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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后,得到的圖像關(guān)于軸對稱,,當(dāng)取得最小值時,函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.2.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)()在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在直線上,則等于()A. B. C. D.4.?dāng)?shù)列的通項公式為.則“”是“為遞增數(shù)列”的()條件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要5.如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.6.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.8.在中,,,,若,則實數(shù)()A. B. C. D.9.已知命題:使成立.則為()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立10.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中.“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的—個階方陣,其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和(簡稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如圖所示).則“5階幻方”的幻和為()A.75 B.65 C.55 D.4511.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.12.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_______.14.在正方體中,為棱的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且,則異面直線與所成角的余弦值為__________.15.已知三棱錐中,,,,且二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為__________.16.若展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式各項系數(shù)和為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點(diǎn)到拋物線C:y1=1px準(zhǔn)線的距離為1.(Ⅰ)求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo);(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,直線PA,PB,分別交x軸于M,N兩點(diǎn),求的值.18.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,且.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),與圓相交于、兩點(diǎn),求的取值范圍.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線上的任意一點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到點(diǎn)的距離小1.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若點(diǎn)是圓上一動點(diǎn),過點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,求直線斜率的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿足(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過,作直線交軌跡于,兩點(diǎn),若的面積是面積的2倍,求直線的方程.22.(10分)如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先求出平移后的函數(shù)解析式,結(jié)合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關(guān)于軸對稱,所以,所以,的最小值是.,則,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.2、B【解析】
直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
由題意得,可求得,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得選項.【詳解】由題意得,解得,所以,所以,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知,解得,由此得到若是遞增數(shù)列,則,根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”,則,即,化簡得:,又,,,則是遞增數(shù)列,是遞增數(shù)列,“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷,涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
列舉出循環(huán)的每一步,可得出輸出結(jié)果.【詳解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,輸出的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,一般要將算法的每一步列舉出來,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
將、用、表示,再代入中計算即可.【詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算,是一道中檔題.9、A【解析】試題分析:原命題為特稱命題,故其否定為全稱命題,即.考點(diǎn):全稱命題.10、B【解析】
計算的和,然后除以,得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數(shù)列前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計算.【詳解】由可得,因為,所以.故在方向上的投影為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.12、B【解析】
連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個三等分點(diǎn),,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)題意畫出幾何題,建立空間直角坐標(biāo)系,寫個各個點(diǎn)的坐標(biāo),并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系:設(shè)正方體的棱長為1,則所以所以,所以異面直線與所成角的余弦值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角的求法,利用空間向量求異面直線夾角,屬于中檔題.15、【解析】
設(shè)的中心為T,AB的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點(diǎn)為球心O,將的長度求出或用球半徑表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T,AB的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點(diǎn)為球心O,如圖所示因為,,所以,,,又二面角的大小為,則,,所以,設(shè)外接球半徑為R,則,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱錐外接球的表面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題,解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合,建立關(guān)于球的半徑的方程,本題計算量較大,是一道難題.16、1【解析】
由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出的值,然后再計算展開式各項系數(shù)的和.【詳解】由題意展開式的二項式系數(shù)之和為,即,故,令,則展開式各項系數(shù)的和為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題,需要運(yùn)用定義加以區(qū)分,并能夠運(yùn)用公式和賦值法求解結(jié)果,需要掌握解題方法.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0);(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)根據(jù)拋物線定義求出p,即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1),由題意直線AB斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0),與拋物線聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0,利用韋達(dá)定理以及弦長公式,轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的值.【詳解】(Ⅰ)由已知得,所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0);(II)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1),由題意直線AB斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得,則,.因為點(diǎn)A,B在拋物線C上,所以,.因為PF⊥x軸,所以,所以|MF|?|NF|的值為1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線中的定值問題,常用韋達(dá)定理設(shè)而不求來求解,本題解題關(guān)鍵是找出弦長與斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解,屬于中等題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用勾股定理結(jié)合條件求得和,利用橢圓的定義求得的值,進(jìn)而可得出,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理與弦長公式求出,利用幾何法求得直線截圓所得弦長,可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)在橢圓上,,,,,,,又,,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、,聯(lián)立消去,得,,則,,設(shè)圓的圓心到直線的距離為,則.,,,,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了橢圓中弦長之積的取值范圍的求解,涉及韋達(dá)定理與弦長公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.19、(1);(2)【解析】
(1)設(shè),根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡方程滿足的等式,化簡即可求得動點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)出切線的斜率分別為,切點(diǎn),,點(diǎn),則可得過點(diǎn)的拋物線的切線方程為,聯(lián)立拋物線方程并化簡,由相切時可得兩條切線斜率關(guān)系;由拋物線方程求得導(dǎo)函數(shù),并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義并代入拋物線方程表示出,可求得,結(jié)合點(diǎn)滿足的方程可得的取值范圍,即可求得的范圍.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn),∵點(diǎn)到直線的距離等于,∴,化簡得,∴動點(diǎn)的軌跡的方程為.(2)由題意可知,的斜率都存在,分別設(shè)為,切點(diǎn),,設(shè)點(diǎn),過點(diǎn)的拋物線的切線方程為,聯(lián)立,化簡可得,∴,即,∴,.由,求得導(dǎo)函數(shù),∴,,,∴,因為點(diǎn)滿足,由圓的性質(zhì)可得,∴,即直線斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)軌跡方程的求法,直線與拋物線相切的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)函數(shù)的幾何意義及應(yīng)用,點(diǎn)和圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由誘導(dǎo)公式計算可得;(Ⅱ)先得到,再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因為所以,由得,又因為,故,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1).(2)的方程為.【解析】
(1)令,則,由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達(dá)定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程?!驹斀狻拷猓海?)因為,即直線的斜率分別為且,設(shè)點(diǎn),則/r/
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