2023屆高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：第12章 計(jì)數(shù)原理 第3節(jié) 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用 課件

第12章計(jì)數(shù)原理第3節(jié)二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用必備知識(shí)

整體提升考點(diǎn)1

二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法考點(diǎn)2

與二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和有關(guān)的問題的解法考點(diǎn)3

有關(guān)二項(xiàng)展開式中的最值問題的解法二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法分考點(diǎn)講解(a＋b)n的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cnran－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N*)，利用通項(xiàng)可求(1)特定項(xiàng)：常數(shù)項(xiàng)(字母的指數(shù)為零)、有理項(xiàng)(字母的指數(shù)為整數(shù))等；(2)特定項(xiàng)的系數(shù)．(1)應(yīng)用通項(xiàng)要注意五點(diǎn)：①Tr＋1＝Cnran－rbr可以表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)就隨之確定；②Tr＋1是展開式中的第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；③公式中a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能顛倒位置；④要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分開，以便解決問題；⑤關(guān)于(a－b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，要特別注意符號(hào)問題．二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法分考點(diǎn)講解(2)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)r＋1，代回通項(xiàng)即可．具體如下：①求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中的特定項(xiàng)及其相關(guān)的量(系數(shù)、參數(shù)值)．第一步，利用二項(xiàng)式定理寫出展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cnr·an－rbr，常把字母和系數(shù)分離(注意符號(hào)不要出錯(cuò))；第二步，根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項(xiàng)等特定項(xiàng)的指數(shù)需要滿足的條件，或者其系數(shù)需要滿足的條件等)先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，求出r；第三步，把r代入通項(xiàng)中，即可求出Tr＋1.有時(shí)還需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法分考點(diǎn)講解②求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量．第一步，根據(jù)二項(xiàng)式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開，并寫出其通項(xiàng)；第二步，分析特定項(xiàng)可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開式中的哪些項(xiàng)相乘得到；第三步，把相乘后的項(xiàng)相加即可得到特定項(xiàng)．③三項(xiàng)式(a＋b＋c)n求特定項(xiàng)的方法．a(chǎn)．因式分解法：通過分解因式將三項(xiàng)式變成兩個(gè)二項(xiàng)式，然后用二項(xiàng)式定理分別展開．b．逐層展開法：將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開，再把其中含兩項(xiàng)的一組展開．c．利用組合知識(shí)：把三項(xiàng)式看成n個(gè)一次項(xiàng)(a＋b＋c)的積，利用組合知識(shí)分析展開式中通項(xiàng)的構(gòu)成，注意最后應(yīng)把各個(gè)同類項(xiàng)相合并．例1D例2在(4x－2－x)n的展開式中，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n＝________．【解析】展開式的第5項(xiàng)為T5＝Cn4·(4x)n－4·(－2－x)4＝Cn4·(2x)2n－12.∵第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，∴2n－12＝0，解得n＝6.6例3(1＋2x－3x2)5的展開式中x5的系數(shù)為________．92方法二(因式分解)：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5＝(1－5x＋10x2－10x3＋5x4－x5)·(1＋15x＋90x2＋270x3＋405x4＋243x5)，所以x5的系數(shù)為1×243－5×405＋10×270－10×90＋5×15－1＝92.方法三(利用組合知識(shí))：(1＋2x－3x2)5為5個(gè)因式1＋2x－3x2的乘積，這5個(gè)因式乘積的展開式中形成x5的來源有：①5個(gè)因式各出一個(gè)2x，這樣的方式有C55種，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為C55(2x)5；②有3個(gè)因式各出一個(gè)2x，有1個(gè)因式出一個(gè)－3x2，剩余1個(gè)因式出一個(gè)1，這樣的方式有C53C21種，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為C53(2x)3C21(－3x2)；③有1個(gè)因式出一個(gè)2x，2個(gè)因式各出一個(gè)－3x2，剩余2個(gè)因式各出一個(gè)1，這樣的方式有C51C42種，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為C512xC42·(－3x2)2.所以x5的系數(shù)為C55×25＋C53×23×C21×(－3)＋C51×2×C42×(－3)2＝92.與二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和有關(guān)的問題的解法分考點(diǎn)講解例4B例5[浙江三校2021聯(lián)考]已知(x2＋1)·(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7，則a1＋a2＋…＋a7＝________，a4＝________．【解析】令x＝0，則－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7.令x＝－1，則－26＝－64＝a0.則a1＋a2＋…＋a7＝－1－(－64)＝63.由(x2＋1)(x－1)5＝[(x－1)2＋2(x－1)＋2](x－1)5＝(x－1)7＋2(x－1)6＋2(x－1)5＝[(x＋1)－2]7＋2·[(x＋1)－2]6＋2[(x＋1)－2]5，∴a4＝C73(－2)3＋2C62(－2)2＋2C51(－2)＝－280＋120－20＝－180.63-180有關(guān)二項(xiàng)展開式中的最值問題的解法分考點(diǎn)講解有關(guān)二項(xiàng)展開式中的最值問題的解法分考點(diǎn)講解例6C例74對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法A對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法【解析】(x＋1)4展開式中x4，x3的系數(shù)分別為C40＝1和C41＝4.而(1－2x)3展開式中x3，x2的系數(shù)分別為C33·(－2)3＝－8和C32·(－2)2＝12，∴(x＋1)4(1－2x)3展開式中x6的系數(shù)為4×(－8)＋1×12＝－20.B對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法B對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化與二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和有關(guān)的問題的解法若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a0＋a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝(

)A．10B．－10C．1014D．1034【解析】(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝0，可得a0＝1024.

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得10(x－2)9＝a1＋2a2x＋…＋10a10x9，令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝－10，則a0＋a1＋2a2＋

3a3＋…＋10a10＝1024－10＝1014.故選C.C對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化與二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和有關(guān)的問題的解法[浙江寧波寧海中學(xué)2021適應(yīng)性考試]對(duì)于二項(xiàng)式(x－2)6的展開式，下列命題為真的是(

)A．第3項(xiàng)的系數(shù)為－160B．第4項(xiàng)的系數(shù)為－160C．奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和是－364D．偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和是365B【解析】由已知條件可得，二項(xiàng)式(x－2)6的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝(－2)rC6rx6－r，對(duì)于A，T3＝(－2)2C62x4＝60x4，故A是假命題；對(duì)于B，T4＝(－2)3C63x3＝－160x3，故B是真命題；對(duì)于C，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為(－2)0·C60＋(－2)2C62＋(－2)4C64＋(－2)6·C66＝365，故C是假命題；對(duì)于D，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為(－2)1·C61＋(－2)3C63＋(－2)5C65＝－364，故D是假命題．故選B.對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化與二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和有關(guān)的問題的解法135對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化有關(guān)二項(xiàng)展開式中的最值問題的解法D對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化有關(guān)二項(xiàng)展開式中的最值問題的解法10-15真題速講[浙江2022·12]已知多項(xiàng)式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．【解析】本題考查二項(xiàng)式定理．(1)(x－1)4展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝(－1)rC4rx4－r，由4－r＝1得r＝3，由4－r＝2得r＝2，所以a2＝1×(－1)3C43＋2×(－1)2C42＝8.(2)在多項(xiàng)式中令x＝0，得a0＝2；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0－a0＝－2.8-2真題速講(多選)[全國新高考Ⅱ2021·12]設(shè)正整數(shù)n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak.則(

)A．ω(2n)＝ω(n)B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)D．ω(2n－1)＝nACD【解析】本題考查對(duì)新定義的理解.n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，假設(shè)a0，a1，…，ak－1，ak中有m個(gè)1(m≠0)，則ω(n)＝m.又2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，則a0，a1，…，ak－1，ak中也有m個(gè)1，則ω(2n)＝m，故A正確；當(dāng)n＝2時(shí)，2n＋3＝7，7＝1＋2＋22，所以ω(7)＝3，又ω(2)＝1，所以ω(7)≠ω(2)＋1，故B錯(cuò)誤；ω(8n＋5)＝ω(8n＋4＋1)＝ω(8n