數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文矩陣多項(xiàng)式秩的若干新結(jié)果

編號(hào)莆田學(xué)院畢業(yè)論文課題名稱：矩陣多項(xiàng)式秩的假設(shè)干新結(jié)果 系別數(shù)學(xué)系學(xué)生姓名學(xué)號(hào)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)2003級(jí)指導(dǎo)教師2007年6月目錄0引言 10.1記號(hào)與定義 10.2研究現(xiàn)狀 11預(yù)備知識(shí) 32主要結(jié)論及其證明 53關(guān)于猜測(cè)1和猜測(cè)2的解決 94結(jié)論的一些應(yīng)用 11參考文獻(xiàn) 14致謝 15矩陣多項(xiàng)式秩的假設(shè)干新結(jié)果摘要本文證明了矩陣多項(xiàng)式秩的一個(gè)新結(jié)果：兩個(gè)矩陣多項(xiàng)式秩的和等于它們最大公因式矩陣的秩與最小公倍式矩陣秩的和。利用這個(gè)結(jié)果可以推導(dǎo)出諸多文獻(xiàn)的重要結(jié)果及其一些新結(jié)論。2004年，文獻(xiàn)[1]提出矩陣的一次多項(xiàng)式秩的恒等式的兩個(gè)猜測(cè)，作為本文所得結(jié)果的應(yīng)用，可以在更一般的情況下證明這個(gè)兩個(gè)猜測(cè)是正確的?！娟P(guān)鍵詞】矩陣多項(xiàng)式互素多項(xiàng)式猜測(cè)

SomeNewResultsofRankofMatrixPolynomialAbstractAnewresultofrankofmatrixpolynomialisprovedinthispaper:Thesumofranksoftwomatrixpolynomialsisequaltothesumofranksofthegreatestcommonfactormatrixandtheminimalcommonmultiplematrix.Wecanprovelotsofimportantresultsandsomenewconclusionsfromthisresult.In2004,thepaper[1]givestwoconjecturesabouttheidentityofrankofsimplepolynomial.Astheapplicationoftheresultsinthispaper,wecanprovethatthetwoconjecturesarerightinmorecommonsituation.【KeyWords】MatrixPolynomial;CoprimePolynomial;Conjecture

莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要奉獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承當(dāng)。學(xué)位畢業(yè)設(shè)計(jì)〔論文〕作者簽名：日期：2007年月日

莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)設(shè)計(jì)〔論文〕原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是在本人的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要奉獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。指導(dǎo)教師簽名：日期：年月日0引言0.1記號(hào)與定義本文使用以下記號(hào)：表示數(shù)域上關(guān)于的多項(xiàng)式的全體；表示數(shù)域上階矩陣的全體；表示矩陣的秩；表示矩陣的特征多項(xiàng)式；表示矩陣的最小多項(xiàng)式；表示由的列向量生成的子空間；表示線性空間的維數(shù)；表示是的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式；表示是的首項(xiàng)系數(shù)為1的最小公倍式。定義1：假設(shè)，那么稱為冪等矩陣。定義2：假設(shè)，那么稱為冪矩陣。定義3：假設(shè)，那么稱為對(duì)合矩陣。定義4：假設(shè)，那么稱為冪么矩陣。0.2研究現(xiàn)狀矩陣的秩是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)重要內(nèi)容，已有不少的文章討論矩陣秩的問題，現(xiàn)將近幾年來一些文章的主要結(jié)論列如下：命題1〔文獻(xiàn)[1]的定理2〕設(shè)那么有 命題2〔文獻(xiàn)[1]的定理3〕設(shè)那么有 命題3〔文獻(xiàn)[2]的定理2〕設(shè)，對(duì)任意的兩兩互異的數(shù)，那么 命題4〔文獻(xiàn)[2]的定理3〕設(shè)，且可逆，可交換，那么對(duì)任意的兩兩互異的數(shù)，有 命題5〔文獻(xiàn)[3]的定理1〕設(shè)，那么可逆的充分必要條件是。命題6〔文獻(xiàn)[3]的定理2〕設(shè)，如果，那么可逆。命題7〔文獻(xiàn)[4]的定理1〕設(shè)，那么可逆的充要條件是。命題8〔文獻(xiàn)[4]的定理2〕設(shè)是階矩陣的矩陣多項(xiàng)式，那么可逆的充要條件是。命題9〔文獻(xiàn)[5]的定理1，文獻(xiàn)[6]的定理3〕設(shè)那么可逆的充分必要條件是的特征根均不是的根。命題10〔文獻(xiàn)[7]的定理1〕設(shè)，假設(shè)互素，且，那么。命題11〔文獻(xiàn)[7]的命題4〕設(shè)，假設(shè)，…是兩兩互素的，且，那么有 命題12〔文獻(xiàn)[8]的定理1，文獻(xiàn)[9]的的定理3〕設(shè)，且，那么 命題13〔文獻(xiàn)[8]的命題4〕設(shè)，假設(shè)，……是兩兩互素的，且，那么命題14〔文獻(xiàn)[9]的推論3、定理4、推論5〕設(shè)，那么命題15〔文獻(xiàn)[10]的命題2、命題3、命題4〕設(shè)，那么假設(shè)，且為奇數(shù)，，那么假設(shè)，且為偶數(shù)，那么假設(shè)，那么而且，文獻(xiàn)[1]還提出了以下兩個(gè)猜測(cè)：猜測(cè)1設(shè)，當(dāng)滿足適當(dāng)條件時(shí)，那么 猜測(cè)2設(shè)，試問在滿足什么條件時(shí)，那么其中：是是多項(xiàng)式。對(duì)于猜測(cè)1，假設(shè)數(shù)域?yàn)閺?fù)數(shù)域的情況下，文獻(xiàn)[2]利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法已經(jīng)給出了證明。下文我們將給出矩陣多項(xiàng)式秩的幾個(gè)結(jié)果，利用這些結(jié)果不僅可以推導(dǎo)出以上的15個(gè)命題，而且在更一般的情況下證明了猜測(cè)1和猜測(cè)2是正確的。1預(yù)備知識(shí)引理1設(shè)分塊矩陣〔其中為任意矩陣〕，證明證明不妨設(shè)的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為，〔其中〕，從而；的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為，〔其中〕，從而。當(dāng)時(shí)，中與所在列的個(gè)列向量是的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，所以當(dāng)時(shí)，中線性相關(guān)的列向量添加了中的分量后，有可能是線性無(wú)關(guān)的，所以，的列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)可能等于，也可能大于，因此引理2〔Sylvester分式〕設(shè)那么。證明由可得但是由引理1可知所以得。引理3設(shè)，那么有。證明設(shè)EMBEDEquation.DSMT4T，是由的列向量組生成的EMBEDEquation.DSMT4T的子空間，那么，同理有，，由維數(shù)公式得 因?yàn)?，那?由于的列向量是的列向量的線性組合，那么，又，那么，所以，，綜上所述，可得。引理4設(shè)，對(duì)任意，假設(shè)可逆，那么。證明見文獻(xiàn)[13]。引理5設(shè)不全為零，且首項(xiàng)系數(shù)為1，那么證明設(shè)，那么，顯然?！?〕所以是與的公倍式?！?〕設(shè)為與的任一公倍式，那么有所以由于不全為零，故，所以，故又因?yàn)?，所以。設(shè)，代入得故，知是與的最小公倍式，又的首項(xiàng)系數(shù)為1，故2主要結(jié)論及其證明定理1設(shè)，，那么有 證明設(shè)滿足，由于，那么存在滿足 因此有?，F(xiàn)對(duì)作如下初等變換：由初等變換不改變秩可得根據(jù)引理5知所以 記：本定理用語(yǔ)言可以表述為：兩個(gè)矩陣多項(xiàng)式秩的和等于它們最大公因式矩陣的秩與最小公倍式矩陣秩的和。本定理的證明雖然簡(jiǎn)單，卻是一個(gè)重要的結(jié)論，由它可以推導(dǎo)出一些重要的結(jié)論。推論1設(shè)，假設(shè)設(shè)，那么 證明由于，所以根據(jù)定理1知故由此可知，命題6只是推論1的一個(gè)特例，因?yàn)樵诿}6中，，由推論1知，，故可逆。而且命題6數(shù)域?yàn)閺?fù)數(shù)域，推論1可在任意數(shù)域成立。推論2設(shè)，那么可逆的充要條件是。證明充分性，由推論1可知，，那么可逆。必要性，設(shè)，那么存在滿足所以由可逆，，那么知可逆，從而 由引理4知，，設(shè)，那么 故由此可知，命題5，命題7，命題8只是推論2的一個(gè)特例：對(duì)命題5與命題8，由于表示的特征多項(xiàng)式，，由推論2就可知可逆的充要條件是，并且命題5與命題8的成立被限制在復(fù)數(shù)域上。對(duì)命題7，其討論的數(shù)域?yàn)閺?fù)數(shù)域，而推論2為任意數(shù)域。定理2設(shè)，那么有 證明因?yàn)?，所以，，，根?jù)定理1就可得說明定理2是一個(gè)很重要的結(jié)論〔文獻(xiàn)[8]，文獻(xiàn)[9]等的主要結(jié)果〕，但也只是定理1的一個(gè)特例，由于其重要性在此將它獨(dú)立為一個(gè)定理。同時(shí)可以看出命題1也只是定理2的一個(gè)特例，因?yàn)樵诿}1中，，那么和是互素的，由定理2可知 由定理2還可以得到以下推論：推論3設(shè)，那么的充要條件是。證明假設(shè)，那么由定理2知假設(shè)，而由定理2知所以，故由此可知，命題2和命題10是推論3的特例：在命題2中，，那么和是互素的，由推論3可知 對(duì)命題10，只給出了推論3成立的充分條件。推論4設(shè)，且，那么證明由于，且，那么有 根據(jù)定理2即可得證。推論5設(shè)，那么有 證明由于，所以，同理，…………那么有由定理2可得： 定理3〔關(guān)于矩陣多項(xiàng)式乘積秩的界〕設(shè)那么 〔1〕即證明由引理2可得，由于，根據(jù)引理3，得 所以結(jié)論成立。說明由定理2可知，當(dāng)時(shí)(1)式中左邊的等號(hào)成立，而(1)式右邊等號(hào)何時(shí)成立有待于進(jìn)一步的探討。3關(guān)于猜測(cè)1和猜測(cè)2的解決為解決猜測(cè)1和猜測(cè)2，我們先得對(duì)定理2做進(jìn)一步的推廣，考慮個(gè)多項(xiàng)式的情況。定理4設(shè)，是兩兩互素的，那么 證明對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時(shí)，由定理2知，結(jié)論成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，現(xiàn)考慮時(shí)的情況，當(dāng)時(shí)，令，由于對(duì)時(shí)，總有，那么有 ，即。因?yàn)闀r(shí)，結(jié)論成立，所以 〔1〕又因?yàn)椋啥ɡ?可得 所以代入〔1〕式可得綜上可知，命題是成立的。推論6設(shè)，是兩兩互素的，那么的充要條件是。由定理4、推論6可知：命題3、命題11、命題13是它們的一些特例：對(duì)命題3，在復(fù)數(shù)域上，兩兩互異，所以是兩兩互素的，由定理4即可得定理4是對(duì)命題11結(jié)論的進(jìn)一步精確；命題13只是推論6的一個(gè)充分命題。以下我們利用定理4來解決猜測(cè)1和猜測(cè)2。推論7設(shè)，當(dāng)兩兩互異時(shí)，那么 證明令，當(dāng)時(shí)，，那么有由定理3就可得 說明推論7說明了猜測(cè)1是正確的。對(duì)于猜測(cè)1，文獻(xiàn)[2]也給出了證明，但文獻(xiàn)[2]只討論復(fù)數(shù)域上的情況，證明思路是利用矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，證明時(shí)分多步討論，過程比擬復(fù)雜。相比于本文的定理4，定理4更具一般性，定理4不受數(shù)域的限制，證明過程相比照擬簡(jiǎn)單，而且結(jié)論應(yīng)用不受矩陣多項(xiàng)式次數(shù)的限制，文獻(xiàn)[2]的定理2只能用于一次矩陣多項(xiàng)式的情況。推論8設(shè)，且，當(dāng)兩兩互異時(shí)，那么其中：是是多項(xiàng)式。證明令，當(dāng)時(shí)，，那么有然而，再由，化簡(jiǎn)整理后就可化為與的多項(xiàng)式，化簡(jiǎn)整理后與的系數(shù)設(shè)為和，那么有 說明推論8說明了猜測(cè)2是正確的。其它文獻(xiàn)至今沒有完全解決猜測(cè)2，然而利用定理4就可以很容易地得到猜測(cè)2成立的一個(gè)充分條件。4結(jié)論的一些應(yīng)用應(yīng)用1設(shè)，那么有。證明令，那么，由推論2可得應(yīng)用2設(shè)，那么有證明先證明，令，由定理1即可得所以得證；再證，令，顯然是兩兩互素的，由推論6可得 即得證。應(yīng)用3設(shè)，那么有證明①可以由推論3證得；②可由推論6證得；③證明，令，由于為的根，那么，因此，由推論6得證；④當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，由定理1可得 所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，同理可證。說明問題1、問題2、問題3給出了冪等類的一些用秩表示的等價(jià)刻畫，而且比擬命題14、命題15可知，問題2、問題3給出了更多等價(jià)刻畫，而且也證明了命題15的逆命題是成立的。同樣的，我們可以得到冪么矩陣相應(yīng)的等價(jià)刻畫。應(yīng)用4設(shè)，那么應(yīng)用5〔命題9〕設(shè)那么可逆的充分必要條件是的特征根均不是的根。證明根據(jù)推論2知，的特征根均不是的根得證。此題也說明了命題9與推論2是等價(jià)，只是表達(dá)上的差異。應(yīng)用6〔命題4〕設(shè)，且可逆，可以交換，那么對(duì)任意的兩兩互異的數(shù)，有 證明由條件得，由定理4，得 此題可視為猜測(cè)1/r/