2022年秋高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差第七章課標(biāo)要求1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差,并能解決一些實(shí)際問題.3.掌握方差的性質(zhì).內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度,我們稱D(X)=

=

為隨機(jī)變量X的方差,有時(shí)也記為Var(X),并稱

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X).

該值一定為非負(fù)

(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn名師點(diǎn)睛隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度,反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越集中;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越分散.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.(

)(2)若a是常數(shù),則D(a)=0.(

)(3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.(

)(4)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位,在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛.(

)2.隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何不同?×√√√提示

樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的,因此它是一個(gè)隨機(jī)變量,而隨機(jī)變量的方差是通過大量試驗(yàn)得出的,刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,因此它是一個(gè)常量而非變量.知識(shí)點(diǎn)2

離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)1.一般地,可以證明下面的結(jié)論成立:D(aX+b)=a2D(X).b值不影響方差值

2.一般地,隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么D(X)=(1-p)2·p+p2(1-p)=p(1-p).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)當(dāng)a,b均為常數(shù)時(shí),隨機(jī)變量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=aD(ξ).(

)(2)設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)=1,則D(2X+1)的值為4.(

)2.兩點(diǎn)分布的方差是定值嗎?×√提示

不是定值,僅與兩點(diǎn)分布中P(X=0)或P(X=1)的值相關(guān).重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求離散型隨機(jī)變量的方差【例1】

從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù),求X的方差.解由題意,X的可能取值為0,1,2,X的分布列為

規(guī)律方法

1.求離散型隨機(jī)變量X的方差的基本步驟:理解X的意義,寫出X可能取的全部值↓求出X取每個(gè)值時(shí)的概率↓列出X的分布列↓由均值的定義求出E(X)↓利用公式D(X)=(xi-E(X))2pi求出D(X)2.已知隨機(jī)變量η=aξ+b求D(η)時(shí),注意D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ)的應(yīng)用,這樣既可以避免求隨機(jī)變量η的分布列,又能避免復(fù)雜的計(jì)算,可簡(jiǎn)化計(jì)算過程.變式訓(xùn)練1袋中有除顏色外其他都相同的6個(gè)小球,其中紅球2個(gè)、黃球4個(gè),規(guī)定取1個(gè)紅球得2分,1個(gè)黃球得1分.從袋中任取3個(gè)小球,記所取3個(gè)小球的分?jǐn)?shù)之和為X,求隨機(jī)變量X的分布列、均值和方差.解由題意可知,X的所有可能取值為5,4,3,故X的分布列為

探究點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的方差的應(yīng)用【例2】

甲、乙兩個(gè)建材廠都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè),為了對(duì)重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)負(fù)責(zé),政府到兩建材廠抽樣檢查,從他們中各取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如下.X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度,在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120的條件下,比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性較好.解E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由于E(X)=E(Y)>120,而D(X)<D(Y),故甲廠的材料穩(wěn)定性較好.規(guī)律方法

離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,而方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.因此在實(shí)際決策問題中,需先計(jì)算均值,看誰的平均水平高,再計(jì)算方差,分析誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.當(dāng)然不同的情形要求不同,應(yīng)視具體情況而定.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差;(2)方差的性質(zhì);(3)方差的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納:公式法、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)易對(duì)方差公式套用錯(cuò)誤;(2)對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差和方差的單位容易混淆.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A發(fā)生和A不發(fā)生,且P(A)=m,令隨機(jī)變量

A.m

B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)答案

D

解析

顯然X服從兩點(diǎn)分布,∴D(X)=m(1-m).2.若隨機(jī)變量ξ的分布列如下,其中m∈(0,1),則下列結(jié)論正確的是(

)ξ01PmnA.E(ξ)=m,D(ξ)=n3B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2答案C

解析

依題意,n=1-m,則E(ξ)=0×m+1×n=n=1-m,D(ξ)=[0-(1-m)]2m+[1-(1-m)]2(1-m)=m-m2.3.(多選題)(2022湖南岳陽一模)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(