整式的乘法與因式分解知識點及例題

-.z.整式乘除與因式分解一．知識點〔重點〕1．冪的運算性質(zhì)：am·an＝am＋n〔m、n為正整數(shù)〕同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．例：(－2a)2(－3a2)32．＝amn〔m、n為正整數(shù)〕冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．例：(－a5)53．〔n為正整數(shù)〕積的乘方等于各因式乘方的積．例：(－a2b)3練習(xí)：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕4．＝am－n〔a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m＞n〕同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．例：〔1〕*8÷*2〔2〕a4÷a〔3〕〔ab〕5÷〔ab〕2〔4〕〔-a〕7÷〔-a〕5〔5〕(-b)5÷(-b)25．零指數(shù)冪的概念：a0＝1〔a≠0〕任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l．例：假設(shè)成立，則滿足什么條件？6．負(fù)指數(shù)冪的概念：a－p＝〔a≠0，p是正整數(shù)〕任何一個不等于零的數(shù)的－p〔p是正整數(shù)〕指數(shù)冪，等于這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)．也可表示為：〔m≠0，n≠0，p為正整數(shù)〕7．單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．例：〔1〕〔2〕8．單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．例：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕9．多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．例：〔1〕〔2〕〔3〕練習(xí)：1．計算2*3·(－2*y)(－*y)3的結(jié)果是2．(3×108)×(－4×104)＝3．假設(shè)n為正整數(shù)，且*2n＝3，則(3*3n)2的值為4．如果(anb·abm)3＝a9b15，則mn的值是5．－[－a2(2a3－a)]＝6．(－4*2＋6*－8)·(－*2)＝7．2n(－1＋3mn2)＝8．假設(shè)k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，則k＝9．(－3*2)＋(2*－3y)(2*－5y)－3y(4*－5y)＝10．在(a*2＋b*－3)(*2－*＋8)的結(jié)果中不含*3和*項，則a＝，b＝11．一個長方體的長為(a＋4)cm，寬為(a－3)cm，高為(a＋5)cm，則它的外表積為，體積為。12．一個長方形的長是10cm，寬比長少6cm，則它的面積是，假設(shè)將長方形的長和都擴(kuò)大了2cm，則面積增大了。10．單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．例：〔1〕28*4y2÷7*3y〔2〕-5a5b3c÷15a4b〔3〕〔2*2y〕3·〔-7*y2〕÷14*4y311．多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．例：練習(xí)：1．計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕．〔4〕〔5〕2．計算：〔1〕；〔2〕〔3〕3．計算：〔1〕；〔2〕．4.假設(shè)(a*3my12)÷(3*3y2n)=4*6y8,則a=,m=,=;易錯點：在冪的運算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯誤；有關(guān)多項式的乘法計算出現(xiàn)錯誤；誤用同底數(shù)冪的除法法則；用單項式除以單項式法則或多項式除以單項式法則出錯；乘除混合運算順序出錯。12．乘法公式：①平方差公式：〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2文字語言表達(dá)：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．②完全平方公式：〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2〔a－b〕2＝a2－2ab＋b2文字語言表達(dá)：兩個數(shù)的和〔或差〕的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上〔或減去〕這兩個數(shù)的積的2倍．例1：〔1〕(7+6*)(7?6*)；〔2〕(3y＋*)(*?3y)；〔3〕(?m＋2n)(?m?2n)．例2：(1)(*+6)2(2)(y-5)2(3)(-2*+5)2練習(xí)：1、=_______。＝______________。2、〔_____________________〕3、；〔______________〕4、，則=_______；=_______。5、假設(shè)是一個完全平方式，則m的值是__________。6、多項式的公因式是_____________________。7、因式分解：__________________________。8、因式分解：____________________________。9、計算：_____________________。10、，則=_____________________易錯點：錯誤的運用平方差公式和完全平方公式。13．因式分解〔難點〕因式分解的定義．把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．掌握其定義應(yīng)注意以下幾點：〔1〕分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；〔2〕因式分解必須是恒等變形；〔3〕因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．二、熟練掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法〔1〕掌握提公因式法的概念；〔2〕提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三局部：①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項含有的一樣字母；③指數(shù)——一樣字母的最低次數(shù)；〔3〕提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項．〔4〕注意點：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到"底〞；②如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出"－〞號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的．例：〔1〕〔2〕

2、公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝〔a＋b〕〔a－b〕②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝〔a＋b〕2a2－2ab＋b2＝〔a－b〕2例：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕練習(xí)：1、假設(shè)是完全平方式，則的值等于_____。2、則=____=____3、與的公因式是＿4、假設(shè)=，則m=_______，n=_________。5、在多項式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________，其結(jié)果是_____________________。6、假設(shè)是完全平方式，則m=_______。7、8、則9、假設(shè)是完全平方式M=________。10、，11、假設(shè)是完全平方式，則k=_______。12、假設(shè)的值為0，則的值是________。13、假設(shè)則=_____。14、假設(shè)則___。15、方程，的解是________。易錯點：用提公因式法分解因式時易出現(xiàn)漏項，丟系數(shù)或符號錯誤；分解因式不徹底。中考考點解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的根底,是中考的一個重點內(nèi)容.其考點主要涉及以下幾個方面：考點1、冪的有關(guān)運算例1．〔2009年湘西〕在以下運算中，計算正確的選項是〔〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕分析:冪的運算包括同底數(shù)冪的乘法運算、冪的乘方、積的乘方和同底數(shù)冪的除法運算.冪的運算是整式乘除運算的根底,準(zhǔn)確解決冪的有關(guān)運算的關(guān)鍵是熟練理解各種運算的法則.解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則知，所以〔A〕錯；根據(jù)冪的乘方運算法則知，所以〔B〕錯；根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則知，所以〔C〕錯；應(yīng)選〔D〕.例2.〔2009年齊齊哈爾〕，，則____________．分析:此題主要考察冪的運算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)冪的乘法法則,將指數(shù)相加化為冪相乘的形式,再逆用冪的乘方的法則,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為冪的乘方的形式,然后代入求值即可.解：.考點2、整式的乘法運算例3．〔2009年賀州〕計算：=．分析:此題主要考察單項式與多項式的乘法運算.計算時，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項式與單項式的乘法運算,注意符號的變化.解：＝＝.考點3、乘法公式例4.(2009年山西省)計算：分析:運用多項式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)展運算，然后合并同類項.解：===.例5.(2009年寧夏)：，，化簡的結(jié)果是．分析:此題主要考察多項式與多項式的乘法運算.首先按照法則進(jìn)展計算,然后靈活變形，使其出現(xiàn)〔〕與，以便求值.解：===.考點4、利用整式運算求代數(shù)式的值例6．〔2009年長沙〕先化簡，再求值：，其中．分析:此題是一道綜合計算題,主要在于乘法公式的應(yīng)用.解：當(dāng)，時，.考點5、整式的除法運算例7.(2009年廈門)計算：[(2*－y)(2*＋y)＋y(y－6*)]÷2*分析:此題的一道綜合計算題,首先要先算中括號內(nèi)的,注意乘法公式的使用,然后再進(jìn)展整式的除法運算.解：[(2*－y)(2*＋y)＋y(y－6*)]÷2*＝(4*2－y2＋y2－6*y)÷2*＝(4*2－6*y)÷2*＝2*－3y.考點6、定義新運算例8.〔2009年定西〕在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算"〞，其法則為：，求方程〔43〕的解．分析:此題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運算法則，觀察的等式可知，在此題中"〞定義的是平方差運算，即用"〞前邊的數(shù)的平方減去"/r