高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)等差等比數(shù)列

要點(diǎn)重溫之等差、等比數(shù)列1．公差不為0的等差數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)是公差；前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)是公差之半且常數(shù)項(xiàng)為0；即等差數(shù)列{}中，=+（為公差，∈），（∈）。證明某數(shù)列是等差（比）數(shù)列，通常利用等差（比）數(shù)列的定義加以證明，即證：an-an-1=常數(shù)(=常數(shù))（，也可以證明連續(xù)三項(xiàng)成等差（比）數(shù)列。[舉例]{}、{}都是各項(xiàng)為正的數(shù)列，對(duì)任意的，都有、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列.試問(wèn){}是否為等差數(shù)列，為什么？解析：由=得=，于是=（，又2=+，∴2=+（，即2=+（，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列。注意：當(dāng)用定義證明等差（比）數(shù)列受阻時(shí)，別忘了這“一招”！上述思路的關(guān)鍵是由“=”到“=（”的過(guò)渡，即所謂“升降標(biāo)”，這也是處理數(shù)列問(wèn)題的一個(gè)通法。[鞏固]已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則過(guò)兩點(diǎn)、的直線(xiàn)的斜率為：(A)4(B)3(C)2(D)1[遷移]公差非零的等差數(shù)列中，前n項(xiàng)之和為，則數(shù)列……中A．不存在等于零的項(xiàng)B．最多有一項(xiàng)等于零C．最多有2項(xiàng)等于零D．可有2項(xiàng)以上等于零2.等差數(shù)列{an}中，m+n=p+q，則am+an=ap+aq，等比數(shù)列{an}中，m+n=p+q，則aman=ap·aq（m、n、p、q∈）；等差（等比）數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì)。[舉例1]在等差數(shù)列中，為常數(shù)，則其前（）項(xiàng)和也為常數(shù)（A）6（B）7（C）11（D）12解析：等差數(shù)列的前k項(xiàng)和為常數(shù)即為常數(shù)，而=3為常數(shù)，∴2=為常數(shù)，即前11項(xiàng)和為常數(shù)，選C。注意：千萬(wàn)不要以為==，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了！所謂“下標(biāo)和相等則對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和相等”，是指兩項(xiàng)和等于兩項(xiàng)和，三項(xiàng)和等于三項(xiàng)和……。等差數(shù)列中“n項(xiàng)和”與“兩項(xiàng)和（轉(zhuǎn)化為a1+an）”有關(guān)，某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)和均需轉(zhuǎn)化為“兩項(xiàng)和”才能與“n項(xiàng)和”聯(lián)系起來(lái)。[舉例2]等比數(shù)列{}中，a4+a6=3，則a5（a3+2a5+a7）=解析：a5（a3+2a5+a7）=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a[鞏固]在正項(xiàng)的等差數(shù)列{}和正項(xiàng)的等比數(shù)列{}中，有，，試比較與的大小。[遷移]等比數(shù)列{}中，、是方程（）的兩根，則=若把條件中的“”換成“”呢？若把條件中的“、”換成“、”呢？[提高]在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)之和為,已知S5=25,Sn=64,Sn-5=9,則n=_____3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和、次n項(xiàng)和、再后n項(xiàng)和（即連續(xù)相等項(xiàng)的和）仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列前n項(xiàng)和（和不為0）、次n項(xiàng)和、再后n項(xiàng)和仍成等比數(shù)列。[舉例1]在等比數(shù)列中，S2=40，S4=60，則S6等于()A10B70C80D解析：在等比數(shù)列中，第一個(gè)兩項(xiàng)和為40，第二個(gè)兩項(xiàng)和為20（注意：S4是前4項(xiàng)和，不是兩項(xiàng)和），則第三個(gè)兩項(xiàng)和為10，S6為三個(gè)兩項(xiàng)和相加，選B。[舉例2]在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)之和為,已知S3=4，S18-S15=12，則S18=解析：在等差數(shù)列中，第一個(gè)三項(xiàng)和為4，第六個(gè)三項(xiàng)和為12，S18即首項(xiàng)為4，末項(xiàng)為12的等差數(shù)列的6項(xiàng)和，為48。[鞏固]在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,已知S5=2-b,S10=4-b,則S15=_________4.等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)a1>0且公差d<0，前n項(xiàng)和存在最大值。利用不等式組：確定n值，即可求得Sn的最大值。等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)a1<0且公差d>0時(shí)，前n項(xiàng)和存在最小值。類(lèi)似地確定n值，即可求得sn的最小值；也可視sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，通過(guò)配方求最值；還可以利用二次函數(shù)的圖象來(lái)求。[舉例]設(shè)等差數(shù)列滿(mǎn)足3a8=5a13，且a1>0，則的前__________項(xiàng)和最大解析：思路一：由3a8=5a13得：d=a1,若前n項(xiàng)和最大，則，又a1>0得：，∴n=20,即的前20項(xiàng)和最大。這一做法最通行。思路二：Sn=na1+n(n-1)d=na1-n(n-1)a1=-a1(n2-40n),當(dāng)且僅當(dāng)n=20時(shí)Sn最大。這一做法突顯了數(shù)列的函數(shù)特征。思路三：由3a8=5a13得15a8=25a13,即S15=S25,又∵a1>0，∴Sn的圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)上的點(diǎn)列，對(duì)稱(chēng)軸恰為n=20，故n=20時(shí)Sn最大。這一做法中幾乎沒(méi)有運(yùn)算，但設(shè)計(jì)太過(guò)“精妙”，非對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)融會(huì)貫通而不能為，僅供欣賞。[鞏固]數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且S5＜S6，S6=S7>S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是：A.d＜0B.a7=0C.S9>S5D.S6,S7均為的最大值（）[遷移]在等差數(shù)列則在前n項(xiàng)和Sn中最大的負(fù)數(shù)為 A．S16 B．S17 C．S18 D．S19（）5.注意：等比數(shù)列求和公式是一個(gè)分段函數(shù)na1(q=1)Sn=則涉及到等比數(shù)列求和時(shí)若公比不是具體數(shù)值須分類(lèi)討論解題。[舉例]已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，且S3，S9，S6成等差數(shù)列，求q3的值。解析：不可直接用等比數(shù)列的求和公式，需討論：若q=1，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1,則有：18a1=3a1+6a1,則a1=0,與是等比數(shù)列矛盾，∴q≠1，于是有：，化簡(jiǎn)得：，∴。本題還可以用：第一個(gè)三項(xiàng)和、第二個(gè)三項(xiàng)和、第三個(gè)三項(xiàng)和成等比數(shù)列解決，留讀者自己完成。[鞏固]已知an=1+r+r2+r3+…rn-1，則數(shù)列的前n項(xiàng)和=______________6.解等差（比）數(shù)列有關(guān)通項(xiàng)、求和問(wèn)題時(shí)別忘了“基本元”，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1，公差d（或公比q）的方程（組）或不等式（組）去處理。已知等差或等比數(shù)列中的任兩項(xiàng)也可用am-an=(m-n)d，或=qm-n。[舉例1]等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，若S3=9，S13=26求S23的值。解析：用求和公式解方程組，求出a1,d,再代入求和公式中求S23，這是通法。也可簡(jiǎn)化為：S3=3a2=9a2=3，S13=13a7=26a7=2,∴a12=1(a2、a7、a12成等差數(shù)列)，S23=23a12=23。[舉例2]已知等差數(shù)列{an}中，a3與a5的等差中項(xiàng)等于2，又a4與a6的等比中項(xiàng)等于6，則a10等于(A)54(B)50(C)26(D)16解析：a3與a5的等差中項(xiàng)等于2，即a4=2；a4與a6的等比中項(xiàng)等于6，即a6=18；于是2d=16,a10=a6+4d=50,選B。[鞏固]]已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1=120，公差d=－4，若Sn≤an(n>1)，則n的最小值為/r/