青畫卷.這幅畫卷不僅給大家?guī)硭囆g(shù)美的享受,里面還蘊含著建筑結(jié)構(gòu)、幾何圖形等理性的知識,比如,橋洞的截面有的呈半圓形,有的是方形,還有的呈拋物線形,如果把橋面的邊沿和廊屋的立柱看成線段,同學(xué)們能找出直線和拋物線的哪些關(guān)系?激趣誘思知識點撥廊橋,顧名思義,橋上建有廊屋的橋,以便過往的激趣誘思知識點撥1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看,可分為三類:無公共點,有且只有一個公共點及有兩個相異的公共點.(2)從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程,消元后所得方程解的情況來判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.激趣誘思知識點撥1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系激趣誘思知識點撥①若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行或重合;當圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合).②若a≠0,設(shè)Δ=b2-4ac.Δ>0時,直線和圓錐曲線相交于不同兩點;Δ=0時,直線和圓錐曲線相切于一點;Δ<0時,直線和圓錐曲線沒有公共點.激趣誘思知識點撥①若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙激趣誘思知識點撥微判斷

答案:(1)×

(2)√

(3)×微思考橢圓與圓類似,是封閉曲線,能否用中心到直線的距離來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系?提示:不能.橢圓雖然與圓類似,但中心到橢圓上各點的距離不完全相等.激趣誘思知識點撥微判斷答案:(1)×(2)√(3)×激趣誘思知識點撥2.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦(2)當斜率k不存在時,可求出交點坐標,利用兩點間距離公式直接運算.激趣誘思知識點撥2.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題激趣誘思知識點撥微練習(xí)頂點在原點,焦點在x軸上且截直線2x-y+1=0所得弦長為

的拋物線方程為

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解析:設(shè)所求拋物線的方程為y2=ax(a≠0).①直線方程變形為y=2x+1,②設(shè)拋物線截直線所得弦為AB.將②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,答案:y2=12x或y2=-4x激趣誘思知識點撥微練習(xí)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測點與橢圓位置關(guān)系的判斷

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測點與橢圓位置關(guān)系的判探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

處理點與橢圓位置關(guān)系問題時,緊扣判定條件,然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題,注意求解過程與結(jié)果的準確性.對于橢圓來說:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟處理點與橢探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

若將本例中P點坐標改為“P(1,k)”呢?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究若將本例中探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷例2已知直線l:kx-y+2-k=0,雙曲線C:x2-4y2=4,當k為何值時,(1)l與C無公共點;(2)l與C有唯一公共點;(3)l與C有兩個不同的公共點.分析直線與圓錐曲線的公共點的個數(shù),就等于直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組的解的個數(shù).因此本題可轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)的判定,從而確定參數(shù)的取值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測直線與圓錐曲線的位置探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時,可將直線l的方程代入曲線C的方程,消去y(或x)得一個關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)當a≠0時,若Δ>0,則直線l與曲線C相交;若Δ=0,則直線l與曲線C相切;若Δ<0,則直線l與曲線C相離.(2)當a=0時,即得到一個一次方程,則直線l與曲線C相交,且只有一個交點.此時,若C為雙曲線,則l平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則l平行于拋物線的對稱軸.(3)當直線與雙曲線或拋物線只有一個公共點時,直線與雙曲線或拋物線可能相切,也可能相交.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟判斷直線l探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練1已知直線l:y=2x+m,橢圓C:.試問當m取何值時,直線l與橢圓C:(1)有兩個不同的公共點;(2)有且只有一個公共點;(3)沒有公共點?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練1已知直線l探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測相交弦長問題例3已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,直線y=x+1與橢圓交于P,Q兩點,且OP⊥OQ,|PQ|=,求橢圓的方程.分析設(shè)出橢圓方程,將橢圓方程和直線方程聯(lián)立消去y,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)向量數(shù)量積和弦長公式建立方程組求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測相交弦長問題探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

若直線l與圓錐曲線F(x,y)=0相交于A,B兩點,求弦AB的長可用下列兩種方法:(1)把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,解得點A,B的坐標,然后用兩點間距離公式,便得到弦AB的長,一般來說,這種方法較為麻煩.(2)不求交點坐標,可用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.設(shè)直線方程為y=kx+m,與圓錐曲線F(x,y)=0交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟若直線l與探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練2拋物線y2=12x截直線y=2x+1所得弦長等于(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練2拋物線y2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測中點弦問題(1)以P(2,-1)為中點的弦所在直線的方程;(2)斜率為2的平行弦中點的軌跡方程;(3)過Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程.分析可利用平方差法求解,在求軌跡方程時要注意變量的范圍.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測中點弦問題探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:設(shè)弦的兩端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點為R(x,y),則2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B兩點均在橢圓上,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:設(shè)弦的兩端點分別探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

對中點弦問題,常用的解題方法——平方差法,其解題步驟為:(1)設(shè)點,即設(shè)出弦的兩端點坐標;(2)代入,即代入圓錐曲線方程;(3)作差,即兩式相減,然后用平方差公式把上式展開,整理.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟?qū)χ悬c弦問探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練3已知橢圓x2+2y2=4,則以(1,1)為中點的弦的長度為(

)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓(xùn)練3已知橢圓x探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測存在性問題之探