小學(xué)四年級奧數(shù)課件：和倍問題

小學(xué)四年級奧數(shù)教程

第九講和倍問題小學(xué)四年級奧數(shù)教程第九講和倍問題

生活中常常有這樣的事情：四⑴班同學(xué)到果園里去植樹，栽蘋果樹和梨樹共150棵，其中蘋果樹是梨樹的2倍，問植蘋果樹和梨樹各多少棵？這是一道已知兩個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的和以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的問題，在數(shù)學(xué)上稱之為和倍問題。解答這類題的關(guān)鍵是在已知條件中確定一個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)（一般以小數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)），也就是把它看作1倍數(shù)（或1份數(shù)），再根據(jù)另一個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，確定總和相當(dāng)于1倍數(shù)的多少倍，然后用除法求出1倍的數(shù)，再算出另一個(gè)數(shù)。和倍問題的數(shù)量關(guān)系是：①和÷（倍數(shù)+1）=小數(shù)

②小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

③和-小數(shù)=大數(shù)生活中常常有這樣的事情：四⑴班同學(xué)到果園里去例1：慶“六一”四二班剪紅花和黃花共630朵，已知要剪的紅花是黃花的2倍，求剪紅花和黃花各多少朵？例1：慶“六一”四二班剪紅花和黃花共630朵，已知要剪的紅花分析：我們可以用畫線段圖的方法來幫助理解：黃花：1倍

？朵630朵紅花：1倍1倍

？朵

先把黃花（小數(shù)）看成是1倍數(shù)，紅花就是2倍數(shù)，紅花和黃花總共是3倍，正好是630朵。把630朵平均分成3份，每份就是1倍數(shù)，也就是黃花的朵數(shù)。例1：慶“六一”四二班剪紅花和黃花共630朵，已知要剪的紅花是黃花的2倍，求剪紅花和黃花各多少朵？分析：我們可以用畫線段圖的方法來幫助理解：例1：慶“六一”四例2：學(xué)校食堂里運(yùn)來大米和面粉共1450千克，其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求運(yùn)來大米和面粉各多少千克？例2：學(xué)校食堂里運(yùn)來大米和面粉共1450千克，例2：學(xué)校食堂里運(yùn)來大米和面粉共1450千克，其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求運(yùn)來大米和面粉各多少千克？分析：可以用畫線段圖如下：面粉：1倍

？千克3倍共1450千克大米：

？千克少150千克由圖可以看出：已知大米和面粉共1450千克，大米比面粉重量的3倍少150千克，假如大米增加150千克，就恰好是面粉的3倍了。但大米增加150千克，那么大米和面粉的總重量也增加150千克，共是1450+150=1600千克。例2：學(xué)校食堂里運(yùn)來大米和面粉共1450千克，其例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取出16千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱的3倍，兩箱原有蘋果各多少千克？例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取出16千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱的3倍，兩箱原有蘋果各多少千克？分析：兩箱蘋果放來放去之后，部總千克數(shù)沒有改變，只是甲箱取出16千克，就是減少了16千克，放入乙箱16千克，就是乙箱增加16千克。這時(shí)乙箱的千克數(shù)就是甲箱的3倍。我們可以把移動(dòng)后的甲箱千克數(shù)看成1倍數(shù)，移動(dòng)后的乙箱千克數(shù)就是這樣的3倍數(shù)，兩箱的總重量則是這樣的4倍數(shù)?？傊亓繘]變，是96千克。用除法便可求出移后結(jié)果。然后再求出原來重量。

1倍移后甲箱：？千克3倍96千克移后乙箱：？千克

例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取出16千克例4：3籃橘子共有126個(gè)，第一籃橘子個(gè)數(shù)是第二籃的2倍，第三籃的橘子個(gè)數(shù)是第一籃的3倍。這3籃橘子各多少個(gè)？例4：3籃橘子共有126個(gè)，第一籃橘子個(gè)數(shù)是第例4：3籃橘子共有126個(gè)，第一籃橘子個(gè)數(shù)是第二籃的2倍，第三籃的橘子個(gè)數(shù)是第一籃的3倍。這3籃橘子各多少個(gè)？分析：這道題有一個(gè)選標(biāo)準(zhǔn)的問題，是選第一籃為標(biāo)準(zhǔn)，還是選第二籃為標(biāo)準(zhǔn)。從題意上可以想到第二籃是最小的數(shù)。那就把第二籃的橘子數(shù)確定為標(biāo)準(zhǔn)，把它看作1倍數(shù)，第一籃就是2倍數(shù)，第三籃是第一籃的3倍，也就是第二籃的2×3倍，3籃一共是1+2+6=9倍，正好是126個(gè)，用和倍問題解答即可。例4：3籃橘子共有126個(gè)，第一籃橘子個(gè)數(shù)是第二籃的例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個(gè)年級，6年級分得的是4年級的3倍多5本，5年級分得的是4年級的2倍多1本，4、5、6三個(gè)年級各分得科技書多少本？例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個(gè)例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個(gè)年級，6年級分得的是4年級的3倍多5本，5年級分得的是4年級的2倍多1本，4、5、6三個(gè)年級各分得科技書多少本？分析：5年級和6年級分得的本數(shù)都是以4年級作為標(biāo)準(zhǔn)的，所以我們把4年級分得的本數(shù)看作是1倍數(shù)，6年級去掉5本就正好是4年級的3倍，5年級去掉1本也就正好是4年級的2倍數(shù)，這樣總數(shù)里也就去掉了5+1=6（本），變成了828-5-1=822（本），它也就是3+2+1=6（倍數(shù)），用和倍問題可求出結(jié)果。例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個(gè)年級，64年級：

5年級：

6年級：

？本

1倍

2倍

多1本

？本

3倍

多5本

？本

828本？本1倍2倍多1例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000元存入銀行。開學(xué)初，小亮取出240元，小芳又存入80元，這時(shí)小芳的存款錢數(shù)正好是小亮的3倍。原來誰比誰存的錢多，多多少元？例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000元存入銀行。開學(xué)初，小亮取出240元，小芳又存入80元，這時(shí)小芳的存款錢數(shù)正好是小亮的3倍。原來誰比誰存的錢多，多多少元？分析：要求原來誰比誰存的錢多，多多少元，首先得求出小亮和小芳原來各存款多少元。根據(jù)題意，小亮取出，小芳存入后兩人的共存款數(shù)為1000240+80=840（元），已知這時(shí)小芳的存款錢數(shù)是小亮的3倍，把小亮現(xiàn)在存款錢數(shù)看作1倍，小芳的存款數(shù)就是3倍，現(xiàn)在總存款數(shù)就是1+3=4倍，也就是840元，用和倍問題便能求出小亮和小芳現(xiàn)在存錢數(shù)，再求原來存錢數(shù)，從而知道誰存的多，多多少元？例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000元存例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20倍，而A數(shù)又是B數(shù)的4倍，A、B兩數(shù)各是多少？例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20倍，而A數(shù)又是B數(shù)的4倍，A、B兩數(shù)各是多少？分析：此題如果能求出A、B兩數(shù)的和是多少，就能用和倍問題解題。已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20倍，那5000是和的20倍，可以求出A、B兩數(shù)的和，然后把B數(shù)看作1倍數(shù)，A數(shù)就是4倍數(shù)，和為1+4=5倍數(shù)，這樣便可以求解。例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20例8：游泳館里有大小兩個(gè)水池，大水池里有水2800立方數(shù)，小水池里有水1000立方數(shù)，如果大水池里的水以每分鐘20立方米的速度流入小水池，那么多少分鐘后小水池中的水是大水池的4倍？例8：游泳館里有大小兩個(gè)水池，大水池里有水例8：游泳館里有大小兩個(gè)水池，大水池里有水2800立方數(shù)，小水池里有水1000立方數(shù)，如果大水池里的水以每分鐘20立方米的速度流入小水池，那么多少分鐘后小水池中的水是大水池的4倍？分析：解答這道題時(shí)，應(yīng)明確不管大水池的水往小水池里流，還是小水池的水往大水池里流，兩池水的總量是不變的。兩池里的水一共是2800+1000=380（m3），把大水池所剩的水看作是1倍數(shù)，那么小水池現(xiàn)在的水就是4倍數(shù)，兩池水一共是1+4=5倍數(shù)，從而能求出大水池里所剩的水。再用2800減法剩下的水就等于流走的水，流出的水除以流速就求出流水的時(shí)間。例8：游泳館里有大小兩個(gè)水池，大水池里有水2800立例9：①被除數(shù)、除數(shù)、商三個(gè)數(shù)的和是215，已知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？②兩數(shù)相除的商為12，余數(shù)是26，被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和等于454，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？例9：①被除數(shù)、除數(shù)、商三個(gè)數(shù)的和是215，已例9：①被除數(shù)、除數(shù)、商三個(gè)數(shù)的和是215，已知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？②兩數(shù)相除的商為12，余數(shù)是26，被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和等于454，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？分析：①已知商是2，說明被除數(shù)是除數(shù)的2倍。把除數(shù)看作是1倍數(shù)，被除數(shù)則是2倍數(shù)，從215里去掉2所得的結(jié)果則是3倍數(shù)，從而就可以求出1倍數(shù)——除數(shù)，然后再用“商×除數(shù)=被除數(shù)”的關(guān)系式，算出被除數(shù)。②根據(jù)題意，用4個(gè)數(shù)的和減去商12，再減去余數(shù)26就得到了被除數(shù)和除數(shù)之和，因?yàn)樯淌?2，也就是被除數(shù)是除數(shù)的12倍，可以把除數(shù)看作是1倍數(shù)，被除數(shù)就是12倍數(shù)，它們的和是1+12=13倍數(shù)，用和倍公式即可求出除數(shù)。例9：①被除數(shù)、除數(shù)、商三個(gè)數(shù)的和是215，已知商例10：①甲、乙兩數(shù)之和為737，其中甲數(shù)的個(gè)位是0，如果把0去掉，就和乙數(shù)相同。甲、乙兩數(shù)各是多少？②甲、乙、丙三數(shù)之和是2220，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙三數(shù)各是多少？例10：①甲、乙兩數(shù)之和為737，其中甲數(shù)的個(gè)例10：①甲、乙兩數(shù)之和為737，其中甲數(shù)的個(gè)位是0，如果把0去掉，就和乙數(shù)相同。甲、乙兩數(shù)各是多少？②甲、乙、丙三數(shù)之和是2220，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙三數(shù)各是多少？分析：①已知甲數(shù)的個(gè)位是0，如果把0去掉，就和乙數(shù)相同，說明甲數(shù)是乙數(shù)的10倍，把乙數(shù)看作是1倍數(shù)，甲數(shù)就是10倍數(shù)，甲、乙兩數(shù)之和相當(dāng)于甲數(shù)的1+10=11倍數(shù)，用737除以11就得到1倍數(shù)，即乙數(shù)。②根據(jù)甲是乙的一半，可以想到反過來就是乙是甲的2倍。又因乙是丙的2倍，可以推斷出甲和丙同樣多。把甲數(shù)看成1倍數(shù)，丙也就是1倍數(shù)，乙是2倍數(shù)，甲、乙、丙三數(shù)之和相當(dāng)于甲數(shù)的（1+2+1）=4倍數(shù)，用2220除以4就得到1倍數(shù)，即甲、丙兩數(shù)，由此再求出乙數(shù)。例10：①甲、乙兩數(shù)之和為737，其中甲數(shù)的個(gè)位是小學(xué)四年級奧數(shù)課件：和倍問題小學(xué)四年級奧數(shù)教程

第九講和倍問題小學(xué)四年級奧數(shù)教程第九講和倍問題

生活中常常有這樣的事情：四⑴班同學(xué)到果園里去植樹，栽蘋果樹和梨樹共150棵，其中蘋果樹是梨樹的2倍，問植蘋果樹和梨樹各多少棵？這是一道已知兩個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的和以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的問題，在數(shù)學(xué)上稱之為和倍問題。解答這類題的關(guān)鍵是在已知條件中確定一個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)（一般以小數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)），也就是把它看作1倍數(shù)（或1份數(shù)），再根據(jù)另一個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，確定總和相當(dāng)于1倍數(shù)的多少倍，然后用除法求出1倍的數(shù)，再算出另一個(gè)數(shù)。和倍問題的數(shù)量關(guān)系是：①和÷（倍數(shù)+1）=小數(shù)

②小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

③和-小數(shù)=大數(shù)生活中常常有這樣的事情：四⑴班同學(xué)到果園里去例1：慶“六一”四二班剪紅花和黃花共630朵，已知要剪的紅花是黃花的2倍，求剪紅花和黃花各多少朵？例1：慶“六一”四二班剪紅花和黃花共630朵，已知要剪的紅花分析：我們可以用畫線段圖的方法來幫助理解：黃花：1倍

？朵630朵紅花：1倍1倍

？朵

先把黃花（小數(shù)）看成是1倍數(shù)，紅花就是2倍數(shù)，紅花和黃花總共是3倍，正好是630朵。把630朵平均分成3份，每份就是1倍數(shù)，也就是黃花的朵數(shù)。例1：慶“六一”四二班剪紅花和黃花共630朵，已知要剪的紅花是黃花的2倍，求剪紅花和黃花各多少朵？分析：我們可以用畫線段圖的方法來幫助理解：例1：慶“六一”四例2：學(xué)校食堂里運(yùn)來大米和面粉共1450千克，其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求運(yùn)來大米和面粉各多少千克？例2：學(xué)校食堂里運(yùn)來大米和面粉共1450千克，例2：學(xué)校食堂里運(yùn)來大米和面粉共1450千克，其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求運(yùn)來大米和面粉各多少千克？分析：可以用畫線段圖如下：面粉：1倍

？千克3倍共1450千克大米：

？千克少150千克由圖可以看出：已知大米和面粉共1450千克，大米比面粉重量的3倍少150千克，假如大米增加150千克，就恰好是面粉的3倍了。但大米增加150千克，那么大米和面粉的總重量也增加150千克，共是1450+150=1600千克。例2：學(xué)校食堂里運(yùn)來大米和面粉共1450千克，其例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取出16千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱的3倍，兩箱原有蘋果各多少千克？例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取出16千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱的3倍，兩箱原有蘋果各多少千克？分析：兩箱蘋果放來放去之后，部總千克數(shù)沒有改變，只是甲箱取出16千克，就是減少了16千克，放入乙箱16千克，就是乙箱增加16千克。這時(shí)乙箱的千克數(shù)就是甲箱的3倍。我們可以把移動(dòng)后的甲箱千克數(shù)看成1倍數(shù)，移動(dòng)后的乙箱千克數(shù)就是這樣的3倍數(shù)，兩箱的總重量則是這樣的4倍數(shù)?？傊亓繘]變，是96千克。用除法便可求出移后結(jié)果。然后再求出原來重量。

1倍移后甲箱：？千克3倍96千克移后乙箱：？千克

例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取出16千克例4：3籃橘子共有126個(gè)，第一籃橘子個(gè)數(shù)是第二籃的2倍，第三籃的橘子個(gè)數(shù)是第一籃的3倍。這3籃橘子各多少個(gè)？例4：3籃橘子共有126個(gè)，第一籃橘子個(gè)數(shù)是第例4：3籃橘子共有126個(gè)，第一籃橘子個(gè)數(shù)是第二籃的2倍，第三籃的橘子個(gè)數(shù)是第一籃的3倍。這3籃橘子各多少個(gè)？分析：這道題有一個(gè)選標(biāo)準(zhǔn)的問題，是選第一籃為標(biāo)準(zhǔn)，還是選第二籃為標(biāo)準(zhǔn)。從題意上可以想到第二籃是最小的數(shù)。那就把第二籃的橘子數(shù)確定為標(biāo)準(zhǔn)，把它看作1倍數(shù)，第一籃就是2倍數(shù)，第三籃是第一籃的3倍，也就是第二籃的2×3倍，3籃一共是1+2+6=9倍，正好是126個(gè)，用和倍問題解答即可。例4：3籃橘子共有126個(gè)，第一籃橘子個(gè)數(shù)是第二籃的例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個(gè)年級，6年級分得的是4年級的3倍多5本，5年級分得的是4年級的2倍多1本，4、5、6三個(gè)年級各分得科技書多少本？例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個(gè)例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個(gè)年級，6年級分得的是4年級的3倍多5本，5年級分得的是4年級的2倍多1本，4、5、6三個(gè)年級各分得科技書多少本？分析：5年級和6年級分得的本數(shù)都是以4年級作為標(biāo)準(zhǔn)的，所以我們把4年級分得的本數(shù)看作是1倍數(shù)，6年級去掉5本就正好是4年級的3倍，5年級去掉1本也就正好是4年級的2倍數(shù)，這樣總數(shù)里也就去掉了5+1=6（本），變成了828-5-1=822（本），它也就是3+2+1=6（倍數(shù)），用和倍問題可求出結(jié)果。例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個(gè)年級，64年級：

5年級：

6年級：

？本

1倍

2倍

多1本

？本

3倍

多5本

？本

828本？本1倍2倍多1例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000元存入銀行。開學(xué)初，小亮取出240元，小芳又存入80元，這時(shí)小芳的存款錢數(shù)正好是小亮的3倍。原來誰比誰存的錢多，多多少元？例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000元存入銀行。開學(xué)初，小亮取出240元，小芳又存入80元，這時(shí)小芳的存款錢數(shù)正好是小亮的3倍。原來誰比誰存的錢多，多多少元？分析：要求原來誰比誰存的錢多，多多少元，首先得求出小亮和小芳原來各存款多少元。根據(jù)題意，小亮取出，小芳存入后兩人的共存款數(shù)為1000240+80=840（元），已知這時(shí)小芳的存款錢數(shù)是小亮的3倍，把小亮現(xiàn)在存款錢數(shù)看作1倍，小芳的存款數(shù)就是3倍，現(xiàn)在總存款數(shù)就是1+3=4倍，也就是840元，用和倍問題便能求出小亮和小芳現(xiàn)在存錢數(shù)，再求原來存錢數(shù)，從而知道誰存的多，多多少元？例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000元存例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20倍，而A數(shù)又是B數(shù)的4倍，A、B兩數(shù)各是多少？例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20倍，而A數(shù)又是B數(shù)的4倍，A、B兩數(shù)各是多少？分析：此題如果能求出A、B兩數(shù)的和是多少，就能用和倍問題解題。已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20倍，那5000是和的20倍，可以求出A、B兩數(shù)的和，然后把B數(shù)看作1倍數(shù)，A數(shù)就是4倍數(shù)，和為1+4=5倍數(shù)，這樣便可以求解。例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20例8：游泳館里有大小兩個(gè)水池，大水池里有水2800立方數(shù)，小水池里有水1000立方數(shù)，如果大水池里的水以每分鐘20立方米的速度流入小水池，那么多少分鐘后小水池中的水是大水池的4倍？例8：游泳館里有大小兩個(gè)水池，大水池里有水例8：游泳館里有大小兩個(gè)水池，大水池里有水2800立方數(shù)，小水池里有水1000立方數(shù)，如果大水池里的水以每分鐘20立方米的速度流入小水池，那么多少分鐘后小水池中的水是大水池的4倍？分析：解答這道題時(shí)，應(yīng)明確不管大水池的水往小水池里流，還是小水池的水往大水池里流，兩池水的總量是不變的。兩池里的水一共是2800+1000=380（m3），把大水池所剩的水看作是1倍數(shù)，那么小水池現(xiàn)在的水就是4倍數(shù)，兩池水一共是1+4=5倍數(shù)，從而能求出大水池里所剩的水。再用2800減法剩下的水就等于流走的水，流出的水除以流速就求出流水的時(shí)間。例8：游泳館里有大小兩個(gè)水池，大水池里有水2800立例9：①被除數(shù)、除數(shù)、商三個(gè)數(shù)的和是215，已知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？②兩數(shù)相除的商為1