數(shù)概-第五六章6-習(xí)題課

重

點(diǎn)正態(tài)總體某些常用統(tǒng)計(jì)量的分布.三個(gè)分布的定義、性質(zhì)、分位點(diǎn).總體樣本o用統(tǒng)計(jì)量的分布分位點(diǎn)概率密度函數(shù)二、主要內(nèi)容統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)t

分布F

分布

2

分布關(guān)于樣本和方差的定理21,,21,,的一個(gè)樣本

,g,

若g中一個(gè)統(tǒng)是統(tǒng)計(jì)量設(shè)21

n不含未知參數(shù)

,

則稱計(jì)量.是21基本概念：總體、簡單隨機(jī)抽樣、簡單隨機(jī)樣本、樣本容量常用統(tǒng)計(jì)量(1)樣本平均值:i

1innX

1

X

.(2)樣本方差:i

1S

2

ni(

X

X

)21n

1(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差:1ni

1S

2S

iX

X

2

.n

122

1

1nn

1iX

nX

.常用統(tǒng)計(jì)量(4)樣本

k

階(原點(diǎn))矩:

Ak

X

,

k

1,

2,

.1nn

kii

1(5)樣本k

階中心矩:,

k

2,

3,

.(

X

X

)1nBk

ni

1ki常用統(tǒng)計(jì)量的分布(一)服從n

是來自總體N(0，1)的樣本

2分布設(shè)則稱統(tǒng)計(jì)量（3.1）2n，記為2

~2

(n).212

2分布的性質(zhì)性質(zhì)1

(

2分布的可加性)設(shè)

2

~

2

(n

),

2

~

2

(n

),

并且

2

,

2

獨(dú)1

1

2

2

1

2性質(zhì)2

(

2分布的數(shù)學(xué)期望和方差)若

2

~

2

(n),

則

E(2

)

n,

D(2

)

2n.立,則2

2

~

2

(n

n

).1

2

1

2常用統(tǒng)計(jì)量的分布(二)t

分布設(shè)

X

~

N

(0,

1),

Y

~

2

(n),

且

X

,

Y

獨(dú)立,

則t

分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.服從

度為

的tn分布,/

nY稱隨 量

t

記為t

~

t(n).X常用統(tǒng)計(jì)量的分布(三)F分布設(shè)U

~

2

(n

),

V

~

2

(n

),

且U

,

V

獨(dú)立,

則稱1

2布,

記為F

~

F

(n1

,

n2

).服從

度為

),(

Fn分n隨 量

F

21/

n2V/

n1UF分布的性質(zhì)性質(zhì)1

若F

~

F

(n1

,

n2

),性質(zhì)2

F

分布的上分位點(diǎn)具有如下性質(zhì)2

1F則

1

~

F

(n

,

n

)..F

(n2

,

n1

)1F

(n

,

n

)

1

1

2常用統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)

2

(n)分布的概率密度為y

0,

0

2

22

n

f

(

y)

其他.e1y

2

y2

,n1n,

t

.

2

2h(t

)

2t

2

n1n

1

n

1πn

n

t(n)分布的概率密度函數(shù)為常用統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)F

(n1

,n2

)分布的概率密度為,

y

0,

(

y)

0,1

1其他.2221 2

2

2

1

n

y

n1

n1

n2

n2

n1

n2

n1

2

n

n

y

2n1n常用統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)常用統(tǒng)計(jì)量的分布的分位點(diǎn)的點(diǎn)2

(n)為2

(n)分布的上分位點(diǎn).P{2

2

(n)}2f

(

y)dy

(

n)

2

分布的分位點(diǎn)對(duì)于給定的正數(shù)

, 0

1,

稱滿足條件常用統(tǒng)計(jì)量的分布的分位點(diǎn)(布的上分位點(diǎn).的點(diǎn)

為

nP{t

t(n)}

(

n)

h(t

)dt

t

分布的分位點(diǎn)對(duì)于給定的, 0

1,

稱滿足條件的點(diǎn)F(n1

,n2

)為F

(n1

,n2

)分布的上分位點(diǎn).F分布的上分位點(diǎn)具有如下性質(zhì):.F

(n2

,

n1

)1F

(n

,

n

)

1

1

2常用統(tǒng)計(jì)量的分布的分位點(diǎn)P{F

F(n1

,

n2

)}

F

分布的分位點(diǎn)對(duì)于給定的, 0

1,(

n1

,

n2

)(

y)dy

稱滿足條件關(guān)于正態(tài)總體的樣本和方差的定理定理一2

),(設(shè)的樣本,21

,,

來自正態(tài)總體

NX

是樣本均值

,

則有X

~

N

(,2

/

n).(1)n

X

~

N

(

0,

1)定理二設(shè)

21

,,

總體

N2

的樣本,),((n

1)S

2(1)2~

(n

1);2(2)

X

與S

2

獨(dú)立.X

,

S

2

分別是樣本均值和樣本方差,則有(2)定理三S

/

nX

~

t(n

1).X

,

S

2

分別是樣本均值和樣本方差,

則有的樣本,)2設(shè)

21

,,

總體

N

(3)分別是這兩個(gè)樣本的方差,

則有定理四設(shè)1

2n

與

21

,,Y,,n,Y,

Y

具有21

1相同方差的兩正態(tài)總體

N

(,2

),

N

(

,2

的樣21本,

且這兩個(gè)樣本互相獨(dú)立,

設(shè)

X

11

i

1iX

,n1n2

iY

分別是這兩個(gè)樣本的均值,Y

n2

i

112

X

)

,2n1n1

1

i

1S1

(

Xi1222S

2

1nn

1

i

i(Y

Y

)

1

2~

F

(n1

1,

n2

1);1

2S

2

/

S

22

/2(2)1

12

n

2),

(6)1~

t(n1

221nnSw

)12(

X

Y

)

((3)

當(dāng)

2

2

2

時(shí),,21

1

1

2

2n

n

2(n

1)S

2

(n

1)S

22w其中

S

wwS

S

2

.n1

n22

2(

X

Y

)

(1

2

)

~

N

(0,1)

1

2(1)(4)(5)三、典型例題試決定常數(shù)C

,使得CY

服從2

分布.來自總體0))(,,例1

設(shè)

服從X

的簡單隨機(jī)樣本,21解根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),321

N

0,654

N

0,2321()(~

N

(0,1),則

33~

N

(0,1),

632

6323

3

2

(2),3C

1的容量)例2

設(shè)

X1

和

X

2

是來自正態(tài)總體

N

2解

X1

~

N

,

n

,

2

2

X

2

~

N

,

n

,,22

則

X1

X

2

~

N

0,n2

X

}10.01

P{

X2

n

1

2

X

X2

/

nP的樣本均值,試確定n,使得這兩個(gè)樣本均值之差超過的概率大約為0.01.1211

1n

2221為n

的兩樣本

和1

221

2

X

X n

P2

/

n2

n

1

P1

2X

X2

/

n2

n

有

0.995,

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知20.01

n

P{2X.58,X于是n}

2

21

n

n

2

2

2

n

0.01,14.設(shè)總體

X

~

N

(,2

),

從此總體中取一個(gè)容例322

212

n(2)

Pn

ii

1X

X

.22

212

n(1)

P

ni

1i(

X

)

2

;16

),

求概率量為n

16

的樣本(設(shè)總體

X

~

N

(,2

),

從此總體中取一個(gè)容解(1)

因?yàn)?112

22ni(

X

) ~

(n),i

1例32,來自正態(tài)總體的樣本2

212

n(1)

P

ni

1i(

X

)

2

;16

),

求概率量為n

16

的樣本(22

212

n所以于是

Pni

1i(

X

)

2

1P

8162

ii

1(

X

)

322

1P

8

162

ii

1(

X

)

322P{8

2

(16)

32}P{2

(16)

32}

P{2

(16)

8}[1

P{2

(16)

32}]

[1

P{2

(16)

8}