2017中考復(fù)習(xí)-特殊四邊形綜合題

特殊四邊形綜合題1．如圖，是正方形的對(duì)角線，2，邊在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為，連接、并過點(diǎn)Q作丄，垂足為0,連接、（1）請(qǐng)直接寫出線段在平移過程中，四邊形是什么四邊形？（2）請(qǐng)判斷、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明；（3）在平移變換過程中，設(shè)△（0WxW2）,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值．2?已知在矩形中，Z的平分線與邊所在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是線段上一定點(diǎn)（其中V）（1）如圖1,若點(diǎn)F在邊上（不與D重合），將Z繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊、分別交射線于點(diǎn)H、G.①求證：②探究：、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）拓展：如圖2,若點(diǎn)F在的延長線上（不與D重合），過點(diǎn)P作丄，交射線于點(diǎn)G，你認(rèn)為（1）中、、之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．圖1圖？3.已知正方形的邊長為4,一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊、的延長線交于點(diǎn)E、F,連接.設(shè)，.如圖1,當(dāng)Z被對(duì)角線平分時(shí)，求a、b的值；當(dāng)△是直角三角形時(shí)，求a、b的值；如圖3,探索Z繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由．4?如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)0，點(diǎn)M，N分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C，D重合)，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且Z始終保持45°不變.求證：巫立；AM2求證：丄；請(qǐng)?zhí)剿鳎涸赯的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)Z等于多少度時(shí)，ZZ?寫出你的探索結(jié)論，并加以證明.5?如圖，矩形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，且Z90°?當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，求證：△$△；當(dāng)2時(shí)，求空的值；BC設(shè)1,,作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C',連結(jié)'，，若點(diǎn)C'到的距離是遼,求n的值.6?如圖1，在菱形中，6蔦，Z2，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a(a=Z)，得到對(duì)應(yīng)線段.求證：；當(dāng)秒時(shí)，的長度有最小值，最小值等于；如圖2,連接、交、于點(diǎn)P、Q,當(dāng)t為何值時(shí)，△是直角三角形？如圖3,將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a(a=Z),得到對(duì)應(yīng)線段?在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于直線上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)F到直線的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式.7?已知四邊形是菱形，4,Z60°,Z的兩邊分別與射線，相交于點(diǎn)E,F,且Z60°?如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段,，之間的數(shù)量關(guān)系;如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與B、C重合)，求證：如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長線上，且Z15。時(shí)，求點(diǎn)F到的距離.8.如圖①，為等腰直角△的高，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在正方形的邊和上，連接，.求證：；（2）將正方形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，（如圖②所示）①求證：丄；②設(shè)與交于點(diǎn)M,若:3②設(shè)與交于點(diǎn)M,若:3：4,求圖的值.BDC圖②BDCE圖①9?如圖①，在△中，Z90°,,點(diǎn)E在上（且不與點(diǎn)A,C重合），在△的外部作△，使Z90。，，連接，分別以，為鄰邊作平行四邊形，連接.（1）請(qǐng)直接寫出線段，的數(shù)量關(guān)系;（2）將△繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖②，連接，請(qǐng)判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將△繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷（2）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過程；若變化，請(qǐng)說明理由．10?如圖（1）矩形中，2,5,l,Z90。將Z繞點(diǎn)P從處開始按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交（或）于點(diǎn)E，交邊（或）于點(diǎn)F,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至處時(shí)，Z的旋轉(zhuǎn)隨即停止（1）特殊情形：如圖（2）,發(fā)現(xiàn)當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，也恰好過點(diǎn)D,此時(shí)，△s△（填：“仝”或“?”（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，亞的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)，△面積為S,試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)4.2時(shí)，求所對(duì)應(yīng)的t的值．11?已知：點(diǎn)P是平行四邊形對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F,點(diǎn)0為的中點(diǎn)．I八、、?（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)0重合時(shí)如圖1,易證（不需證明）（2）直線繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)Z30。時(shí)，如圖2、圖3的位置，猜想線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你對(duì)圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明．DCD0EASAAS圖2圖iDCD0EASAAS圖2圖ips212?如圖，在正方形中，點(diǎn)E為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接，.如圖1,求證：△$△；如圖2，延長交直線于點(diǎn)F，G在直線上，且．求證：丄；已知正方形的邊長為2,若點(diǎn)E在對(duì)角線上移動(dòng)，當(dāng)△為等邊三角形時(shí),求線段的長(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)．13?如圖1，在正方形內(nèi)作Z45°，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)A作丄，垂足為H．如圖2，將△繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△?

求證：若2，3，求的長．如圖3,連接交于點(diǎn)M,交于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段,，之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．14?如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作〃交于點(diǎn)G,連接．求證：四邊形是菱形；探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；若6,2?號(hào)求的長.15?如圖】，△是等腰直角三角形15?如圖】，△是等腰直角三角形，Z90四邊形是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊、上，此時(shí)，丄成立.當(dāng)△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0(0°<0<90°)時(shí)，如圖2,成立嗎?若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；當(dāng)△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3,延長交于點(diǎn)H.求證：丄；當(dāng)2,3.邁時(shí)，求線段的長.16?如圖1,在矩形中，>,Z的平分線與、分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)0是的中點(diǎn)，直線〃，交于點(diǎn)K,交于點(diǎn)G.求證：①；②；若，4「邁.求的長度；如圖2,點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D、K重合)，〃交于點(diǎn)M,〃交于點(diǎn)N,設(shè)，當(dāng)時(shí)，求m的值.△417?已知正方形，P為射線上的一點(diǎn)，以為邊作正方形，使點(diǎn)F在線段的延長線上，連接、．如圖1,若點(diǎn)P在線段的延長線上，求證：若點(diǎn)P在線段上．如圖2,連接，當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，判斷△的形狀，并說明理由；如圖3，設(shè)，，當(dāng)平分Z時(shí)，求a：b及Z的度數(shù).18?在四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)0,設(shè)銳角Za,將△按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到厶D‘‘(0°V旋轉(zhuǎn)角V90°)連接與'相交于點(diǎn)M.當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，如圖1?求證：?當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，設(shè)，如圖2.猜想此時(shí)△'與△'有何關(guān)系，證明你的猜想；探究'與'的數(shù)量關(guān)系以及Z與a的大小關(guān)系，并給予證明.隔1區(qū)?19?已知菱形的邊長為l,Z60°，等邊△兩邊分別交、于點(diǎn)E、F.特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊、的中點(diǎn)，求證：菱形對(duì)角線、的交點(diǎn)0即為等邊△的外心；若點(diǎn)E、F始終分別在邊、上移動(dòng)，記等邊△的外心為P.①猜想驗(yàn)證：如圖2,猜想△的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運(yùn)用:如圖3,當(dāng)E、F分別是邊、的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P任作一直線，分別交邊于點(diǎn)M,邊于點(diǎn)G，邊的延長線于點(diǎn)N，請(qǐng)你直接寫出，的值.DMDN20?在正方形中，是一條對(duì)角線，點(diǎn)E在直線上(與點(diǎn)C，D不重合)，連接，平移△，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△，過點(diǎn)F作丄于點(diǎn)G，連接，.問題猜想：如圖1,若點(diǎn)E在線段上，試猜想與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；類比探究：如圖2,若點(diǎn)E在線段的延長線上，其余條件不變，小明猜想(1)中的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你給出證明；解決問題：若點(diǎn)E在線段的延長線上，且Z120°，正方形的邊長為2，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，并直接寫出的長度．

.4B.4B如圖，正方形邊長為6,菱形的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形的邊、上，連接．求證：ZZ；當(dāng)2時(shí)，求證：菱形為正方形；設(shè)，2x,△的面積為y,試求y的最大值.如圖1,四邊形中，〃，丄，點(diǎn)E在邊上，Z90°，且.求證：△$△；若，，，請(qǐng)用圖1證明勾股定理：a222線段上另有一點(diǎn)F(不與點(diǎn)E重合)，且丄(如圖2),若2,4,求的長．23?如圖1,正方形中，是對(duì)角線，等腰△中，Z90°,,點(diǎn)M在邊上，連接，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接．若2，6，求的值；求證：2；當(dāng)?shù)妊鞯狞c(diǎn)M落在正方形的邊上，如圖2,連接，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)F.請(qǐng)?zhí)骄烤€段、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.24?正方形的邊長為3,點(diǎn)E,F分別在射線，上運(yùn)動(dòng)，且?連接，作丄所在直線于點(diǎn)H,連接.如圖1,若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，與之間的數(shù)量關(guān)系是;如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊上且不是的中點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線，上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，過點(diǎn)D作直線的垂線，交直線于點(diǎn)K,連接，請(qǐng)直接寫出線段長的最大值.25?問題：如圖(1)，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，Z45°，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△，從而發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你利用圖(1)證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖(2)，四邊形中，ZH90。，，ZZ180。，點(diǎn)E、F分別在邊、上，則當(dāng)Z與Z滿足關(guān)系時(shí)，仍有.【探究應(yīng)用】如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形.已知80米，Z60°，Z120°，Z150。，道路、上分別有景點(diǎn)E、F，且丄，40(立-1)米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路的長(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：.邁=1.41，?込=1.73)26?如圖1,正方形與正方形放置在直線l上，連結(jié)、，此時(shí)?丄成立.正方形繞0點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2,試判斷與還相等嗎?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.正方形繞0點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線l上，如圖3，求證:丄.在(2)小題的條件下，與的交點(diǎn)為G，當(dāng)3，立時(shí)，求線段的長.如圖，在正方形與等腰直角三角形中，Z90。，，連接，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接、如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，求證：￥_；如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，線段、有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明．

已知：l〃l〃l〃l，平行線l與l、l與l、l與l之間的距離分1234122334別為d、d、d,且d=1,d=2?我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在l、l、l、l這1231321234四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”.如圖1，正方形為“格線四邊形”，則正方形的邊長為?矩形為“格線四邊形”，其長：寬=2：1,求矩形的寬.如圖1,過正方形的頂點(diǎn)D且垂直l于點(diǎn)E，分別交l,l于點(diǎn)F，G.將124Z繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到Z,D,(如圖2),點(diǎn)D'在直線l上，以'3為邊在E'D'左側(cè)作菱形'C'D',使B',C‘分別在直線l,l上，求24菱形'C'D'的邊長.二￡E圈1二￡E圈1A正方形邊長為4，點(diǎn)E，M分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長，交正方形的邊于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作丄于H,交于N.如圖1,若點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：；如圖2,若點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1的速度沿向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以衛(wèi)速度沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)；當(dāng)點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；連結(jié)，，當(dāng)t為何值時(shí)△是等腰三角形(直接寫出t值).30?已知，正方形中，Z45°，Z繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交、(或它們的延長線)于點(diǎn)M、N，丄于點(diǎn)H.如圖①，當(dāng)Z點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)，請(qǐng)你直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：；如圖②，當(dāng)Z繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到H時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；如圖③，已知Z45°，丄于點(diǎn)H，且2，3，求的長.圈①圖②禺③特殊四邊形綜合題答案1．如圖，是正方形的對(duì)角線，2，邊在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為，連接、并過點(diǎn)Q作丄，垂足為0,連接、請(qǐng)直接寫出線段在平移過程中，四邊形是什么四邊形？請(qǐng)判斷、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明；在平移變換過程中，設(shè)&(0WxW2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值．解：(1)四邊形為平行四邊形(2)，丄，理由如下：???四邊形是正方形，???，ZZ45°,??丄，???Z45°,???ZZZ45°,???，在△和△中，應(yīng)二PQ<ZAB0=ZPQ0lB0=Q0???，ZZ,???ZZ90°,

???丄；如圖，過0作丄于E.①如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí),??4X垂?x，即丄(1)2-12244又???0WxW2,???當(dāng)2時(shí)，y有最大值為2；X「藍(lán)?x，即-丄(x-1)2+丄244又???0WxW2，???當(dāng)1時(shí)，y有最大值為丄；4綜上所述，.??當(dāng)2時(shí)，y有最大值為2；2?已知在矩形中，Z的平分線與邊所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段上一定點(diǎn)(其中V)如圖1，若點(diǎn)F在邊上(不與D重合)，將Z繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊、分別交射線于點(diǎn)H、G.????9????9①求證：②探究：、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）拓展：如圖2,若點(diǎn)F在的延長線上（不與D重合），過點(diǎn)P作丄，交射線于點(diǎn)G,你認(rèn)為（1）中、、之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立,給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．圖1圖？【分析】（1）①若證，可證，已知ZZ,由旋轉(zhuǎn)可知ZZ90。及平分Z得△為等腰直角三角形，即ZZ45。、，即可得證；②由△為等腰直角三角形，知'邁,，根據(jù)即可得；（2）過點(diǎn)P作丄交射線于點(diǎn)H，先證△為等腰直角三角形可得，’邁，再證△=△可得，根據(jù)--可得-T二.解：（1）①???ZZ90°,Z90°,AZZ，???平分Z,AZZ45°,???△為等腰直角三角形，AZZ45°,在△和△中，.JZPHG=ZPDF:Zgph=Zfpd由①知，△為等腰直角三角形，??，??辺；(2)不成立，數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為：-左,如圖，過點(diǎn)P作丄交射線于點(diǎn)H,???丄，???ZZ90°,ZZ，???平分Z，且在矩形中，Z90°，???ZZ45。，得到△為等腰直角三角形,???ZZ45°，且，‘邁,ZZ180°-45°=135°，在△和△中，fZGPH=ZFPDZGHP=ZFDPiPH=PD△^△，??，3.已知正方形的邊長為4,一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊、的延長線交于點(diǎn)E、F,連接.設(shè)，.如圖1,當(dāng)Z被對(duì)角線平分時(shí)，求a、b的值；當(dāng)△是直角三角形時(shí)，求a、b的值；如圖3,探索Z繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由．【分析】(1)當(dāng)Z被對(duì)角線平分時(shí)，易證，因此，即.分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，①先用勾股定理得出2=8(4)①，再用相似三角形得出4(4)②，兩式聯(lián)立解方程組即可；先判斷出ZZ，再判斷出，從而得到△即可.解：(1)???四邊形是正方形，???ZZ90°???是正方形的對(duì)角線，???ZZ45°，AZZ，?Z被對(duì)角線平分,AZZ，在△和△中,'ZACF=ZACE<AC=AC，lZcaf=Zcae…，、：△◎△,???ZZ,???Z45°,???ZZ67.5°,???，Z90°,ZZ22.5°,VZZ22.5°,???ZZ,???4?邁，即：4?邁;(2)當(dāng)△是直角三角形時(shí),①當(dāng)Z90。時(shí)，???ZZ90°VZZ90°,AZZVZ90°,Z45°,AZ45°=Z?,fZADF=ZFCE在△和△中*ZAFD=ZCEF:AF=EF-?4,8,?8,4

②當(dāng)Z90。時(shí)，同①的方法得，4,8,???4,8.（3）32，理由：如圖，4-__D??〃?.ZZ,??Z45°,??ZZ45°,??ZZ45°,ZZZ180°-(ZZ)-Z180°-90°-45°=45°,??ZZ,VZZ135°,???笙湮，EC"AC.*.X2=22=32?32.（2016?淄博）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,點(diǎn)M,N分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C,D重合），分別交于點(diǎn)E,F,且Z始終保持45。不變.

求證：璽_=邁：AM2求證：丄：請(qǐng)?zhí)剿鳎涸赯的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)Z等于多少度時(shí)，ZZ?寫出你的探索結(jié)論，并加以證明．【分析】(1)先證明A、B、M、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可證明Z90。，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題.由(1)的結(jié)論即可證明．由：A、B、M、F四點(diǎn)共圓，推出ZZ,因?yàn)閆Z,所以ZZ,推出〃，得至二型，推出，再證明△即可解決問題.CBCD證明：???四邊形是正方形，???ZZ45°,Z90°,???Z45°,AZZ,???A、B、M、F四點(diǎn)共圓，???ZZ180°,???Z90°,AZZ45°,由(1)可知Z90°,?丄.5555(3)結(jié)論：Z22.5時(shí)，ZZ理由：TA、B、M、F四點(diǎn)共圓,ZZ,ZZ,ZZ,〃，CM=CNcFCD在△和△中，rAB=ADZABN=ZADN=90'，、EM二DMAZZ，VZ45°,ZZ45°,Z22.5°?(2016?麗水)如圖，矩形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，且Z90°?當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，求證：△$△；當(dāng)2時(shí)，求空的值；BC設(shè)1,,作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C',連結(jié)'，，若點(diǎn)C'到的距離是m,求n的值．E【分析】(1)由矩形和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出丄，由等腰三角2形的性質(zhì)得出ZZ,證出，由證明△即可；設(shè)，則2a,3a,證明△，得出對(duì)應(yīng)邊成比例空二竺，得出2=6a2,ECED由勾股定理得出龍，即可得出結(jié)果；過C'作C'H丄于點(diǎn)H，連接'交于M，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出ZZ，證出ZZ，由證明，得出ZZ90。，證出四邊形L是矩形，得出，設(shè)，貝1，由勾股定理得出方程，解方程求出應(yīng),551021叵巨；由(2)得：，，把1,代入計(jì)算即可得出n的值.105ECED證明；：?在矩形中，Z90°,F是斜邊的中點(diǎn)，???*，AZZ,VZ90°,E為中點(diǎn)，???，?，rZBFC=ZDCE在△和△中，*貫二CE，,Zfcb=Zdec???△$△();解：設(shè)，由2,得：2a,3a,???是△斜邊上的中線，?:寺，VZZ,ZZ90°,:?\s\,???空強(qiáng)，ECED即：詮二邑,aED解得：2=6a2由勾股定理得：DG=、;DE-EC=血—a=、&，.?.CD立“瓦BC3a3(3)解：過C‘作C'H丄于點(diǎn)H,連接'交于M,如圖所示:???是△斜邊上的中線,AZZ,???四邊形是矩形，???〃，，AZZ,AZZ,fAD=BC在△和△中，’/機(jī)F二ZECF，,DF=CF???ZZ90°,V±,C,C±,ZZC,ZC,90°,???四邊形C'是矩形，???'Z帀，設(shè)，則響，在△和△中，由勾股定理得：2-22-2,.??12-X2=（養(yǎng)左I）2-（恭遼）2,55解得：衛(wèi)，或-衛(wèi)（舍去），102.?「龍，】龍養(yǎng)石：10105由（2）得：，2,EC"ED把1,代入上式計(jì)算得：.L,2.??匚甌2=10H解得：4.6?如圖1,在菱形中，6蔦，Z2，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a（a=Z）,得到對(duì)應(yīng)線段.（1）求證：；（2）當(dāng)6衛(wèi)+6秒時(shí)，的長度有最小值，最小值等于12；（3）如圖2,連接、交、于點(diǎn)P、Q,當(dāng)t為何值時(shí)，△是直角三角形？（4）如圖3,將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a（a=Z）,得到對(duì)應(yīng)線段?在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于直線上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)F到直線的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式.【分析】（1）由ZZ得ZZ,結(jié)合、證△即可得;當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E'時(shí)，由'知此時(shí)最小，求得即可得答案；①Z90。時(shí)，由ZZ、、得ZZ90。，根據(jù)6鹿，ZZ2即可求得；②Z90。時(shí)，由菱形的對(duì)角線丄知與重合，可得6?運(yùn)；連接分別角直線、于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)F作丄于點(diǎn)H，證可得Z3=Z4=Z1=Z2，即〃，從而知四邊形是平行四邊形，由平行四邊形得6,弓再由ZZZ知6?:虧，根據(jù)ZZ2可得6；虧+12，由得-6；號(hào)-12，利用ZZ2即可得.解：(DTZZ，即ZZZZ，AZZ，???四邊形是菱形,在△和△中，fCF=CEZDCF=ZBCE?:CD=CB2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E'時(shí)，'，此時(shí)最小,在△'中，6’話，ZZ'=2,???設(shè)'，貝'=2x，??565,則，=6???'=6打+6,'=12,故答案為：6左+6,12；(3)T,???ZV90°,①當(dāng)Z90。時(shí)，如圖2①,AE■D圖2①FVZZ,,AZZ,VZZ,???ZZ90°,??6話,ZZ2,?6?6秒；②當(dāng)Z90。時(shí)，如圖2②,A(E)pB匸F圖2②???菱形的對(duì)角線丄,?與重合???6左,???6爲(wèi)秒；⑷二-12-陰汚,55如圖3,連接分別角直線、于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)F作丄于點(diǎn)H,由（1）知Z1=Z2,又VZ1+ZZ2+Z,AZZ,在△和△中，#fEC=FC??二藝DCE二三GCF，:DC=GCAZ3=Z4,VZ1=Z3,Z1=Z2,AZ2=Z4,???〃，又?四邊形是平行四邊形，??6,5,vzz,AZZZ,???6左，VZZ2,.?.6左+12,???,.?.-6薦-12,VZZ2,:二陀(t-6第-12),即空［-12-如污.7?已知四邊形是菱形，4,Z60°,Z的兩邊分別與射線，相交于點(diǎn)E,F,且Z60°?如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段,，之間的數(shù)量關(guān)系;如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與B、C重合)，求證：如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長線上，且Z15。時(shí)，求點(diǎn)F到的距離.【分析】(1)結(jié)論?只要證明即可證明△是等邊三角形.欲證明，只要證明△即可.過點(diǎn)A作丄于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作丄于點(diǎn)H,根據(jù)?30°，因?yàn)?，只要求出即可解決問題.解：結(jié)論.理由：如圖1中,連接,

四邊形是菱形，Z60°,,ZZ60°,△，△是等邊三角形，ZZ60°?ZZ30°,丄，?Z60°,.ZZ30°,?丄,（菱形的高相等），△是等邊三角形,??2）證明：如圖2中人DVZZ60°,AZZ,在△和△中,"ZBAE=ZCAF<BA=AC，lZb=Zacf（3）解：過點(diǎn)A作丄于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作丄于點(diǎn)H,

???Z15°,Z60°,???Z45°,在△中，???Z60°4,在△中,VZZ45°,2：虧-2,???，2?運(yùn)-2,在△中,VZ180°-Z60°,2七-2,????60。=（2七-2）?立=3-七????點(diǎn)F到的距離為3-主.8.如圖①，為等腰直角△的高，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在正方形的邊和上，連接，.（1）求證：；（2）將正方形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，（如圖②所示）求證：丄；設(shè)與交于點(diǎn)M,若：3：4,求塑的值.【分析】(1)如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得Z90。，，則可根據(jù)““判斷，于是得到；①如圖②，先判斷△為等腰直角三角形得到Z1=Z2=45°，再由△得到Z3=Z2=45°，則可得Z90°，所以丄；②設(shè)3x,則4x,即7x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得三！，由(1)的結(jié)論得4x，則根據(jù)勾股定理得5x，接著由△為等腰直角三角形得到Z4=45°,注2,然后證明則利用相似比可計(jì)算出空！，所以竺22147于是可計(jì)算出如的值.證明：如圖①,BDCE陰???為等腰直角△的高,???四邊形為正方形,AZ90在△和△中"BD=AD<ZBDG=ZADE?,DG=DE①證明：如圖②,FFBDC圖②???四邊形為正方形，???△為等腰直角三角形，???Z1二Z2=45°,由(1)得AZ3=Z2=45°,???Z1+Z3=45°+45°=90°，即Z90°,???丄；②解：設(shè)3x,則4x,即7x,???立『遼，22在△中，ABBG+AG2*(4x)2+(3x)2二5x，?△為等腰直角三角形，???/4=45°,忌叵,22???/3=/4,而//，.??：：，即邑2x：二：邑lx,解得空22214.?.一遼一厲遼空,2147???NDS&V2259?如圖①，在△中，Z90°,,點(diǎn)E在上（且不與點(diǎn)A,C重合），在△的外部作△，使Z90。，，連接，分別以，為鄰邊作平行四邊形，連接.（1）請(qǐng)直接寫出線段，的數(shù)量關(guān)系_2_；（2）將△繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖②，連接，請(qǐng)判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將△繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷（2）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過程；若變化，請(qǐng)說明理由．A【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：?邁，只要證明△是等腰直角三角形即可.（2）如圖②中，結(jié)論：?.邁，連接，交于K，先證明再證明△是等腰直角三角形即可．（3）如圖③中，結(jié)論不變，?巨，連接，延長交于K，先證明，再證明△是等腰直角三角形即可.解：（1）如圖①中，結(jié)論：?邁.AAAADF理由：???四邊形是平行四邊形,VZZ90°,???△是等腰直角三角形，???邁.故答案為?.邁?(2)如圖②中，結(jié)論：立.ADFADF理由：連接，交于K.?四邊形是平行四邊形???〃，???ZZ45°,???180°-Z135°,,???Z180°-Z180°-45°=135°,AZZ,VZZC,…，???,在△和△中,'EK二ED</EKF二/ADE，lKF=AD：、△◎△,???，ZZ,???ZZ90°,???△是等腰直角三角形，如圖③中，結(jié)論不變，?邁?理由：連接,延長交于K．VZ180°-Z-Z135°-Z,Z(90°-Z)+Z135°-Z,ZZ，在△和△中，'DF=AC<ZEDF=ZACE，,DE=CE:.△空△,???，ZZ,???ZZ90°,???△是等腰直角三角形,10?如圖（1）矩形中，2,5,1,Z90。將Z繞點(diǎn)P從處開始按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交（或）于點(diǎn)E,交邊（或）于點(diǎn)F,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至處時(shí)，Z的旋轉(zhuǎn)隨即停止（1）特殊情形：如圖（2）,發(fā)現(xiàn)當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，也恰好過點(diǎn)D,此時(shí)，△亠△（填：“仝”或“?”（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，匹的值是否為定值？若是，請(qǐng)PF求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)，△面積為S,試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)4.2時(shí)，求所對(duì)應(yīng)的t的值．圉1^2RPC郅【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出ZZ90。，再通過角的計(jì)算得出ZZ,由此即可得出△"△；（2）過點(diǎn)F作丄于點(diǎn)H,根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角的計(jì)算找出ZZ90°、ZZ,由此即可得出△，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找出邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)E在和上兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊的長度,再利用分割圖形求面積法找出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，令4.2求出t值,此題得解．解：（1）???四邊形為矩形，???ZZ90°，???ZZ90°?VZ90°，AZZ90°，???//，???△“△.故答案為：S.（2）是定值?如圖3，過點(diǎn)F作丄于點(diǎn)H，RPHC?矩形中，2，AZZ90°，2,AZZ90???Z90°,：.ZZ90°,ZZ,:?\s\,??厘單???1,PF_HF???，-PF~2（3）分兩種情況:①如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，OWtW2.SPHC?,2,.??2-t.由（2）可知：.??理型，即—t」,HP_PFHP_2???4-21??5-2t,???-S-S-S矩形△△△?一1?一1?一]???￥2-45（0WtW2）.當(dāng)4.2時(shí)，12-45=4.2,?OWtW2,

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，OWtW1,②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，OWtW1,過點(diǎn)E作丄于點(diǎn)K,1-t.同理可證：△“△,???理俚，即丄，F(xiàn)C_PFFC2??2-21.2t,-5-t,???-S-S-s?-丄?-丄?-丄?2-25(0WtWl).矩形△△△當(dāng)4.2時(shí)，t2-25=4.2,解得：1土近?5?.?0W1W1,???1-亙綜上所述：當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，2-45(OW1W2),當(dāng)4.2時(shí)，2-壬：5；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，2-25(OWtW1),當(dāng)-壬：5；當(dāng)點(diǎn)E511?(2016?龍東地區(qū))已知：點(diǎn)P是平行四邊形對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合)，分別過點(diǎn)A、C向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F,點(diǎn)O為的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)0重合時(shí)如圖1,易證(不需證明)直線繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)Z30。時(shí)，如圖2、圖3的位置，猜想線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你對(duì)圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明?

c圖1圖2砂【分析】(1)由△即可得出結(jié)論.(2)圖2中的結(jié)論為：延長交于點(diǎn)G,只要證明，△是等邊三角形，即可解決問題．圖3中的結(jié)論為：-，延長交的延長線于點(diǎn)G,證明方法類似.解：(1)???丄，丄，???ZZ90°,在△和△中，^ZAEO=ZCFO乂ZAOE=ZCOF，lAO=OC(2)圖2中的結(jié)論為：．圖3中的結(jié)論為：-.如圖2中的結(jié)論證明如下延長交于點(diǎn)G，圖2?丄，丄???〃，?ZZ，在△和△中，^ZEAO=ZGCO乂AO=OC，lZaoe=Zcog:.△空△,…，,在△中，???，…,VZ30°，???Z90°-30°=60°,?：△是等邊三角形，選圖3的結(jié)論證明如下延長交的延長線于點(diǎn)G，/C圖3???〃，AZZG，在△和△中,^ZAEO=ZG乂ZAOE=ZGOC，lAO=OC:.△空△,…，，在△中，???，…，VZ30°,???Z90°-30°=60°,???△是等邊三角形，?，?，?，12?如圖，在正方形中，點(diǎn)E為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接，.（1）如圖1,求證：△$△；（2）如圖2，延長交直線于點(diǎn)F，G在直線上，且．求證：丄；已知正方形的邊長為2,若點(diǎn)E在對(duì)角線上移動(dòng)，當(dāng)△為等邊三角形時(shí),求線段的長（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）．分析】（1）利用判定定理（）可證；（2）①利用（1）的結(jié)論與正方形的性質(zhì)，只需證明ZZ90。即可;②由丄可構(gòu)造直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)可求的長.解：（1）???四邊形是正方形，是其對(duì)角線，AZZ,fCD=CB〔已證〕在△與△中，＜NDCE二（已證）Ilce=ce（公共邊）（2）①證明：???由（1）可知△$△，ZZ又?四邊形是正方形，???〃，zz，zz，又?，ZZ，ZZ，又?.?Z90°,???ZZ90°,ZZ90°，?丄②解：如下圖所示，???△為等邊三角形,???Z60°，???由（1）知ZZ60°,在△中，Z90°,??.?60°二2-空1,33又???丄，???ZZ30°,,在△中，?30°二込-1,???2（七-1）13?如圖1,在正方形內(nèi)作Z45°，交于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F,連接，過點(diǎn)A作丄，垂足為H．（1）如圖2,將△繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△?求證：△$△；若2,3,求的長?（2）如圖3,連接交于點(diǎn)M,交于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段,，之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由?【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:，ZZ,接下來在證明ZZ,然后依據(jù)證明△即可；②由全等三角形的性質(zhì)可知：，5?設(shè)正方形的邊長為x,接下來，在△中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可；（2）將△逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△'?在A'D中依據(jù)勾股定理可證明'/2,接下來證明△$△',于的得到'，最后再由'證明即可.解，（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，ZZ.???四邊形為正方形，???Z90°?又?.?Z45°,AZZ45°?AZZ45°?AZZ?fAG=AF在△和△中.ZGAE^ZFAE，:AE=AE.?.△仝△.②?.?△仝△，丄，丄，?，5?設(shè)正方形的邊長為X，貝y-2，-3.在△中，由勾股定理得：222，即（x-2）2+（X-3）2=25.解得：6??6??6?（3）如圖所示：將△逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△'??四邊形為正方形，AZZ45°?由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：ZZ'=45???Z'=9022222．22222．???Z'=90°,Z45°,???ZZ'=45°?在△和△'中，”伽nm皿,iAN=AN又?,?222?14?如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作〃交于點(diǎn)G,連接?（1）求證：四邊形是菱形；（2）探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若6，2第，求的長.【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明ZZ，從而得到，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明；（2）連接，交于點(diǎn)0?由菱形的性質(zhì)可知丄，丄，接下來，證明△“△，2由相似三角形的性質(zhì)可證明2?，于是可得到、、的數(shù)量關(guān)系；（3）過點(diǎn)G作丄，垂足為H.利用（2）的結(jié)論可求得4,然后再△中依據(jù)勾股定理可求得的長，然后再證明△，利用相似三角形的性質(zhì)可求得的長，最后依據(jù)-求解即可.解：（1）證明：???〃，AZZ.???由翻折的性質(zhì)可知：，ZZ,AZZ????四邊形為菱形.(2廠寺??理由：如圖1所示：連接，交于點(diǎn)0.四邊形為菱形，?丄，丄2?ZZ90°，ZZ,?巫型，即2?.AF"DF(3)如圖2所示：過點(diǎn)G作丄，垂足為H.y,6，2左,???20丄（6）,整理得：2+6-40=0.2解得：4，-10（舍去）.2左，10,?亦FP4?虧丄，丄，〃.里縣，即旦二丄AD"AF4^510???-4行-空［二空L15?如圖】，△是等腰直角三角形，Z90°,，四邊形是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊、上，此時(shí)，丄成立.（1）當(dāng)△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0（0°<0<90°）時(shí)，如圖2,成立嗎?若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長交于點(diǎn)H.①求證：丄;②當(dāng)2,3?遷時(shí)，求線段的長.【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明證明結(jié)論；（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可；②連接，延長交于M,根據(jù)題意和等腰直角三角形的性質(zhì)求出、的長，根據(jù)勾股定理求出的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可得到答案．解：（1）．理由如下：由題意得，zze,在△和△中，tA=BA乂ZCAF=ZBAB，lFA=DA:.△空△,??9（2）①由（1）得△今△,AZZ,VZZ,ZZ90°,???ZZ90°,???Z90°，即丄;②連接，延長交于M,???四邊形是正方形，3’邁,2,???3,-1,???△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,???Z45°,?丄,??4代+胡"1°，VZZ45°,???Z90°，又Z90°,ZZ,.\rn=rn，即旦二應(yīng),DHDFDH&解得，琴L16?如圖1,在矩形中，＞,Z的平分線與、分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)0是的中點(diǎn)，直線〃，交于點(diǎn)K,交于點(diǎn)G.（1）求證：①；②；（2）若，4-遠(yuǎn)求的長度；如圖2,點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D、K重合），〃交于點(diǎn)M,〃交于點(diǎn)N,設(shè)，當(dāng)S立時(shí)，求m的值.△4【分析】（1）①先根據(jù)判定，②再根據(jù)等腰三角形和平行四邊形的性質(zhì),得出結(jié)論；（2）①先根據(jù)等量代換得出，再設(shè)，根據(jù)列出關(guān)于a的方程，求得a的值,進(jìn)而計(jì)算的長；②先過點(diǎn)G作丄，求得S的值，再根據(jù)四邊形是平行四邊△形，以及△，求得s和S的表達(dá)式，最后根據(jù)等量關(guān)系S△△平行四邊形-S-S，列出關(guān)于m的方程，求得m的值即可.△△△解：（1）①???在矩形中，〃AZZ,ZZ

???點(diǎn)0是的中點(diǎn)②???四邊形是矩形???ZZ90°,〃又???平分Z?ZZ45°???〃，〃?四邊形是平行四邊形(2)①由(1)得，四邊形是平行四邊形圖1又，且設(shè)，則'.邁.?.4-立-主a，-立-a.?.4_..邁-込/s-a

②過點(diǎn)G作丄于點(diǎn)I圖2由（2）①可知2.*.2-m???〃，〃???四邊形是平行四邊形，同理（卡）？「邁VS垂△_?S2S2XJLTOC\o"1-5"\h\z平行四邊形△沖又?.?S-S-S平行四邊形△△△?2X二邁-（旦）2…電-（「卬）2?.邁，即m2-21=0422'解得m=112.??當(dāng)S翌時(shí)，m的值為1△417?已知正方形，P為射線上的一點(diǎn)，以為邊作正方形，使點(diǎn)F在線段的延長線上，連接、．如圖1,若點(diǎn)P在線段的延長線上，求證：若點(diǎn)P在線段上.如圖2,連接，當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，判斷△的形狀，并說明理由；如圖3，設(shè)，，當(dāng)平分Z時(shí)，求a：b及Z的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)解答；②根據(jù)〃，得至U匹二匹，代入a、b的值計(jì)算求出a：b，根據(jù)角平分線的判BCGB定定理得到ZZ，證明ZZ，即可求出Z的度數(shù).解：(1)???四邊形和四邊形是正方形，在△和△中，<ZP=ZF，,PE=EF.??；(2)①TP為的中點(diǎn),???，又，???，???Z45°，又Z45°，???Z90。，即△是直角三角形;

圖3???平分圖3???平分z.丄，.*.-b,-(2a_2b)=2b-a???〃，.??匹強(qiáng)，即b=a~bBCGB且2b_a解得，■.邁；作丄于H，z45°，X(2pb-2b)=(2-<2)b，又2b-(2-衛(wèi))b,22，丄，丄，zz，〃，zz，zz45°．a(chǎn)：邁：1；?：Z4518?在四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)0，設(shè)銳角Za，將△按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到厶D‘‘(0°V旋轉(zhuǎn)角V90°)連接'、'，'與'相交于點(diǎn)M.(1)當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，如圖1?求證：?(2)當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，設(shè)，如圖2.猜想此時(shí)△'與△'有何關(guān)系，證明你的猜想；探究'與'的數(shù)量關(guān)系以及Z與a的大小關(guān)系，并給予證明.隔1區(qū)r【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)及角之間的關(guān)系證明(2)①先進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形比例關(guān)系即可得出答案；②易證貝lJ,,,Z,=Z,A#Z/,從而得出Za.證明：在矩形中，，丄，丄，22…,又???'，'，?//…，?ZDZC，???180°-ZD'180°-ZC'，AZ'=Z'，???在厶'和厶'中，rOA=OB乂ZBODy=ZAOCypD，二OL???△''；解：①△'-△';理由如下：?在平行四邊形中，，，又?，，?//?，，?ZDZC，?180°-ZD180°-ZC，AZ,=Z,,?//?：：：，???,?//?，???△'s\△；②…,Za；設(shè)與相交于點(diǎn)N，?ZZ，???180°-Z'-Z180°-Z'-Z,即ZZa,綜上所述，，Za；19?已知菱形的邊長為l,Z60°，等邊△兩邊分別交、于點(diǎn)E、F.(1)特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點(diǎn)E、F分別是邊、的中點(diǎn),求證：菱形對(duì)角線、的交點(diǎn)0即為等邊△的外心；(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊、上移動(dòng)，記等邊△的外心為P.①猜想驗(yàn)證：如圖2,猜想△的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運(yùn)用:如圖3,當(dāng)E、F分別是邊、的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P任作一直線，分別交邊于點(diǎn)M,邊于點(diǎn)G，邊的延長線于點(diǎn)N，請(qǐng)你直接寫出，的值.DMDN【分析】(1)連接、OF,由四邊形是菱形，得出丄，平分Z,,又由E、F分別為、中點(diǎn)，證得0,則可得點(diǎn)0即為△的外心；(2)①連接、，過點(diǎn)P分別作丄于I,丄于J,求出Z的度數(shù)，又由點(diǎn)P是等邊△的外心，易證得，可得，即點(diǎn)P在Z的平分線上，即點(diǎn)P落在直線上；②連接、交于點(diǎn)P,由(1)可得點(diǎn)P即為△的外心?設(shè)，(xHO,yHO),則-1,先利用證明，得出，1-x，再由〃，得出△，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出空二空，進(jìn)而求出.為定值2.DWDMDJIDN證明：如圖1，連接、OF，CFBDA罔1???四邊形是菱形，???丄，平分Z,，AZZZ90°Z!^X60°=30°，22又???E、F分別為、中點(diǎn)，???丄，丄，丄,222?O，???點(diǎn)0即為△的外心；解：①猜想：外心P—定落在直線上?理由如下:如圖2，分別連接、，過點(diǎn)P分別作丄于I，丄于J，圖2?ZZ90°，???Z60°,AZ360°-Z-Z-Z120°,???點(diǎn)P是等邊△的外心，???Z120°,,AZZ,AZZ,?,???點(diǎn)P在Z的平分線上，即點(diǎn)P落在直線上；②為定值2?DMDN連接、交于點(diǎn)P,由（1）可得點(diǎn)P即為△的外心.如圖3,設(shè)交于點(diǎn)G,DAfA圄3設(shè)，（xHO,yHO）,則-1,???〃，?ZZ，ZZ，又由（1）知，?，?1-x????〃，:、\s\,ACN^G,???2,AH2,工7即=2.DMDN20?在正方形中，是一條對(duì)角線，點(diǎn)E在直線上（與點(diǎn)C,D不重合），連接，平移△，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△，過點(diǎn)F作丄于點(diǎn)G,連接，.（1）問題猜想：如圖1,若點(diǎn)E在線段上，試猜想與的數(shù)量關(guān)系是_,位置關(guān)系是丄；（2）類比探究：如圖2,若點(diǎn)E在線段的延長線上，其余條件不變，小明猜想（1）中的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你給出證明；（3）解決問題：若點(diǎn)E在線段的延長線上，且Z120°，正方形的邊長為2，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，并直接寫出的長度.【分析】（1）由平移得到，再由正方形的性質(zhì)得出ZZ?從而證明即可；（2）由平移得到，再由正方形的性質(zhì)得出ZZ,,從而證明△即可；（3）由（1）的結(jié)論，丄，得出Z45°，推導(dǎo)出Z30。，再由三角函數(shù)即可求解.解：（1）如圖1，由平移得，，???是正方形的對(duì)角線，???ZZ45°,???丄，???Z90°,：.ZZ90°,???Z45°,?，在△和△中，"AD=EF*ZADG=ZEFG，,DG=FG???，zz，AZZZZ90°，?丄．故答案為，丄．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立證明：如圖2由平移得，，???是正方形的對(duì)角線，???ZZ45°,???丄，???Z90°,：.ZZ90°,???Z45°,?，在△和△中，"AD=EF<ZADG=ZEFG，,DG=FG???，zz，AZZZZ90°，?丄．（3）由（1）有，，丄???Z45°，???Z120°,???ZZ，=30°，AZZZ30°,???Z75°,：.Z30°,在△中，2,如圖，正方形邊長為6,菱形的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形的邊、上，連接．求證：ZZ；2)當(dāng)2時(shí)，求證：菱形為正方形；設(shè)，2x,A的面積為y,試求y的最大值.【分析】(1)過F作丄，垂足為M,連接，由與平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由為菱形的對(duì)角線，利用菱形的性質(zhì)得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等式的性質(zhì)即可得證；由于四邊形為正方形，四邊形為菱形，那么ZZ90。，，而2，易證△，從而有ZZ，等量代換可得ZZ90°，易證四邊形為正方形；欲求△的面積，由已知得的長易求，只需求出邊的高，通過證明△可得.證明：過F作丄，垂足為M,連接,???〃，.??zz，AZZ；證明：在△和△中，?四邊形是正方形，：.ZZ90°,?四邊形是菱形，?，在△和△中，fHG=HE,1dg=ahAZZ,???ZZ90°???Z90°,?菱形為正方形；解：過F作丄于M,rZA=ZM=90°在△與△中，’三怔H二藝FGM,tHE=FG???，?.?2x,??6-2x,.??Hx?(6-2x)=-(x-J_)2+旦,2224???-1VO,???當(dāng)亙時(shí)，y=2最大4AEE如圖1,四邊形中，〃，丄，點(diǎn)E在邊上，Z90°，且.求證：△$△；若，，，請(qǐng)用圖1證明勾股定理：a222線段上另有一點(diǎn)F(不與點(diǎn)E重合)，且丄(如圖2)，若2,4，求的長．【分析】(1)首先得出ZZ，再利用全等三角形的判定方法得出△$△()；利用梯形的面積和直角三角形面積公式求出答案；利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出的長，進(jìn)而得出答案．證明：如圖1，???Z90°，???ZZ90°，VZZ90°，AZZ，在△和△中<ZADE^ZBEC，lDE=EC2)證明：如圖1，AADAAD???丄，Z90°,???△,△，△都是直角三角形,???，，，且，△絲△,整理得：a222；（3）解：如圖2由（1）得：△$△（）,則2，4，???丄，???ZZ90°,VZZ90°，AZZ，又??型也，BCBF設(shè)，則6-x,故壬二2，46-z解得：x=2,x=4,12?點(diǎn)F不與點(diǎn)E重合，???2,???6-2-2=2.23?如圖1,正方形中，是對(duì)角線，等腰△中，Z90°,,點(diǎn)M在邊上，連接，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接.（1）若2，6，求的值；（2）求證：2；（3）當(dāng)?shù)妊鞯狞c(diǎn)M落在正方形的邊上，如圖2,連接，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)F.請(qǐng)?zhí)骄烤€段、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.衛(wèi)°"D\\【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)知Z90。，運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可；（2）延長與的延長線交于一點(diǎn)G，轉(zhuǎn)化為，運(yùn)用三角形的中位線性質(zhì)易得證；（3）類比（2）易得丄（_）.2【解答】解：（1）???四邊形是正方形，6，???6“，??等腰△中，Z90°,，2，???2..邁，?.?Z90°，??盤丸汽（$,2汽+（2遼）理虧?點(diǎn)E是的中點(diǎn)，.??2?話；(2)如圖①，延長與的延長線交于一點(diǎn)G,則△是等腰直角三角形，B為的中點(diǎn),???點(diǎn)E是的中點(diǎn)，???丄2??9丄(-)2如圖②，延長與的延長線交于一點(diǎn)G,則△是等腰直角三角形，B為的中點(diǎn),，?點(diǎn)E是的中點(diǎn)，??丄，??丄(-).2224?正方形的邊長為3,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線，上運(yùn)動(dòng)，且?連接，作丄所在直線于點(diǎn)H，連接.如圖1,若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，與之間的數(shù)量關(guān)系是;如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊上且不是的中點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線，上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，過點(diǎn)D作直線的????，????，????，垂線，交直線于點(diǎn)K,連接，請(qǐng)直接寫出線段長的最大值.【分析】(1)首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出Z1=Z2；然后根據(jù)丄，Z90°，可得C、H兩點(diǎn)都在以為直徑的圓上，判斷出Z4=Z，即可判斷出，最后根據(jù)，判斷出即可.首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出Z1=Z2；然后根據(jù)丄，Z90。，可得C、H兩點(diǎn)都在以為直徑的圓上，判斷出Z4=Z，即可判斷出，最后根據(jù)，判斷出即可.首先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得V，據(jù)此判斷出當(dāng)C、A、K三點(diǎn)共線時(shí)，的長最大；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出，再根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△，即可判斷出；最后根據(jù)，求出線段長的最大值是多少即可．解：(1)如圖1，連接，，01在正方形中，，ZZZ90°，???點(diǎn)E是的中點(diǎn)，,???點(diǎn)F是的中點(diǎn)，在△和△中,^AB=CBZA=ZBCElAF=CEZ1=Z2,丄，Z90°,C、H兩點(diǎn)都在以為直徑的圓上，Z3=Z2,Z1=Z3,Z3+Z4=90°,Zl+Z90°,Z4=Z,又???,故答案為：．(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊上且不是的中點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論仍然成立.如圖2,連接,圖2在正方形中,ZZZ900在△和△中，^AB=CB乂ZA=ZBCElAF=CE：?△◎△,AZ1=Z2,???丄，Z90°,???C、H兩點(diǎn)都在以為直徑的圓上,AZ3=Z2,AZ1=Z3,VZ3+Z4=90°,Z1+Z90°,AZ4=Z,又?，3）如圖3,???w,?當(dāng)C、A、K三點(diǎn)共線時(shí),的長最大VZZ90°,ZZ90°,AZZ,VZZ360°-Z-Z360°-90°-90°=180°,ZZ180°,AZZ,在△和△中,"ZKDF=ZHDE*DF=DE,Zdfk=Zdeh：、△◎△,在△和△中，'DA=DC<ZKDA=ZHDClDK=DH又???，???，?.?3,???3,3?邁，??2+3，即線段長的最大值是3衛(wèi)+3?25?問題：如圖(1)，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，Z45°，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系?【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△，從而發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你利用圖(1)證明上述結(jié)論?【類比引申】如圖(2)，四邊形中，ZH90。，，ZZ180。，點(diǎn)E、F分別在邊、上，則當(dāng)Z與Z滿足Z2Z關(guān)系時(shí)，仍有.【探究應(yīng)用】如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形?已知80米，Z60°，Z120°，Z150。，道路、上分別有景點(diǎn)E、F，且丄，40(?廳-1)米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路的長(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù):-2=1.41,3=1.73)99【分析】【發(fā)現(xiàn)證明】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到，貝I」，只要再證明△仝△即可.【類比引申】延長至M,使，連接，證，證，即可得出答案;【探究應(yīng)用】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到△是等邊三角形，則80米?把△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△，只要再證明Z2Z即可得出.【發(fā)現(xiàn)證明】證明：如圖（1），G圖⑴?/△^△，???，ZZ,，又?.?Z45°，即ZZZ45°,AZZ，在△和△中，*ZGAF=ZFAE，,AF=AF又?，【類比引申】Z2Z?理由如下：如圖（2）,延長至M,使，連接,A圖⑵VZZ180°,ZZ180°,AZZ,在△和△中，'AB=AD?ZABM=ZD，,BN=DF???，zz,VZ2Z,AZZZ,AZZZZ,在△和△中，'AE=AE<ZFAE^ZMAE，lAF=AM?,即?故答案是：Z2Z?【探究應(yīng)用】如圖3,把△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至厶連接，過A作丄,垂足為H?99???Z150°,Z90°,：.Z60°?又?.?Z60°,?：△是等邊三角形，???80米.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到:ZZ60°,又?.?Z120°,???Z180。，即點(diǎn)G在的延長線上.易得，???，zz,,又V80X=40七,40+40（七-1）=40七2故Z45°,AZZ-Z45°-30°=15°從而ZZ-Z90°-15°=75°又VZ150°=2X75°=2Z???根據(jù)上述推論有:80+40（主-1）^109（米）即這條道路的長約為109米?26?如圖1,正方形與正方形放置在直線l上，連結(jié)、，此時(shí)?丄成立.正方形繞0點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2,試判斷與還相等嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．正方形繞0點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線l上，如圖3,求證：丄.在(2)小題的條件下，與的交點(diǎn)為G,當(dāng)3,2時(shí)，求線段的長.【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，與的關(guān)系，Z與Z的關(guān)系，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得Z與Z的關(guān)系，根據(jù)，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得證明結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)，可得三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，可得三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得證明結(jié)論；根據(jù)勾股定理，可得的長，根據(jù)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得、的關(guān)系根據(jù)線段的和差，可得的長，根據(jù)同一個(gè)角的正切的兩種表達(dá)方式，可得的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案．解：．理由如下：在正方形和正方形中，,，ZZ90。，AZZZZ，(等式的性質(zhì))即ZZ，在△和△中，加二co乂ZA0C=ZC0F，lOD=OF2)證明：如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)HF圉2AZZ90°.???丄.(3)解：如圖，連接交于M,則丄，丄,F???正方形的邊長為邁，由勾股定理得??「(2汽+(遼)必，??X丄=1,?3+1=4(線段的和差)在△中，Z理丄.AM~4?ZZ丄型，4"0A???-3-士?4427如圖，在正方形與等腰直角三角形中，Z90°,，連接，點(diǎn)P是的中點(diǎn),連接、?如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，求證：空；2如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，線段、有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明．圖門｝