格林函數(shù)法公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

拉普拉斯方程格林函數(shù)法4.1拉普拉斯方程邊值問(wèn)題提法設(shè)滿(mǎn)足拉普拉斯方程描述穩(wěn)恒狀態(tài)下物理過(guò)程。通常表示成不存在初始條件.拉普拉斯方程解稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)1）第一邊值問(wèn)題狄利克雷(Direchlet)問(wèn)題邊界條件:2)第二邊值問(wèn)題紐曼(Neumann)問(wèn)題4.2格林公式高斯公式：設(shè)是以光滑曲面為邊界有界區(qū)域，，，在閉域上連續(xù),在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中為外法向量。高斯公式可簡(jiǎn)記為設(shè)滿(mǎn)足令則將代入高斯公式，等式右端等式左端

所以

第一格林公式交換位置,有兩式相減,得

第二格林公式1)牛曼內(nèi)問(wèn)題有解必要條件設(shè)是在以為邊界區(qū)域內(nèi)調(diào)和函數(shù),在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在第二格林公式中取為上述調(diào)和函數(shù),,則有.所以牛曼內(nèi)問(wèn)題()有解必要條件為函數(shù)滿(mǎn)足實(shí)際上,這也是牛曼內(nèi)問(wèn)題有解充分條件.2)拉普拉斯方程解唯一性問(wèn)題設(shè)是定解問(wèn)題兩個(gè)解，則它們差必是原問(wèn)題滿(mǎn)足零邊界條件解。對(duì)于狄利克雷問(wèn)題，滿(mǎn)足對(duì)于牛曼問(wèn)題,滿(mǎn)足

在第一格林公式中取,由是調(diào)和函數(shù)，可得

在兩個(gè)邊界條件下，都有所以故在內(nèi)必有,即可得，其中為常數(shù).對(duì)于狄利克雷問(wèn)題,因?yàn)?故從而.結(jié)論狄利克雷問(wèn)題在內(nèi)解是唯一確定,牛曼問(wèn)題解在相差一個(gè)常數(shù)下也是唯一確定.3)調(diào)和函數(shù)積分表示式所謂調(diào)和函數(shù)積分表示式,是指用調(diào)和函數(shù)及其在區(qū)域邊界上法向?qū)?shù)沿積分來(lái)表示調(diào)和函數(shù)在內(nèi)任一點(diǎn)值.設(shè)是內(nèi)一固定點(diǎn),下面求調(diào)和函數(shù)在這一點(diǎn)值.

為此結(jié)構(gòu)一個(gè)輔助函數(shù)

能夠證實(shí)函數(shù)除點(diǎn)外處處滿(mǎn)足拉普拉斯方程,它稱(chēng)為三維拉普拉斯方程基本解.為了利用格林公式，我們?cè)趦?nèi)挖去球形鄰域，是其球面。在區(qū)域內(nèi)及其邊界上，是任意可導(dǎo)。

在第二格林公式中,取為調(diào)和函數(shù),并假定它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而取,在區(qū)域上應(yīng)用公式得在球面上,

所以同理可得

我們可得令,則,于是

4)平均值公式設(shè)函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)是調(diào)和函數(shù),是內(nèi)任一點(diǎn),表示以為中心,為半徑且完全落在內(nèi)球面,則有4.3格林函數(shù)能不能直接提供狄利克雷問(wèn)題和牛曼問(wèn)題解？調(diào)和函數(shù)積分表示式為得到狄利克雷問(wèn)題解,必須消去,這需要引入格林函數(shù)概念.設(shè)為內(nèi)調(diào)和函數(shù)而且在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用第二格林公式可得與相加得假如能找到調(diào)和函數(shù),使得,那么上式意味著令則稱(chēng)為拉普拉斯方程格林函數(shù).

假如能找到格林函數(shù)中,而且它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則狄利克雷問(wèn)題解假如存在,必能夠表示為類(lèi)似，泊松問(wèn)題解若存在,必能夠表示為說(shuō)明格林函數(shù)僅依賴(lài)于選取區(qū)域,而與原定解問(wèn)題中非齊次項(xiàng)、邊界條件無(wú)關(guān).假如求得某個(gè)區(qū)域格林函數(shù),就能夠處理該區(qū)域一切狄利克雷問(wèn)題.求解狄利克雷問(wèn)題要想確定格林函數(shù),需要找一個(gè)調(diào)和函數(shù),它滿(mǎn)足:.對(duì)于普通區(qū)域,確定并不輕易,但對(duì)于一些特殊區(qū)域,如半空間，球域等,格林函數(shù)能夠經(jīng)過(guò)初等方法得到.我們通常使用“電象法”求解。4.4特殊區(qū)域格林函數(shù)及狄利克雷問(wèn)題解所謂電象法，就是在放置單位正電荷，在區(qū)域外找出關(guān)于邊界象點(diǎn)，然后在象點(diǎn)放置適當(dāng)單位負(fù)電荷，由它產(chǎn)生負(fù)電位與處單位正電荷所產(chǎn)生正電位在曲面上相互抵消。而和處點(diǎn)電荷在內(nèi)電位就是所要求格林函數(shù)。1半空間格林函數(shù)求解拉普拉斯方程在半空間狄利克雷問(wèn)題，即求函數(shù)滿(mǎn)足首先找格林函數(shù).在半空間點(diǎn)放置單位正電荷，關(guān)于邊界對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，下面以半空間、球域?yàn)槔f(shuō)明電象法應(yīng)用。因?yàn)樵谏习肟臻g內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，在閉域上含有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以就是半空間格林函數(shù).在放置單位負(fù)電荷，則它與處單位正電荷所產(chǎn)生正電位在平面上相互抵消。為了求解狄利克雷問(wèn)題,需要計(jì)算。

因?yàn)橥夥ň€方向恰好是軸負(fù)向,所以

原問(wèn)題解

2球域格林函數(shù)設(shè)有一個(gè)球心在原點(diǎn),半徑為球面,在球內(nèi)任取一點(diǎn)連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)使得,點(diǎn)稱(chēng)為關(guān)于球面反演點(diǎn).在點(diǎn)放置單位正電荷，在點(diǎn)放置單位負(fù)電荷，使這兩種電荷產(chǎn)生電位在球面上相互抵消,即