雪瑩圓錐曲線與向量綜合題

圓錐曲線與平面向量考綱透析考試大綱：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的概念，向量的坐標(biāo)運(yùn)算.圓錐曲線與平面向量的綜合.新題型分類例析1.中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為〔2，0〕，右頂點(diǎn)為〔1〕求雙曲線C的方程；〔2〕假設(shè)直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且〔其中O為原點(diǎn)〕.求k的取值范圍.解：〔Ⅰ〕設(shè)雙曲線方程為由得故雙曲線C的方程為〔Ⅱ〕將由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即①設(shè)，那么而于是②由①、②得故k的取值范圍為2..橢圓C：＋＝1〔a＞b＞0〕的左．右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ.〔Ⅰ〕證明：λ＝1－e2；〔Ⅱ〕確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.〔Ⅰ〕證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是〔〕.由即證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以即解得〔Ⅱ〕解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由得所以即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形.解法二：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，那么，由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得從而于是即當(dāng)時(shí)，△PF1F2為等腰三角形.3.設(shè)，為直角坐標(biāo)平面內(nèi)軸、軸正方向上的單位向量，假設(shè)，且.〔Ⅰ〕求點(diǎn)的軌跡C的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)A、B為軌跡C上的兩點(diǎn)，滿足，其中M〔0，〕，求線段AB的長(zhǎng).[啟思]4.橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線.〔Ⅰ〕求橢圓的離心率；〔Ⅱ〕設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.解：本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等根本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理的能力.總分值12分.〔1〕解：設(shè)橢圓方程為那么直線AB的方程為，代入，化簡(jiǎn)得.令A(yù)〔〕，B〕，那么由與共線，得又，即，所以，故離心率〔II〕證明：〔1〕知，所以橢圓可化為設(shè)，由得在橢圓上，即①由〔1〕知[變式新題型3]拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A(–1，0)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn).〔1〕求拋物線的方程；〔2〕假設(shè)?=0，求直線PQ的方程；〔3〕設(shè)=λ〔λ>1〕，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，證明：=-λ..6.在平面直角坐標(biāo)系中，向量，且.〔I〕設(shè)的取值范圍；〔II〕設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且取最小值時(shí)，求橢圓的方程.7.，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸，點(diǎn)在直線上，且滿足，，.〔Ⅰ〕當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；〔Ⅱ〕過(guò)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，又過(guò)、作軌跡的切線、，當(dāng)，求直線的方程.8.點(diǎn)C為圓的圓心，點(diǎn)A〔1，0〕，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且〔Ⅰ〕當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；〔Ⅱ〕假設(shè)直線與〔Ⅰ〕中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求△FOH的面積橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)直線：〔〕與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．10．如圖,過(guò)拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ，證明(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程是x—2y+12=0,過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程。10.平面上一定點(diǎn)和一定直線Ｐ為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作垂足為，.(1)問(wèn)點(diǎn)Ｐ在什么曲線上？并求出該曲線方程；點(diǎn)Ｏ是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)在點(diǎn)Ｐ的軌跡上，假設(shè)求的取值范圍．11.如圖，E、F為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，，且，·，〔G為動(dòng)點(diǎn)，P是HP和GF的交點(diǎn)〕〔1〕建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)的軌跡方程；〔2〕假設(shè)點(diǎn)的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、，且線段的中垂線與GFPHE〔或的延長(zhǎng)線〕相交于一點(diǎn)，那么＜〔為的中點(diǎn)〕．GFPHE12．動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；(2)是否存在直線，使過(guò)點(diǎn)〔0，1〕，并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？假設(shè)存在，求出直線的方程；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.13．假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足〔1〕求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方C的方程；〔2〕設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求Q到直線的距離的最小值.19．如圖，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=CBCBDA〔Ⅰ〕建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)點(diǎn)E滿足,是否存在斜率兩點(diǎn)，且，假設(shè)存在，求K的取值范圍；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。解〔1〕雙曲線實(shí)半軸a1=4，虛半軸b1=2，半焦距c1=，∴橢圓的長(zhǎng)半軸a2=c1=6，橢圓的半焦距c2=a1=4，橢圓的短半軸=，∴所求的橢圓方程為〔2〕由,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，那么由得那么，解之得，由于y>0，所以只能取，于是，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為9分〔3〕直線，設(shè)點(diǎn)M是，那么點(diǎn)M到直線AP的距離是，于是，又∵點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，即∴當(dāng)時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到的距離又∴當(dāng)時(shí)，d取最小值2．解：〔1〕由，得…………………3分∴夾角的取值范圍是〔〕………………6分〔2〕…………………………8分………………10分∴當(dāng)且僅當(dāng)或…………12分橢圓長(zhǎng)軸或故所求橢圓方程為.或…………14分解：〔Ⅰ〕∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，那么x1x2＋y1y2＝0，……1分又P、Q在拋物線上，∴y12＝2px1，y22＝2px2，∴eq\f(y12,2p)·\f(y22,2p)＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2，∴|y1y2|＝4p2，……3分又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1．……4分〔Ⅱ〕設(shè)E(a,0〕，直線PQ方程為x＝my＋a,聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\al\col(x＝my＋a,y2＝2px)),……5分消去x得y2－2pmy－2pa＝0,……6分∴y1y2＝－2pa,①……7分設(shè)F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：y1y3＝－2pb,②……8分由①、②可得eq\f(y3,y2)＝eq\f(b,a),③……9分假設(shè)eq\o(TR,\s\up6(→))＝3eq\o(TQ,\s\up6(→))，設(shè)T(c,0)，那么有(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0),∴y3＝3y2即eq\f(y3,y2)＝3,④……10分將④代入③，得b＝3a．……11分又由〔Ⅰ〕知，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0,∴y1y2＝－4p2，代入①，得－2pa＝－4p2∴a＝2p,……13分∴b＝6p,故，在x軸上，存在異于E的一點(diǎn)F(6p,0)，使得eq\o(TR,\s\up6(→))＝3eq\o(TQ,\s\up6(→))．………………14分注：假設(shè)設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b，不影響解答結(jié)果．〔Ⅰ〕解：設(shè)那么……………...2分由得，……………..4分又即，……………6分由得……………………..8分〔Ⅱ〕設(shè)，因?yàn)椋蕛汕芯€的斜率分別為、……………10分由方程組得………..12當(dāng)時(shí)，，，所以所以，直線的方程是…………解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：，--------2分∵，∴，-----------------------------------4分又得∴∴，-------------------------------6分∴所求橢圓C的方程為．------------------------------------------------7分(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知點(diǎn)A(－2,0)，點(diǎn)B為〔0，－1〕，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為那么，,由－4得－，∴點(diǎn)P的軌跡方程為------------------------------------9分設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為，那么由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，解得：，------------------------------11分∵點(diǎn)在橢圓上，∴，整理得解得或∴點(diǎn)P的軌跡方程為或，-------------------------------------------13分經(jīng)檢驗(yàn)和都符合題設(shè)，∴滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或．---解(Ⅰ)依題意,可設(shè)直線AB的方程為,代入拋物線方程得①設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是〔x1,y1〕、(x2,y2),那么x1、x2是方程①的兩根。所以由點(diǎn)P〔0，m〕分有向線段所成的比為，得，即又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的以稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是〔0，--m〕,從而=====0，所以(Ⅱ)由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是〔6，9〕、〔--4，4〕。由得，所以拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為。設(shè)圓C的方程是，那么解之得所以圓C的方程是，解:(1)由,得:,………〔2分〕設(shè),那么,化簡(jiǎn)得:,………〔4分〕點(diǎn)P在橢圓上,其方程為.………〔6分〕(2)設(shè)、，由得：，所以，、B、C三點(diǎn)共線.且,得:,即:…〔8分〕因?yàn)?所以①………〔9分〕又因?yàn)?所以②………〔10分〕由①-②得:,化簡(jiǎn)得:,………〔12分〕因?yàn)?所以.解得:所以的取值范圍為.解：〔1〕如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系。----------------------------------------1分由題設(shè)，∴，而-------------3分∴點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，故點(diǎn)的軌跡方程是：-----------------4分〔2〕如圖2，設(shè)，，，PBGEAHFOPBGEAHFOC圖2即又、在軌跡上，∴，即，---------------8分代入整理得：∵，∴．---------------------10分∵，，∴．