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文檔簡介
10.1相交線第10章相交線、平行線與平移第2課時垂線及其性質(zhì)10.1相交線第10章相交線、平行線第2課時垂線1
畫框的邊線,十字路口兩條筆直的街道,屋架的橫梁與支撐等都相交成多少度的角?它們有什么特殊的位置關(guān)系?觀察畫框的邊線,十字路口兩條筆直的街道,屋架的橫梁與支2日常生活中,如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見,你能再舉出其他例子嗎?日常生活中,如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見,你能再舉出3在相交線的模型中,固定木條a,轉(zhuǎn)動木條b,當b的位置變化時,a、b所成的角α也會發(fā)生變化.)α
abbbbb)α
垂線的概念在相交線的模型中,固定木條a,轉(zhuǎn)動木條b,當b的)αabb4問題
如圖,當∠AOC=90°時,∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度?為什么?ABCDO由對頂角和鄰補角的性質(zhì),知當∠AOC=90°時,∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.問題如圖,當∠AOC=90°時,∠BOD、∠AOD、∠B5它們的交點叫作垂足.兩條直線相交所成的四個角中,有一個是直角時,這兩條直線叫作互相垂直.其中每一條直線叫作另一條的垂線ACDBO“垂直”用符號“⊥”表示.如圖中,AB與CD垂直(O為垂足),記作AB⊥CD,讀作AB垂直于CD.它們的交點叫作垂足.兩條直線相交所成的四個角中,有一個是直角6兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直.
注意:兩條線段互相垂直是指這兩條線段所在的直線互相垂直.
垂直定義:知識要點兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互7
如果直線AB與直線CD垂直,那么可記作:AB⊥CD(或CD⊥AB).
如果用l、m表示這兩條直線,那么直線l與直線m垂直,可記作:l⊥m(或m⊥l).
把互相垂直的兩條直線的交點叫作垂足(如圖中的O點).ABCDOlm垂直的表示法如果直線AB與直線CD垂直,那么可記作:AB⊥CD(8ABCDO符號語言:如圖,當直線AB與CD相交于O點,∠AOD=90°時,AB⊥CD,垂足為O.①判定:∵∠AOD=90°,(已知)
∴AB⊥CD.(垂直的定義)符號語言:反之,若直線AB與CD垂直,垂足為O,那么∠AOD=90°.②性質(zhì):∵AB⊥CD
,(已知)
∴∠AOD=90°.(垂直的定義)(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)垂線的基本性質(zhì)ABCDO符號語言:如圖,當直線AB與CD相交于O點,∠AO9例1(1)如圖1,若直線m、n相交于點O,∠1=90°,則
;
(2)若直線AB、CD相交于點O,且AB⊥CD,那么∠BOD=______;
(3)如圖2,BO⊥AO,∠BOC與∠BOA的度數(shù)之比為1∶5,那么∠COA=____,∠BOC的補角為
.Omn1BCAOm⊥n
90°72°162°典例精析圖1圖2例1(1)如圖1,若直線m、n相交于點O,∠1=90°,則10
你能借助三角尺在一張白紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎?活動1:你能借助三角尺在一張白紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎?11
如果只有直尺,你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎?活動2:如果只有直尺,你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎12折一折,試一試你能用紙折出兩條互相垂直的直線嗎?折一折,試一試你能用紙折出兩條互相垂直的直線嗎?13例2
如圖,直線BC與MN相交于點O,AO⊥BC,∠BOE=∠NOE,若∠EON=20°,求∠AOM和∠NOC的度數(shù).解:∵∠BOE=∠NOE,∴∠BON=2∠EON=40°,∴∠NOC=180°-∠BON
=180°-40°=140°,∠MOC=∠BON=40°.∵AO⊥BC,∴∠AOC=90°,∴∠AOM=∠AOC-∠MOC=90°-40°=50°,∴∠NOC=140°,∠AOM=50°.例2如圖,直線BC與MN相交于點O,AO⊥BC,∠BOE14問題:(1)畫已知直線l的垂線能畫幾條?(2)過直線l上的一點A畫l的垂線,這樣的垂線能畫幾條?(3)過直線l外的一點B畫l的垂線,這樣的垂線能畫幾條?垂線的畫法及基本事實A.Bl.問題:(1)畫已知直線l的垂線能畫幾條?垂線的畫法及基本事實15問題:這樣畫l的垂線可以畫幾條?1.放2.靠3.畫lO如圖,已知直線l,作l的垂線.A無數(shù)條問題:這樣畫l的垂線可以畫幾條?1.放lO如圖,已知直線l16lAB1.放2.靠3.移4.畫如圖,已知直線l和l上的一點A,作l的垂線.
問題:這樣畫l的垂線可以畫幾條?一條lAB1.放如圖,已知直線l和l上的一點A,作l的垂線17lAB1.放2.靠3.移4.畫如圖,已知直線l和l外的一點A,作l的垂線.根據(jù)以上操作,你能得出什么結(jié)論lAB1.放如圖,已知直線l和l外的一點A,作l的垂線18垂線的性質(zhì):在同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線垂直于已知直線.注意:1.“過一點”中的點,可以在已知直線上,也可以在已知直線外;2.“有且只有”中,“有”指存在,“只有”指唯一性.總結(jié)歸納垂線的性質(zhì):在同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線垂直于已知直19CDEl點到直線的距離1.線段AB,AC,AD,AE誰最短?
2.你能用一句話表示這個結(jié)論嗎?說一說:
如圖,從A點向已知直線l畫一條垂直的線段和幾條不垂直的線段.B
ACDEl點到直線的距離1.線段AB,AC,AD,AE20
在連接直線外一點與直線上各點的線段中,垂線段最短.簡單說成:垂線段最短.
線段AD的長度叫做點A到直線l的距離.總結(jié)歸納特別規(guī)定:Dl
A在連接直線外一點與直線上各點的線段中,垂線段211.如圖所示,某工廠要在河岸l上建一個水泵房引水到C處,問建在哪個位置上才最節(jié)省水管?為什么?動腦筋lC由C點向l作垂線,CP,垂足為P,所以建在P點上最節(jié)省水管P垂線段最短1.如圖所示,某工廠要在河岸l上建一個水泵房引水到C處,222.體育課上應該怎樣測量同學們的跳遠成績?為什么?測量身體的最后著地點到跳板前邊緣所在直線的距離2.體育課上應該怎樣測量同學們的跳遠成績?為什么?測量身體的23如圖,在同一平面內(nèi),如果a⊥l,b⊥l,那么a//b嗎?動腦筋lab12
因為∠1=∠2=90o,它們是同位角,所以a//b在平面內(nèi)垂直于同一條兩條直線平行如圖,在同一平面內(nèi),如果a⊥l,b⊥l,那么a//b嗎?動24如圖,設(shè)a//b,l⊥a,那么l⊥b嗎?
在平面內(nèi),如果一直線垂直于兩平行線中的一條,那么這條直線必垂直于另一條.lab12
因為l⊥a,所以∠1=90o,因為a//b,所以∠2=∠1=90o,從而l⊥b如圖,設(shè)a//b,l⊥a,那么l⊥b嗎?在平面內(nèi),如果一25如圖的簡易屋架中,BD,AE,HF都垂直于CG,若∠1=60o,求∠2的度數(shù).解:因為BD,AE都垂直于CG,所以BD//AE(在平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線平行)從而∠2=∠1=60o(兩直線平行,同位角相等)例1CABDEFGH12如圖的簡易屋架中,BD,AE,HF都垂直于CG,若∠1=6026如圖,已知CD⊥AB,∠1=∠2,求∠BFE的度數(shù).解:因為∠1=∠2,所以EF//CD
(同位角相等,兩直線平行).例2又因為CD⊥AB,所以EF⊥AB,即∠BFE=90oABCEFD12如圖,已知CD⊥AB,∠1=∠2,求∠BFE的度數(shù).解:271.如圖,直線AB,CD相交于O,EO⊥CD,∠BOE=60o,求∠AOC的度數(shù).練習ABCDEO解:∵EO⊥CD∴∠EOD=90°又∠BOE+∠BOD=∠EOD=90°∴∠BOD=90°-∠BOE=90°-60°=30°又∠BOD=∠AOC∴∠AOC=30°1.如圖,直線AB,CD相交于O,EO⊥CD,∠BOE=628ABCD2.如圖,AB⊥AD,CD⊥AD,∠B=56o,求∠C解:∵AB⊥ADCD⊥AD∴DC∥AB∴∠B+∠C=180°∠C=180°-∠B=180°-56°=124°ABCD2.如圖,AB⊥AD,CD⊥AD,∠B=56o,求∠291.兩條直線相交所成的四個角中,下列條件中能判定兩條直線垂直的是()
A.有兩個角相等
B.有兩對角相等
C.有三個角相等D.有四對鄰補角C當堂練習1.兩條直線相交所成的四個角中,下列條件中能C當堂練習302.過點P向線段AB
所在直線引垂線,正確的是()
ABCDC2.過點P向線段AB所在直線引垂線,正確的是(314.找出圖中互相垂直的線段:AO⊥COBO⊥DOABCDO3.如圖,AC⊥BC,∠C=90°,線段AC、BC、CD中最短的是(
)A.AC
B.BC
C.CDD.不能確定DABCC4.找出圖中互相垂直的線段:AO⊥COABCDO3.325.下列說法正確的是()A.線段AB叫做點B到直線AC的距離B.線段AB的長度叫作點A到直線AC的距離C.線段BD的長度叫作點D到直線BC的距離D.線段BD的長度叫作點B到直線AC的距離ABCDD5.下列說法正確的是()ABCDD336.已知:如圖,AB⊥CD,垂足為O,EF為過點O的一條直線,則∠1與∠2的關(guān)系一定成立的是()
A.相等B.互余
C.互補D.互為對頂角ABCDEFO12D6.已知:如圖,AB⊥CD,垂足為O,EF為過點O的一條直線34
7.如圖,已知直線AB、CD都經(jīng)過O點,OE為射線,若∠1=35°,∠2=55°,則OE與AB的位置關(guān)系是
.CABOE12D垂直7.如圖,已知直線AB、CD都經(jīng)過O點,OE為射CABOE35
當兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是直角時,這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫另一條直線的垂線,它們的交點叫垂足.1.垂線的定義2.垂線的畫法3.垂線的性質(zhì)(1)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直,(2)垂線段最短.4.點到直線的距離課堂小結(jié)當兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是直角3610.1相交線第10章相交線、平行線與平移第2課時垂線及其性質(zhì)10.1相交線第10章相交線、平行線第2課時垂線37
畫框的邊線,十字路口兩條筆直的街道,屋架的橫梁與支撐等都相交成多少度的角?它們有什么特殊的位置關(guān)系?觀察畫框的邊線,十字路口兩條筆直的街道,屋架的橫梁與支38日常生活中,如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見,你能再舉出其他例子嗎?日常生活中,如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見,你能再舉出39在相交線的模型中,固定木條a,轉(zhuǎn)動木條b,當b的位置變化時,a、b所成的角α也會發(fā)生變化.)α
abbbbb)α
垂線的概念在相交線的模型中,固定木條a,轉(zhuǎn)動木條b,當b的)αabb40問題
如圖,當∠AOC=90°時,∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度?為什么?ABCDO由對頂角和鄰補角的性質(zhì),知當∠AOC=90°時,∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.問題如圖,當∠AOC=90°時,∠BOD、∠AOD、∠B41它們的交點叫作垂足.兩條直線相交所成的四個角中,有一個是直角時,這兩條直線叫作互相垂直.其中每一條直線叫作另一條的垂線ACDBO“垂直”用符號“⊥”表示.如圖中,AB與CD垂直(O為垂足),記作AB⊥CD,讀作AB垂直于CD.它們的交點叫作垂足.兩條直線相交所成的四個角中,有一個是直角42兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直.
注意:兩條線段互相垂直是指這兩條線段所在的直線互相垂直.
垂直定義:知識要點兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互43
如果直線AB與直線CD垂直,那么可記作:AB⊥CD(或CD⊥AB).
如果用l、m表示這兩條直線,那么直線l與直線m垂直,可記作:l⊥m(或m⊥l).
把互相垂直的兩條直線的交點叫作垂足(如圖中的O點).ABCDOlm垂直的表示法如果直線AB與直線CD垂直,那么可記作:AB⊥CD(44ABCDO符號語言:如圖,當直線AB與CD相交于O點,∠AOD=90°時,AB⊥CD,垂足為O.①判定:∵∠AOD=90°,(已知)
∴AB⊥CD.(垂直的定義)符號語言:反之,若直線AB與CD垂直,垂足為O,那么∠AOD=90°.②性質(zhì):∵AB⊥CD
,(已知)
∴∠AOD=90°.(垂直的定義)(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)垂線的基本性質(zhì)ABCDO符號語言:如圖,當直線AB與CD相交于O點,∠AO45例1(1)如圖1,若直線m、n相交于點O,∠1=90°,則
;
(2)若直線AB、CD相交于點O,且AB⊥CD,那么∠BOD=______;
(3)如圖2,BO⊥AO,∠BOC與∠BOA的度數(shù)之比為1∶5,那么∠COA=____,∠BOC的補角為
.Omn1BCAOm⊥n
90°72°162°典例精析圖1圖2例1(1)如圖1,若直線m、n相交于點O,∠1=90°,則46
你能借助三角尺在一張白紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎?活動1:你能借助三角尺在一張白紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎?47
如果只有直尺,你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎?活動2:如果只有直尺,你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎48折一折,試一試你能用紙折出兩條互相垂直的直線嗎?折一折,試一試你能用紙折出兩條互相垂直的直線嗎?49例2
如圖,直線BC與MN相交于點O,AO⊥BC,∠BOE=∠NOE,若∠EON=20°,求∠AOM和∠NOC的度數(shù).解:∵∠BOE=∠NOE,∴∠BON=2∠EON=40°,∴∠NOC=180°-∠BON
=180°-40°=140°,∠MOC=∠BON=40°.∵AO⊥BC,∴∠AOC=90°,∴∠AOM=∠AOC-∠MOC=90°-40°=50°,∴∠NOC=140°,∠AOM=50°.例2如圖,直線BC與MN相交于點O,AO⊥BC,∠BOE50問題:(1)畫已知直線l的垂線能畫幾條?(2)過直線l上的一點A畫l的垂線,這樣的垂線能畫幾條?(3)過直線l外的一點B畫l的垂線,這樣的垂線能畫幾條?垂線的畫法及基本事實A.Bl.問題:(1)畫已知直線l的垂線能畫幾條?垂線的畫法及基本事實51問題:這樣畫l的垂線可以畫幾條?1.放2.靠3.畫lO如圖,已知直線l,作l的垂線.A無數(shù)條問題:這樣畫l的垂線可以畫幾條?1.放lO如圖,已知直線l52lAB1.放2.靠3.移4.畫如圖,已知直線l和l上的一點A,作l的垂線.
問題:這樣畫l的垂線可以畫幾條?一條lAB1.放如圖,已知直線l和l上的一點A,作l的垂線53lAB1.放2.靠3.移4.畫如圖,已知直線l和l外的一點A,作l的垂線.根據(jù)以上操作,你能得出什么結(jié)論lAB1.放如圖,已知直線l和l外的一點A,作l的垂線54垂線的性質(zhì):在同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線垂直于已知直線.注意:1.“過一點”中的點,可以在已知直線上,也可以在已知直線外;2.“有且只有”中,“有”指存在,“只有”指唯一性.總結(jié)歸納垂線的性質(zhì):在同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線垂直于已知直55CDEl點到直線的距離1.線段AB,AC,AD,AE誰最短?
2.你能用一句話表示這個結(jié)論嗎?說一說:
如圖,從A點向已知直線l畫一條垂直的線段和幾條不垂直的線段.B
ACDEl點到直線的距離1.線段AB,AC,AD,AE56
在連接直線外一點與直線上各點的線段中,垂線段最短.簡單說成:垂線段最短.
線段AD的長度叫做點A到直線l的距離.總結(jié)歸納特別規(guī)定:Dl
A在連接直線外一點與直線上各點的線段中,垂線段571.如圖所示,某工廠要在河岸l上建一個水泵房引水到C處,問建在哪個位置上才最節(jié)省水管?為什么?動腦筋lC由C點向l作垂線,CP,垂足為P,所以建在P點上最節(jié)省水管P垂線段最短1.如圖所示,某工廠要在河岸l上建一個水泵房引水到C處,582.體育課上應該怎樣測量同學們的跳遠成績?為什么?測量身體的最后著地點到跳板前邊緣所在直線的距離2.體育課上應該怎樣測量同學們的跳遠成績?為什么?測量身體的59如圖,在同一平面內(nèi),如果a⊥l,b⊥l,那么a//b嗎?動腦筋lab12
因為∠1=∠2=90o,它們是同位角,所以a//b在平面內(nèi)垂直于同一條兩條直線平行如圖,在同一平面內(nèi),如果a⊥l,b⊥l,那么a//b嗎?動60如圖,設(shè)a//b,l⊥a,那么l⊥b嗎?
在平面內(nèi),如果一直線垂直于兩平行線中的一條,那么這條直線必垂直于另一條.lab12
因為l⊥a,所以∠1=90o,因為a//b,所以∠2=∠1=90o,從而l⊥b如圖,設(shè)a//b,l⊥a,那么l⊥b嗎?在平面內(nèi),如果一61如圖的簡易屋架中,BD,AE,HF都垂直于CG,若∠1=60o,求∠2的度數(shù).解:因為BD,AE都垂直于CG,所以BD//AE(在平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線平行)從而∠2=∠1=60o(兩直線平行,同位角相等)例1CABDEFGH12如圖的簡易屋架中,BD,AE,HF都垂直于CG,若∠1=6062如圖,已知CD⊥AB,∠1=∠2,求∠BFE的度數(shù).解:因為∠1=∠2,所以EF//CD
(同位角相等,兩直線平行).例2又因為CD⊥AB,所以EF⊥AB,即∠BFE=90oABCEFD12如圖,已知CD⊥AB,∠1=∠2,求∠BFE的度數(shù).解:631.如圖,直線AB,CD相交于O,EO⊥CD,∠BOE=60o,求∠AOC的度數(shù).練習ABCDEO解:∵EO⊥CD∴∠EOD=90°又∠BOE+∠BOD=∠EOD=90°∴∠BOD=90°-∠BOE=90°-60°=30°又∠BOD=∠AOC∴∠AOC=30°1.如圖,直線AB,CD相交于O,EO⊥CD,∠BOE=664ABCD2.如圖,AB⊥AD,CD⊥AD,∠B=56o,求∠C解:∵AB⊥ADCD⊥AD∴DC∥AB∴∠B+∠C=180°∠C=180°-∠B=180°-56°=124°ABCD2.如圖,AB⊥AD,CD⊥AD,∠B=56o,求∠651.兩條直線相交所成的四個角中,下列條件中能判定兩條直線垂直的是()
A.有兩個角相等
B.有兩對角相等
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