2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題線段和差最值問(wèn)題匯總-將軍飲馬問(wèn)題及其11種變形匯總

2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題線段和差最值問(wèn)題匯總——將軍飲馬專題古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題將軍飲馬"，“費(fèi)馬點(diǎn)r"胡不歸問(wèn)題"，“阿氏陰“等都運(yùn)用了化折為直的數(shù)學(xué)思想這類何題也是中考試題為中比較難的一類題目.常常出現(xiàn)在填空題斥紬題或解答題壓軸題中.那么如何破解這類壓軸題呢？【問(wèn)是磁】最短路徨何題是圖論研完中的一個(gè)經(jīng)典算法何題，旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的〉中浙結(jié)點(diǎn)之何的最短路徑.算法具體的形式包樣：定起點(diǎn)的最短箱徑何趕，即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最戰(zhàn)路徑的何趕.確定終點(diǎn)的呆短路徑問(wèn)題：與確定起點(diǎn)的問(wèn)題相反，該問(wèn)題是己知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的何題.定起點(diǎn)終點(diǎn)的用短路徑問(wèn)題：即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩緒點(diǎn)之間的最短路徑.4?全局最短路徑何題：求圖中所有的最短路徑.【剛WK型】“將軍飲馬”“造橋選址”【涉及知識(shí)】“兩點(diǎn)之間線段用短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“紬對(duì)稱”,“平移杪.【出JB1MU直線、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圈、坐標(biāo)軸、拋物線等.【解愿思路】“化曲為直”=兩定一動(dòng).偷過(guò)敵營(yíng).【問(wèn)題訂作袪作觀康理A■/5在直線I上求一點(diǎn)幾使連M,與/交點(diǎn)即為P.A*B兩點(diǎn)之阿銭段最短.最小值為.0?題型—事兩定動(dòng)，將軍飲［冋理21“將軍飲馬”馬.作法作圖）原理.%B1左點(diǎn)線1上求一點(diǎn)P.便E4FB值最小作0關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)r覽〃，與/交點(diǎn)即為p.A8,兩點(diǎn)之間線段最短.加PB最小值為A3

例b如閣，AM1EF.BNXEE?垂足為M、N.MN=12a,MI=Sm.BN=4m?P是EF上任總一點(diǎn).則pA+FB的帰小值是id.分析，這是凰基本的將軍飲馬問(wèn)趣?A,B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，屬F兩定一動(dòng)將軍飲馬空，根據(jù)常見(jiàn)的”定點(diǎn)定線作對(duì)稱”?可作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)從根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短?連接*B,此時(shí)AT4-PB即為AP,用短?而要求AB則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股進(jìn)理解決.作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)崖過(guò)點(diǎn)"作A'CIBN的延長(zhǎng)線于C?易知*VM=AU=NC=5m,BC=9n?A*C=M\=i2mf在RtAA'BC中."B=15dBUPA+PB的最小值是15m?A卜.BEy“PN上！A9C例2,如圖.在等1Z1AABC中.AB=6.AD丄BC,E是AC上的一點(diǎn)M是AD士的一點(diǎn).且AE=2＞求EM+EC的最小值解：點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P?連接BE,交AD于點(diǎn)則ME+MD?小.過(guò)點(diǎn)B作BH丄AC于點(diǎn)H,則EH=AH-AE=3-2：]?BH=°CH2=&2珞3不在克角ABHE申.BE-JBH2十HE2.*3\r(3))2+12.2&對(duì)應(yīng)繚習(xí)題1?如國(guó)?在1?如國(guó)?在△ABC中.AC=BC=2-ZACBWCr,D是BC邊的中點(diǎn)，E足AB邊上一動(dòng)點(diǎn)?則2在菱形ABCD中.對(duì)丹紐AC-6.BD-8,點(diǎn)艮F分別是邊AB、的中慮?點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中?存在PE+PF在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中?存在PE+PF的最小值?則這個(gè)晟小值是3?如圖?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3.y）當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最短時(shí)求y的值.A03aOQ(-BD2D0aE在止方形ABCD內(nèi)?在對(duì)角線4?如亂正方形ABCD的面枳是E在止方形ABCD內(nèi)?在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)化則PMPEAC上有一點(diǎn)化則PMPE的最小值為J1型三，兩動(dòng)一定，無(wú)路可逃.KM31作法作冬原理A在直線11、12上分別求點(diǎn)M、N,使APMV的周長(zhǎng)最小.分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線時(shí)対為直?-和p",trr\與兩宜踐交點(diǎn)卽為MN.&嚴(yán)兩點(diǎn)之間綻段最短.的最小值為線段P0'的長(zhǎng).例1:P為OOB內(nèi)一址點(diǎn).N分別為射線0A-0B上一點(diǎn)，當(dāng)APMN同長(zhǎng)瑕小時(shí).厶恥=80??<1)ZAOB=?V2)求證：0P平分乙MP、t#r：這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬何題，我們應(yīng)該先將\l，N的位置找到?再來(lái)思瘠zAOB的度數(shù)，顯然作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)巴關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)廠?連接FT,其與0A交點(diǎn)即為松0B交點(diǎn)即為M如下圖?易知zDPC與JOB互補(bǔ)，則求出厶DPC的度數(shù)即可.解岳(1)法X如國(guó).zl+z2=100\zi=zr+z3=2zS,z2=zr#+z4=2z4?則考慮到第二小問(wèn)要證明OP平分dIPX我們就連接OP?則要證Z5=￡6?顯然很困難，這時(shí)備考老到對(duì)稱性，我們?cè)龠B接0尸0嚴(yán).則乙5=Z7-乙6=乙8,問(wèn)題迎刃而解.解答；法2?易知0尸=0廠.z7+z8=r5+z6=80\乙P'O嚴(yán)二100-?由對(duì)稱性知.乙9=乙11.乙10=乙12.zAOB=w9+e?10=0(T由0卩=0円，少0嚴(yán)=100知.z7=z8=40e.z5=z6=W>0卩平分z\(PN.

例2*如圖.在五邊形ABCDE中.厶BAE=136?.zJ}=ziE=90\在BC、DE上分別找一點(diǎn)MsN使得eAMN的周反雖小時(shí)?則十乙ANM的度敖為分析7這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題必然足作A點(diǎn)關(guān)于BC、DE的對(duì)稱點(diǎn)A，、.V,連接A-A\與BC.DE的交點(diǎn)即為從如周長(zhǎng)最小時(shí)M、N的位宜.解答：如圖，vW\E=136*,???△TA+AA"A=4「由對(duì)稱性知rZMAXZMA'A.AAT=WZJW+zANM=24YA+2z\A"A=8&對(duì)應(yīng)煤習(xí)息若厶PQR周長(zhǎng)晟小?則懇小周&是蘇少？1如圖.ZAOB=30-■ZAOB內(nèi)有一定點(diǎn)P.且0P=10-在0A上有一點(diǎn)Q?0B上有一點(diǎn)R.

2如國(guó)6,當(dāng)AAMBM（的點(diǎn)長(zhǎng)最小值射線OA、0B上的動(dòng)點(diǎn)?OP平分NAOB.且3?如圖?NMO\TO?尸為ZMOF內(nèi)一定點(diǎn)，A為0\1上的點(diǎn)?B為ON上的點(diǎn).當(dāng)APAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)'（1）找到A、B點(diǎn)，保留作圖痕跡；（2）求此時(shí)ZAPB等于多少度。如果NM0N=4?ZAPB又尊于多少度24點(diǎn)C為ZAOB內(nèi)一點(diǎn).（1）在0A求作點(diǎn)D.08上求作點(diǎn)i…CDE的用長(zhǎng)雖小.諸田出圖丿険V2）在（1）的條件下?若ZA0B=3Q9■OC=10，求HDE周長(zhǎng)的廉小值和此時(shí)ZDCF的度敵四v兩定兩動(dòng)?雙雙落網(wǎng).

的周長(zhǎng)最作法為原理在宜線h、的周長(zhǎng)最作法為原理在宜線h、h上分別求點(diǎn)M■N使四邊形P0MV的周長(zhǎng)最小.分別作點(diǎn)Q、P關(guān)于直線h、h的對(duì)稱點(diǎn)Q*和P連Qt