電磁場與波邊值問題的解法

關(guān)于電磁場與波邊值問題的解法第1頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五

3.1邊值問題的提法(分類)3.1.1邊值問題的分類1狄利克雷問題：給定整個場域邊界面S上各點(diǎn)電位的（函數(shù)）值2聶曼問題：給定待求位函數(shù)在邊界面上的法向?qū)?shù)值3混合邊值問題：給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合

另外，若場域在無限遠(yuǎn)處，電荷分布在有限區(qū)域，則有自然邊界條件若邊界面是導(dǎo)體，邊界條件轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎徊糠謱?dǎo)體表面的電位或另一部分導(dǎo)體表面的電荷量。第2頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五3.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1泊松方程(Poisson‘sEquation)在線性、各向同性、均勻的電介質(zhì)中，稱之為靜電場的泊松方程，它表示求解區(qū)域的電位分布取決于當(dāng)?shù)氐碾姾煞植肌?拉普拉斯方程(Laplace'sEquation)

電荷分布在導(dǎo)體表面的靜電場問題，在感興趣的區(qū)域內(nèi)多數(shù)點(diǎn)的體電荷密度等于零，即ρV=0，因而有▽2φ=0稱為拉普拉斯方程。第3頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五例1:

已知無限長同軸電纜內(nèi)、外半徑分別為和，如圖所示，電纜中填充均勻介質(zhì)，內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差為，外導(dǎo)體接地。求其間各點(diǎn)的電位和電場強(qiáng)度。解：根據(jù)軸對稱的特點(diǎn)和無限長的假設(shè)，可確定電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程，采用圓柱坐標(biāo)系積分由邊界條件則：第4頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五3.2唯一性定理1定理內(nèi)容在靜電場中，每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即靜電場的唯一性定理。2證明過程利用反證法來證明在第一類邊界條件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。設(shè)在給定邊界上的電位時，拉普拉斯方程有φ1和φ2兩個解，由于拉普拉斯方程是線性的，兩個解的差φ′=φ1-φ2也滿足方程第5頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五考慮一個由表面邊界S包圍的體積V，由格林第一定理令得φ′及其法向?qū)?shù)在邊界S上的值為零因?yàn)橛忠驗(yàn)檫吔鐥l件，得常數(shù)=0在閉合曲面S上，φ1和φ2都滿足給定的邊界條件，即或第6頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五3.1.3靜電場邊界值問題的間接解法唯一性定理邊值問題數(shù)值法解析法分離變量法鏡像法有限差分法第7頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五3.3鏡像法理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。鏡像：暫時忽略邊界的存在，在所求區(qū)域之外放置一個或多個虛設(shè)的等效電荷來代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，此虛擬的電荷被稱為實(shí)際電荷的鏡像。這種求解方法稱為鏡像法。原電荷與鏡像電荷共同作用在邊界上保持邊界條件不變。第8頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五

待求場域：上半空間邊界：無限大導(dǎo)體平面邊界條件：點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

導(dǎo)體平面導(dǎo)體平面在空間的電位為點(diǎn)電荷q

和鏡像電荷-q

所產(chǎn)生的電位疊加，即電位滿足邊界條件導(dǎo)體平面邊界上：第9頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五上半空間的電場強(qiáng)度：電位：第10頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷總量導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷對點(diǎn)電荷的作用力第11頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五2線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

將無限長的線電荷看作無數(shù)個點(diǎn)電荷的集合。根據(jù)點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)體表面的線電荷，其電荷密度為沿軸方向的無限長直線電荷位于無限大接地導(dǎo)體平面的上方zyy其鏡像電荷仍是無限長線電荷第12頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五在的上半空間中，電位函數(shù)為yz上半空間的電場待求場域中的電位y第13頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五3點(diǎn)電荷對半無限大接地導(dǎo)體角域的鏡像

由兩個半無限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角為，而為整數(shù)時，該角域中的點(diǎn)電荷將有個個鏡像電荷，該角域中的場可以用鏡像法求解。當(dāng)n=4時：該角域外有3個鏡像電荷q1、q2和q3，位置如圖所示。其中第14頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五當(dāng)n=6時：角域外有5個鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負(fù)交替地分布在同一個圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點(diǎn)，半徑為點(diǎn)電荷到頂點(diǎn)的距離。n不為整數(shù)時，鏡像電荷將有無數(shù)個，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時，鏡像法亦不適用。q/3/3q第15頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五4.

點(diǎn)電荷對導(dǎo)體球面的鏡像設(shè)一點(diǎn)電荷q位于半徑a為的接地導(dǎo)體球附近，與球心的距離為d，如圖所示。待求場域?yàn)閞>a區(qū)域，邊界條件為導(dǎo)體球面上電位為零。設(shè)想在待求場域之外有一鏡像電荷q′，位置如圖所示。根據(jù)鏡像法原理，q和q′在球面上的電位為零。第16頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球周圍的電場aa第17頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五在球面上任取一點(diǎn)c，則空間任意點(diǎn)的電位：第18頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五導(dǎo)體球不接地：a—a第19頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五導(dǎo)體球不接地：根據(jù)電荷守恒定律，導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷代數(shù)和應(yīng)為零，就必須在原有的鏡像電荷之外再附加另一鏡像電荷

q″=－q′球外任一點(diǎn)電位：

球面上任一點(diǎn)電位：為了保證球面為等位面的條件，鏡像電荷q″應(yīng)位于球心處。第20頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五例3：有一接地導(dǎo)體球殼，內(nèi)外半徑分別為a1和a2，在球殼內(nèi)外各

有一點(diǎn)電荷q1和q2

，與球心距離分別為d1和d2

，如圖所示。

求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的電位分布。球殼外：邊界為r=a2的導(dǎo)體球面，邊界條件為根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷的位置和大小分別為球殼外區(qū)域任一點(diǎn)電位為解：第21頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五球殼內(nèi)：邊界為r=a1的導(dǎo)體球面，邊界條件為根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷的位置和大小分別為球殼內(nèi)區(qū)域任一點(diǎn)電位為球殼中：球殼中為導(dǎo)體區(qū)域，導(dǎo)體為等位體，球殼中的電位為零。用鏡像法解題時，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對邊界以外的情況不予考慮。第22頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五5線電荷對導(dǎo)體圓柱面的鏡像待求區(qū)域：邊界條件：柱面上電位為零設(shè)想鏡像線電荷位于對稱面上，且與圓柱軸線距離為b，則導(dǎo)體柱面外任一點(diǎn)的電位表示為（分別以ρ、ρ’處為坐標(biāo)系中心）

無限長接地導(dǎo)體圓柱的半徑為a，在距離軸線為d（d>a）處有一無限長線電荷與圓柱平行，計算空間各部分的電位。第23頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五對任意θ成立，第24頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五兩平行線電荷的電位分布第25頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五四、分離變量法理論基礎(chǔ)惟一性定理分離變量法的主要步驟根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫出該坐標(biāo)系下拉普拉斯的表達(dá)式，及給定的邊界條件。經(jīng)變量分離將偏微分方程化簡為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得滿足邊界條件的特解。第26頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程分離變量法本征方程的求解(1)當(dāng)時本征函數(shù)本征方程本征值第27頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五(2)當(dāng)時，設(shè)或由本征方程為：則：第28頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五(3)當(dāng)時，設(shè)由本征方程為：或則：第29頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五應(yīng)用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通解三種解的特點(diǎn)：第一種解中，X(x)和Y(y)為常數(shù)或線性函數(shù)，說明它們最多只有一個零點(diǎn)；第二種解中，X(x)為三角函數(shù)，有多個零點(diǎn)，Y(y)為雙曲函數(shù)，最多只有一個零點(diǎn)；第三種解中，X(x)為雙曲函數(shù)，最多有一個零點(diǎn)，而Y(y)為三角函數(shù)，有多個零點(diǎn)。第30頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五解:

選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程

邊界條件：例：一接地金屬槽如圖所示，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為U0，求槽內(nèi)電位分布。第31頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五設(shè)，代入式(1)中得:根據(jù)邊界條件(2)與(3)可知，函數(shù)X(x)沿x方向有兩個零點(diǎn)，因此X(x)應(yīng)為三角函數(shù)形式，又因?yàn)閄(0)=0，所以X(x)應(yīng)選取正弦函數(shù)，即由邊界條件(3)得：第32頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五對應(yīng)的Y(y)函數(shù)為雙曲函數(shù)，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式為此時，電位可表示為由邊界條件(5)知

第33頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五對上式兩邊同乘以，再對x從0到a進(jìn)行積分，即第34頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五滿足邊界條件的特解為：第35頁，共38頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)53分，星期五