數(shù)學(xué)競賽 全國奧林匹克數(shù)學(xué)大賽初中數(shù)學(xué)競賽試題解答 含答案解析

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會全國初中數(shù)學(xué)競賽試題題號1～5一6～10二三總分11121314得分評卷人復(fù)查人答題時注意：1．用圓珠筆或鋼筆作答；2．解答書寫時不要超過裝訂線；3．草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．設(shè)，則代數(shù)式的值為(（D）).（A）24（B）25（C）2．對于任意實(shí)數(shù)，定義有序?qū)崝?shù)對與之間的運(yùn)算“△”為：（）△（）＝（）△（）＝（）．如果對于任意實(shí)數(shù)都有（），那么（）為().（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（﹣1，0）（D）（0，-1）3．若，，且滿足，則的值為().（A）14．點(diǎn)（B）2（C）（D）分別在△的邊上，相交于點(diǎn)，設(shè)，則與的大小關(guān)系為(（B）).（A）（C）（D）不能確定5．設(shè)，則的整數(shù)部分等于().（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．若關(guān)于的方程有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則的取值范圍是.7．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8.同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是.8．如圖，點(diǎn)為直線上的兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線（）于兩點(diǎn).若，則的值為.9．若的最大值為a，最小值為b，則的值為.10．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長為35，正方形CDEF內(nèi)接于△ABC，且其邊長為12，則△ABC的周長為.三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．已知關(guān)于的一元二次方程的值.的兩個整數(shù)根恰好比方程的兩個根都大1，求12．如圖，點(diǎn)為△的垂心，以為直徑的⊙和△的外接圓⊙相交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn).13．如圖，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，，兩點(diǎn).兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，過點(diǎn)任作直線交拋物線于（1）求證：∠=∠；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），且∠=60o，試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式.14．如圖，△ABC中，△ABC的面積．，．點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且，求（第14題）中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報》杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1．A解：因為，，，所以2．B解：依定義的運(yùn)算法則，有即對任何實(shí)數(shù)都成立.由于實(shí)數(shù)的任意性，得（）=（1，0）．3．C解：由題設(shè)可知，于是，，所以故，從而．于是．4．C（第4題）解：如圖，連接，設(shè)，則，從而有．因為，所以．5．A解：當(dāng)時，因為，所以.于是有，故的整數(shù)部分等于4．二、填空題6．3＜m≤4解：易知是方程的一個根，設(shè)方程的另外兩個根為，所以，則，．顯然≥0，即，≥0，所以，≥0，解之得3＜m≤4.7．解：在36對可能出現(xiàn)的結(jié)果中，有4對：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和為5，所以朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是.8．6解：如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為因為點(diǎn)由于在雙曲線，上，所以又因為．，于是所以即9．解：由≥0，且≥0，得≤≤．．由于，所以當(dāng)時，取到最大值1，故．當(dāng)或1時，取到最小值，故．所以，．10．84解：如圖，設(shè)BC＝a，AC＝b，則＝1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以，即，故．②由①②得，解得a＋b＝49（另一個解－25舍去），所以．三、解答題11．解：設(shè)方程的兩個根為，其中為整數(shù)，且≤，則方程的兩根為，由題意得，兩式相加得即，，所以或解得或又因為所以；或者，故，或29.12．證明：如圖，延長交⊙于點(diǎn)，連接.因為為⊙的直徑，（第12題）所以∠∠90°，故為⊙的直徑.于是.又因為點(diǎn)為△的垂心，所以，四邊形所以∥，∥為平行四邊形.所以點(diǎn)為的中點(diǎn).13．解：（1）如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）.,并設(shè)設(shè)直線的函數(shù)解析式為的坐標(biāo)分別為,.由（第13題）得，于是，即.于是又因為，所以.因為∠故∠∠，所以△∽△，=∠.（2）解法一設(shè)，，不妨設(shè)≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以因為=，=.∥，所以△∽△.于是所以，即．，由（1）中，即，所以于是可求得將代入，得到點(diǎn)的坐標(biāo)（，求得，）.再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所以直線的函數(shù)解析式為.根據(jù)對稱性知，所求直線的函數(shù)解析式為，或.解法二設(shè)直線的函數(shù)解析式為,其中.由（1）可知，∠=∠，所以.故.將代入上式，平方并整理得，即.所以或又由(1)得若，.代入