伽羅瓦理論之美

伽羅瓦理論之美伽羅瓦(6varisteGalois,1811?1832),一個21歲就去世了的年輕人，開創(chuàng)了現(xiàn)代代數(shù)學的先河。他創(chuàng)建的群論、域論，優(yōu)美奧妙，已經(jīng)成為現(xiàn)代代數(shù)學的基本工具。我花了兩個月的時間研讀伽羅瓦理論，隨著理解的深入，我內(nèi)心不斷感受到震撼，心底油然而生對伽羅瓦的欽佩與崇拜。這種感覺就像終于看懂了世界上最美妙的畫作、聽懂了世界上最優(yōu)雅的旋律一樣，不由自主的希望與別人共享。遺憾的是，數(shù)學之美只能是那些真正研讀并理解了它的人們才能感受得到。伽羅瓦理論雖然優(yōu)美，但是卻足夠深奧，除了數(shù)學專業(yè)人士和肯于鉆研的數(shù)學愛好者之外，尚不能被普通大眾所理解?？墒俏也桓市模移谕M自己的努力，用最簡明通俗的語言，盡量不涉及復雜的數(shù)學公式和邏輯推導，而把伽羅瓦理論的優(yōu)美展現(xiàn)在大眾面前。伽羅瓦是一個200年前有故事的年輕人，伽羅瓦理論是一座險峻的高峰。讓我們一邊閱讀伽羅瓦的人生故事，一邊嘗試著攀登這座高峰吧。首先，我們來引用伽羅瓦的一段話“Jumpabovecalculations,grouptheoperations,classifythemaccordingtotheircomplexitiesratherthantheirappearance;this,Ibelieve,isthemissionoffuturemathematicians;thisistheroadI'membarkinginthiswork."（跳出計算，群化運算，按照它們的復雜度而不是表象來分類；我相信，這是未來數(shù)學的任務；這也正是我的工作所揭示出來的道路。）當21歲的伽羅瓦在臨死前一天晚上把他主要的研究成果以極其精簡、跳躍的思維寫在草稿紙上的時候，沒有人知道當代最偉大的數(shù)學工具和數(shù)學研究方向已經(jīng)在伽羅瓦的頭腦中存在了1年多的時間了。甚至是在伽羅瓦第二天參與一個愚蠢的決斗而死后的14年內(nèi)，都沒有人徹底弄明白伽羅瓦寫的到底是什么，他頭腦中那偉大而天才的數(shù)學結(jié)構(gòu)是怎樣的？看看這些霸氣的名字吧，高斯、柯西、傅立葉、拉格朗日、雅可比、泊松、……，這些在那個時代、同時也是人類歷史上的偉大的數(shù)學家、物理學家都沒有理解伽羅瓦的理論，從這個意義上講，伽羅瓦恐怕是人類歷史上最具天才的數(shù)學家了。讓我們先來看一些對比：（1）1824年，挪威數(shù)學家阿貝爾發(fā)表了《一元五次方程沒有一般代數(shù)解》的論文，用了50多頁的篇幅和大量的計算，論證了對于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。當時阿貝爾的證明今天看來，充滿著智慧和復雜的計算，但是仍不夠嚴謹。當我們今天使用伽羅瓦理論來論證這一點的時候，論證過程為“一般一元五次方程的伽羅瓦群同構(gòu)于全置換群$5,而S5不是可解群，因此一般一元五次方程不可根式求解?！保?）1801年，年輕的24歲“數(shù)學王子”高斯通過復雜的計算推導，證明了xp-1=0（p為素數(shù)）是可根式求解的，證明過程使用了大量計算技巧，充分展示了高斯的數(shù)學計算天賦。今天我們使用伽羅瓦理論來論證這一點的時候，論證過程為“方程xp-1=0（p為素數(shù)）在有理數(shù)域Q上的伽羅瓦群同構(gòu)于素數(shù)階模p同余類乘群Zp,而Zp是循環(huán)群，必為可解群，因此方程xp-1=0可根式求解。”甚至我們可以類似的論證p不為素數(shù)時的方程xn-1=0在Q上的伽羅瓦群同構(gòu)于模n同余類乘群Z’n，為可換群（阿貝爾群），必為可解群，因此方程xn-1=0可根式求解。伽羅瓦理論還可以輕松的解決正n邊形的尺規(guī)作圖問題，證明三等分角、倍立方、化圓為方（這個有賴于兀是超越數(shù)的證明）的尺規(guī)作圖不可能問題。今天，伽羅瓦的理論已經(jīng)發(fā)展成叫做“近世代數(shù)”（又叫抽象代數(shù)）的一個專門數(shù)學分支，其應用拓展到了拓撲、微分幾何、混沌等前沿數(shù)學研究領域以至于物理、化學等眾多科學領域，成為了現(xiàn)代科學研究的重要基礎工具。1994年英國數(shù)學家安德魯?懷爾斯（AndrewWiles）證明著名的“費馬大定理”的時候，就主要應用了伽羅瓦理論。當看到一大批通過繁雜計算很難得到證明的問題，能夠被使用精巧的數(shù)學結(jié)構(gòu)來簡潔而精準證明的時候，你也許開始感受到伽羅瓦理論的優(yōu)美——但這僅僅是一個開始。從這個“開始”，我們會逐漸感受到伽羅瓦所說的“Jumpabovecalculations,grouptheoperations.”的含義。那么伽羅瓦到底發(fā)明了什么數(shù)學結(jié)構(gòu)和工具，使得原來復雜的問題變得清晰起來了呢？一、更高層次的抽象——群、環(huán)、域【伽羅瓦的故事】有人說“數(shù)學也許只存在于數(shù)學家的頭腦之中”，至少數(shù)學是發(fā)端于數(shù)學家頭腦的。1823年，12歲的埃瓦里斯特?伽羅瓦進入了他的第一所學?！宦芬?勒格蘭皇家中學，一所聲望很高但相當專制的學校，但是直到16歲，伽羅瓦才被準許讀他的第一門數(shù)學課程。雖然12?16歲期間的伽羅瓦沒有機會研究數(shù)學，但是這時期法國社會上和學校中發(fā)生的一些事件點燃了他的共和主義傾向，奠定了他日后參與政治的悲劇人生的基礎。原本成績優(yōu)秀的伽羅瓦一旦開始學數(shù)學，就像變了一個人，變得對其它課程都不重視，而只醉心于數(shù)學這一門課程。學校給他的評語是“該生只宜在數(shù)學的最高領域中工作，這個孩子完全陷入了對數(shù)學的狂熱之中?！睕]有人知道16?18歲中學時期的伽羅瓦頭腦中在想些什么，人們只能從表面上看到他所掌握的數(shù)學知識足以通過中學的考試要求，但是他對問題的解答往往讓考官理解不了。更糟糕的是，他經(jīng)常把大量的演算放在頭腦中進行，使得平庸的考官們更為茫然和沮喪?，F(xiàn)有的材料表明，17歲的伽羅瓦已經(jīng)開始研究一般的一元五次方程求解的問題了，他曾提交了2篇論文給法國科學院，當時的評審專家是著名數(shù)學家柯西?？挛黠@然被伽羅瓦的論文所震驚，他建議伽羅瓦重新以專題的形式提交這兩篇論文，并參加數(shù)學大獎的評審。這期間正趕上伽羅瓦的父親因政治原因而自殺，伽羅瓦在參加完父親的葬禮后，把改好的專題論文提交給了法國科學院秘書、著名數(shù)學家傅立葉。可惜的是，傅立葉在評審前幾個星期就去世了，在這個過程中伽羅瓦的論文也丟失了，從而失去了參加評獎的機會。天知道為什么這兩篇很可能是那個時代最偉大的論文被丟失了？難道上帝都在嫉妒伽羅瓦么？【伽羅瓦理論】在我們已經(jīng)全面了解并極大發(fā)展了伽羅瓦理論的今天，回想1828年伽羅瓦提交的那兩篇論文，我們有理由猜測，伽羅瓦是站在更高的層次上來看待數(shù)和運算的。在伽羅瓦看來，“數(shù)和運算”組合在一起可以構(gòu)成一種數(shù)學結(jié)構(gòu)，這是一種更加本質(zhì)、更加抽象的數(shù)學結(jié)構(gòu)，當繼續(xù)把這種結(jié)構(gòu)脫離“數(shù)字和常規(guī)意義上的運算”而抽象出來的時候，就形成了新的數(shù)學概念——群。（1）群：給一個集合中的元素定義一種運算“乘法”（這個“乘法”不是數(shù)字運算的乘法，而只是借用了這個名字，因此加上了引號），如果這個集合中的元素和這個“乘法”滿足：封閉性：集合中任兩個元素相“乘”的結(jié)果在這個集合之內(nèi)；結(jié)合律：這個“乘法”滿足（2%）%=a*（吩。）；單位元：集合中存在某個元素e,對于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a，e被稱為單位元；逆元：對于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一個元素2-1，使得a*a-1=a-1*a=e，a與a-1互為逆元。此時，這個集合與這個運算組合在一起被稱為“群”。我本不愿意羅列概念，但是如果要想感受到伽羅瓦理論之美，就必須弄清楚“群”的概念。就像一個人想要欣賞美妙的音樂，你總要能區(qū)分音調(diào)高低、節(jié)奏快慢一樣，如果高音“1”和低音“1”在你聽來是一樣的，那么很難想象你可以欣賞美妙的交響樂。“群”很顯然是把數(shù)字及其運算關(guān)系抽象之后形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。容易驗證，整數(shù)集合在加法運算下成群（這里的加法就通常意義的數(shù)字加法，對應著群定義中的“乘法”），其單位元是數(shù)字0；但是整數(shù)集合在乘法運算下不成群，這是因為對于大部分整數(shù)，沒有乘法的逆元。其實群在日常生活中也會存在，常見的是魔方，它的全部操作構(gòu)成一個集合，再定義任意兩種操作的“乘法”為“先執(zhí)行第一種操作、再執(zhí)行第二種操作”，則容易驗證魔方的全部操作在這種“乘法”下成群，叫做RUBIC群。（2）環(huán)與域：在一個集合上定義兩種運算“加法”和“乘法”，如果這個集合在這個“加法”下成群，而在這個“乘法”下只滿足“封閉性”與“結(jié)合律”，則稱這個集合與這兩種運算構(gòu)成一個“環(huán)”；如果這個集合去除“加法”群下的單位元后形成的新集合在“乘法”下成群，則稱這個集合與這兩種運算構(gòu)成一個“域”。顯然，“域”是一種特殊的“環(huán)”。對不起了，伽羅瓦理論是夠抽象的，對于完全沒有接觸過群論、域論的人來說，這幾個概念就挺費琢磨。可是沒有辦法，伽羅瓦理論這座高峰就需要踩著這些概念的臺階來攀登，你想欣賞最美好的風光，就需要把這些“概念”踩在腳下，“無限風光在險峰”。如果看懂了這三個概念，特別是看懂了“群”和“域”這兩個概念，就會理解這些結(jié)構(gòu)其實就是從基礎的數(shù)字運算關(guān)系中抽象出來的。比如：有理數(shù)在加法和乘法運算下構(gòu)成一個域，0是加法單位元，1是乘法單位元，不包含0的有理數(shù)在乘法運算下成群；實數(shù)、復數(shù)在加法和乘法下都構(gòu)成域；無理數(shù)在加法和乘法下不能構(gòu)成域，這是因為無理數(shù)之和可能是有理數(shù)，不滿足封閉性。下面用群和域的概念做一個思維體操，證明有理數(shù)是最小的數(shù)域（由數(shù)字和加法、乘法構(gòu)成的域）：數(shù)域必有加法單位元0和乘法單位元1；由加法封閉性得到n個1相加必然還在域內(nèi)，于是任意自然數(shù)n在域內(nèi)；再由加法存在逆元得到-n也在域內(nèi)，這樣全部整數(shù)必然在域內(nèi)；再由乘法存在逆元得到，任意整數(shù)n（0除外）的倒數(shù)1/n必在域內(nèi)；再由乘法成群（去除0后）得到，任意m/n（m和n是整數(shù)）也在域內(nèi)。這樣，就證明了有理數(shù)必須在數(shù)域之內(nèi)，而且構(gòu)成了一個域。因此，有理數(shù)是最小數(shù)域。做完這個思維體操我們可以知道，不要小看群、環(huán)、域這樣一些基本概念，這些概念定義的是一種數(shù)學結(jié)構(gòu)，只從基本概念出發(fā)，就可以得到很多復雜的結(jié)果。譬如直到上世紀80年代，數(shù)學家們才真正徹底解決了全部有限單群分類的問題，這是經(jīng)過了近30年時間、由超過100位數(shù)學家在500多種期刊上寫下的超過10000頁的論文而最終解決的，其基礎則是200年前伽羅瓦提出的概念——群。（3）群和域的同構(gòu)群，不是隨隨便便就能構(gòu)成的；域，或許更復雜一些。伽羅瓦發(fā)現(xiàn)，有些表象不同的群之間，其實質(zhì)是完全相同的。這樣的群稱為是“同構(gòu)”的，也就是說，這樣的群在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)上都完全相同，只有表面符號上存在差別。同構(gòu)的群在去掉表象之后，可以認為是同一個群。比如，對某一向量進行旋轉(zhuǎn)的操作構(gòu)成一個集合A=｛逆時針轉(zhuǎn)0度，逆時針120度，逆時針240度｝，定義這個集合中元素的“乘法”為先進行第一個操作、再進行第二個操作，于是A在此“乘法”下構(gòu)成一個群；再定義另外一個集合B=｛1，e2ni/3，e4ni/3｝，定義其上的“乘法”為普通的復數(shù)乘法，則B在乘法下也構(gòu)成一個群。簡單分析即可發(fā)現(xiàn)，A和B這兩個群結(jié)構(gòu)是完全相同的。群同構(gòu)的嚴格定義是：存在兩個群A、B之間的一個雙射(即——對應的映射)？:AfB,滿足?(a*b)=?(a)X?(b),其中a、b￡A,?(a)、？(b)和?(a*b)￡B,*和*分別是群A和B的“乘法”。類似的，域也有同構(gòu)的情況。簡單說兩個域的同構(gòu)定義為：兩個域上的“加法”群同構(gòu)，并且去除“加法”單位元之后的兩個域上的“乘法”群也要同構(gòu)。好了，先不再講述數(shù)學概念了，一些不熟悉數(shù)學的人可能已經(jīng)糊涂了。哪怕只看完最基本的概念，我們也會震驚于伽羅瓦的天才頭腦。一個16歲才開始接觸數(shù)學、21歲就因決斗而死去的年輕人，是如何在那短短5年的時間里面，想通如此復雜的數(shù)學構(gòu)造、得到如此美妙的數(shù)學結(jié)論的呢？二、巧妙的概念——擴域、根式可解、根式塔【伽羅瓦的故事】由于伽羅瓦的父親死于政治事件，再加上伽羅瓦自身的共和主義政治傾向，導致他偏執(zhí)的認定他的論文丟失事件是由于政治原因而被法國科學院故意制造的。特別是一年以后，伽羅瓦的另外一篇論文被科學院拒稿后，他更認定了這一點。但是，今天再來分析這件事，可以比較確定的講，伽羅瓦的這種判斷完全是他的一廂情愿。事實上論文丟失很可能就是一個偶然事件(特別是由于傅立葉的去世)，而第二次拒稿則是由于伽羅瓦的思維過于跳躍，論文中的論證過于簡單，沒有詳細展開，導致論文評審者無法判定論文是否嚴密正確。事實上，以伽羅瓦的天才，在他眼里看來很簡單、顯然成立的論證過程，可能在別人眼里看來是需要復雜證明的。于是，伽羅瓦開始放松了他的研究工作而主要來從事共和主義事業(yè)的斗爭。這時的伽羅瓦就讀于高等師范學校，他作為鬧事者的名氣已經(jīng)超越了作為數(shù)學研究者的名聲，大家已經(jīng)不再把他當作是數(shù)學研究者了，而更多的把他看成是鬧事學生。特別是在1830年的七月革命期間，他公開發(fā)表嚴厲攻擊校長的言論，終于被校長基尼約特給開除。從此，伽羅瓦的正式數(shù)學生涯到此結(jié)束。被開除后的伽羅瓦參加了國民警衛(wèi)隊的炮兵部隊，試圖成為一名職業(yè)反叛者?？墒莾H僅1個月后，新國王路易?菲利普取消了炮兵部隊，伽羅瓦徹底失業(yè)了。索菲?熱爾曼，一位當時的年長女數(shù)學家曾經(jīng)在信件中記述伽羅瓦“他身無分文，他的母親也幾乎沒有錢財，但他卻不改變得罪人的習性”。在1831年上半年的一次共和主義者聚會活動上，伽羅瓦表達了殺死國王的意圖，于是被控“威脅國王生命罪”而受審。陪審團最終考慮到他年僅20歲，尚未完全成熟，判決無罪釋放。一個月后，1831年7月14日的巴士底日，伽羅瓦身著已經(jīng)被解散并查禁的炮兵警衛(wèi)隊制服在巴黎游行，從而被判處監(jiān)禁。之后在監(jiān)獄的幾個月中，他學會了喝酒，在一次喝醉后還試圖自殺。1832年3月，由于霍亂的爆發(fā)，伽羅瓦被提前釋放。之后的幾個星期里，伽羅瓦和一位巴黎醫(yī)生的女兒斯特凡妮發(fā)生了風流韻事。偏偏這個女人已經(jīng)和一名叫做Pescheuxd'Herbinville的紳士訂婚了。這名紳士知道了自己未婚妻和伽羅瓦的事情后，十分憤怒，毫不猶豫向伽羅瓦提出挑戰(zhàn)。這名紳士是當時法國一名最好的槍手，伽羅瓦深知決斗會給自己帶來什么，但是他仍然接受了挑戰(zhàn)。挑戰(zhàn)的前夜，伽羅瓦知道第二天將是自己生命的終結(jié)了，他唯一擔心的是他被法國科學院拒絕的數(shù)學研究成果會永遠消失，畢竟當時還沒有人能夠理解他的理論。他在這一個晚上力圖寫下他全部的數(shù)學思想，書寫的字里行間不時的出現(xiàn)“斯特凡妮”或者“一個女人”等字樣，還多次出現(xiàn)“我沒有時間了”的感嘆。在第二天凌晨，伽羅瓦寫完了他的數(shù)學思想，并給他的朋友寫了一封信。伽羅瓦決斗前一晚所寫的他的數(shù)學思想信中，伽羅瓦自信的寫到“在我的一生中，我常常敢于預言當時我還不十分有把握的一些命題。但是我寫在這里的一切已經(jīng)清清楚楚地在我腦海里形成1年多了，我不愿意使人懷疑我宣布了自己未完全證明的定理。請公開請求雅可比或者高斯對這些定理的重要性（而不是定理的正確與否）發(fā)表他們的看法。然后，我希望有人會發(fā)現(xiàn)將這一堆東西整理清楚會是很有益處的事?！薄５诙?，1832年5月30日，伽羅瓦只身一人參與決斗，最終腹部中彈，無望地倒在地上，勝利者悄然離去。伽羅瓦的兄弟阿爾弗雷德在幾個小時之后到達現(xiàn)場，把他送到醫(yī)院，但是為時已晚，腹膜炎已經(jīng)形成，5月31日，伽羅瓦離開了人世?！举ち_瓦理論】我無法想象1830年到1832年這段時間，伽羅瓦在食不果腹、不斷入獄的條件下，在把主要精力都投入到政治斗爭的情況下，是如何繼續(xù)深入思考他的數(shù)學研究課題的。在我看來，即使衣食無憂的情況下想把伽羅瓦的理論全部學懂，都是不容易的，何況是創(chuàng)造出來。由于伽羅瓦的研究成果是以上面提到的方式展現(xiàn)在世人面前的，因此沒有人能夠準確知道他到底是如何想到這些概念和證明的，先后順序是怎么樣的，思維總體上是怎樣貫穿的？以下只是我個人的猜測。（1）伽羅瓦可能首先從“域”的角度出發(fā)，思考了域的擴張。我們知道，有理數(shù)域Q是最小的數(shù)域，實數(shù)R、復數(shù)C也都構(gòu)成一個數(shù)域，那么是否存在數(shù)域，范圍大于有理數(shù)Q但是小于實數(shù)R、或者大于R小于C呢？甚至是否存在數(shù)域，其范圍大于Q小于C,同時又不完全包含或者包含于R呢？這要從最小數(shù)域的擴張開始，域的擴張稱為擴域。擴域:把某個域F中添加進一個或幾個不屬于這個域的元素，在不改變原來域的“加法”和“乘法”的條件下，按照域的定義形成的新域E被稱為原來域的擴域，記為E/F。比如，我們在有理數(shù)域Q上添加一個無理數(shù)J2,形成一個新的數(shù)域Q(J2),則Q(J2)/Q就是Q上的一個擴域。由域的定義知道，這個形成的新域不只是包含J2,還包含著任何通過有理數(shù)與J2進行加法和乘法得到的數(shù)。其實，除了加法和乘法，域里面還有著逆元，加法的逆元運算對應著減法，乘法的逆元運算對應著除法。也就是說，表面上域定義了加法和乘法，實質(zhì)上確定了加減乘除四則運算。域是更高層次上抽象出來的結(jié)構(gòu)，但是落實到我們?nèi)粘５臄?shù)字和運算上，與小學就開始學習的四則運算沒有什么不同。可以證明，任何可以表示為a+bJ2(a,b￡Q)的數(shù)都屬于Q(J2)這個域，而這個域里面的任何數(shù)也都可以表示成為a+bJ2(a,b￡Q)的形式。顯然，這個Q(J2)就是一個范圍大于Q但是小于R的數(shù)域。有了擴域這個工具，我們可以構(gòu)造出無窮多個數(shù)域。(2)之后伽羅瓦考慮的應該是如何定義方程的根式可解因為在伽羅瓦從事數(shù)學研究的那5年，人們已經(jīng)在開始猜測一般的一元五次方程不可根式求解?？墒牵降资裁词歉角蠼?？字面意思很容易理解，就是一個一元高次方程的解如果可以使用方程的系數(shù)經(jīng)過加減乘除和開方以及它們的組合運算表達出來，就是可以根式求解的；如果不能以這種方式表達，那就是不可以根式求解的。可這樣的定義雖然從語言和表達的角度來說沒有歧義，但是從數(shù)學的角度來說，還不夠清晰。伽羅瓦通過自己的深入思考，給出了根式可解的更優(yōu)美的定義。在了解這個優(yōu)美定義之前，需要思考以下一些毫無疑問是正確的結(jié)論：一個數(shù)域里面的任何數(shù)，都可以通過這個數(shù)域中的其它數(shù)的加減乘除運算組合表達出來；除了個別特殊情況外，一般來講，數(shù)域中某個數(shù)的開方運算的結(jié)果是不屬于這個數(shù)域的(類似于J2?Q)；把數(shù)域中某個數(shù)開方運算的結(jié)果擴張進來成為一個擴域后，擴域中的數(shù)都可以使用原來數(shù)域中的數(shù)和這個開方運算的結(jié)果的加減乘除運算組合來表達，或者說這種擴域中的數(shù)一定可以使用原來數(shù)域之內(nèi)的數(shù)的加減乘除和開方運算進行根式表達；明白了上面這3條結(jié)論，就可以知道，能否根式表達與上面說的這種把數(shù)域中某個數(shù)的開方運算的結(jié)果擴張進來形成的擴域有著密切關(guān)系。我們把這種擴域定義為純擴域。純擴域：B/F為擴域，B=F(d)，d￡B，dm￡F，此時把B稱為F的m型純擴域。顯然，所謂m型純擴域就是在域F中找一個數(shù)開m次方，然后把開方結(jié)果擴進來形成的擴域?？蓜e小看這個純擴域，根據(jù)前面的分析，純擴域B中的任何數(shù)都可以通過域F中的數(shù)的加減乘除和開m次方運算得到。如果繼續(xù)這樣擴域下去，把F擴為F1，把F1擴為F2，…，無論多少次這種擴域，只要是有限次，最終的擴域Fn中的數(shù)都可以由域F中的數(shù)經(jīng)過加減乘除和開方運算得到。由此，引出一個新概念，根式塔。根式塔：不斷擴域形成的域列，F(xiàn)=F1?F2?F3?…?Fr+1,如果每個擴域Fi+1/Fi(i=1,2,…,r)都是一個純擴域，則稱此域列為一個根式塔。于是，數(shù)域F中的數(shù)通過加減乘除和開方運算所能得到的數(shù)，一定包括在某個根式塔的Fr+1之中。由此，伽羅瓦給出了根式可解的更清晰優(yōu)美的定義。根式可解：設一元多次方程f(x)的全部系數(shù)都包含在域F之內(nèi)，此方程的全部根都包含在域E之內(nèi)，且E是包含f(x)全部根的最小域(此時稱E為F上多項式f(x)的根域)，如果存在根式塔F=F1?F2?F3?…?Fr+1，且E?Fr+1，稱域F上的方程f(x)根式可解。看到伽羅瓦給出的根式可解定義，我有一種感覺，也許伽羅瓦的腦子天生就是結(jié)構(gòu)化的，他可以直接在一個大的范疇上進行思考和邏輯推導。本來通過語言描述的根式可解是一種模模糊糊的東西，但是經(jīng)過伽羅瓦重新定義的根式可解變得清晰明確，有數(shù)學實體可以抓了。三、“神來之筆”——域的自同構(gòu)、伽羅瓦群與伽羅瓦對應【伽羅瓦的故事】伽羅瓦的葬禮因政治原因而變得混亂，政府認為伽羅瓦的葬禮將會造成一次政治集會，為了維護穩(wěn)定，政府在葬禮之前的晚上逮捕了30名伽羅瓦的同志。盡管如此，還是有兩千多個共和主義者參加了葬禮，從而與政府人員之間爆發(fā)了一場混戰(zhàn)。這之后，不斷有人懷疑伽羅瓦與斯特凡妮的風流韻事是一個陰謀，用來害死伽羅瓦的陰謀。直到今天，伽羅瓦到底是死于愚蠢的愛情還是政治陰謀仍然沒有定論。但無論是哪種原因，這位研究數(shù)學才5年但是卻被認為是最偉大的數(shù)學家之一的天才，在21歲的時候就離開了人世。這對數(shù)學界來說是一個重大的損失，只不過當時的人們還完全認識不到。伽羅瓦雖然在決斗的前夜把他的數(shù)學思想寫了出來，但是這種潦草的內(nèi)容、跳躍的思維并不是立刻就被數(shù)學界所理解的。雖然伽羅瓦的兄弟和朋友把他寫下的數(shù)學思想重新整理了一遍，并分送給了高斯、雅可比等人，但是伽羅瓦的偉大研究成果仍然沒有得到理解和承認。直到14年后，法國數(shù)學家約瑟夫?劉維爾(JosephLiouville)重新整理并發(fā)表了伽羅瓦的著作，才使得伽羅瓦理論逐漸被世人所理解。劉維爾本人也是一位著名的數(shù)學家，一生從事數(shù)學、力學和天文學的研究，涉足廣泛，成果豐富，尤其對雙周期橢圓函數(shù)、微分方程邊值問題和數(shù)論中的超越數(shù)問題有深入研究。他是第一個證實超越數(shù)存在的人。即使是這樣一位著名數(shù)學家，仍然從1843年到1846年用了3年的時間來徹底研究伽羅瓦的理論，終于在1846年比較全面的理解了伽羅瓦的成就并發(fā)表出來。劉維爾雖然在數(shù)學領域有不小的貢獻，但很可能他整理、理解并發(fā)表伽羅瓦理論是他在數(shù)學領域最大的貢獻。代數(shù)學能夠取得今天的成就，劉維爾功勞不小。劉維爾在反思為什么伽羅瓦的理論在很長一段時間內(nèi)不能得到理解的原因時，寫下了這樣一段話：過分地追求簡潔是導致這一缺憾的原因。人們在處理像純粹代數(shù)這樣抽象和神秘的事物時，應該首先盡力避免這樣做。事實上，當你試圖引導讀者遠離習以為常的思路進入較為困惑的領域時，清晰性是絕對必需的，就像笛卡爾說過的那樣：“在討論超前的問題時務必空前地清晰?！辟ち_瓦太不把這條箴言放在心上,……伽羅瓦再也回不來了！我們不要再過分地作無用的批評，讓我們把缺憾拋開，找一找有價值的東西,……我的熱心得到了好報。在填補了一些細小的缺陷后，我看出了伽羅瓦用來證明這個美妙的定理的方法是完全正確的，在那個瞬間，我體驗到一種強烈的愉悅。真心希望大家了解了伽羅瓦理論之后，能夠像劉維爾一樣有一種“強烈的愉悅感”。伽羅瓦的故事講完了，伽羅瓦那天才的思想還需要繼續(xù)?！举ち_瓦理論】從前面的介紹我們知道，根式可解需要找到一個根式塔，根式塔是一個域列。只知道這些，我們還是解決不了方程是否能夠根式求解的問題，因為我們?nèi)匀徊恢涝鯓优袛嗍欠翊嬖谶@種根式塔？伽羅瓦在思考這個問題的時候，發(fā)現(xiàn)或者說找到了一種對應關(guān)系——伽羅瓦對應。應該講，這種對應關(guān)系是人類思維領域的“神來之筆”。我無法想象伽羅瓦到底是通過怎樣的思考發(fā)現(xiàn)了這種對應關(guān)系，對我自己來說，能夠較快理解伽羅瓦對應就已經(jīng)謝天謝地了。伽羅瓦對應的發(fā)現(xiàn)應該是從域的自同構(gòu)映射開始的。域的自同構(gòu)映射：前面我們介紹了域的同構(gòu)，知道了兩個域同構(gòu)意味著兩個域之間存在著滿足同構(gòu)關(guān)系的映射。顯然一個域一定是和自己同構(gòu)的，我們把某個域E到自身的同構(gòu)映射叫做自同構(gòu)映射。事實上，這種自同構(gòu)映射未必只有一個，我們把全部自同構(gòu)映射組成的集合記為Aut（E）。現(xiàn)在開始，我們的思維要在理解群、域的基礎上再上一個臺階，開始思考域的自同構(gòu)映射組成的集合了。記住，Aut（E）中的元素是EfE集合間的映射。下面再做一個稍復雜點的思維體操，定義Aut（E）上兩個元素。1和。2之間的“乘法”為。1*02（a）=。1（。2（a）），證明Aut（E）在這個“乘法”下構(gòu)成群。構(gòu)成群首先要滿足封閉性，也就是對于。1￡Aut（E）和o2￡Aut（E），要證明o1*02￡Aut（E）。證明如下：請記住，Aut（E）中的。都是自同構(gòu)映射，必然滿足。（a+b）=o（a）+o（b），o（a*b）=o（a）*o（b）。由此，我們可以得到o1*02(a+b)=。1(。2(a+b))=。1(。2(a)+。2(b))=。1(。2(a))+。1(。2(b))=。1*02(a)+。1*02(b)。1*02(a*b)=01(o2(a*b))=o1(o2(a)*o2(b))=01(02(a))*01(02(b))=01*02(a)*01*02(b)也即。1*o2也滿足自同構(gòu)映射的條件，于是o1*02￡Aut(E)。封閉性得到了滿足。結(jié)合律：(01*02)*03(a)=(01*02)(03(a))=(01(02(03(a)))=01*(02*03)(a)也就是(01*02)*03=01*(02*03)，滿足結(jié)合律。單位元：顯然對于E-E上的恒等映射0e,滿足0e(a)=a,?a￡E,容易驗證0e即為Aut(E)的單位元。逆元：?0￡Aut(E),a￡E且aW0,有0(0)=0(a-a)=0(a)-0(a)=0；0(a)=0(1*a)=0(1)*0(a)?0(1)=1；0(1)=0(a*a-1)=0(a)*0(a-1)=1?0(a)W0；即aW0時0(a)W0。于是得到，aWb時，0(a-b)=0(a)-0(b)W0?0(a)#0(b)。這說明0是單射,單射必有逆映射,令其逆映射為0-1,則必有0*0-1(a)=0(0-1(a))=a?0*0-1=0e,確定逆元必然存在。綜上，Aut(E)在上述“乘法”定義下構(gòu)成群。對群、域不熟悉的人來說,也許這個思維體操稍微有些“繞”,但是對于熟悉的人來說,這個關(guān)系是一眼就可以看出來的。我想,如果一個不熟悉的人把上述并不復雜的推導看明白后，也會感覺到愉悅的。當然，我相信對于伽羅瓦來說，上述結(jié)論是瞬間就想到了的。不僅如此，伽羅瓦還進一步找到了群Aut(E)的一類子群一—我們今天稱之為伽羅瓦群。伽羅瓦群：E/F是擴域，且E是系數(shù)在F內(nèi)的某個多項式方程的根域(根域參見前面的說明，以后會將這種根域叫做F的正規(guī)擴域)，E上全部自同構(gòu)映射的集合Aut8)中使F中元素不變的那些映射形成的子集構(gòu)成Aut(E)的一個子群，稱為E在F上的伽羅瓦群，記為G(E/F)。概念越來越復雜了，解釋一下，就是Aut(E)中的自同構(gòu)映射，有一部分是在F上的恒等映射，也就是說F中的元素在這些映射的作用下是不變的，這類映射的全體組成的集合也構(gòu)成一個群，是Aut(E)的子群，叫做E在F上的伽羅瓦群。有人會問，為什么要搞出個伽羅瓦群的概念呢？下面就是見證奇跡的時亥U了：設f(x)￡F[x](意思是f(x)的系數(shù)都在F內(nèi))，則對于任意?！闓(E/F)，必然有。(f(x))=f(x)，這是因為。作用在F上是恒等映射；同時，設方程f(x)=0有n個根，分別是a1、a2、…、an，那么f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)，于是。(f(x))=(x-。(a1))(x-。(a2))…(x-。(an))=f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)。這說明。(a1)、。(a2)、…、。(an)只是a1、a2、…、an的一組置換(意思是，還是這n個數(shù)，只是位置發(fā)生了變化，如。（a1）=a2、。（a2）=al之類的變換）！看到了么，伽羅瓦群中的每個映射都對應著方程根的一組置換！要知道，從500年前的費爾洛解出了一般一元三次方程，到400年前的塔爾塔利亞、卡丹、費拉里解出一元四次方程，一直到200年前的拉格朗日創(chuàng)造出了方程的預解式，高斯得到了高斯定理，都是在大量的計算推導中，模模糊糊的察覺到方程的解與根的置換似乎有關(guān)系。直到伽羅瓦橫空出世，清晰的告訴世人，一元高次方程是否可以根式求解的奧秘，就藏在這些根的置換當中。當然，只知道寶藏的位置還不夠，還需要有打開寶藏的鑰匙。天才的伽羅瓦找到了這把鑰匙，我把它稱為“神來之筆”——伽羅瓦對應。記得討論根式可解的時候，我們說需要找到一個根式塔，根式塔是一個域列。假設存在一個域列F=F1?F2?F3?…?Fr+1=E（注意，這個域列不要求一定是根式塔），且E/F是正規(guī)擴域（參見上面描述），則可以證明任意E/Fi，i=1,…,r，也是正規(guī)擴域。于是存在一組伽羅瓦群G（E/Fi），這組伽羅瓦群都是G（E/F）的子群，而且可以證明每個