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文檔簡介
第三章隨機信號概論第三章隨機信號概論噪聲電壓的起伏波形086420-2-4-6-8x
10-30.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5tX(t)定義1定義2常用于對隨機過程的實際觀測用實驗方法觀測到各個樣本樣本數(shù)目越多，越能掌握隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律性常用于理論分析可以看成隨
量的推廣（n維）隨
量的維數(shù)越大，越能掌握隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律性4一個確定值（t和ζ都固定）21一個時間函數(shù)族（t和ζ都是變量）3一個確知的時間函數(shù)(t是變量，而ζ固定）一個隨
量（t固定，而ζ是變量）隨機過程
X(t)在四種不同情況下的含義3.1.2隨機過程的分類一、按X(t)的時間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進行分類1、連續(xù)型隨機過程－－任意的
t1
T
,
X
(t1)都是連續(xù)型隨
量；2、離散型隨機過程－－任意的
t1
T
,
X
(t1)都是離散型隨
量；3、連續(xù)隨機序列－－任意離散時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨
量；4、離散隨機序列－－隨機過程的時間和狀態(tài)都是連續(xù)的。二、按隨機過程的樣本函數(shù)的形式不同進行分類1、不確定性隨機過程－－樣本函數(shù)的未來值不能由過去的觀測值準確；。2、確定性隨機過程－－樣本函數(shù)的未來值可以由過去的觀測值三、按隨機過程X(t)的的分布函數(shù)或概率密度的不同特性分類
1、正態(tài)過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程2、平穩(wěn)性過程、遍歷性3、寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲3.1.3隨機過程的概率分布X
(t)tt1,t2
,,tn
時刻采樣，得到一族隨量X
(t1
),X
(t2
),,X
(tn
)分布為稱作隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)。求偏導(dǎo)數(shù)數(shù)可得f
X
(x1;t1
)
量的一稱作隨機過程X(t)的一維概率密度。隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有一維隨維分布函數(shù)和一維概率密度的各種性質(zhì)；隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是時間t的函數(shù)；隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度描述該隨機過程在任一孤立時刻取值的統(tǒng)計特性。二、二維概率密度隨機過程X(t)的二維分布函數(shù)為將對隨
量的研究推廣到隨機過程中去。一、一維概率分布隨機過程在任一特定時刻t1T
取樣得到隨量X
(t1)，其概率FX
(x1;t1
)
P{X
(t1
)
x1}F
(x
;t
)X
1
1x1隨機過程X(t)的二維概率密度為2
F
(x
,
x
;t
,
t
)X
1
2
1
2f
(x
,
x
;t
,
t
)
X
1
2
1
2
x
x1
2X
1
2
n
1
2
n三、n維概率分布隨機過程X(t)的n維分布函數(shù)為FX
(x1,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)
P{X
(t1
)
x1,
X
(t2
)
x2
,,
X
(tn
)
xn
}隨機過程X(t)的n維概率密度為f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)n
F
(x
,
x
,,
x
;t
,
t
,,
t
)1
2x
x
xnFX
(x1,
x2
;t1,
t2
)
P{X
(t1
)
x1,
X
(t2
)
x2}f
X
(x1
,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn
)dx1dx2
dxn
1f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn
)dxm1dxm2
dxn5、
4、n重1、FX
(x1,x2
,,,,xn
;t1,t2
,,ti
,,tn
)
02、FX
(,,,;t1,t2
,,tn
)
13、f
X
(x1,x2
,,xn
;t1,t2
,,tn
)
0(nm)重
f
X
(x1
,
x2
,,
xm
;t1,
t2
,,
tm
)6、如果
X
(t1
),
X
(t2
),,
X
(tn
)
統(tǒng)計獨立，則有f
X
(x1,
x2
,,
xm
;t1,
t2
,,
tm
)
f
X
(x1;t1
)
f
X
(x2
;t2
)
f
X
(xn
;tn
)3.1.4隨機過程的數(shù)字特征在實際應(yīng)用中，要確定隨機過程的概率分布族，并加以分析，常比較
；隨
量的數(shù)字概念推廣到隨機過程中去；隨機過程數(shù)字特征通常不再是確定數(shù)值，而是確定的時間函數(shù)。一、數(shù)學(xué)期望隨機過程X(t)在任意一個時刻t的取值是一個隨
量X(t)，將其任意取值x(t)簡計為x，由隨
量的數(shù)學(xué)期望定義可得Xm
(t)
E[
X
(t)]
Xxf
(x;t)dx為時間的確定函數(shù)，稱為隨機過程的數(shù)學(xué)期望。二、均方值和方差隨
量X(t)的二階原點矩X為隨機過程X(t)的均方值。X2(t)
E[
X
2
(t)]
x2
f
(x;t)dx0.6
0.7數(shù)學(xué)期望0.80.91-0.0150-0.01-0.00500.0050.010.0150.1
0.2
0.3
0.4
0.5隨機過程X(t)的tX(t)22XX
(t)
D[
X
(t)]
E[
X(t)]
E[(
X
(t)
m
(t))]2X
X
(t)
mX
(t)二、自相關(guān)函數(shù)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)定義為
X
1
2
1
2R
(t
,
t
)
E[
X
(t
)
X
(t
)]
x
x
f
(x
,
x
;t
,
t
)dx
dx1
2
X
1
2
1
2
1
2相關(guān)函數(shù)反映了X(t)在任意兩個時刻的狀態(tài)之間的線性相關(guān)程度。當(dāng)t1
t2
t
時R
(t
,
t
)
R
(t,
t)
E[
X
(t)
X
(t)]
E[
X
2
(t)]X
1
2
XRX
(t1,
t2
)
0|
t1,t2
|
0.020.0150.010.0050-0.005-0.01-0.0150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91t具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個不同的隨機過程X(t)-0.0150-0.01-0.00500.0050.010.015Y(t)0.1
0.2
0.3
0.40.5
0.6
0.7
0.8
0.9t1具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個不同的隨機過程隨機過程的協(xié)方差函數(shù)為
KX
(t1,
t2
)
E[
X
(t1)
X
(t2
)]
E[(X
(t1)
mX
(t1
))(
X
(t2
)
mX
(t2
))]
(x1
mX
(t1
))(x2
mX
(t2
))
fX
(x1,
x2
;t1,
t2
)dx1dx2協(xié)方差函數(shù)描述了在任意兩個時刻的起伏值之間的相關(guān)程度。協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：KX
(t1,
t2
)
E[(
X
(t1
)
mX
(t1))(
X
(t2
)
mX
(t2
))]
E[
X
(t1
)
X
(t2
)]
mX
(t1)E[
X
(t2
)]
mX
(t2
)E[
X
(t1
)]
mX
(t1
)mX
(t2
)
RX
(t1,
t2
)
mX
(t1
)mX
(t2
)當(dāng)
t1
t2
t時，有數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)是隨機過程兩個最基本的數(shù)字特征，其它數(shù)字特征都可以通過二者間接求得。KX
(t1
,
t2
)
KX
(t,
t)推導(dǎo)可得2
2X
X
E[(
X
(t)
m
(t)) ]
D[
X
(t)]
(t)22
2X
X
(t)
E[
X
(t)]
m
(t)【例題】分析正弦型隨機相位信號X
(t)
A
cos(0t
)其中a和0為常數(shù)，為(-
,
)上均勻分布的隨量，求隨機信號的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。解：m
(t)
E[
X
(t)]
E[
A
cos(
t
)]X
00
1cos(d2
A
t
)
0RX
(t1,
t2
)
E[
X
(t1)
X
(t2
)]
E[
A
cos(0t1
)
A
cos(0t2
)]212A
cos
(t0
12
t
)2
22
(t)
1
A220
1
2
0
1
2A
E{cos
(t
t
)
cos[
(t
t
)
2]}
20
1
20
1
212122A
cos2
(t
t
)
1
A2cos[
(t
t
)
2]
1
d變換。利用特征函數(shù)可以簡3.1.5隨機過程的特征函數(shù)概率密度和特征函數(shù)是一對化運算。一、一維特征函數(shù)稱為隨機過程X(t)的一維特征函數(shù)。一維特征函數(shù)的
反變換為1
1ju
X
(t
)X
1
11CX
(u1
;t1
)
E[e
]
e
ju1x1
f(x
;t
)dxfX
(x1;t1
)
1
112e
CX(u1;t1
)du1
ju
x隨機過程X(t)的n階原點矩函數(shù)為nXu
0nC
(u;t)unxn
f
(x;t)dx
(
j)
n
X
E[
X
(t)]
二、二維隨機過程CX
(u1,u2
;t1,
t2
)
E[exp(
ju1
X
(t1)
ju2
X
(t2
))]
exp(
ju1x1
ju2
x2
)
fX
(x1
,
x2
;t1,
t2
)dx1dx2u1
u2
0
2CX
(u1
,
u2
;t1
,
t2
)u1u2隨機過程X(t)的相關(guān)函數(shù)可表示為X
1
2R
(t
,
t
)
x1x2
f
X
(x1,
x2
;t1,
t2
)dx1dx2稱為隨機過程X(t)的二維特征函數(shù)。其反變換為1X
1
2
1
2f
(
x
,
x
;t
,
t
)
exp(
ju1x1
ju2
x2
)CX
(u1,
u2
;t1,
t2
)du1du22
2
隨機過程的微分與積分隨機連續(xù)性如果隨機過程X（t）滿足E[(X(t+△t)-X(t))2]→0（△t→0）的，即則稱過程X(t)于t時刻在均方意義下連續(xù)，簡稱過程X(t)在t時刻均方連續(xù)（或稱m.s連續(xù)）。E[(
X
(t
t)
X
(t))2
]
R
(t
t,
t
t)
R
(t,
t
t)
R
(t
t,
t)
R
(t,
t)X從隨機過程X(t)的均方連續(xù)性不難推出，它的數(shù)學(xué)期望必然是連續(xù)E[
X
(t
t)]
t0E[
X
(t)]即求極限和數(shù)學(xué)期望可以交換順序。lim
E[
X
(t
t)]
E[lim
X
(t
t)]t
0
t
03.2.2隨機過程相等[1]隨機過程X(t)、Y(t)的所有樣本函數(shù)皆相同，則稱兩個隨機過程（處處）相等。E[|
X
(t)
Y
(t)
|2
]
0如果則稱隨機過程X(t)、Y(t)在均方意義下相等。3.2.3
隨機過程的微分及其數(shù)學(xué)期望與相關(guān)函數(shù)隨機過程X(t)的導(dǎo)數(shù)，定義為下列極限如果此極限對隨機過程X(t)的所有樣本函數(shù)皆存在，則其具有通常導(dǎo)數(shù)的意義。若上式在均方意義下存在，則稱過程X(t)具有均方意義下的導(dǎo)數(shù)。如果能夠找到一個過程滿足則稱過程X(t)在t時刻有均方(m?s)導(dǎo)數(shù)。t0dX
(t)X
(t)
limdtX
(t
t)
X
(t)tt0
X
(t
t)
X
(t)2
lim
E
X
(t)
0t
設(shè)Y(t)為可微過程X(t)的導(dǎo)數(shù)，其數(shù)學(xué)期望為t
0Y
(t)
lim
X
(t
t)
X
(t)tYt
0t
0tt0
lim
E
X
(t
t)
X
(t)
lim
mX
(t
t)
mX
(t)t
t
dmX
(t)dtY(t)的相關(guān)函數(shù)m
(t)
E[Y（t)]
E
lim
X
(t
t)
X
(t)
Y
1
2
1
21
2X
1
22
R
(t
,
t
)R
(t
,
t
)
R
(t
,
t
)
Xt
t3.2.4
隨機過程的積分及其數(shù)學(xué)期望與相關(guān)函數(shù)若對過程X(t)的每個樣本函數(shù)X(t,ζ)，在
意義下此積分存在，則相應(yīng)于每個試驗結(jié)果ζ，積分都可得到一個數(shù)Y(ζ)；但是對不同的ζ，積分值Y(ζ)也是不同的，故對所有試驗結(jié)果，Y是一個隨
量。也就是
程X(t)在確定區(qū)間[a,b]上的積分Y是一個隨
量。而對過程的每一個樣本來說，此積分是通常意義下的積分。若則稱隨
量為過程X(t)在確定區(qū)間[a,b]上的均方積分。對于給定的實隨機過程X(t)，構(gòu)成積分X
(t)dtbaY
ni12
ti0
lim
Y
iX
(ti
)t
0
nbiiia
t
0i1Y
X
(t)dt
limX
(t
)t相關(guān)函數(shù)200t
1
E[
X
(
)]d0t2
E[
X
(
')]d
'
0
0Y
1
2t1
tXR
(,
')dd
'R
(t
,
t
)
E
t1
X
()d
t2
X
(
')d
'
0
nnbXaab
m
(t)dtE X
(t)
dtti
0
i1ti
0
i1E[Y
]
E
limiX
(t
)it
limi
E X
(t
)
ti數(shù)學(xué)期望平穩(wěn)性隨機過程和遍歷性過程平穩(wěn)隨機過程一、嚴平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征1、嚴平穩(wěn)隨機過程的定義設(shè)有隨機過程X(t)，若它的n維概率密度不隨時間起點的選擇的不同而改變，即對于任何的n和ε，過程X(t)的n維概率密度滿足f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn)
f
X
(x1
,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)則稱X(t)為嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)過程。嚴平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性與所選取的時間起點無關(guān)。2、嚴平穩(wěn)隨機過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征（1）若X(t)是嚴平穩(wěn)隨機過程，則它的一維概率密度與時間無關(guān)令
t1
可得f
X
(x1;t1
)
f
X
(x1;t1
)
f
X
(x1;
0)
fX
(x1
)XE[
X
(t)]x1
f
X
(x1
)dx1
mE[
X
2
(t)]
x2
f
(x
)dx
21
X
1
1
X21
X
X
1
12XD[
X
(t)]
(x
m
)
f
(x
)dx
進一步可求得均值
均方值
方差（2）嚴平穩(wěn)隨機過程二維概率密度只與t1、t2的時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。協(xié)方差函數(shù)為當(dāng)t1＝t2，即τ＝0時令
t1
,
t2
t1
可得f
X
(x1,
x2
;t1,
t2
)
f
X
(x1
,
x2
;t1
,
t2
)
f
X
(x1
,
x2
;
0,
t2
t1)
f
X
(x1
,
x2
;
)這時過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為
X
1
2R
(t
,
t
)
x1x2
fX
(x1
,
x2
;
)dx1dx2
RX
(
)X
1
2XK
(t
,
t
)
K
(
)X2X
R
(
)
mXK
(0)2X
R
(0)
m2X
XRX
(t1,
t2
)
E[
X
(t1),
X
(t2
)]
RX
(
)E[
X
2
(t)]
二、寬平穩(wěn)隨機過程滿足E[
X
(t)]
mX則稱X(t)為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程。只涉及與一、二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征；嚴平穩(wěn)過程只要均方值有界，則它必定是寬平穩(wěn)的，反之不一定成立；正態(tài)隨機過程的寬平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)是等價的。量。試問：【例題】設(shè)隨機過程X
(t)
a
cos(0t
)式中，a、ω0皆為常數(shù)，Φ是在(0,2π)上均勻分布的隨X(t)是否是平穩(wěn)的隨機過程？為什么？解：隨量Φ的概率密度為
10
2elsef
()
2000
1
2Xa
cos(2
t
)d
0
mXm
(t)
E[
X
(t)]
x(t)
f
()dX(t)的均值X(t)的自相關(guān)函數(shù)2
aRX
(t1,
t2
)
RX
(t,
t
)
E[
X
(t)
X
(t
)]
E[a
cos(0t
)
a
cos(0
(t
)
)]E[cos
cos(2
t
2)]0
0
0200a222
acos
2
12cos(20t
0
2)d
20cos
X
R
(
)【例題】Y
(t)
X
(t)
cos(0t
)其中X(t)平穩(wěn)過程，ω0
是確定量，相位Φ是在(0,2π)上均勻分布的隨量。Φ與X(t)統(tǒng)計獨立。試
Y(t)的平穩(wěn)性。解：Y(t)的均值為E[Y
(t)]
E[
X
(t)
cos(0t
)]
E[
X
(t)]E[cos(0t
)]
0Y(t)的相關(guān)函數(shù)E[Y
(t)Y
(t
)]
E[
X
(t)
X
(t
)
cos(0t
)
cos(0t
0
)]0
0
0
E[
X
(t)
X
(t
)]
1
E[cos
cos(2
t
2)]2
RX
(
)
cos0
RY
(
)RY
(0)
RX
(0)
因此Y(t)具有平穩(wěn)性。02
2XE[
X
2
(t)]
R
(0)
a2a2cos
0
故X(t)為寬平穩(wěn)隨機過程。3.3.2遍歷性過程一般隨機過程要對大量樣本函數(shù)在特定時刻取值，用統(tǒng)計方法到數(shù)字特征。這種方法成為統(tǒng)計平均或集合平均，也簡稱為集平均。證明：在具備一定的補充條件下，對平穩(wěn)隨機過程的一個樣本函數(shù)取時間均值，就從概率意義上趨近于此過程的統(tǒng)計均值。任何一個樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整個隨機過程的特性。具有遍歷性的隨機過程X(t)0x
10-386420-2-4-6-80.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5tX(t)一、遍歷性過程的定義1、嚴遍歷性過程的定義如果一個隨機過程X(t),它的各種時間平均依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均，則稱過程X(t)具有嚴格遍歷性或俠義遍歷性，并稱此過程為嚴格遍歷性過程或俠義遍歷性過程，簡稱嚴遍歷過程。2、隨機過程的時間平均對隨機過程X(t)沿整個時間軸的下列兩種時間平均A
X
(t)
X
(t)
1TX
(t)dtT
2T
T
limXT2TT
(t,
t
)
X
(t)
X
(t
)
lim
1
X
(t)
X
(t
)dt分別稱為過程X(t)的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)。3、遍歷性過程的定義設(shè)X(t)是一個平穩(wěn)隨機過程如果A
X
(t)
X
(t)
E[
X
(t)]
mX依概率1成立，則稱過程X(t)的均值具有遍歷性。如果X
(t,
t
)
X
(t)
X
(t
)
E[
X
(t)
X
(t
)]
RX
(
)依概率1成立，稱過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。若在τ＝0時，上式成立，則稱過程X(t)的均方值具有遍歷性。如果過程X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性。則稱X(t)是寬遍歷性過程或廣義遍歷性過程，簡稱遍歷性過程。二、遍歷性的實際意義任一樣本函數(shù)的時間平均可以代替整個過程的統(tǒng)計平均；遍歷過程的一、二階距函數(shù)具有明確的物理意義；X
(t)
1Tx(t)dtTT
2TXm
lim2
(t)dt2XX2TTT
lim
1
T[x(t)
m
]2
dtX
X
2電壓信號直流分量總平均功率交流平均功率電壓有效值二、隨機過程具有遍歷性的條件1、隨機過程必須是平穩(wěn)的。時間均值必定是一個與時間無關(guān)的常數(shù)。時間相關(guān)函數(shù)必定只是時間差τ的函數(shù)。所以是平穩(wěn)隨機過程。平穩(wěn)過程不一定具有遍歷性，如圖X(t)具有平穩(wěn)性，但不具有遍歷性。
1TX
(t)dtT
2T
TA
X
(t)
X
(t)
limTX2TT
(t,
t
)
X
(t)
X
(t
)
lim
1
X
(t)
X
(t
)dt不具備遍歷性的平穩(wěn)過程100.020.0150.010.0050-0.005-0.01-0.0150.1
0.20.3
0.40.5
0.6
0.7t0.8
0.9X(t)2、平穩(wěn)隨機過程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件為20lim
12TX
XT
2TT
(1
)[R
(
)
m
]d證明：X
(t)是隨樣本函數(shù)不同而變化的隨
0量，其數(shù)學(xué)期望為
1TX
(t)dtT
E X
(t)
E
lim
T
2T
1TE
X
(t)dtTT
2T
limD X
(t)
X2X
E[(X
(t)
m
)2]1T
TX
1
2
1
24TT
T
limT
2
1T
T4TT
TT
K
(t
,t
)dt
dt
limKX
(t2
t1)dt1dt22
對于平穩(wěn)過程X(t)，可得E
X
(t)
mXX
(t)的方差為2T變量替換可得
22
)d1202TXX1T2TT
lim(1
)(R
(
)
m
)d被積函數(shù)偶函數(shù)由X(t)的遍歷性可得由切比雪夫不等式2XD[
X
(t)]
0
22P{
X
(t)
E[
X
(t)]
}
X
0即，X
(t)依概率收斂于
E[
X
(t)]
。因D[
X
(t)]
0由方差性質(zhì)可知，依概率1成立。3、自相關(guān)函數(shù)的遍歷性定理。平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充要條件為X
(t)
E[
X
(t)]
mX201
X
1T
2TT
lim
1
2T
(1
1
)(B()
R
(
))d
0B(1
)
E[
X
(t
1
)
X
(t
1
)
X
(t
)
X
(t)]令
0
，就可得到均方值具有遍歷性的充要條件。4、對于正態(tài)平穩(wěn)隨機過程，若均值為零，自相關(guān)函數(shù)
RX
(
)連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的一個充分條件為RX
(
)
d
0【例題】隨機過程X
(t)
Asin(0t
)其中A和Φ是相互獨立的隨
量，A在(0,1)上均勻分布，Φ在(0,2π）上均勻分布。隨機過程X(t)是否具有遍歷性？解：首先判斷X(t)是否具有平穩(wěn)性E[
X
(t)]
E[
A]E[sin(0t
)]
0
mX2120
XE[
A
]cos
R
(
)RX
(t,
t
)
E[
A
sin(
t
)sin(
(t
)
)]20
02XR
(0)
1E[
A2
]
故X(t)為寬平穩(wěn)隨機過程。00TX2T
TTT
隨機過程X(t)的時間均值為A X
(t)
X
(t)
lim
1T
Asin(
t
)dt
lim
Asin
sin
0T
0
mT2T
A2
cos
R
(
)TT
lim
1A
cos(0t
)A
cos(0
(t
)
)dt20
X可得隨機過程X(t)均值具有遍歷性。時間相關(guān)函數(shù)為RX
(t,
t
)
X
(t)
X
(t
)因此隨機過程不具有遍歷性。3.3.3平穩(wěn)隨機過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1R
(0)
E[
X
2
(t)]
2
0X
XRX
(
)
RX
(
)2證：RX
(
)
E[
X
(t)
X
(t
)]
E[
X
(t
)
X
(t)]
RX
(
)KX
(
)
KX
(
)3
RX
(0)
RX
(
)證：正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負值，即E[(X
(t)
X
(t
))2
]
0E[
X
2
(t)
2
X
(t)XRE[
X
2
(t)]
E[
X
2
(t
)]
X
(t)平穩(wěn)2RX
(0)
2RX
(
)
0RX
(0)
RX
(
)KX
(0)
KX
(
)在零點以外也可能有最大值a24
周期平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過程的周期相同。RX
(
T
)
E[
X
(t)
X
(t
T
)]
E[
X
(t)
X
(t
)]
RX
(
)5若平穩(wěn)隨機過程含有一個周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有一個同周期的周期分量。X
(t)
S
(t)
N
(t)
a
cos(0t
)
N
(t)S(t)、N
(t)統(tǒng)計獨立；在(0,2
)上均勻分布；N
(t)為平穩(wěn)過程RX
(
)
RS
(
)
RN
(
)
2
cos0
RN
(
)6
平穩(wěn)隨機過程中不含有任何周期分量，則X
X2Xlim
R
(
)
R
()
m證：Xlim
R
(
)
lim
E[
X
(t)
X
(t
)]2X
lim
E[
X
(t)]E[
X
(t
)]
m
lim
KX
(
)
KX
()
0證：7若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值），則相關(guān)函數(shù)也將含有平均分量，且等于均值的平方，即2R在滿足性質(zhì)6的條件下，有2X
RX
(0)
RX
()XK
(
)
E[(X
(t)
m2X(
)
m2X2X
KX
(0)
RX
(0)
mX
X
R
(0)
R
()8
平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)必須滿足X
jR
(
)e d
0二、平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間1
相關(guān)系數(shù)X2XK
(0)K
(
)R
(
)
m2rX
(
)
X
X
XrX(τ)τrX(τ)τ2
相關(guān)時間0Xr
(
)d
0定義1相關(guān)系數(shù)由其最大值1下降到0.05所經(jīng)歷的時間間隔，計做相關(guān)時間。定義2矩形面積等于陰影面積來定義相關(guān)時間。τrX(τ)10.05τ0τ0【例題】已知平穩(wěn)隨機過程X（t）的自相關(guān)函數(shù)為10
RX
(
)
100e
100
cos10
100求均值、均方差和方差。解：10010
RX
(
)
100
cos10
100e
RX
(
)
RX
(
)1
2mX
RX
()
102
2mX
mX
mX
101
2E[
X
2
(t)]
R
(0)
300X2X
R
(0)
m2
200X
XXY
1
2
n
1
2
m
1
2
n
1
2
mXY
1
2n
1
2
m
1
2
n
1
2
mmn
Ff
(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,
t
,,
t
,
t'
,
t'
,,
t'
)(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,t
,,
t
,t'
,
t'
,,
t'
)1
2x
x
n
1
2x
y
y
ym隨機過程的聯(lián)合概率分布和互相關(guān)函數(shù)兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布隨機過程X(t)和Y(t)的
概率密度分別為f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn)f
(
y
,
y
,,
y
;t'
,
t'
,,
t'
)Y
1
2
m
1
2
m定義兩個隨機過程的
聯(lián)合分布函數(shù)為F
(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,
t
,,
t
,
t'
,
t'
,,
t'
)XY
1
2
n
1
2
m
1
2
n
1
2
m
P{X
(t1
)
x1,
X
(t2
)
x2
,,
X
(tn
)
xn
,Y
(t'
)
y'
,Y
(t'
)
y
,,Y
(t'
)
y'
}1
1
2
2
m
m定義兩個隨機過程
聯(lián)合概率函數(shù)為如果f
(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,
t
,,
t
,
t'
,
t'
,,
t'
)XY
1
2
n
1
2
m
1
2
n
1
2
m
f
(x
,
x
,,
x
;t
,
t
,,
t
)
f
(
y
,
y
,,
y
;t'
,
t'
,,
t'
)X
1
2
n
1
2
n
Y
1
2
m
1
2
m則稱隨機過程是相互獨立的。如果兩個隨機過程的聯(lián)合概率密度不隨時間變化，即與時間起點無關(guān)，則稱此過程為聯(lián)合嚴平穩(wěn)或嚴平穩(wěn)相依過程。2.4.2互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)的定義為RXY
(t1,
t2
)
E[
X
(t1
)Y
(t2
)]
xyf
XY
(x,
y;t1,
t2
)dxdy互協(xié)方差函數(shù)定義為K
XY
(t1,
t2
)
E[(X
(t1)
mX
(t1))(Y
(t2
)
mY
(t2
))]
(x
mX
(t1))(
y
mY
(t2
))
fXY
(x,
y;t1
,
t2
)dxdy1、互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差存在如下關(guān)系K
XY
(t1,
t2
)
RXY
(t1,
t2
)
mX
(t1)mY
(t2
)隨機過程正交RXY
(t1,
t2
)
0
或
K
XY
(t1,
t2
)＝－mX
(t1
)mY
(t2
)隨機過程的不相關(guān)K
XY
(t1,
t2
)
0
或
RXY
(t1,
t2
)＝mX
(t1)mY
(t2
)如果兩個寬平穩(wěn)隨機過程RXY
(t1,
t2
)
E[
X
(t1)Y
(t2
)]＝RXY
(
)則稱隨機過程
X(t)和Y(t)為聯(lián)合寬平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依。寬平穩(wěn)隨機過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：RXY
(
)＝RYX
(－
)
KXY
(
)＝KYX
(
)222
2XYX
Y
XYX
YX
Y
)
K
(0)K
(0)
2、
R
(
)
R
(0)R
(0)
K
(3、4、2122XY
XYXYXY2
2XYR
(
)
1
(R
(0)
R
(0))K
(
)
1
(K(0)
K
(0))
(
)XYX
YKX
(0)KY
(0)KXY
(
)
r
(
)
RXY
(
)
mX
mY歸一化相關(guān)函數(shù)或標準互協(xié)方差函數(shù)時間互相關(guān)函數(shù)定義為如果稱過程X(t)和Y(t)具有聯(lián)合寬遍歷性。TXY2TTT
X
(t)Y
(t
)dt
(
)＝X
(t)Y
(t
)
lim
1
XY
(
)＝RXY
(
)例題：設(shè)兩個連續(xù)時間相位隨機信號X
(t)
sin(0t
)
,
Y
(t)
cos(0t
)0
1 0
2
0
1
2022
2
1
sin
其中0
為常數(shù)，在(
,
)上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。解：這兩個過程的均值為零，都是寬平穩(wěn)的。K
XY
(t1,
t2
)
RXY
(t1,
t2
)
mX
mY
E[sin(0t1
)
cos(0t2
)]
1
E[sin(
t
t
2)]
1
sin
(t
t
)K
XY
(t1,
t2
)
RXY
(t1,
t2
)
00
k
(k
0,
1,)即過程X(t)和Y(t)在某些時刻是正交的、不相關(guān)的。但兩者并不獨立。因此是聯(lián)合平穩(wěn)的。ZXY
D
復(fù)隨機過程復(fù)隨復(fù)隨量量定義為Z
X
jY數(shù)字特征推廣到復(fù)隨
量時必須遵循的原則是：在特殊情況下，即當(dāng)Y＝0時，Z的數(shù)字特征應(yīng)該等于隨
量X的數(shù)字特征。復(fù)隨復(fù)隨量的數(shù)學(xué)期望mZ
E[Z
]
E[
X
]
jE[Y
]
mX
jmY量的方差復(fù)隨D
D[Z
]
E[|
Z
|2
]
E[
X
2
Y
2
]
E[
X
2
]
E[Y
2
]
D量Z1和Z2的相關(guān)矩1
2
KY
Y
j(K
X
Y
KY
X
)1
2 1
2
2
1Z1Z2
1
2
1
1
2
2
KX
XK
E[Z
*
Z
]
E[(X
Y
)(
X
Y
)]
兩個隨
量獨立1 2
1
21
1 2
2f
X
X
Y
Y(x1
,
x2
,
y1
,
y2
)
f
X
Y
(x1,
y1)
f
X
Y
(x2
,
y2
)兩個隨Z1和Z2不相關(guān)Z1和Z2正交量正交R
E[Z
*Z
]
0Z1Z2
1
21
2KZ
ZZ1
和Z2
相互獨立兩個隨
量不相關(guān)
E[(X1
Y1)(
X
2
Y2
)]
03.5.2復(fù)隨機過程復(fù)隨機過程的定義Z
(t)
X
(t)
jY
(t)其概率密度為f
(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,
t
,,
t
,
t'
,
t'
,,
t'
)XY
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n其數(shù)學(xué)期望為mZ
(t)
E[Z
(t)]
E[
X
(t)]
jE[Y
(t)]
mX
(t)
jmY
(t)其自相關(guān)函數(shù)為和協(xié)方差函數(shù)平穩(wěn)復(fù)隨機過程*R
(t,
t
)
E[Z
(t)Z
(t
)]Z
ZmZ
mX
jmYR
(t,
t
)
R
(
)RZ
(0)
**ZZZK
(t,
t
)
E[ZZ
(t
)]
E[(Z
(t)
m
(t))
(Z
(t
)
m
(t
))]Z其方差為ZX
YD
(t)
D[Z
(t)]
E[|
Z
(t)
|2
]
E[
X
(t)2
Y
(t)2
]
E[
X
(t)2
]
E[Y
(t)2
]
D
(t)
D
(t)
復(fù)平穩(wěn)隨機過程的互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)復(fù)平穩(wěn)隨機過程的不相關(guān)復(fù)平穩(wěn)隨機過程的正交*1
2Z1Z2R
(t,
t
)
E[Z
(t)Z
(t
)]1
2Z1Z2K
(t,
t
)
E[Z*
Z
(t
)]1
2KZ
Z(t,
t
)
01
2RZ
Z(t,
t
)
0式中正態(tài)隨機過程正態(tài)隨機過程的一般概念正態(tài)隨機過程X(t)的n維概率密度為f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)mX是n維向量，K
是n維矩陣。2(2
)n
/2K
1/
21
(x
m
)T
K
1
(x
m
)
exp
X
X
Kik
KX
(ti
,
tk
)
E[(Xi
mi
)(
Xk
mk
)]
riki
kK11
K12K22K1nK2nK1n
K2n
KnnK
K21
正態(tài)隨機過程的n維概率密度只取決于其一、二階矩函數(shù)——數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)系數(shù)。
1
1
n2XnX2R(2
)
Ri1
k
1
exp
Rik
(xi
mX
)(xk
mX
)n
nr11
r12r22r1nr2nr1n
r2nrnn
r1n
r2nR
r21r1nr2n
r21
1
r12
1
13.6.2平穩(wěn)正態(tài)隨機過程若正態(tài)隨機過程X(t)iX此正態(tài)隨機過程稱為廣義平穩(wěn)正態(tài)隨機過程。n維概率密度為f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn)mi
mXRX
(ti
,
tk
)
RX
(k
i
)k
i
k
R
(0)
,
i,
k
1,2,n3.6.3正態(tài)隨機過程的性質(zhì)1、正態(tài)隨機過程的n維概率密度完全取決于它的均值集合和協(xié)方差函數(shù)集合。2、正態(tài)過程的寬平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)等價。3、如果正態(tài)隨機過程X(t)在n個不同時刻
t1,
t2
,,
tn
采樣，所得一組隨量X1
,X
2
,,Xn
為兩兩互不相關(guān)，即Kik則，這些隨
KX
(ti
,
tk
)
E[(Xi
mi
)(
Xk
mk
)]
0量也是相互獨立的。證明：X(t)的n維概率密度為1n2i1
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)4、平穩(wěn)正態(tài)隨機過程X(t)與確定性信號之和的概率分布仍為正態(tài)分布。證明：s(t)的概率密度可以表示為[s
s(t)]
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