2023屆山東省恒臺(tái)第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末綜合測(cè)試試題含解析_第1頁(yè)
2023屆山東省恒臺(tái)第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末綜合測(cè)試試題含解析_第2頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種2.是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓上的一點(diǎn),則最小值是()A. B. C. D.3.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱軸是③的一個(gè)對(duì)稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.45.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值6.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.7.曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.18.如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.9.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.10.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B.2 C.3 D.11.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.2912.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等邊的邊長(zhǎng)為2,則在方向上的投影為_(kāi)_______.14.甲,乙兩隊(duì)參加關(guān)于“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,甲隊(duì)有編號(hào)為1,2,3的三名運(yùn)動(dòng)員,乙隊(duì)有編號(hào)為1,2,3,4的四名運(yùn)動(dòng)員,若兩隊(duì)各出一名隊(duì)員進(jìn)行比賽,則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為_(kāi)_____.15.已知是同一球面上的四個(gè)點(diǎn),其中平面,是正三角形,,則該球的表面積為_(kāi)_____.16.若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,并且.(1)已知_______________,計(jì)算的面積;請(qǐng)①,②,③這三個(gè)條件中任選兩個(gè),將問(wèn)題(1)補(bǔ)充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計(jì)分.(2)求的最大值.18.(12分)2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年,是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際,學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率;(2)若甲同學(xué)答對(duì)每道A類題的概率都是,答對(duì)每道B類題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并指出其形狀;(2)曲線與曲線交于,兩點(diǎn),若,求的值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,為棱的中點(diǎn),為棱上任意一點(diǎn),且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合..(1)求證:平面平面;(2)是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)已知a>0,證明:1.22.(10分)為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市,分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)(以下簡(jiǎn)稱外賣甲、外賣乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖,外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表,如下圖表所示.訂單:(單位:萬(wàn)件)頻數(shù)1223訂單:(單位:萬(wàn)件)頻數(shù)402020102(1)現(xiàn)規(guī)定,月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市”,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣甲外賣乙總計(jì)(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,外賣甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)(單位:萬(wàn)件)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),的值已求出,約為3.64,現(xiàn)把頻率視為概率,解決下列問(wèn)題:①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市,記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個(gè)數(shù),求的數(shù)學(xué)期望;②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣,搶紅包”的營(yíng)銷活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī),據(jù)統(tǒng)計(jì),開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平,現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng),若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤(rùn)5元,但每件外賣平均需送出紅包2元,則外賣甲在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元?附:①參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,則,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值,由此可得出,即可得解.【詳解】如下圖所示:設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),則,整理得,解得,即點(diǎn),所以,圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng)時(shí),取最小值,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算,同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.3、B【解析】

由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)?,且.,解得.是的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.5、D【解析】

A.通過(guò)線面的垂直關(guān)系可證真假;B.根據(jù)線面平行可證真假;C.根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的公式可證真假;D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A.因?yàn)椋云矫?,又因?yàn)槠矫?,所以,故正確;B.因?yàn)?,所以,且平面,平面,所以平面,故正確;C.因?yàn)闉槎ㄖ担狡矫娴木嚯x為,所以為定值,故正確;D.當(dāng),,取為,如下圖所示:因?yàn)?,所以異面直線所成角為,且,當(dāng),,取為,如下圖所示:因?yàn)?,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以異面直線所成角為,且,由此可知:異面直線所成角不是定值,故錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用,涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計(jì)算,難度較難.注意求解異面直線所成角時(shí),將直線平移至同一平面內(nèi).6、A【解析】

由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都用表示出來(lái),從而再由勾股定理建立的關(guān)系.7、A【解析】

根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,所以上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值,考查計(jì)算能力.8、C【解析】

畫出圖形,以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題(1)只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無(wú)窮多組,在解決具體問(wèn)題時(shí),合理選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.9、B【解析】

基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時(shí),,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.11、D【解析】

由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.12、A【解析】

求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此截距有正有負(fù),本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

建立直角坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意可知:,,,則:,,且,,據(jù)此可知在方向上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,向量投影的定義與計(jì)算等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解析】

出場(chǎng)運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件顯然有3種,計(jì)算出總的基本事件數(shù),由古典概型概率計(jì)算公式求得答案.【詳解】甲隊(duì)有編號(hào)為1,2,3的三名運(yùn)動(dòng)員,乙隊(duì)有編號(hào)為1,2,3,4的四名運(yùn)動(dòng)員,出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件數(shù)為3,出現(xiàn)的基本事件總數(shù),則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求古典概率的概率問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

求得等邊三角形的外接圓半徑,利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑,進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是等邊三角形的外心,則球心在其正上方處.設(shè),由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑,所以外接球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將不等式去掉對(duì)數(shù)符號(hào),再依據(jù)分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問(wèn)題,進(jìn)而求得的取值范圍?!驹斀狻坑傻茫瑑蛇呁?,得到,,,設(shè),,由函數(shù)在上遞減,所以,故實(shí)數(shù)的取值范圍是?!军c(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立問(wèn)題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)1【解析】

(1)選②,③.可得,結(jié)合,求得.即可;若選①,②.由可得由,求得.即可;若選①,③,可得,又,可得,即可;(2)化簡(jiǎn),根據(jù)角的范圍求最值即可.【詳解】(1)若選②,③.,,,,又,.的面積.若選①,②.由可得,,,又,.的面積.若選①,③,,又,,可得,的面積.(2),當(dāng)時(shí),有最大值1.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理,三角三角恒等變形,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)分布列見(jiàn)解析,期望為.【解析】

(1)甲同學(xué)至少抽到2道B類題包含兩個(gè)事件:一個(gè)抽到2道B類題,一個(gè)是抽到3個(gè)B類題,計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率;(2)的所有可能值分別為,依次計(jì)算概率得分布列,再由期望公式計(jì)算期望.【詳解】(1)令“甲同學(xué)至少抽到2道B類題”為事件,則抽到2道類題有種取法,抽到3道類題有種取法,∴;(2)的所有可能值分別為,,,,,∴的分布列為:0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式.19、(1),以為圓心,為半徑的圓;(2)【解析】

(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,直接得到的直角坐標(biāo)方程并判斷形狀;(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義結(jié)合求解出的值.【詳解】解:(1)由,得,所以,即,.所以曲線是以為圓心,為半徑的圓.(2)將代入,整理得.設(shè)點(diǎn),所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,則,.,解得,則.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及根據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義求值,難度一般.(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式:;(2)若要使用直線參數(shù)方程中的幾何意義,要注意將直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入到對(duì)應(yīng)曲線的直角坐標(biāo)方程中,構(gòu)成關(guān)于的一元二次方程并結(jié)合韋達(dá)定理形式進(jìn)行分析求解.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)存在,為中點(diǎn)【解析】

(1)證明面,即證明平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得,解得,所以為中點(diǎn).【詳解】(1)由于為中點(diǎn),.又,故,所以為直角三角形且,即.又因?yàn)槊?,面面,面面,故面,又面,所以面面.?)由(1)知面,又四邊形為矩形,則兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則有,令,則,則平面的一個(gè)法向量為,同理可得平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面與平面所成角為,則由題意可得,解得,所以點(diǎn)為中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查空間二面角的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21、證明見(jiàn)解析【解析】

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