伽羅瓦理論之美

伽羅瓦理論之美伽羅瓦(6varisteGalois,1811?1832),一個21歲就去世了的年輕人，開創(chuàng)了現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的先河。他創(chuàng)建的群論、域論，優(yōu)美奧妙，已經(jīng)成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的基本工具。我花了兩個月的時間研讀伽羅瓦理論，隨著理解的深入，我內(nèi)心不斷感受到震撼，心底油然而生對伽羅瓦的欽佩與崇拜。這種感覺就像終于看懂了世界上最美妙的畫作、聽懂了世界上最優(yōu)雅的旋律一樣，不由自主的希望與別人共享。遺憾的是，數(shù)學(xué)之美只能是那些真正研讀并理解了它的人們才能感受得到。伽羅瓦理論雖然優(yōu)美，但是卻足夠深奧，除了數(shù)學(xué)專業(yè)人士和肯于鉆研的數(shù)學(xué)愛好者之外，尚不能被普通大眾所理解?？墒俏也桓市?，我期望著盡自己的努力，用最簡明通俗的語言，盡量不涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和邏輯推導(dǎo)，而把伽羅瓦理論的優(yōu)美展現(xiàn)在大眾面前。伽羅瓦是一個200年前有故事的年輕人，伽羅瓦理論是一座險(xiǎn)峻的高峰。讓我們一邊閱讀伽羅瓦的人生故事，一邊嘗試著攀登這座高峰吧。首先，我們來引用伽羅瓦的一段話“Jumpabovecalculations,grouptheoperations,classifythemaccordingtotheircomplexitiesratherthantheirappearance;this,Ibelieve,isthemissionoffuturemathematicians;thisistheroadI'membarkinginthiswork."（跳出計(jì)算，群化運(yùn)算，按照它們的復(fù)雜度而不是表象來分類；我相信，這是未來數(shù)學(xué)的任務(wù)；這也正是我的工作所揭示出來的道路。）當(dāng)21歲的伽羅瓦在臨死前一天晚上把他主要的研究成果以極其精簡、跳躍的思維寫在草稿紙上的時候，沒有人知道當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)研究方向已經(jīng)在伽羅瓦的頭腦中存在了1年多的時間了。甚至是在伽羅瓦第二天參與一個愚蠢的決斗而死后的14年內(nèi)，都沒有人徹底弄明白伽羅瓦寫的到底是什么，他頭腦中那偉大而天才的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是怎樣的？看看這些霸氣的名字吧，高斯、柯西、傅立葉、拉格朗日、雅可比、泊松、……，這些在那個時代、同時也是人類歷史上的偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家都沒有理解伽羅瓦的理論，從這個意義上講，伽羅瓦恐怕是人類歷史上最具天才的數(shù)學(xué)家了。讓我們先來看一些對比：（1）1824年，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾發(fā)表了《一元五次方程沒有一般代數(shù)解》的論文，用了50多頁的篇幅和大量的計(jì)算，論證了對于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。當(dāng)時阿貝爾的證明今天看來，充滿著智慧和復(fù)雜的計(jì)算，但是仍不夠嚴(yán)謹(jǐn)。當(dāng)我們今天使用伽羅瓦理論來論證這一點(diǎn)的時候，論證過程為“一般一元五次方程的伽羅瓦群同構(gòu)于全置換群$5,而S5不是可解群，因此一般一元五次方程不可根式求解。”（2）1801年，年輕的24歲“數(shù)學(xué)王子”高斯通過復(fù)雜的計(jì)算推導(dǎo)，證明了xp-1=0（p為素?cái)?shù)）是可根式求解的，證明過程使用了大量計(jì)算技巧，充分展示了高斯的數(shù)學(xué)計(jì)算天賦。今天我們使用伽羅瓦理論來論證這一點(diǎn)的時候，論證過程為“方程xp-1=0（p為素?cái)?shù)）在有理數(shù)域Q上的伽羅瓦群同構(gòu)于素?cái)?shù)階模p同余類乘群Zp,而Zp是循環(huán)群，必為可解群，因此方程xp-1=0可根式求解。”甚至我們可以類似的論證p不為素?cái)?shù)時的方程xn-1=0在Q上的伽羅瓦群同構(gòu)于模n同余類乘群Z’n，為可換群（阿貝爾群），必為可解群，因此方程xn-1=0可根式求解。伽羅瓦理論還可以輕松的解決正n邊形的尺規(guī)作圖問題，證明三等分角、倍立方、化圓為方（這個有賴于兀是超越數(shù)的證明）的尺規(guī)作圖不可能問題。今天，伽羅瓦的理論已經(jīng)發(fā)展成叫做“近世代數(shù)”（又叫抽象代數(shù)）的一個專門數(shù)學(xué)分支，其應(yīng)用拓展到了拓?fù)?、微分幾何、混沌等前沿?cái)?shù)學(xué)研究領(lǐng)域以至于物理、化學(xué)等眾多科學(xué)領(lǐng)域，成為了現(xiàn)代科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)工具。1994年英國數(shù)學(xué)家安德魯?懷爾斯（AndrewWiles）證明著名的“費(fèi)馬大定理”的時候，就主要應(yīng)用了伽羅瓦理論。當(dāng)看到一大批通過繁雜計(jì)算很難得到證明的問題，能夠被使用精巧的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來簡潔而精準(zhǔn)證明的時候，你也許開始感受到伽羅瓦理論的優(yōu)美——但這僅僅是一個開始。從這個“開始”，我們會逐漸感受到伽羅瓦所說的“Jumpabovecalculations,grouptheoperations.”的含義。那么伽羅瓦到底發(fā)明了什么數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和工具，使得原來復(fù)雜的問題變得清晰起來了呢？一、更高層次的抽象——群、環(huán)、域【伽羅瓦的故事】有人說“數(shù)學(xué)也許只存在于數(shù)學(xué)家的頭腦之中”，至少數(shù)學(xué)是發(fā)端于數(shù)學(xué)家頭腦的。1823年，12歲的埃瓦里斯特?伽羅瓦進(jìn)入了他的第一所學(xué)?！宦芬?勒格蘭皇家中學(xué)，一所聲望很高但相當(dāng)專制的學(xué)校，但是直到16歲，伽羅瓦才被準(zhǔn)許讀他的第一門數(shù)學(xué)課程。雖然12?16歲期間的伽羅瓦沒有機(jī)會研究數(shù)學(xué)，但是這時期法國社會上和學(xué)校中發(fā)生的一些事件點(diǎn)燃了他的共和主義傾向，奠定了他日后參與政治的悲劇人生的基礎(chǔ)。原本成績優(yōu)秀的伽羅瓦一旦開始學(xué)數(shù)學(xué)，就像變了一個人，變得對其它課程都不重視，而只醉心于數(shù)學(xué)這一門課程。學(xué)校給他的評語是“該生只宜在數(shù)學(xué)的最高領(lǐng)域中工作，這個孩子完全陷入了對數(shù)學(xué)的狂熱之中?！睕]有人知道16?18歲中學(xué)時期的伽羅瓦頭腦中在想些什么，人們只能從表面上看到他所掌握的數(shù)學(xué)知識足以通過中學(xué)的考試要求，但是他對問題的解答往往讓考官理解不了。更糟糕的是，他經(jīng)常把大量的演算放在頭腦中進(jìn)行，使得平庸的考官們更為茫然和沮喪?，F(xiàn)有的材料表明，17歲的伽羅瓦已經(jīng)開始研究一般的一元五次方程求解的問題了，他曾提交了2篇論文給法國科學(xué)院，當(dāng)時的評審專家是著名數(shù)學(xué)家柯西?？挛黠@然被伽羅瓦的論文所震驚，他建議伽羅瓦重新以專題的形式提交這兩篇論文，并參加數(shù)學(xué)大獎的評審。這期間正趕上伽羅瓦的父親因政治原因而自殺，伽羅瓦在參加完父親的葬禮后，把改好的專題論文提交給了法國科學(xué)院秘書、著名數(shù)學(xué)家傅立葉?？上У氖牵盗⑷~在評審前幾個星期就去世了，在這個過程中伽羅瓦的論文也丟失了，從而失去了參加評獎的機(jī)會。天知道為什么這兩篇很可能是那個時代最偉大的論文被丟失了？難道上帝都在嫉妒伽羅瓦么？【伽羅瓦理論】在我們已經(jīng)全面了解并極大發(fā)展了伽羅瓦理論的今天，回想1828年伽羅瓦提交的那兩篇論文，我們有理由猜測，伽羅瓦是站在更高的層次上來看待數(shù)和運(yùn)算的。在伽羅瓦看來，“數(shù)和運(yùn)算”組合在一起可以構(gòu)成一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這是一種更加本質(zhì)、更加抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，當(dāng)繼續(xù)把這種結(jié)構(gòu)脫離“數(shù)字和常規(guī)意義上的運(yùn)算”而抽象出來的時候，就形成了新的數(shù)學(xué)概念——群。（1）群：給一個集合中的元素定義一種運(yùn)算“乘法”（這個“乘法”不是數(shù)字運(yùn)算的乘法，而只是借用了這個名字，因此加上了引號），如果這個集合中的元素和這個“乘法”滿足：封閉性：集合中任兩個元素相“乘”的結(jié)果在這個集合之內(nèi)；結(jié)合律：這個“乘法”滿足（2%）%=a*（吩。）；單位元：集合中存在某個元素e,對于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a，e被稱為單位元；逆元：對于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一個元素2-1，使得a*a-1=a-1*a=e，a與a-1互為逆元。此時，這個集合與這個運(yùn)算組合在一起被稱為“群”。我本不愿意羅列概念，但是如果要想感受到伽羅瓦理論之美，就必須弄清楚“群”的概念。就像一個人想要欣賞美妙的音樂，你總要能區(qū)分音調(diào)高低、節(jié)奏快慢一樣，如果高音“1”和低音“1”在你聽來是一樣的，那么很難想象你可以欣賞美妙的交響樂?！叭骸焙茱@然是把數(shù)字及其運(yùn)算關(guān)系抽象之后形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。容易驗(yàn)證，整數(shù)集合在加法運(yùn)算下成群（這里的加法就通常意義的數(shù)字加法，對應(yīng)著群定義中的“乘法”），其單位元是數(shù)字0；但是整數(shù)集合在乘法運(yùn)算下不成群，這是因?yàn)閷τ诖蟛糠终麛?shù)，沒有乘法的逆元。其實(shí)群在日常生活中也會存在，常見的是魔方，它的全部操作構(gòu)成一個集合，再定義任意兩種操作的“乘法”為“先執(zhí)行第一種操作、再執(zhí)行第二種操作”，則容易驗(yàn)證魔方的全部操作在這種“乘法”下成群，叫做RUBIC群。（2）環(huán)與域：在一個集合上定義兩種運(yùn)算“加法”和“乘法”，如果這個集合在這個“加法”下成群，而在這個“乘法”下只滿足“封閉性”與“結(jié)合律”，則稱這個集合與這兩種運(yùn)算構(gòu)成一個“環(huán)”；如果這個集合去除“加法”群下的單位元后形成的新集合在“乘法”下成群，則稱這個集合與這兩種運(yùn)算構(gòu)成一個“域”。顯然，“域”是一種特殊的“環(huán)”。對不起了，伽羅瓦理論是夠抽象的，對于完全沒有接觸過群論、域論的人來說，這幾個概念就挺費(fèi)琢磨?？墒菦]有辦法，伽羅瓦理論這座高峰就需要踩著這些概念的臺階來攀登，你想欣賞最美好的風(fēng)光，就需要把這些“概念”踩在腳下，“無限風(fēng)光在險(xiǎn)峰”。如果看懂了這三個概念，特別是看懂了“群”和“域”這兩個概念，就會理解這些結(jié)構(gòu)其實(shí)就是從基礎(chǔ)的數(shù)字運(yùn)算關(guān)系中抽象出來的。比如：有理數(shù)在加法和乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個域，0是加法單位元，1是乘法單位元，不包含0的有理數(shù)在乘法運(yùn)算下成群；實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)在加法和乘法下都構(gòu)成域；無理數(shù)在加法和乘法下不能構(gòu)成域，這是因?yàn)闊o理數(shù)之和可能是有理數(shù)，不滿足封閉性。下面用群和域的概念做一個思維體操，證明有理數(shù)是最小的數(shù)域（由數(shù)字和加法、乘法構(gòu)成的域）：數(shù)域必有加法單位元0和乘法單位元1；由加法封閉性得到n個1相加必然還在域內(nèi)，于是任意自然數(shù)n在域內(nèi)；再由加法存在逆元得到-n也在域內(nèi)，這樣全部整數(shù)必然在域內(nèi)；再由乘法存在逆元得到，任意整數(shù)n（0除外）的倒數(shù)1/n必在域內(nèi)；再由乘法成群（去除0后）得到，任意m/n（m和n是整數(shù)）也在域內(nèi)。這樣，就證明了有理數(shù)必須在數(shù)域之內(nèi)，而且構(gòu)成了一個域。因此，有理數(shù)是最小數(shù)域。做完這個思維體操我們可以知道，不要小看群、環(huán)、域這樣一些基本概念，這些概念定義的是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，只從基本概念出發(fā)，就可以得到很多復(fù)雜的結(jié)果。譬如直到上世紀(jì)80年代，數(shù)學(xué)家們才真正徹底解決了全部有限單群分類的問題，這是經(jīng)過了近30年時間、由超過100位數(shù)學(xué)家在500多種期刊上寫下的超過10000頁的論文而最終解決的，其基礎(chǔ)則是200年前伽羅瓦提出的概念——群。（3）群和域的同構(gòu)群，不是隨隨便便就能構(gòu)成的；域，或許更復(fù)雜一些。伽羅瓦發(fā)現(xiàn)，有些表象不同的群之間，其實(shí)質(zhì)是完全相同的。這樣的群稱為是“同構(gòu)”的，也就是說，這樣的群在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)上都完全相同，只有表面符號上存在差別。同構(gòu)的群在去掉表象之后，可以認(rèn)為是同一個群。比如，對某一向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的操作構(gòu)成一個集合A=｛逆時針轉(zhuǎn)0度，逆時針120度，逆時針240度｝，定義這個集合中元素的“乘法”為先進(jìn)行第一個操作、再進(jìn)行第二個操作，于是A在此“乘法”下構(gòu)成一個群；再定義另外一個集合B=｛1，e2ni/3，e4ni/3｝，定義其上的“乘法”為普通的復(fù)數(shù)乘法，則B在乘法下也構(gòu)成一個群。簡單分析即可發(fā)現(xiàn)，A和B這兩個群結(jié)構(gòu)是完全相同的。群同構(gòu)的嚴(yán)格定義是：存在兩個群A、B之間的一個雙射(即——對應(yīng)的映射)？:AfB,滿足?(a*b)=?(a)X?(b),其中a、b￡A,?(a)、？(b)和?(a*b)￡B,*和*分別是群A和B的“乘法”。類似的，域也有同構(gòu)的情況。簡單說兩個域的同構(gòu)定義為：兩個域上的“加法”群同構(gòu)，并且去除“加法”單位元之后的兩個域上的“乘法”群也要同構(gòu)。好了，先不再講述數(shù)學(xué)概念了，一些不熟悉數(shù)學(xué)的人可能已經(jīng)糊涂了。哪怕只看完最基本的概念，我們也會震驚于伽羅瓦的天才頭腦。一個16歲才開始接觸數(shù)學(xué)、21歲就因決斗而死去的年輕人，是如何在那短短5年的時間里面，想通如此復(fù)雜的數(shù)學(xué)構(gòu)造、得到如此美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論的呢？二、巧妙的概念——擴(kuò)域、根式可解、根式塔【伽羅瓦的故事】由于伽羅瓦的父親死于政治事件，再加上伽羅瓦自身的共和主義政治傾向，導(dǎo)致他偏執(zhí)的認(rèn)定他的論文丟失事件是由于政治原因而被法國科學(xué)院故意制造的。特別是一年以后，伽羅瓦的另外一篇論文被科學(xué)院拒稿后，他更認(rèn)定了這一點(diǎn)。但是，今天再來分析這件事，可以比較確定的講，伽羅瓦的這種判斷完全是他的一廂情愿。事實(shí)上論文丟失很可能就是一個偶然事件(特別是由于傅立葉的去世)，而第二次拒稿則是由于伽羅瓦的思維過于跳躍，論文中的論證過于簡單，沒有詳細(xì)展開，導(dǎo)致論文評審者無法判定論文是否嚴(yán)密正確。事實(shí)上，以伽羅瓦的天才，在他眼里看來很簡單、顯然成立的論證過程，可能在別人眼里看來是需要復(fù)雜證明的。于是，伽羅瓦開始放松了他的研究工作而主要來從事共和主義事業(yè)的斗爭。這時的伽羅瓦就讀于高等師范學(xué)校，他作為鬧事者的名氣已經(jīng)超越了作為數(shù)學(xué)研究者的名聲，大家已經(jīng)不再把他當(dāng)作是數(shù)學(xué)研究者了，而更多的把他看成是鬧事學(xué)生。特別是在1830年的七月革命期間，他公開發(fā)表嚴(yán)厲攻擊校長的言論，終于被校長基尼約特給開除。從此，伽羅瓦的正式數(shù)學(xué)生涯到此結(jié)束。被開除后的伽羅瓦參加了國民警衛(wèi)隊(duì)的炮兵部隊(duì)，試圖成為一名職業(yè)反叛者?？墒莾H僅1個月后，新國王路易?菲利普取消了炮兵部隊(duì)，伽羅瓦徹底失業(yè)了。索菲?熱爾曼，一位當(dāng)時的年長女?dāng)?shù)學(xué)家曾經(jīng)在信件中記述伽羅瓦“他身無分文，他的母親也幾乎沒有錢財(cái)，但他卻不改變得罪人的習(xí)性”。在1831年上半年的一次共和主義者聚會活動上，伽羅瓦表達(dá)了殺死國王的意圖，于是被控“威脅國王生命罪”而受審。陪審團(tuán)最終考慮到他年僅20歲，尚未完全成熟，判決無罪釋放。一個月后，1831年7月14日的巴士底日，伽羅瓦身著已經(jīng)被解散并查禁的炮兵警衛(wèi)隊(duì)制服在巴黎游行，從而被判處監(jiān)禁。之后在監(jiān)獄的幾個月中，他學(xué)會了喝酒，在一次喝醉后還試圖自殺。1832年3月，由于霍亂的爆發(fā)，伽羅瓦被提前釋放。之后的幾個星期里，伽羅瓦和一位巴黎醫(yī)生的女兒斯特凡妮發(fā)生了風(fēng)流韻事。偏偏這個女人已經(jīng)和一名叫做Pescheuxd'Herbinville的紳士訂婚了。這名紳士知道了自己未婚妻和伽羅瓦的事情后，十分憤怒，毫不猶豫向伽羅瓦提出挑戰(zhàn)。這名紳士是當(dāng)時法國一名最好的槍手，伽羅瓦深知決斗會給自己帶來什么，但是他仍然接受了挑戰(zhàn)。挑戰(zhàn)的前夜，伽羅瓦知道第二天將是自己生命的終結(jié)了，他唯一擔(dān)心的是他被法國科學(xué)院拒絕的數(shù)學(xué)研究成果會永遠(yuǎn)消失，畢竟當(dāng)時還沒有人能夠理解他的理論。他在這一個晚上力圖寫下他全部的數(shù)學(xué)思想，書寫的字里行間不時的出現(xiàn)“斯特凡妮”或者“一個女人”等字樣，還多次出現(xiàn)“我沒有時間了”的感嘆。在第二天凌晨，伽羅瓦寫完了他的數(shù)學(xué)思想，并給他的朋友寫了一封信。伽羅瓦決斗前一晚所寫的他的數(shù)學(xué)思想信中，伽羅瓦自信的寫到“在我的一生中，我常常敢于預(yù)言當(dāng)時我還不十分有把握的一些命題。但是我寫在這里的一切已經(jīng)清清楚楚地在我腦海里形成1年多了，我不愿意使人懷疑我宣布了自己未完全證明的定理。請公開請求雅可比或者高斯對這些定理的重要性（而不是定理的正確與否）發(fā)表他們的看法。然后，我希望有人會發(fā)現(xiàn)將這一堆東西整理清楚會是很有益處的事。”。第二天，1832年5月30日，伽羅瓦只身一人參與決斗，最終腹部中彈，無望地倒在地上，勝利者悄然離去。伽羅瓦的兄弟阿爾弗雷德在幾個小時之后到達(dá)現(xiàn)場，把他送到醫(yī)院，但是為時已晚，腹膜炎已經(jīng)形成，5月31日，伽羅瓦離開了人世?！举ち_瓦理論】我無法想象1830年到1832年這段時間，伽羅瓦在食不果腹、不斷入獄的條件下，在把主要精力都投入到政治斗爭的情況下，是如何繼續(xù)深入思考他的數(shù)學(xué)研究課題的。在我看來，即使衣食無憂的情況下想把伽羅瓦的理論全部學(xué)懂，都是不容易的，何況是創(chuàng)造出來。由于伽羅瓦的研究成果是以上面提到的方式展現(xiàn)在世人面前的，因此沒有人能夠準(zhǔn)確知道他到底是如何想到這些概念和證明的，先后順序是怎么樣的，思維總體上是怎樣貫穿的？以下只是我個人的猜測。（1）伽羅瓦可能首先從“域”的角度出發(fā)，思考了域的擴(kuò)張。我們知道，有理數(shù)域Q是最小的數(shù)域，實(shí)數(shù)R、復(fù)數(shù)C也都構(gòu)成一個數(shù)域，那么是否存在數(shù)域，范圍大于有理數(shù)Q但是小于實(shí)數(shù)R、或者大于R小于C呢？甚至是否存在數(shù)域，其范圍大于Q小于C,同時又不完全包含或者包含于R呢？這要從最小數(shù)域的擴(kuò)張開始，域的擴(kuò)張稱為擴(kuò)域。擴(kuò)域:把某個域F中添加進(jìn)一個或幾個不屬于這個域的元素，在不改變原來域的“加法”和“乘法”的條件下，按照域的定義形成的新域E被稱為原來域的擴(kuò)域，記為E/F。比如，我們在有理數(shù)域Q上添加一個無理數(shù)J2,形成一個新的數(shù)域Q(J2),則Q(J2)/Q就是Q上的一個擴(kuò)域。由域的定義知道，這個形成的新域不只是包含J2,還包含著任何通過有理數(shù)與J2進(jìn)行加法和乘法得到的數(shù)。其實(shí)，除了加法和乘法，域里面還有著逆元，加法的逆元運(yùn)算對應(yīng)著減法，乘法的逆元運(yùn)算對應(yīng)著除法。也就是說，表面上域定義了加法和乘法，實(shí)質(zhì)上確定了加減乘除四則運(yùn)算。域是更高層次上抽象出來的結(jié)構(gòu)，但是落實(shí)到我們?nèi)粘５臄?shù)字和運(yùn)算上，與小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的四則運(yùn)算沒有什么不同?？梢宰C明，任何可以表示為a+bJ2(a,b￡Q)的數(shù)都屬于Q(J2)這個域，而這個域里面的任何數(shù)也都可以表示成為a+bJ2(a,b￡Q)的形式。顯然，這個Q(J2)就是一個范圍大于Q但是小于R的數(shù)域。有了擴(kuò)域這個工具，我們可以構(gòu)造出無窮多個數(shù)域。(2)之后伽羅瓦考慮的應(yīng)該是如何定義方程的根式可解因?yàn)樵谫ち_瓦從事數(shù)學(xué)研究的那5年，人們已經(jīng)在開始猜測一般的一元五次方程不可根式求解?？墒?，到底什么是根式求解？字面意思很容易理解，就是一個一元高次方程的解如果可以使用方程的系數(shù)經(jīng)過加減乘除和開方以及它們的組合運(yùn)算表達(dá)出來，就是可以根式求解的；如果不能以這種方式表達(dá)，那就是不可以根式求解的?？蛇@樣的定義雖然從語言和表達(dá)的角度來說沒有歧義，但是從數(shù)學(xué)的角度來說，還不夠清晰。伽羅瓦通過自己的深入思考，給出了根式可解的更優(yōu)美的定義。在了解這個優(yōu)美定義之前，需要思考以下一些毫無疑問是正確的結(jié)論：一個數(shù)域里面的任何數(shù)，都可以通過這個數(shù)域中的其它數(shù)的加減乘除運(yùn)算組合表達(dá)出來；除了個別特殊情況外，一般來講，數(shù)域中某個數(shù)的開方運(yùn)算的結(jié)果是不屬于這個數(shù)域的(類似于J2?Q)；把數(shù)域中某個數(shù)開方運(yùn)算的結(jié)果擴(kuò)張進(jìn)來成為一個擴(kuò)域后，擴(kuò)域中的數(shù)都可以使用原來數(shù)域中的數(shù)和這個開方運(yùn)算的結(jié)果的加減乘除運(yùn)算組合來表達(dá)，或者說這種擴(kuò)域中的數(shù)一定可以使用原來數(shù)域之內(nèi)的數(shù)的加減乘除和開方運(yùn)算進(jìn)行根式表達(dá)；明白了上面這3條結(jié)論，就可以知道，能否根式表達(dá)與上面說的這種把數(shù)域中某個數(shù)的開方運(yùn)算的結(jié)果擴(kuò)張進(jìn)來形成的擴(kuò)域有著密切關(guān)系。我們把這種擴(kuò)域定義為純擴(kuò)域。純擴(kuò)域：B/F為擴(kuò)域，B=F(d)，d￡B，dm￡F，此時把B稱為F的m型純擴(kuò)域。顯然，所謂m型純擴(kuò)域就是在域F中找一個數(shù)開m次方，然后把開方結(jié)果擴(kuò)進(jìn)來形成的擴(kuò)域?？蓜e小看這個純擴(kuò)域，根據(jù)前面的分析，純擴(kuò)域B中的任何數(shù)都可以通過域F中的數(shù)的加減乘除和開m次方運(yùn)算得到。如果繼續(xù)這樣擴(kuò)域下去，把F擴(kuò)為F1，把F1擴(kuò)為F2，…，無論多少次這種擴(kuò)域，只要是有限次，最終的擴(kuò)域Fn中的數(shù)都可以由域F中的數(shù)經(jīng)過加減乘除和開方運(yùn)算得到。由此，引出一個新概念，根式塔。根式塔：不斷擴(kuò)域形成的域列，F(xiàn)=F1?F2?F3?…?Fr+1,如果每個擴(kuò)域Fi+1/Fi(i=1,2,…,r)都是一個純擴(kuò)域，則稱此域列為一個根式塔。于是，數(shù)域F中的數(shù)通過加減乘除和開方運(yùn)算所能得到的數(shù)，一定包括在某個根式塔的Fr+1之中。由此，伽羅瓦給出了根式可解的更清晰優(yōu)美的定義。根式可解：設(shè)一元多次方程f(x)的全部系數(shù)都包含在域F之內(nèi)，此方程的全部根都包含在域E之內(nèi)，且E是包含f(x)全部根的最小域(此時稱E為F上多項(xiàng)式f(x)的根域)，如果存在根式塔F=F1?F2?F3?…?Fr+1，且E?Fr+1，稱域F上的方程f(x)根式可解?？吹劫ち_瓦給出的根式可解定義，我有一種感覺，也許伽羅瓦的腦子天生就是結(jié)構(gòu)化的，他可以直接在一個大的范疇上進(jìn)行思考和邏輯推導(dǎo)。本來通過語言描述的根式可解是一種模模糊糊的東西，但是經(jīng)過伽羅瓦重新定義的根式可解變得清晰明確，有數(shù)學(xué)實(shí)體可以抓了。三、“神來之筆”——域的自同構(gòu)、伽羅瓦群與伽羅瓦對應(yīng)【伽羅瓦的故事】伽羅瓦的葬禮因政治原因而變得混亂，政府認(rèn)為伽羅瓦的葬禮將會造成一次政治集會，為了維護(hù)穩(wěn)定，政府在葬禮之前的晚上逮捕了30名伽羅瓦的同志。盡管如此，還是有兩千多個共和主義者參加了葬禮，從而與政府人員之間爆發(fā)了一場混戰(zhàn)。這之后，不斷有人懷疑伽羅瓦與斯特凡妮的風(fēng)流韻事是一個陰謀，用來害死伽羅瓦的陰謀。直到今天，伽羅瓦到底是死于愚蠢的愛情還是政治陰謀仍然沒有定論。但無論是哪種原因，這位研究數(shù)學(xué)才5年但是卻被認(rèn)為是最偉大的數(shù)學(xué)家之一的天才，在21歲的時候就離開了人世。這對數(shù)學(xué)界來說是一個重大的損失，只不過當(dāng)時的人們還完全認(rèn)識不到。伽羅瓦雖然在決斗的前夜把他的數(shù)學(xué)思想寫了出來，但是這種潦草的內(nèi)容、跳躍的思維并不是立刻就被數(shù)學(xué)界所理解的。雖然伽羅瓦的兄弟和朋友把他寫下的數(shù)學(xué)思想重新整理了一遍，并分送給了高斯、雅可比等人，但是伽羅瓦的偉大研究成果仍然沒有得到理解和承認(rèn)。直到14年后，法國數(shù)學(xué)家約瑟夫?劉維爾(JosephLiouville)重新整理并發(fā)表了伽羅瓦的著作，才使得伽羅瓦理論逐漸被世人所理解。劉維爾本人也是一位著名的數(shù)學(xué)家，一生從事數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)的研究，涉足廣泛，成果豐富，尤其對雙周期橢圓函數(shù)、微分方程邊值問題和數(shù)論中的超越數(shù)問題有深入研究。他是第一個證實(shí)超越數(shù)存在的人。即使是這樣一位著名數(shù)學(xué)家，仍然從1843年到1846年用了3年的時間來徹底研究伽羅瓦的理論，終于在1846年比較全面的理解了伽羅瓦的成就并發(fā)表出來。劉維爾雖然在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有不小的貢獻(xiàn)，但很可能他整理、理解并發(fā)表伽羅瓦理論是他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域最大的貢獻(xiàn)。代數(shù)學(xué)能夠取得今天的成就，劉維爾功勞不小。劉維爾在反思為什么伽羅瓦的理論在很長一段時間內(nèi)不能得到理解的原因時，寫下了這樣一段話：過分地追求簡潔是導(dǎo)致這一缺憾的原因。人們在處理像純粹代數(shù)這樣抽象和神秘的事物時，應(yīng)該首先盡力避免這樣做。事實(shí)上，當(dāng)你試圖引導(dǎo)讀者遠(yuǎn)離習(xí)以為常的思路進(jìn)入較為困惑的領(lǐng)域時，清晰性是絕對必需的，就像笛卡爾說過的那樣：“在討論超前的問題時務(wù)必空前地清晰?！辟ち_瓦太不把這條箴言放在心上,……伽羅瓦再也回不來了！我們不要再過分地作無用的批評，讓我們把缺憾拋開，找一找有價值的東西,……我的熱心得到了好報(bào)。在填補(bǔ)了一些細(xì)小的缺陷后，我看出了伽羅瓦用來證明這個美妙的定理的方法是完全正確的，在那個瞬間，我體驗(yàn)到一種強(qiáng)烈的愉悅。真心希望大家了解了伽羅瓦理論之后，能夠像劉維爾一樣有一種“強(qiáng)烈的愉悅感”。伽羅瓦的故事講完了，伽羅瓦那天才的思想還需要繼續(xù)?！举ち_瓦理論】從前面的介紹我們知道，根式可解需要找到一個根式塔，根式塔是一個域列。只知道這些，我們還是解決不了方程是否能夠根式求解的問題，因?yàn)槲覀內(nèi)匀徊恢涝鯓优袛嗍欠翊嬖谶@種根式塔？伽羅瓦在思考這個問題的時候，發(fā)現(xiàn)或者說找到了一種對應(yīng)關(guān)系——伽羅瓦對應(yīng)。應(yīng)該講，這種對應(yīng)關(guān)系是人類思維領(lǐng)域的“神來之筆”。我無法想象伽羅瓦到底是通過怎樣的思考發(fā)現(xiàn)了這種對應(yīng)關(guān)系，對我自己來說，能夠較快理解伽羅瓦對應(yīng)就已經(jīng)謝天謝地了。伽羅瓦對應(yīng)的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是從域的自同構(gòu)映射開始的。域的自同構(gòu)映射：前面我們介紹了域的同構(gòu)，知道了兩個域同構(gòu)意味著兩個域之間存在著滿足同構(gòu)關(guān)系的映射。顯然一個域一定是和自己同構(gòu)的，我們把某個域E到自身的同構(gòu)映射叫做自同構(gòu)映射。事實(shí)上，這種自同構(gòu)映射未必只有一個，我們把全部自同構(gòu)映射組成的集合記為Aut（E）。現(xiàn)在開始，我們的思維要在理解群、域的基礎(chǔ)上再上一個臺階，開始思考域的自同構(gòu)映射組成的集合了。記住，Aut（E）中的元素是EfE集合間的映射。下面再做一個稍復(fù)雜點(diǎn)的思維體操，定義Aut（E）上兩個元素。1和。2之間的“乘法”為。1*02（a）=。1（。2（a）），證明Aut（E）在這個“乘法”下構(gòu)成群。構(gòu)成群首先要滿足封閉性，也就是對于。1￡Aut（E）和o2￡Aut（E），要證明o1*02￡Aut（E）。證明如下：請記住，Aut（E）中的。都是自同構(gòu)映射，必然滿足。（a+b）=o（a）+o（b），o（a*b）=o（a）*o（b）。由此，我們可以得到o1*02(a+b)=。1(。2(a+b))=。1(。2(a)+。2(b))=。1(。2(a))+。1(。2(b))=。1*02(a)+。1*02(b)。1*02(a*b)=01(o2(a*b))=o1(o2(a)*o2(b))=01(02(a))*01(02(b))=01*02(a)*01*02(b)也即。1*o2也滿足自同構(gòu)映射的條件，于是o1*02￡Aut(E)。封閉性得到了滿足。結(jié)合律：(01*02)*03(a)=(01*02)(03(a))=(01(02(03(a)))=01*(02*03)(a)也就是(01*02)*03=01*(02*03)，滿足結(jié)合律。單位元：顯然對于E-E上的恒等映射0e,滿足0e(a)=a,?a￡E,容易驗(yàn)證0e即為Aut(E)的單位元。逆元：?0￡Aut(E),a￡E且aW0,有0(0)=0(a-a)=0(a)-0(a)=0；0(a)=0(1*a)=0(1)*0(a)?0(1)=1；0(1)=0(a*a-1)=0(a)*0(a-1)=1?0(a)W0；即aW0時0(a)W0。于是得到，aWb時，0(a-b)=0(a)-0(b)W0?0(a)#0(b)。這說明0是單射,單射必有逆映射,令其逆映射為0-1,則必有0*0-1(a)=0(0-1(a))=a?0*0-1=0e,確定逆元必然存在。綜上，Aut(E)在上述“乘法”定義下構(gòu)成群。對群、域不熟悉的人來說,也許這個思維體操稍微有些“繞”,但是對于熟悉的人來說,這個關(guān)系是一眼就可以看出來的。我想,如果一個不熟悉的人把上述并不復(fù)雜的推導(dǎo)看明白后，也會感覺到愉悅的。當(dāng)然，我相信對于伽羅瓦來說，上述結(jié)論是瞬間就想到了的。不僅如此，伽羅瓦還進(jìn)一步找到了群Aut(E)的一類子群一—我們今天稱之為伽羅瓦群。伽羅瓦群：E/F是擴(kuò)域，且E是系數(shù)在F內(nèi)的某個多項(xiàng)式方程的根域(根域參見前面的說明，以后會將這種根域叫做F的正規(guī)擴(kuò)域)，E上全部自同構(gòu)映射的集合Aut8)中使F中元素不變的那些映射形成的子集構(gòu)成Aut(E)的一個子群，稱為E在F上的伽羅瓦群，記為G(E/F)。概念越來越復(fù)雜了，解釋一下，就是Aut(E)中的自同構(gòu)映射，有一部分是在F上的恒等映射，也就是說F中的元素在這些映射的作用下是不變的，這類映射的全體組成的集合也構(gòu)成一個群，是Aut(E)的子群，叫做E在F上的伽羅瓦群。有人會問，為什么要搞出個伽羅瓦群的概念呢？下面就是見證奇跡的時亥U了：設(shè)f(x)￡F[x](意思是f(x)的系數(shù)都在F內(nèi))，則對于任意?！闓(E/F)，必然有。(f(x))=f(x)，這是因?yàn)?。作用在F上是恒等映射；同時，設(shè)方程f(x)=0有n個根，分別是a1、a2、…、an，那么f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)，于是。(f(x))=(x-。(a1))(x-。(a2))…(x-。(an))=f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)。這說明。(a1)、。(a2)、…、。(an)只是a1、a2、…、an的一組置換(意思是，還是這n個數(shù)，只是位置發(fā)生了變化，如。（a1）=a2、。（a2）=al之類的變換）！看到了么，伽羅瓦群中的每個映射都對應(yīng)著方程根的一組置換！要知道，從500年前的費(fèi)爾洛解出了一般一元三次方程，到400年前的塔爾塔利亞、卡丹、費(fèi)拉里解出一元四次方程，一直到200年前的拉格朗日創(chuàng)造出了方程的預(yù)解式，高斯得到了高斯定理，都是在大量的計(jì)算推導(dǎo)中，模模糊糊的察覺到方程的解與根的置換似乎有關(guān)系。直到伽羅瓦橫空出世，清晰的告訴世人，一元高次方程是否可以根式求解的奧秘，就藏在這些根的置換當(dāng)中。當(dāng)然，只知道寶藏的位置還不夠，還需要有打開寶藏的鑰匙。天才的伽羅瓦找到了這把鑰匙，我把它稱為“神來之筆”——伽羅瓦對應(yīng)。記得討論根式可解的時候，我們說需要找到一個根式塔，根式塔是一個域列。假設(shè)存在一個域列F=F1?F2?F3?…?Fr+1=E（注意，這個域列不要求一定是根式塔），且E/F是正規(guī)擴(kuò)域（參見上面描述），則可以證明任意E/Fi，i=1,…,r，也是正規(guī)擴(kuò)域。于是存在一組伽羅瓦群G（E/Fi），這組伽羅瓦群都是G（E/F）的子群，而且可以證明每個