齊次方程一階線性微分方程

f

(u)

uf

(u)

u其中

(u)

du

.當(dāng)f

(u)

u

0時(shí)，

du

lnx

C

x

Ce

(

u)

,x2xy

(

y

)代入得通解x

Ce

.將u

若

u0

使得

f

(u0

)

u0

0,

則

u

u0

是新方程的解代回原方程得齊次方程的解為y

u0

x.例1

解下列微分方程x

dy

y

x

tan

y

.dx

xx

dy

y

(

x

y)

ln

x

y

.dx

x3x4此外

sin

y

0

也是方程的解,它包含于通解中.x

sinu

Cx

通解為

sin

y

Cx.解(1)

令

y

ux

代入原方程得u

x

du

u

tan

u

cotudu

dx

(sinu

0)dx

x5x

ln(1

u)

Cx

ln(1

y

)

Cx(u

0)du

dx(1

u)

ln(1

u)

xdxx

du

(1

u)

ln(1

u)(2)

令

y

ux

(u

1)

代入原方程得

通解為

y

x(eCx

1).此外

y

0

也是方程的解,它包含在通解中.例2

解微分方程dx

mx

ny

l

dy

ax

by

c

f

其中

a,

b,

c,

m,

n

和

l

均為常數(shù).解

若

c

l

0

,它是齊次方程令

y

ux

即可求解.若

c

和

l

不全為零，分如下兩種情形

：6化為變量分離方程求解.7,

則原方程可化為du再令v

zu

mu

nv

dv

f

au

bv

.令

y

v

k

x

u

h有唯一解

x

h.

y

k.則方程組(1)當(dāng)

an

bm

0

時(shí),ax

by

c

0mx

ny

l

0分離方程從而可求解.8

dx

u

l

du

a

bf

u

c

,

它是一個(gè)變量再令u(x)

ax

by，則原方程化為

f

dx

(ax

by)

l

dy

ax

by

c

(2)

當(dāng)

an

bm

0

時(shí),令

m

n

,

則原方程可化為a

b(1)例3

解下列微分方程(2)9dy

x

y

1

;dx

x

y

3dy

2

x

y

1

.dx

4

x

2

y

3

x

1.

x

y

1

0解(1)由

x

y

3

0

y

2.

dv

u

v

x

u

1令

y

v

2

du

u

v

.

1

2z

z

2

Cu2

u2

2uv

v

2

C

(

x

1)2

2(

x

1)(

y

2)

(

y

2)2

C.即通解為x2

2xy

y2

2x

6

y

C.102

1

ln

1

2z

z

2

ln

u

C

(1

2z

z2

0)令

z

v

,

則

z

u

dz

1

zu

du

1

z(2)

令

u(

x)

2

x

y,

則代入方程得du

5u

5

2u

3

du

5dx

(u

1)dx

2u

3

u

1

2u

ln

u

1

5

x

C

2

x

y

1

Ce2

y

x此外

u

1

即

y

1

2

x

是方程的解它含于通解中.11第四節(jié) 一階線性微分方程定義形如dxdy

p

x

y

q

x

(((*)))的方程稱為一階線性微分方程

其中

p(,x),q()x

為已知的連續(xù)函數(shù).(1)

求方程

(*)

對(duì)應(yīng)的齊次方程dy

p(

x)

y

0

的通解

y

Ce

.dx12代入方程(*)并化簡(jiǎn)整理得(2)

用常數(shù)變易法求通解(C為任意常數(shù).dxdxdx

方程(*)的通解()

qxCexCqxedC()x

設(shè)

yCxe

()

非齊次方程(*)

的解，yCeqxe

()(())13通解

齊次方程的通解

非齊次方程的特解注釋:方程(*)的通解

e

q(

x)e

dx.

Cey

e

C

q(

x)e

dx14.15(2)dxdy

ydx

2

y

ln

y

y

x(1)

x

dy

2

y

2

x4

;例1

解下列微分方程dx

x其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為y

Cx

2

.令

y

C

(

x)

x

2

代入原方程得C'(

x)

2

x

C

(

x)

x

2

C

原方程的通解為y

x

2

(x

2

C

).16解法1

原方程可化為

dy

2

y

2

x

3

,417x2yx4

x2

C

x2

y

'

2x

2xy'

x2

2xy

原方程的通解為y

x2

(x2

C

).解法2

由

xy'2

y

2x

y18yyC'(

y)

y

2

y

ln

y

C(

y)

C

y2

ln

yx

C(

y)原方程的通解為x

C

y

ln

y.代入原方程得令其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為x

C

.(2)

原方程可化為dx

x

1

2

ln

y,dy y(3)19x2dx

y

.(5)

dy

x

(4)

(1

y2

)

ydx

2(2

xy2

1)dy

0;dy

1

y

sin

x

;dx

x

x

e dx

C

xdxdx

1x1xsin

x解

(3)

通解為

y

e

e dx

C

eln

xln

xsin

xx

1

(

sin

xdx

C

)xx20

1

cos

x

C

.24

yy(1

y2

)x

dy

1

y2(4)原方程可改寫為dx

2[edy4

ydy4

ydy

C]

2

21

y1

y

y(1

y2

)故通解為x

e121(2

ln

y

y2

C

).(1

y2

)2(5)

顯然

y

0

不是方程的解.令

u(

x)

x2

y

x,

則

u(

x)

0,

且y

2xu

u2

d

y

2u

2x

du

2u

dudx

dx

dx22.32u2Cd

u2udu2u

u2

2

e du

C

x

e例2

與

y

軸平行的動(dòng)直線被曲線

)(與段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影求曲線

(

xf)y.23解由題意得2403x

f

(

x)

y'

y

3

x

2f

(

x)dx

xC

y

edx

dx23x

e

dx

Ce

x

3

x2

6

x

6.由y

|x0

0

C

6.故所求的曲線方程為y

3(2e

x

x2

2x

2).練

習(xí)

題1.

解下列微分方程x2dx(2)

dy

1

2x

y

1

0.(1)

.