2018年度二次函數(shù)壓軸題題型歸納

2018二次函數(shù)壓軸題題型歸納一、二次函數(shù)?？键c(diǎn)匯總1、兩點(diǎn)間的距離公式：AB=J（y_y》+（x_x》ABAB2、中點(diǎn)坐標(biāo)：線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為：XA+XB,yA+yBTOC\o"1-5"\h\zI22丿直線y=kx+b（k豐0）與y=kx+b（k豐0）的位置關(guān)系：111222（1）兩直線平行ok=k且b豐b（2）兩直線相交ok豐k121212（3）兩直線重合ok=k且b=b（4）兩直線垂直okk=-11212123、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下：用A和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍；解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于x的一元二次方程x2—2（m+l）x+m2=0有兩個(gè)整數(shù)根，mV5且m為整數(shù)，求m的值。4、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題。（方法同上）例：若拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0（m為實(shí)數(shù)），求證：無論m為何值，方程總有一個(gè)固定的根。解：當(dāng)m=0時(shí)，x=1；當(dāng)m豐0時(shí)，A=（m-3）2>0,x=3"-"±'A,x=2--、x=1；2m1m2綜上所述：無論m為何值，方程總有一個(gè)固定的根是1。6、函數(shù)過固定點(diǎn)問題，舉例如下：已知拋物線y=x2-mx+m-2（m是常數(shù)），求證：不論m為何值，該拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，并求出固定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于m的方程y-x2+2=mG-x）；???|y-竝+2=0，解得：；y=-1;???拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（1,—1）。[1-x=0[x=1（題目要求等價(jià)于：關(guān)于m的方程y-x2+2=m（1-x）不論m為何值，方程恒成立）

小結(jié)：關(guān)于X的方程ax二b有無數(shù)解oJa=0b=07、路徑最值問題(待定的點(diǎn)所在的直線就是對稱軸)如圖，直線l、l，點(diǎn)A在l上，分別在l、l上確定兩點(diǎn)M、N，使得AM+MN之和最12212小。(2)如圖，直線l、1l相交，兩個(gè)固定點(diǎn)A、B，分別在l、l上確定兩點(diǎn)(2)如圖，直線l、1212BM+MN+AN之和最小。8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直接用公式、割補(bǔ)法三角形的面積求解常用方法：如上圖，S=1/2?PM?Ax△PAB=1/2?AN?Ay9、函數(shù)的交點(diǎn)問題：二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)與一次函數(shù)(解方程組J尸處2+bx+c可求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)。[y=kx+h解方程組Jy=ax2+bx+c即ax2+(b—k)x+c~h=0，通過A可判斷兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)y=kx+h有兩個(gè)交點(diǎn)OA>0僅有一個(gè)交點(diǎn)OA二0沒有交點(diǎn)OAV010、方程法設(shè)：設(shè)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長度表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時(shí)，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的圖形平移l〃lok=k、k=yi-y21212X一X12平行四邊形矩形梯形跟直角有關(guān)的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補(bǔ)等直角三角形直角梯形矩形AB=Q（y—y）2+G—x）2ABAB跟線段有關(guān)的圖形利用幾何中的全等、中垂線的性質(zhì)等。等腰三角形全等等腰梯形AB=Q（y—y）2+（x一x）2VABAB跟角有關(guān)的圖形利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補(bǔ)等

【例題精講】一基礎(chǔ)構(gòu)圖：y=x22x3（以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個(gè)）★和最小，差最大1在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得PB+PC的和最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo)2在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得PB-PC的差最大，求出P點(diǎn)坐標(biāo)★討論直角三角連接AC,在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得ACP為直角三角形，求出P坐標(biāo)或者在拋物線上求點(diǎn)匕使厶ACP是以AC為直角邊的直角三角形.★討論等腰三角連接AC，在對稱軸上找一點(diǎn)P，使得ACP為等腰三角形，求出P坐標(biāo)★討論平行四邊形1、點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)F在拋物線上,且以BA，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)二綜合題型例1(中考變式)如圖，拋物線例1(中考變式)如圖，拋物線y=一x2+bx+c與x軸交與A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),頂點(diǎn)為D。若E為拋物線若E為拋物線B、C兩點(diǎn)間圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，過E作EF與X軸垂直交BC于F,設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x?EF的長度為L,求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X的取值范圍？當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段EF的值最大，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)?⑸在(5)的情況下點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使三角形BCE的面積最大?1）2）3）1）2）3）例2考點(diǎn)：關(guān)于面積最值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（一1,0）、（0,—石），點(diǎn)B在x軸上.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且它的對稱軸為直線x=1,點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F.求該二次函數(shù)的解析式；若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,試用含m的代數(shù)式表示線段PF的長;求厶PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).例3考點(diǎn)：討論等腰如圖，已知拋物線y=1x2+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），2點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，一1）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE丄x軸于點(diǎn)D,連結(jié)DC，當(dāng)△DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)卩，使厶ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在,

例4考點(diǎn)：討論直角三角⑴如圖，已知點(diǎn)A(—1,0)和點(diǎn)B例4考點(diǎn)：討論直角三角⑴如圖，已知點(diǎn)A(—1,0)和點(diǎn)B(1,2)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點(diǎn)P共有((A)2個(gè)(B)4個(gè)(C)6個(gè)(D)7個(gè)⑵已知：如圖一次函數(shù)匸i屮的圖象與汀由交于點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)B二次函數(shù)gIx2+b+的圖象與一次函數(shù)A1屮的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)1)求二次函數(shù)的解析式；求四邊形BDEC的面積S；在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得APBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請說明理由.例5考點(diǎn)：討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線y=ax2+x+c(aH0)與x軸交于點(diǎn)A(—2，0)，點(diǎn)B(6,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在拋物線上有一點(diǎn)D,使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出直線AD的解析式;(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q.是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，綜合練習(xí)：1、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-4ax+4a+c與X軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D。求此拋物線的解析式；若此拋物線的對稱軸上的點(diǎn)P滿足ZAPB^ZACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于ZAQB的平分線的對稱點(diǎn)為A，，若qa—qb=込，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)厶QAA的面積。|2、|在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖像與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(—3,0)。求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線0M把四邊形ACDB分成面積為1：2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)P在何處時(shí)厶CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。23、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=—x2-2x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，且

m對稱軸與x軸交于點(diǎn)C。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）D為OB中點(diǎn)，直線AD交y軸于E，若E（0，2），求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線OB上，且使得AAMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直4、已知關(guān)于x的方程（1-m）x2+（4-m）x+3=0。（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若正整數(shù)m滿足8-2m>2，設(shè)二次函數(shù)y=（1-m）x2+（4-m）x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象；請你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=kx+3與此圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求出k的值（只需要求出兩個(gè)滿足題意的k值即可）。5如圖，拋物線y二ax2+2ax+c(aHO)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A(-4,0)和B.求該拋物線的解析式；點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE〃AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)厶CEQ的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,0).問是否有直線1,使AODF是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于某定點(diǎn)的兩側(cè)例1.已知二次函數(shù)y=x2+(m—l)x+m—2的圖象與x軸相交于A(x,0),B(x,0)兩點(diǎn)，且12xVx.若xxV0,且m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；12若xV1,x>1,求m的取值范圍；是否存在實(shí)數(shù)m,使得過A、B兩點(diǎn)的圓與y軸相切于點(diǎn)C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；若過點(diǎn)D(0,*)的直線與(1)中的二次函數(shù)圖象相交于M、N兩點(diǎn)，且-DjN=y，求該直線的表達(dá)式.題型二、拋物線與X軸兩交點(diǎn)之間的距離問題例2已知二次函數(shù)y二x2+mx+m-5,求證：不論m取何值時(shí)，拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；求當(dāng)m取何值時(shí)，拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題例1.已知拋物線y=x2-2(m+1)x+m2=0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且mV5,則整數(shù)m的值為例2.已知二次函數(shù)y=x2—2mx+4m—8.當(dāng)xW2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；以拋物線y=x2—2mx+4m—8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正AAMN(M，N兩點(diǎn)在拋物線上)，請問：△AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由；若拋物線y=x2—2mx+4m—8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的值.題型四、拋物線與對稱，包括：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例1.已知拋物線y=X2+bx+c(其中b>0,cHO)與y軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值如果拋物線的頂點(diǎn)位于x軸的下方，且BO=vi0。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(友情提醒：請畫圖思考)題型五、拋物線中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用(線段長、定點(diǎn)兩側(cè)、點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱、等等)例1.已知：二次函數(shù)y=x2-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A(x,0)、B(x,0)(xV121x),其頂點(diǎn)是點(diǎn)C,對稱軸與x軸的交于點(diǎn)D.2求實(shí)數(shù)m的取值范圍；如果(x+1)(x+1)=8,求二次函數(shù)的解析式；12把(2)中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A、1B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C1，且△ABC是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式.1111綜合提升已知二次函數(shù)的圖象與X軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,4),且|AB|=2、.../3，圖象的對稱軸為x=1.求二次函數(shù)的表達(dá)式；若二次函數(shù)的圖象都在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍.已知二次函數(shù)y=—x2+mx—m+2.若該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB=,./5，求m的值；設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C,二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M、N,且沐戸27，求m的值.已知關(guān)于x的一元二次方程x2—2(k+1)x+k2=0有兩個(gè)整數(shù)根，kV5且k為整數(shù).求k的值；當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2—2(k+1)x+k2的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；根據(jù)直線y=x+b與(2)中的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求b的取值范圍.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(2,1)，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m.若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點(diǎn)A的另一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；若二次函數(shù)的圖象截直線y=—x+1所得線段的長為2、目，求m的值.四、中考二次函數(shù)定值問題1.如圖，已知二次函數(shù)L：y=X2-4x+3與x軸交于A.B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，與y軸交于點(diǎn)1C.寫出二次函數(shù)L的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；1研究二次函數(shù)L：y=kx2-4kx+3k(kH0).2寫出二次函數(shù)L與二次函數(shù)L有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；21若直線y=8k與拋物線L交于E、F兩點(diǎn)，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出2EF的長度；如果會，請說明理由.2?如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于/r