(完整版)奧數(shù)中流水行船問題的解答方法

奧數(shù)中流水行船問題的解答方法⑴船在江河里航行時，除了本身的前進速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個量（速度、時間、路程）的關(guān)系在這里將要反復(fù)用到?此外，流水行船問題還有以下兩個基本公式:順?biāo)俣榷?水速，（1）逆水速度二船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程?順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運算的關(guān)系，由公式（1）可以得到：水速二順?biāo)俣?船速，船速二順?biāo)俣?水速。由公式（2）可以得到：水速二船速-逆水速度，船速二逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到：船速二（順?biāo)俣?逆水速度）三2，水速二（順?biāo)俣?逆水速度）三2。例1甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度。分析根據(jù)題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順?biāo)俣群湍嫠俣?，而順?biāo)俣群湍嫠俣瓤砂葱谐虇栴}的一般數(shù)量關(guān)系，用路程分別除以順?biāo)?、逆水所行時間求出。解：順?biāo)俣龋?08^8=26（千米/小時）逆水速度：208^13=16（千米/小時）船速：（26+16）^2=21（千米/小時）水速：（26—16）^2=5（千米/小時）答：船在靜水中的速度為每小時21千米，水流速度每小時5千米。例2某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？分析要想求從乙地返回甲地需要多少時間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。解：從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18（千米/小時），甲乙兩地路程：18X8=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小時），返回時逆行用的時間：144^12=12（小時）。答：從乙地返回甲地需要12小時。例3甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時，逆流航行比順流航行多花了5小時.現(xiàn)在有一機帆船，靜水中速度是每小時12千米，這機帆船往返兩港要多少小時？分析要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是35小時與5小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間?并能進一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎(chǔ)上再用和差問題解法求出水速。解:輪船逆流航行的時間：（35+5）^2=20（小時），順流航行的時間：（35—5）^2=15（小時），輪船逆流速度：360^20=18（千米/小時），順流速度：360^15=24（千米/小時），水速：（24—18）^2=3（千米/小時），帆船的順流速度：12+3=15（千米/小時），帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小時），帆船往返兩港所用時間：360^15+360^9=24+40=64（小時）。答：機帆船往返兩港要64小時。下面繼續(xù)研究兩只船在河流中相遇問題?當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出，它們單位時間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和?這是因為：甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=（甲船速+水速）+（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。這就是說，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水速沒有關(guān)系。同樣道理，如果兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，也只與路程差和船速有關(guān)，與水速無關(guān).這是因為：甲船順?biāo)俣?乙船順?biāo)俣?（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。如果兩船逆向追趕時，也有甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）二甲船速-乙船速。這說明水中追及問題與在靜水中追及問題及兩車在陸地上追及問題一樣。由上述討論可知，解流水行船問題，更多地是把它轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的相遇和追及問題來解答。例4小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船頭時，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那么他們追上水壺需要多少時間？分析此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順?biāo)械乃俣仁谴?水速.水壺飄流的速度只等于水速，所以速度差二船順?biāo)俣?水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速二船速.解：路程差F船速二追及時間2F4=0.5（小時）。答：他們二人追回水壺需用0.5小時。例5甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千米和每小時32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時出發(fā)相向而行，幾小時相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時后乙船追上甲船？解：①相遇時用的時間336^（24+32）=336^56=6（小時）。②追及用的時間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336^（32—24）=42（小時）。答：兩船6小時相遇；乙船追上甲船需要42小時。1?甲、乙之間的水路是234千米，一只船從甲港到乙港需9小時，從乙港返回甲港需13小時，問船速和水速各為每小時多少千米？一艘每小時行25千米的客輪，在大運河中順?biāo)叫?40千米，水速是每小時3千米，需要行幾個小時？一只小船靜水中速度為每小時30千米.在176千米長河中逆水而行用了11個小時.求返回原處需用幾個小時。一只船在河里航行，順流而下每小時行18千米.已知這只船下行2小時恰好與上行3小時所行的路程相等?求船速和水速。5?兩個碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時?逆流而上，行完全程需要16小時，求這條河水流速度。A、B兩碼頭間河流長為90千米，甲、乙兩船分別從A、B碼頭同時啟航?如果相向而行3小時相遇，如果同向而行15小時甲船追上乙船，求兩船在靜水中的速度。乙船順?biāo)叫?小時，行了120千米，返回原地用了4小時.甲船順?biāo)叫型欢嗡?，用?小時.甲船返回原地比去時多用了幾小時？&某河有相距45千米的上、下兩碼頭，每天定時有甲、乙兩艘船速相同的客輪分別從兩碼頭同時出發(fā)相向而行?一天甲船從上游碼頭出發(fā)時掉下一物，此物浮于水面順?biāo)h下，4分鐘后，與甲船相距1千米?預(yù)計乙船出發(fā)后幾小時可以與此物相遇？習(xí)題八解答1?從甲到乙順?biāo)俣龋?34三9=26（千米/小時）。從乙到甲逆水速度：234三13=18（千米/小時）。船速是：（26+18）三2=22（千米/小時）。水速是：（26-18）三2=4（千米/小時）。2?順?biāo)俣龋?5+3=28（千米/小時）。順?biāo)?40千米所需時間：140三28=5（小時）。水速：30-（176F11）=14（千米/小時）.返回原處所需時間：176三（14+30）=4（小時）。4?逆水速度：18X2三3=12（千米/小時）。船速：（18+12）三2=15（千米/小時）。水流速度：（18-12）三2=3（千米/小時）。（352211-352三16）三2=5（千米/小時）。6.90三3=30（千米/小時）。90215=6（千米/小時）.甲船速度：（30+6）22=18（千米/小時）.乙船速度：（30-6）22=12（千米/小時）。7.乙船順?biāo)俣龋?2022=60（千米/小時）?乙船逆水速度：12024=30（千米/小時）。水流速度：（60-30）22=15（千米/小時）?甲船順?biāo)俣龋?2023=40（千米/小時）。甲船逆水速度：40-2X15=10（千米/小時）?甲船逆水航行時間：120210=12（小時）。甲船返回原地比去時多用時間：12-3=9（小時）。&船速：1000^4=250（米/分）。相遇時間：45000三250=180（分）=3（小時）奧數(shù)中盈虧問題的解題方法盈虧問題是一類生活中很常見的問題.按不同的方法分配物品時，經(jīng)常發(fā)生不能均分的情況.如果有物品剩余就叫盈，如果物品不夠就叫虧，這就是盈虧問題的含義.解盈虧問題的竅門可以用下面的公式來概括：（盈+虧）三兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)；（盈一盈）三兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)；（虧一虧）三兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù).例如：實驗小學(xué)少先隊員去植樹.如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完.問有多少少先隊員參加植樹，一共種多少樹苗？分析：這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完，這組條件中包含著兩種種樹的情況一一2人各種4棵，其余的人各種6棵.如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都種6棵，那么，就可以多種樹（6-4）X2=4（棵）.因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種；如果每人種6棵樹苗，還缺4棵?問有多少少先隊員，一共種多少樹苗？人數(shù)：［3+（6—4）X2］三（6—5）=7（人），奧數(shù)中兩人多次相遇問題的解題方法一些較復(fù)雜的相遇問題，我們可以采用畫圖分析其運動過程來解答。例1：一列快車和一列慢車同時從甲、乙；兩站出發(fā)，相向而行，經(jīng)過6小時相遇。相遇后快車?yán)^續(xù)行駛了3小時后到達乙站，已知慢車每小時行45千米，甲、乙兩站相距多少千米？分析：從圖中可以看到，慢車6小時行的路程與快車3小時行的路程相等，這樣就可以算出快車的速度，從而就可以求出甲、乙兩站相距幾千米。解：（45X6三3+45）X6=（90+45）X6=810（千米）答：甲、乙兩站相距810千米。例2：甲、乙兩人同時從相距1000米的兩地相向而行，甲每分鐘行120米，乙每分鐘行80米，如果有一只狗與甲同時同向而行，每分鐘行500米，遇到乙后，立即回頭向甲跑去，遇到甲后又立即回頭向乙跑去，這樣不斷來回，直到兩人相遇為止。這時狗共跑了多少米？分析：狗跑的速度X狗跑的時間=狗跑的路程因為狗和甲同時出發(fā)又在甲、乙相遇時停下，所以狗跑的時間和甲、乙相遇的時間相同。解：1000三（120+80）=5（分鐘）500X5=2500（米）答：這時狗共跑了2500米。練一練：1、甲、乙兩車分別從相距1000千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲車每小時行61千米，乙每小時行39千米，（1）3小時后兩車還相距多少千米？（2）幾小時兩車相遇又相距200千米？2、甲、乙兩車分別從相距60千米的兩地同時出發(fā)相背而行，甲車每小時行44千米，乙車每小時行46千米，幾小時后兩車相距240千米？這時兩車各行了幾千米？3、甲、乙兩車分別從相距240千米的AB兩地同時出發(fā)相向而行。已知甲車到達B城需要6小時，乙車到達A城需要3小時，兩車出發(fā)后幾小時相遇？4、東、西兩村相距55千米，甲、乙兩人分別從東、西兩村同時出發(fā)相向而行，5小時后兩人相遇，已知甲每小時比乙多行1千米，求甲、乙兩人的速度？5、甲、乙兩人從相距100千米的兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1小時，兩人在乙出發(fā)4小時后相遇。已知甲比乙每小時多行2千米，求甲、乙各自的速度。6、小明和小紅兩人同時從甲、乙兩地出發(fā)，相向而行，小明每小時行15千米，兩人相遇后,小明再走2小時到達乙地，小紅再走45千米到達甲地，甲、乙兩地相距多少千米？7、甲、乙兩人分別從AB兩地同時出發(fā)相向而行，出發(fā)后2小時后相距55千米，出發(fā)后5小時相距22千米，從出發(fā)到相遇共需要幾小時？8、甲、乙兩人從相距1100米的兩地相向而行，甲每分鐘走65米，乙每分鐘走75米，甲出發(fā)4分鐘后，乙?guī)Я艘恢还泛鸵彝瑫r出發(fā)，狗以每分鐘150米的速度向甲奔去，遇到甲后立即回頭向乙奔去，遇到乙后又回頭向甲奔去，直到兩人相遇為止。這時狗一共奔跑多少米？9、甲、乙兩人分別從東、西兩地同時出發(fā)，相向而行，甲每小時走5千米，乙每小時走4千米，甲帶了一只狗同時出發(fā)，狗以每小時8千米的速度向乙奔去，遇到乙后，立即回頭向甲奔去，遇到甲后又立即回頭向乙奔去，這樣不斷來回，直到甲、乙兩人相距3千米時狗才停止奔跑，這時狗共奔跑了16千米。問東、西兩地相距當(dāng)時千米如果甲乙從A,B兩點出發(fā)，甲乙第n次迎面相遇時，路程和為全長的2n-1倍，而此時甲走的路程也是第一次相遇時甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）?？偨Y(jié)：若兩人走的一個全程中甲走1份M米，兩人走3個全程中甲就走3份M米。【例□(★★)湖中有A,B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個來回。兩人分別從A,B兩島同時出發(fā)，他們第一次相遇時距A島700米，第二次相遇時距B島400米。問：兩島相距多遠？【解】從起點到第一次迎面相遇地點，兩人共同完成1個全長，從起點到第二次迎面相遇地點，兩人共同完成3個全長，此時甲走的路程也為第一次相遇地點的3倍。畫圖可知，由3倍關(guān)系得到：A，B兩島的距離為700X3-400=1700米【例2】(★★★)如右圖，A，B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇。已知C離A有80米，D離B有60米，求這個圓的周長?！窘狻扛鶕?jù)總結(jié)可知，第二次相遇時，乙一共走了80X3=240米，兩人的總路程和為一周半,又甲所走路程比一周少60米，說明乙的路程比半周多60米，那么圓形場地的半周長為240-60=180米，周長為180X2=360米。奧數(shù)中年齡問題的解題方法年齡冋題的二大規(guī)律：1、兩人的年齡差是不變的；2、兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量；3、隨著時間的推移，兩人的年齡都是增加相等的量.解答年齡問題的一般方法是：幾年后年齡二大小年齡差三倍數(shù)差-小年齡，幾年前年齡=小年齡-大小年齡差三倍數(shù)差.例如：在一個家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73歲?家庭成員中有父親、母親、一個女兒和一個兒子?父親比母親大3歲，女兒比兒子大2歲?四年前家庭里所有的人的年齡總和是58歲.現(xiàn)在家里的每個成員各是多少歲？