8.3極坐標(biāo)系下的二重積分公開課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

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8.3極坐標(biāo)系下二重積分P(r,)r=r()··oorr)r·Pr)r=r()yx如:

r=ar=2cosr=2sin·有些二重積分用直角坐標(biāo)計(jì)算比較繁瑣，甚至無法計(jì)算，如例6。x2+y2=1x2+y2=4xyD1D[注記]：⑴對于一個(gè)二重積分，當(dāng)：

①積分區(qū)域D邊界曲線用極坐標(biāo)方程表示比較輕易；

②被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r、來表示比較簡單這時(shí)，用極坐標(biāo)計(jì)算會(huì)帶來方便。⑵因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)與極坐標(biāo)之間相關(guān)系：

所以極坐標(biāo)系下二重積分表示式為●在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分，一樣是化為二次

積分來計(jì)算，一樣有選擇積分次序和確定積分

限問題。但積分次序多以先對r后對次序，

而確定積分限可分為三種情形：于是得到在極坐標(biāo)下二重積分化為二次積分公式：1若積分區(qū)域D：或?qū)懽?若極點(diǎn)在D內(nèi)部則D能夠用不等式表示:這時(shí)有若D由兩條封閉曲線圍成（如圖），則3若極點(diǎn)O在D邊界上，且D由射線=、=

和連續(xù)曲線r=r()圍成。即這時(shí)比如·orr=r()ror=r()例：直角坐標(biāo)極坐標(biāo)解利用把積分區(qū)域邊界曲線化為極坐標(biāo)形式：解于是例3計(jì)算，其中D是以解

D能夠表示成原點(diǎn)為圓心，半徑為a圓域.用極坐標(biāo)解例5計(jì)算其中D為解所以D可表示為圓方程：和x軸所圍成區(qū)域，并說明該積分幾何意義.

表示成極坐標(biāo)形式：于是，利用極坐標(biāo)得：幾何意義圓柱面是球面當(dāng)積分區(qū)域?yàn)?部分)圓、扇形或扇面等慣用極坐標(biāo)計(jì)算.形狀時(shí)，函數(shù)含有直角坐

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