《第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)22對(duì)數(shù)函數(shù)閱讀與思考對(duì)數(shù)的發(fā)明》327課件

對(duì)數(shù)的概念對(duì)數(shù)的概念1教案背景

（對(duì)數(shù)的起源）介紹對(duì)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景與概念的形成過程，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性；設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的興趣，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)的科學(xué)研究精神．學(xué)生是教學(xué)的主體,本節(jié)課要給學(xué)生提供各種參與機(jī)會(huì)。為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)。本節(jié)課我利用多媒體輔助教學(xué),教學(xué)中我引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例出發(fā)，從中認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)的模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性。在教學(xué)重難點(diǎn)上，我步步設(shè)問、啟發(fā)學(xué)生的思維,通過課堂練習(xí)、探究活動(dòng),學(xué)生討論的方式來加深理解,很好地突破難點(diǎn)和提高教學(xué)效率。結(jié)合高一數(shù)學(xué)組承擔(dān)的課題《教師課堂教學(xué)行為的評(píng)價(jià)、反思及有效教學(xué)研究》通過教師的課堂教學(xué)行為，使學(xué)生充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，提高課堂教學(xué)效率。教案背景

（對(duì)數(shù)的起源）介紹對(duì)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景與概念的形成2教學(xué)課題《對(duì)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)課題《對(duì)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)3教材分析《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，通過必要地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念，結(jié)論等產(chǎn)生的背景，體會(huì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。通過探究活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。提高運(yùn)算，處理數(shù)據(jù)，分析、解決問題的能力。本節(jié)課是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)A版必修①中第二章對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第一課時(shí)，也就是對(duì)數(shù)函數(shù)的入門。在本模塊中，對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)全新的函數(shù)模型，學(xué)習(xí)起來比較困難。而對(duì)數(shù)函數(shù)又是本章的重要內(nèi)容，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)類型的拓廣，同時(shí)在解決一些日常生活問題及科研中起十分重要的作用。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生理解對(duì)數(shù)的概念，從而進(jìn)一步深化對(duì)對(duì)數(shù)模型的認(rèn)識(shí)與理解，為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)作好準(zhǔn)備。同時(shí)，通過對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立統(tǒng)一，相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力都具有重要的意義。教材分析《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，通過必要地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得必要的基礎(chǔ)4知識(shí)目標(biāo)：1.理解對(duì)數(shù)的概念,了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；2.掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對(duì)數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)并形成技能。能力目標(biāo)：1.通過事例使學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)的模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性；2.通過師生觀察分析得出對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化。通過學(xué)生分組探究進(jìn)行活動(dòng)，掌握對(duì)數(shù)的重要性質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納，等價(jià)轉(zhuǎn)化能力。情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生大膽探索，不斷創(chuàng)新的研究精神；培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值知識(shí)目標(biāo)：1.理解對(duì)數(shù)的概念,了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；2.掌握5重點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)的概念；（2）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。難點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)概念的理解；（2）對(duì)數(shù)性質(zhì)的理解重點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)的概念；（2）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。6教學(xué)方法探索、類比、等價(jià)轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)方法教學(xué)方法探索、類比、等價(jià)轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)方法7教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，引入新課引例1、一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。（1）取5次，還有多長(zhǎng)？（2）取多少次，還有0.125尺?分析:(1)為同學(xué)們熟悉的指數(shù)函數(shù)的模型,易得(2)可設(shè)取x次,則有

抽象出:教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，引入新課82、根據(jù)國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來20年我國(guó)發(fā)展的前景分析》，2002年我國(guó)GPD為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)7.3%，那么經(jīng)過多少年GPD是2002年的2倍？2、根據(jù)國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來20年我國(guó)發(fā)9創(chuàng)新探究，進(jìn)入新課（一）、對(duì)數(shù)的概念一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次冪等于N,就是=N那么數(shù)b叫做a為底N的對(duì)數(shù),記作

，

，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。注意：①底數(shù)的限制:a>0且a≠1

②對(duì)數(shù)的書寫格式創(chuàng)新探究，進(jìn)入新課10（二）、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化冪底數(shù)

←a→對(duì)數(shù)底數(shù)指數(shù)

←b→

對(duì)數(shù)冪

←N→

真數(shù)思考：①為什么對(duì)數(shù)的定義中要求底數(shù)a>0且a≠1？

②是否是所有的實(shí)數(shù)都有對(duì)數(shù)呢？結(jié)論：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)（二）、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化11（三）、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)①常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)

簡(jiǎn)記為:lgN②自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)

簡(jiǎn)記為:lnN.注意：兩個(gè)重要對(duì)數(shù)的書寫1將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：（三）、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)12《第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)22對(duì)數(shù)函數(shù)閱讀與思考對(duì)數(shù)的發(fā)明》327課件13(四)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)探究活動(dòng)1求下列各式的值：思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：“1”的對(duì)數(shù)等于零，即

類比：(四)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)14（五）、鞏固練習(xí)1、課本P64練習(xí)

2、提高訓(xùn)練(1)已知x滿足等式

，（2）求值：

（五）、鞏固練習(xí)15教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的興趣；在講授新課部分，通過結(jié)合多媒體教學(xué)以及一系列的課堂探究活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；最后通過課堂練習(xí)來鞏固學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的掌握。在整個(gè)教學(xué)中，以學(xué)生為主體，以小組討論的形式學(xué)習(xí)本課內(nèi)容，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)和勇于探索的創(chuàng)新精神教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的興16附件1：對(duì)數(shù)的起源對(duì)數(shù)產(chǎn)生于以加減運(yùn)算代替乘除運(yùn)算的探索中。

以加（減）代乘（除）的想法早就存在了．一個(gè)簡(jiǎn)單的三位數(shù)乘法（例如265×438），一般需要四次運(yùn)算才能得出結(jié)果，但同樣數(shù)字的加法卻只需一次運(yùn)算．涉及的數(shù)字越大，則乘（或除）所需要的運(yùn)算次數(shù)比加（或減）所需的運(yùn)算次數(shù)相差得越多．因此，在6世紀(jì)以前，就曾有人作嘗試，試圖實(shí)現(xiàn)以加（減）代乘（除）．但由于壓力不大，并不感到非如此不可，因此未能達(dá)到目的．

16世紀(jì)中葉，由于天文和航海而引起的大數(shù)計(jì)算日益激增，這種計(jì)算不僅花去了人們大量的精力，而且難以精確，于是，以加（減）代乘（除）的設(shè)想再次被提出，并被作為必須解決的問題加以考慮了．

起初，曾采用以下兩個(gè)公式來實(shí)現(xiàn)乘除向加減的轉(zhuǎn)化：附件1：對(duì)數(shù)的起源對(duì)數(shù)產(chǎn)生于以加減運(yùn)算代替乘除運(yùn)算的探索中17《第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)22對(duì)數(shù)函數(shù)閱讀與思考對(duì)數(shù)的發(fā)明》327課件18但由于它們都需要通過另一種運(yùn)算（三角或平方）來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，并不真正地提高效率，所以很快就被擱置不用了．

能不能使乘（除）直接向加（減）轉(zhuǎn)化呢？能！1484年，法國(guó)數(shù)學(xué)家舒開（Chuquet，?—1500）通過把等差數(shù)列與等比數(shù)列，如：

0，1，2，3，4，…等差

1，2，4，8，16，…等比

或

0，1，2，3，4，…等差

1，3，9，27，81，…等比但由于它們都需要通過另一種運(yùn)算（三角或平方）來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，并不19比較發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列中任何兩項(xiàng)的積，可以用與這兩項(xiàng)序號(hào)對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列的和來表示（注：這一點(diǎn)最早由阿基米德發(fā)現(xiàn)）．由于當(dāng)時(shí)舒開并不力圖解決這個(gè)問題，因此他僅提出了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，而沒加以深入地研究．

半個(gè)世紀(jì)后，同樣的事實(shí)再次被德國(guó)數(shù)學(xué)家史提非提出．史提非以如下一組數(shù)列為例指出：“等比數(shù)列中數(shù)的乘、除、乘方、開方可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列中數(shù)的加、減、乘、除來實(shí)現(xiàn)．”比較發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列中任何兩項(xiàng)的積，可以用與這兩項(xiàng)序號(hào)對(duì)應(yīng)的等20《第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)22對(duì)數(shù)函數(shù)閱讀與思考對(duì)數(shù)的發(fā)明》327課件21如4×8，因?yàn)?和8對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列的數(shù)分別是2和3，而2+3=5，所以4×8的結(jié)果是5所對(duì)應(yīng)的等比數(shù)中的數(shù)32．又如82，因?yàn)?對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列中的數(shù)是3，3×2=6，所以82的結(jié)果是6所對(duì)應(yīng)的等比數(shù)列中的數(shù)64．就這樣，史提非輕巧地實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，并且他意識(shí)到：“只要把這個(gè)思想進(jìn)一步發(fā)揮，那么必定能得出關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的全新的論述．”遺憾的是史提非后來再也沒進(jìn)行深入的研究，他放棄了進(jìn)一步發(fā)揮思想的權(quán)利，因而也就失去了對(duì)數(shù)發(fā)明者的資格．如4×8，因?yàn)?和8對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列的數(shù)分別是2和3，而2+322布爾基與耐普爾數(shù)學(xué)史冊(cè)上的對(duì)數(shù)發(fā)明者是兩個(gè)人：英國(guó)的約翰·耐普爾（JohnNaeipr，1550－1617）和瑞士的喬伯斯特·布爾基（JobstBürgi，1552－1632）．

布爾基原是個(gè)鐘表技師，1603年被選為布拉格宮庭技師后，開始與著名的天文學(xué)家開普勒接觸，了解到天文學(xué)計(jì)算的一些具體情況．他體察天文學(xué)家的辛勞，并決定為他們提供簡(jiǎn)便的計(jì)算方法．

布爾基所提出的簡(jiǎn)便計(jì)算方法就是一張實(shí)用的對(duì)數(shù)表．從原則上說，史提非已經(jīng)解決了將乘（除）運(yùn)算轉(zhuǎn)為加（減）運(yùn)算的途徑.但是史提非所給出的兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)字十分有限,它不能付之于實(shí)用，實(shí)用的對(duì)數(shù)表必須包括所有要乘的數(shù)在內(nèi)．布爾基與耐普爾數(shù)學(xué)史冊(cè)上的對(duì)數(shù)發(fā)明者是兩個(gè)人：英國(guó)的約翰·23為了做到這一點(diǎn)，布爾基采取盡可能細(xì)密地列出等比數(shù)列的辦法．他給出的等比數(shù)列相當(dāng)于：

1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001）104，…

其相應(yīng)的等差數(shù)列是：

0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…

這里，等差數(shù)列中的1，對(duì)應(yīng)于等比數(shù)列中的（1.0001）104．就是說，布爾基在造表時(shí)，把對(duì)數(shù)的底取為（1.0001）104=2.71814593…，與自然對(duì)數(shù)的底e=2.718281828…相差不遠(yuǎn)．但需要的指出是，無(wú)論是布爾基還是后面要講到的耐普爾，他們都沒有關(guān)于對(duì)數(shù)“底”的觀念．因?yàn)樗麄兌疾皇菑腶x=N的關(guān)系出發(fā)來定義對(duì)數(shù)x=logaN的．為了做到這一點(diǎn)，布爾基采取盡可能細(xì)密地列出等比數(shù)列的辦法．他24耐普爾原是蘇格蘭的貴族．生于蘇格蘭的愛丁堡，十二歲進(jìn)入圣安德魯斯大學(xué)的斯帕希杰爾學(xué)院學(xué)習(xí)．十六歲大學(xué)尚未畢業(yè)時(shí)又到歐洲大陸旅行和游學(xué)，豐富了自己的學(xué)識(shí)．耐普爾雖不是專業(yè)數(shù)學(xué)家，但酷愛數(shù)學(xué)，他在一個(gè)需要改革計(jì)算技術(shù)的時(shí)代里盡心盡力．正如他所說：“我總是盡量使自己的精力和才能去擺脫麻煩而單調(diào)的計(jì)算，因?yàn)檫@種令人厭煩的計(jì)算常使學(xué)習(xí)者望而生畏．”耐普爾一生先后為改進(jìn)計(jì)算得出了球面三角中的“耐普爾比擬式”、“耐普爾圓部法則”以及作乘除用的“耐普爾算籌”，而為制作對(duì)數(shù)表他花了整整20年時(shí)間．耐普爾原是蘇格蘭的貴族．生于蘇格蘭的愛丁堡，十二歲進(jìn)入圣安德251614年，耐普爾發(fā)表了他的《關(guān)于奇妙的對(duì)數(shù)表的說明》一書，書中不僅提出數(shù)學(xué)史上的第一張對(duì)數(shù)表（布爾基的對(duì)數(shù)表發(fā)表于1620年），而且闡述了這個(gè)發(fā)明的思想過程．他說：假定有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)P和Q，分別沿著線段AZ和射線A'Z'以同樣的初速運(yùn)動(dòng)，其中Q保持初速不變，而P作減速運(yùn)動(dòng)，其速度與這個(gè)點(diǎn)離Z的距離成正比，現(xiàn)在，如果當(dāng)P位于某點(diǎn)B時(shí)，Q位于B'，那么，A'B'就是BZ的對(duì)數(shù)！同樣的A'C'是CZ的對(duì)數(shù)，等等（圖1）．1614年，耐普爾發(fā)表了他的《關(guān)于奇妙的對(duì)數(shù)表的說明》一書，26建立了這個(gè)模型以后，耐普爾通過代入具體的數(shù)字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列數(shù)值為：建立了這個(gè)模型以后，耐普爾通過代入具體的數(shù)字得出BZ、CZ、27以及作為它們的對(duì)數(shù)的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列數(shù)值為：

1，2，3，4，5，…

顯然，這也是一組相互對(duì)應(yīng)的等比數(shù)列和等差數(shù)列，因此耐普爾實(shí)質(zhì)是把等差數(shù)列中的數(shù)定義為對(duì)應(yīng)的等比數(shù)列中的數(shù)的對(duì)數(shù)！這說明，耐普爾借助于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)建立起來的對(duì)數(shù)概念，其原理仍不外乎等比數(shù)列與等差數(shù)列關(guān)系的合理運(yùn)用．以及作為它們的對(duì)數(shù)的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，28對(duì)數(shù)的由來

英語(yǔ)名詞：logarithms如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底數(shù)”，b叫做“真數(shù)”，n叫做“以a為底b的對(duì)數(shù)”。log(a)(b)函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)中b的定義域是b>0，零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；a的定義域是a>0且a≠1。對(duì)數(shù)的歷史約翰·納皮爾/約翰·奈皮爾/約翰·內(nèi)皮爾（JohnNapier，1550～1617），蘇格蘭數(shù)學(xué)家、神學(xué)家，對(duì)數(shù)的發(fā)明者。Napier出身貴族，于1550年在蘇格蘭愛丁堡附近的小鎮(zhèn)梅奇斯頓（MerchistonCastle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有過正式的職業(yè)。年輕時(shí)正值歐洲掀起宗教革命，他行旅其間，頗有感觸。蘇格蘭轉(zhuǎn)向新教，他也成了寫文章攻擊舊教（天主教）的急先鋒（主要文章于1593年寫成）。其時(shí)傳出天主教的西班牙要派無(wú)敵艦隊(duì)來攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、裝甲馬車、潛水艇等）準(zhǔn)備與其拚命。雖然Napier的兵器還沒制成，英國(guó)已把無(wú)敵艦隊(duì)擊垮，他還是成了英雄人物。他一生研究數(shù)學(xué)，以發(fā)明對(duì)數(shù)運(yùn)算而著稱。那時(shí)候天文學(xué)家TychoBrahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的觀察，需要很多的計(jì)算，而且要算幾個(gè)數(shù)的連乘，因此苦不堪言。1594年，他為了尋求一種球面三角計(jì)算的簡(jiǎn)便方法，運(yùn)用了獨(dú)特的方法構(gòu)造出對(duì)數(shù)方法。這讓他在數(shù)學(xué)史上被重重地記上一筆，然而完成此對(duì)數(shù)卻整整花了他20年的工夫。1614年6月在愛丁堡出版的第一本對(duì)數(shù)專著《奇妙的對(duì)數(shù)表的描述》（"Mirificilogarithmorumcanonisdescriptio"）中闡明了對(duì)數(shù)原理，后人稱為納皮爾對(duì)數(shù)：NaplogX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561-1630）去拜訪納皮爾，建議將對(duì)數(shù)改良一下以十為基底的對(duì)數(shù)表最為方便，這也就是后來常用的對(duì)數(shù)了。可惜納皮爾隔年于1617年春天去世，后來就由Briggs以畢生精力繼承納皮爾的未竟事業(yè)，以10為底列出一個(gè)很詳細(xì)的對(duì)數(shù)表。并且于1619年發(fā)表了《奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的結(jié)構(gòu)》，于書中詳細(xì)闡述了對(duì)數(shù)計(jì)算和造對(duì)表的方法。納皮爾對(duì)數(shù)字計(jì)算特別有研究，他的興趣在于球面三角學(xué)的運(yùn)算，而球面三角學(xué)乃因應(yīng)天文學(xué)的活動(dòng)而興起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10個(gè)公式的巧妙記法——圓的部分法則（"納皮爾圓部法則"）和解球面非直角三角形的兩個(gè)公式——"納皮爾比擬式"，以及做乘除法用的"納皮爾算籌"。此外，他還發(fā)明了納皮爾尺，這種尺子可以機(jī)械地進(jìn)行數(shù)的乘除運(yùn)算和求數(shù)的平方根。對(duì)數(shù)的由來英語(yǔ)名詞：logarithms29對(duì)數(shù)的概念對(duì)數(shù)的概念30教案背景

（對(duì)數(shù)的起源）介紹對(duì)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景與概念的形成過程，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性；設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的興趣，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)的科學(xué)研究精神．學(xué)生是教學(xué)的主體,本節(jié)課要給學(xué)生提供各種參與機(jī)會(huì)。為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)。本節(jié)課我利用多媒體輔助教學(xué),教學(xué)中我引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例出發(fā)，從中認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)的模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性。在教學(xué)重難點(diǎn)上，我步步設(shè)問、啟發(fā)學(xué)生的思維,通過課堂練習(xí)、探究活動(dòng),學(xué)生討論的方式來加深理解,很好地突破難點(diǎn)和提高教學(xué)效率。結(jié)合高一數(shù)學(xué)組承擔(dān)的課題《教師課堂教學(xué)行為的評(píng)價(jià)、反思及有效教學(xué)研究》通過教師的課堂教學(xué)行為，使學(xué)生充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，提高課堂教學(xué)效率。教案背景

（對(duì)數(shù)的起源）介紹對(duì)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景與概念的形成31教學(xué)課題《對(duì)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)課題《對(duì)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)32教材分析《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，通過必要地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念，結(jié)論等產(chǎn)生的背景，體會(huì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。通過探究活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。提高運(yùn)算，處理數(shù)據(jù)，分析、解決問題的能力。本節(jié)課是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)A版必修①中第二章對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第一課時(shí)，也就是對(duì)數(shù)函數(shù)的入門。在本模塊中，對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)全新的函數(shù)模型，學(xué)習(xí)起來比較困難。而對(duì)數(shù)函數(shù)又是本章的重要內(nèi)容，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)類型的拓廣，同時(shí)在解決一些日常生活問題及科研中起十分重要的作用。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生理解對(duì)數(shù)的概念，從而進(jìn)一步深化對(duì)對(duì)數(shù)模型的認(rèn)識(shí)與理解，為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)作好準(zhǔn)備。同時(shí)，通過對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立統(tǒng)一，相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力都具有重要的意義。教材分析《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，通過必要地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得必要的基礎(chǔ)33知識(shí)目標(biāo)：1.理解對(duì)數(shù)的概念,了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；2.掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對(duì)數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)并形成技能。能力目標(biāo)：1.通過事例使學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)的模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性；2.通過師生觀察分析得出對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化。通過學(xué)生分組探究進(jìn)行活動(dòng)，掌握對(duì)數(shù)的重要性質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納，等價(jià)轉(zhuǎn)化能力。情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生大膽探索，不斷創(chuàng)新的研究精神；培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值知識(shí)目標(biāo)：1.理解對(duì)數(shù)的概念,了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；2.掌握34重點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)的概念；（2）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。難點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)概念的理解；（2）對(duì)數(shù)性質(zhì)的理解重點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)的概念；（2）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。35教學(xué)方法探索、類比、等價(jià)轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)方法教學(xué)方法探索、類比、等價(jià)轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)方法36教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，引入新課引例1、一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。（1）取5次，還有多長(zhǎng)？（2）取多少次，還有0.125尺?分析:(1)為同學(xué)們熟悉的指數(shù)函數(shù)的模型,易得(2)可設(shè)取x次,則有

抽象出:教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，引入新課372、根據(jù)國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來20年我國(guó)發(fā)展的前景分析》，2002年我國(guó)GPD為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)7.3%，那么經(jīng)過多少年GPD是2002年的2倍？2、根據(jù)國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來20年我國(guó)發(fā)38創(chuàng)新探究，進(jìn)入新課（一）、對(duì)數(shù)的概念一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次冪等于N,就是=N那么數(shù)b叫做a為底N的對(duì)數(shù),記作

，

，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。注意：①底數(shù)的限制:a>0且a≠1

②對(duì)數(shù)的書寫格式創(chuàng)新探究，進(jìn)入新課39（二）、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化冪底數(shù)

←a→對(duì)數(shù)底數(shù)指數(shù)

←b→

對(duì)數(shù)冪

←N→

真數(shù)思考：①為什么對(duì)數(shù)的定義中要求底數(shù)a>0且a≠1？

②是否是所有的實(shí)數(shù)都有對(duì)數(shù)呢？結(jié)論：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)（二）、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化40（三）、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)①常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)

簡(jiǎn)記為:lgN②自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)

簡(jiǎn)記為:lnN.注意：兩個(gè)重要對(duì)數(shù)的書寫1將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：（三）、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)41《第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)22對(duì)數(shù)函數(shù)閱讀與思考對(duì)數(shù)的發(fā)明》327課件42(四)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)探究活動(dòng)1求下列各式的值：思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：“1”的對(duì)數(shù)等于零，即

類比：(四)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)43（五）、鞏固練習(xí)1、課本P64練習(xí)

2、提高訓(xùn)練(1)已知x滿足等式

，（2）求值：

（五）、鞏固練習(xí)44教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的興趣；在講授新課部分，通過結(jié)合多媒體教學(xué)以及一系列的課堂探究活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；最后通過課堂練習(xí)來鞏固學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的掌握。在整個(gè)教學(xué)中，以學(xué)生為主體，以小組討論的形式學(xué)習(xí)本課內(nèi)容，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)和勇于探索的創(chuàng)新精神教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的興45附件1：對(duì)數(shù)的起源對(duì)數(shù)產(chǎn)生于以加減運(yùn)算代替乘除運(yùn)算的探索中。

以加（減）代乘（除）的想法早就存在了．一個(gè)簡(jiǎn)單的三位數(shù)乘法（例如265×438），一般需要四次運(yùn)算才能得出結(jié)果，但同樣數(shù)字的加法卻只需一次運(yùn)算．涉及的數(shù)字越大，則乘（或除）所需要的運(yùn)算次數(shù)比加（或減）所需的運(yùn)算次數(shù)相差得越多．因此，在6世紀(jì)以前，就曾有人作嘗試，試圖實(shí)現(xiàn)以加（減）代乘（除）．但由于壓力不大，并不感到非如此不可，因此未能達(dá)到目的．

16世紀(jì)中葉，由于天文和航海而引起的大數(shù)計(jì)算日益激增，這種計(jì)算不僅花去了人們大量的精力，而且難以精確，于是，以加（減）代乘（除）的設(shè)想再次被提出，并被作為必須解決的問題加以考慮了．

起初，曾采用以下兩個(gè)公式來實(shí)現(xiàn)乘除向加減的轉(zhuǎn)化：附件1：對(duì)數(shù)的起源對(duì)數(shù)產(chǎn)生于以加減運(yùn)算代替乘除運(yùn)算的探索中46《第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)22對(duì)數(shù)函數(shù)閱讀與思考對(duì)數(shù)的發(fā)明》327課件47但由于它們都需要通過另一種運(yùn)算（三角或平方）來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，并不真正地提高效率，所以很快就被擱置不用了．

能不能使乘（除）直接向加（減）轉(zhuǎn)化呢？能！1484年，法國(guó)數(shù)學(xué)家舒開（Chuquet，?—1500）通過把等差數(shù)列與等比數(shù)列，如：

0，1，2，3，4，…等差

1，2，4，8，16，…等比

或

0，1，2，3，4，…等差

1，3，9，27，81，…等比但由于它們都需要通過另一種運(yùn)算（三角或平方）來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，并不48比較發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列中任何兩項(xiàng)的積，可以用與這兩項(xiàng)序號(hào)對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列的和來表示（注：這一點(diǎn)最早由阿基米德發(fā)現(xiàn)）．由于當(dāng)時(shí)舒開并不力圖解決這個(gè)問題，因此他僅提出了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，而沒加以深入地研究．

半個(gè)世紀(jì)后，同樣的事實(shí)再次被德國(guó)數(shù)學(xué)家史提非提出．史提非以如下一組數(shù)列為例指出：“等比數(shù)列中數(shù)的乘、除、乘方、開方可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列中數(shù)的加、減、乘、除來實(shí)現(xiàn)．”比較發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列中任何兩項(xiàng)的積，可以用與這兩項(xiàng)序號(hào)對(duì)應(yīng)的等49《第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)22對(duì)數(shù)函數(shù)閱讀與思考對(duì)數(shù)的發(fā)明》327課件50如4×8，因?yàn)?和8對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列的數(shù)分別是2和3，而2+3=5，所以4×8的結(jié)果是5所對(duì)應(yīng)的等比數(shù)中的數(shù)32．又如82，因?yàn)?對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列中的數(shù)是3，3×2=6，所以82的結(jié)果是6所對(duì)應(yīng)的等比數(shù)列中的數(shù)64．就這樣，史提非輕巧地實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，并且他意識(shí)到：“只要把這個(gè)思想進(jìn)一步發(fā)揮，那么必定能得出關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的全新的論述．”遺憾的是史提非后來再也沒進(jìn)行深入的研究，他放棄了進(jìn)一步發(fā)揮思想的權(quán)利，因而也就失去了對(duì)數(shù)發(fā)明者的資格．如4×8，因?yàn)?和8對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列的數(shù)分別是2和3，而2+351布爾基與耐普爾數(shù)學(xué)史冊(cè)上的對(duì)數(shù)發(fā)明者是兩個(gè)人：英國(guó)的約翰·耐普爾（JohnNaeipr，1550－1617）和瑞士的喬伯斯特·布爾基（JobstBürgi，1552－1632）．

布爾基原是個(gè)鐘表技師，1603年被選為布拉格宮庭技師后，開始與著名的天文學(xué)家開普勒接觸，了解到天文學(xué)計(jì)算的一些具體情況．他體察天文學(xué)家的辛勞，并決定為他們提供簡(jiǎn)便的計(jì)算方法．

布爾基所提出的簡(jiǎn)便計(jì)算方法就是一張實(shí)用的對(duì)數(shù)表．從原則上說，史提非已經(jīng)解決了將乘（除）運(yùn)算轉(zhuǎn)為加（減）運(yùn)算的途徑.但是史提非所給出的兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)字十分有限,它不能付之于實(shí)用，實(shí)用的對(duì)數(shù)表必須包括所有要乘的數(shù)在內(nèi)．布爾基與耐普爾數(shù)學(xué)史冊(cè)上的對(duì)數(shù)發(fā)明者是兩個(gè)人：英國(guó)的約翰·52為了做到這一點(diǎn)，布爾基采取盡可能細(xì)密地列出等比數(shù)列的辦法．他給出的等比數(shù)列相當(dāng)于：

1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001）104，…

其相應(yīng)的等差數(shù)列是：

0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…

這里，等差數(shù)列中的1，對(duì)應(yīng)于等比數(shù)列中的（1.0001）104．就是說，布爾基在造表時(shí)，把對(duì)數(shù)的底取為（1.0001）104=2.71814593…，與自然對(duì)數(shù)的底e=2.718281828…相差不遠(yuǎn)．但需要的指出是，無(wú)論是布爾基還是后面要講到的耐普爾，他們都沒有關(guān)于對(duì)數(shù)“底”的觀念．因?yàn)樗麄兌疾皇菑腶x=N的關(guān)系出發(fā)來定義對(duì)數(shù)x=logaN的．為了做到這一點(diǎn)，布爾基采取盡可能細(xì)密地列出等比數(shù)列的辦法．他53耐普爾原是蘇格蘭的貴族．生于蘇格蘭的愛丁堡，十二歲進(jìn)入圣安德魯斯大學(xué)的斯帕希杰爾學(xué)院學(xué)習(xí)．十六歲大學(xué)尚未畢業(yè)時(shí)又到歐洲大陸旅行和游學(xué)，豐富了自己的學(xué)識(shí)．耐普爾雖不是專業(yè)數(shù)學(xué)家，但酷愛數(shù)學(xué)，他在一個(gè)需要改革計(jì)算技術(shù)的時(shí)代里盡心盡力．正如他所說：“我總是盡量使自己的精力和才能去擺脫麻煩而單調(diào)的計(jì)算，因?yàn)檫@種令人厭煩的計(jì)算常使學(xué)習(xí)者望而生畏．”耐普爾一生先后為改進(jìn)計(jì)算得出了球面三角中的“耐普爾比擬式”、“耐普爾圓部法則”以及作乘除用的“耐普爾算籌”，而為制作對(duì)數(shù)表他花了整整20年時(shí)間．耐普爾原是蘇格蘭的貴族．生于蘇格蘭的愛丁堡，十二歲進(jìn)入圣安德541614年，耐普爾發(fā)表了他的《關(guān)于奇妙的對(duì)數(shù)表的說明》一書，書中不僅提出數(shù)學(xué)史上的第一張對(duì)數(shù)表（布爾基的對(duì)數(shù)表發(fā)表于1620年），而且闡述了這個(gè)發(fā)明的思想過程．他說：假定有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)P和Q，分別沿著線段AZ和射線A'Z'以同樣的初速運(yùn)動(dòng)，其中Q保持初速不變，而P作減速運(yùn)動(dòng)，其速度與這個(gè)點(diǎn)離Z的距離成正比，現(xiàn)在，如果當(dāng)P位于某點(diǎn)B時(shí)，Q位于B'，那么，A'B'就是BZ的對(duì)數(shù)！同樣的A'C'是CZ的對(duì)數(shù)，等等（圖1）．1614年，耐普爾發(fā)表了他的《關(guān)于奇妙的對(duì)數(shù)表的說明》一書，55建立了這個(gè)模型以后，耐普爾通過代入具體的數(shù)字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列數(shù)值為：建立了這個(gè)模型以后，耐普爾通過代入具體的數(shù)字得出BZ、CZ、56以及作為它們的對(duì)數(shù)的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列數(shù)值為：

1，2，3，4，5，…

顯然，這也是一組相互對(duì)應(yīng)的等比數(shù)列和等差數(shù)列，因此耐普爾實(shí)質(zhì)是把等差數(shù)列中的數(shù)定義為對(duì)應(yīng)的等比數(shù)列中的數(shù)的對(duì)數(shù)！這說明，耐普爾借助于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)建立