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2018二次函數(shù)壓軸題題型歸納一、二次函數(shù)??键c(diǎn)匯總1、兩點(diǎn)間的距離公式:AB=J(y_y》+(x_x》ABAB2、中點(diǎn)坐標(biāo):線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為:XA+XB,yA+yBTOC\o"1-5"\h\zI22丿直線y=kx+b(k豐0)與y=kx+b(k豐0)的位置關(guān)系:111222(1)兩直線平行ok=k且b豐b(2)兩直線相交ok豐k121212(3)兩直線重合ok=k且b=b(4)兩直線垂直okk=-11212123、一元二次方程有整數(shù)根問題,解題步驟如下:用A和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍;解方程,求出方程的根;(兩種形式:分式、二次根式)分析求解:若是分式,分母是分子的因數(shù);若是二次根式,被開方式是完全平方式。例:關(guān)于x的一元二次方程x2—2(m+l)x+m2=0有兩個(gè)整數(shù)根,mV5且m為整數(shù),求m的值。4、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題。(方法同上)例:若拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn),且m為正整數(shù),試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題,可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下:已知關(guān)于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0(m為實(shí)數(shù)),求證:無論m為何值,方程總有一個(gè)固定的根。解:當(dāng)m=0時(shí),x=1;當(dāng)m豐0時(shí),A=(m-3)2>0,x=3"-"±'A,x=2--、x=1;2m1m2綜上所述:無論m為何值,方程總有一個(gè)固定的根是1。6、函數(shù)過固定點(diǎn)問題,舉例如下:已知拋物線y=x2-mx+m-2(m是常數(shù)),求證:不論m為何值,該拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn),并求出固定點(diǎn)的坐標(biāo)。解:把原解析式變形為關(guān)于m的方程y-x2+2=mG-x);???|y-竝+2=0,解得:;y=-1;???拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)(1,—1)。[1-x=0[x=1(題目要求等價(jià)于:關(guān)于m的方程y-x2+2=m(1-x)不論m為何值,方程恒成立)

小結(jié):關(guān)于X的方程ax二b有無數(shù)解oJa=0b=07、路徑最值問題(待定的點(diǎn)所在的直線就是對稱軸)如圖,直線l、l,點(diǎn)A在l上,分別在l、l上確定兩點(diǎn)M、N,使得AM+MN之和最12212小。(2)如圖,直線l、1l相交,兩個(gè)固定點(diǎn)A、B,分別在l、l上確定兩點(diǎn)(2)如圖,直線l、1212BM+MN+AN之和最小。8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法:直接用公式、割補(bǔ)法三角形的面積求解常用方法:如上圖,S=1/2?PM?Ax△PAB=1/2?AN?Ay9、函數(shù)的交點(diǎn)問題:二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)與一次函數(shù)(解方程組J尸處2+bx+c可求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)。[y=kx+h解方程組Jy=ax2+bx+c即ax2+(b—k)x+c~h=0,通過A可判斷兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)y=kx+h有兩個(gè)交點(diǎn)OA>0僅有一個(gè)交點(diǎn)OA二0沒有交點(diǎn)OAV010、方程法設(shè):設(shè)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長度表示:用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時(shí),利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的圖形平移l〃lok=k、k=yi-y21212X一X12平行四邊形矩形梯形跟直角有關(guān)的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補(bǔ)等直角三角形直角梯形矩形AB=Q(y—y)2+G—x)2ABAB跟線段有關(guān)的圖形利用幾何中的全等、中垂線的性質(zhì)等。等腰三角形全等等腰梯形AB=Q(y—y)2+(x一x)2VABAB跟角有關(guān)的圖形利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補(bǔ)等

【例題精講】一基礎(chǔ)構(gòu)圖:y=x22x3(以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個(gè))★和最小,差最大1在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得PB+PC的和最小,求出P點(diǎn)坐標(biāo)2在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得PB-PC的差最大,求出P點(diǎn)坐標(biāo)★討論直角三角連接AC,在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得ACP為直角三角形,求出P坐標(biāo)或者在拋物線上求點(diǎn)匕使厶ACP是以AC為直角邊的直角三角形.★討論等腰三角連接AC,在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得ACP為等腰三角形,求出P坐標(biāo)★討論平行四邊形1、點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上,點(diǎn)F在拋物線上,且以BA,F(xiàn),E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)F的坐標(biāo)二綜合題型例1(中考變式)如圖,拋物線例1(中考變式)如圖,拋物線y=一x2+bx+c與x軸交與A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),頂點(diǎn)為D。若E為拋物線若E為拋物線B、C兩點(diǎn)間圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),過E作EF與X軸垂直交BC于F,設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x?EF的長度為L,求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式?關(guān)寫出X的取值范圍?當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),線段EF的值最大,并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)?⑸在(5)的情況下點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),使三角形BCE的面積最大?1)2)3)1)2)3)例2考點(diǎn):關(guān)于面積最值如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(一1,0)、(0,—石),點(diǎn)B在x軸上.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),且它的對稱軸為直線x=1,點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與B、C不重合),過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F.求該二次函數(shù)的解析式;若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,試用含m的代數(shù)式表示線段PF的長;求厶PBC面積的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).例3考點(diǎn):討論等腰如圖,已知拋物線y=1x2+bx+c與y軸相交于C,與x軸相交于A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),2點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,一1).(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作DE丄x軸于點(diǎn)D,連結(jié)DC,當(dāng)△DCE的面積最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)在直線BC上是否存在一點(diǎn)卩,使厶ACP為等腰三角形,若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,

例4考點(diǎn):討論直角三角⑴如圖,已知點(diǎn)A(—1,0)和點(diǎn)B例4考點(diǎn):討論直角三角⑴如圖,已知點(diǎn)A(—1,0)和點(diǎn)B(1,2),在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形,則滿足這樣條件的點(diǎn)P共有((A)2個(gè)(B)4個(gè)(C)6個(gè)(D)7個(gè)⑵已知:如圖一次函數(shù)匸i屮的圖象與汀由交于點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)B二次函數(shù)gIx2+b+的圖象與一次函數(shù)A1屮的圖象交于B、C兩點(diǎn),與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)1)求二次函數(shù)的解析式;求四邊形BDEC的面積S;在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得APBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出所有的點(diǎn)P,若不存在,請說明理由.例5考點(diǎn):討論四邊形已知:如圖所示,關(guān)于x的拋物線y=ax2+x+c(aH0)與x軸交于點(diǎn)A(—2,0),點(diǎn)B(6,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求出此拋物線的解析式,并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)在拋物線上有一點(diǎn)D,使四邊形ABDC為等腰梯形,寫出點(diǎn)D的坐標(biāo),求出直線AD的解析式;(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q.是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形?如果存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,綜合練習(xí):1、平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2-4ax+4a+c與X軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),OB=OC,拋物線的頂點(diǎn)為D。求此拋物線的解析式;若此拋物線的對稱軸上的點(diǎn)P滿足ZAPB^ZACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);Q為線段BD上一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于ZAQB的平分線的對稱點(diǎn)為A,,若qa—qb=込,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)厶QAA的面積。|2、|在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖像與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(—3,0)。求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),若直線0M把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩部分,求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),問:點(diǎn)P在何處時(shí)厶CPB的面積最大?最大面積是多少?并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。23、如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=—x2-2x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B,且

m對稱軸與x軸交于點(diǎn)C。(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);(2)D為OB中點(diǎn),直線AD交y軸于E,若E(0,2),求拋物線的解析式;(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M在直線OB上,且使得AAMC的周長最小,P在拋物線上,Q在直4、已知關(guān)于x的方程(1-m)x2+(4-m)x+3=0。(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍;(2)若正整數(shù)m滿足8-2m>2,設(shè)二次函數(shù)y=(1-m)x2+(4-m)x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個(gè)新的圖象;請你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答:當(dāng)直線y=kx+3與此圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求出k的值(只需要求出兩個(gè)滿足題意的k值即可)。5如圖,拋物線y二ax2+2ax+c(aHO)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A(-4,0)和B.求該拋物線的解析式;點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作QE〃AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)厶CEQ的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,0).問是否有直線1,使AODF是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于某定點(diǎn)的兩側(cè)例1.已知二次函數(shù)y=x2+(m—l)x+m—2的圖象與x軸相交于A(x,0),B(x,0)兩點(diǎn),且12xVx.若xxV0,且m為正整數(shù),求該二次函數(shù)的表達(dá)式;12若xV1,x>1,求m的取值范圍;是否存在實(shí)數(shù)m,使得過A、B兩點(diǎn)的圓與y軸相切于點(diǎn)C(0,2),若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由;若過點(diǎn)D(0,*)的直線與(1)中的二次函數(shù)圖象相交于M、N兩點(diǎn),且-DjN=y,求該直線的表達(dá)式.題型二、拋物線與X軸兩交點(diǎn)之間的距離問題例2已知二次函數(shù)y二x2+mx+m-5,求證:不論m取何值時(shí),拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);求當(dāng)m取何值時(shí),拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題例1.已知拋物線y=x2-2(m+1)x+m2=0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且mV5,則整數(shù)m的值為例2.已知二次函數(shù)y=x2—2mx+4m—8.當(dāng)xW2時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而減小,求m的取值范圍;以拋物線y=x2—2mx+4m—8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正AAMN(M,N兩點(diǎn)在拋物線上),請問:△AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎?若是,請求出這個(gè)定值;若不是,請說明理由;若拋物線y=x2—2mx+4m—8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),求整數(shù)m的值.題型四、拋物線與對稱,包括:點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例1.已知拋物線y=X2+bx+c(其中b>0,cHO)與y軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為B(m,n),且AB=2.(1)求m,b的值如果拋物線的頂點(diǎn)位于x軸的下方,且BO=vi0。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(友情提醒:請畫圖思考)題型五、拋物線中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用(線段長、定點(diǎn)兩側(cè)、點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱、等等)例1.已知:二次函數(shù)y=x2-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A(x,0)、B(x,0)(xV121x),其頂點(diǎn)是點(diǎn)C,對稱軸與x軸的交于點(diǎn)D.2求實(shí)數(shù)m的取值范圍;如果(x+1)(x+1)=8,求二次函數(shù)的解析式;12把(2)中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下平移,如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A、1B,頂點(diǎn)為點(diǎn)C1,且△ABC是等邊三角形,求平移后所得圖象的函數(shù)解析式.1111綜合提升已知二次函數(shù)的圖象與X軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),且|AB|=2、.../3,圖象的對稱軸為x=1.求二次函數(shù)的表達(dá)式;若二次函數(shù)的圖象都在直線y=x+m的下方,求m的取值范圍.已知二次函數(shù)y=—x2+mx—m+2.若該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè),并且AB=,./5,求m的值;設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C,二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M、N,且沐戸27,求m的值.已知關(guān)于x的一元二次方程x2—2(k+1)x+k2=0有兩個(gè)整數(shù)根,kV5且k為整數(shù).求k的值;當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2—2(k+1)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位,求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式;根據(jù)直線y=x+b與(2)中的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的總個(gè)數(shù),求b的取值范圍.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(2,1),且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m.若m為定值,求此二次函數(shù)的解析式;若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點(diǎn)A的另一個(gè)交點(diǎn),求m的取值范圍;若二次函數(shù)的圖象截直線y=—x+1所得線段的長為2、目,求m的值.四、中考二次函數(shù)定值問題1.如圖,已知二次函數(shù)L:y=X2-4x+3與x軸交于A.B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊),與y軸交于點(diǎn)1C.寫出二次函數(shù)L的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);1研究二次函數(shù)L:y=kx2-4kx+3k(kH0).2寫出二次函數(shù)L與二次函數(shù)L有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì);21若直線y=8k與拋物線L交于E、F兩點(diǎn),問線段EF的長度是否發(fā)生變化?如果不會,請求出2EF的長度;如果會,請說明理由.2?如圖,已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于/r

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