小學(xué)數(shù)學(xué)講義五年級超常

第一講第一講勾股定理預(yù)習(xí)講內(nèi)容了解勾股定理歷史，定義掌握勾股定理和弦圖的證明利用平方差公式和勾股定理解決實際問題鋪知識長方形與正方形——三年級秋季第1講（第5級下）三角形進階——四年級暑假第2講（第7級上）續(xù)知識測試 第10級下超常體系教師版 學(xué)習(xí)模塊1：勾股定理的證明和簡單運用剖析股定理在直角三角形當(dāng)中有，a,b,c分別為三條邊。a 則a2b2c2，在我國被稱為勾股定理，而西方則稱其為畢達哥拉斯定理。勾股定理的證明方法比較左右兩個大正方形的面積，想想陰影部分之間有什么關(guān)系？

這種證明方法來自于趙爽的“弦圖”，在暑期的課程中，我們還會學(xué)到。例1如圖，求出下列直角三角形中邊長a的長度．a(chǎn) a 41 12 5 40 【分析】12,9,52第10級下超常體系教師版第一講例2上操作，如下圖。則第1023個直角三角形的斜邊長度是_______．第________個直角三角形的斜邊【分析】按從小到大設(shè)斜邊長度分別為

a,a,a,a,......1 2 3 a212122；a2a2122123；a2a2123124；......1 2 1 3 易得通項式：a2n1； 10231023

32；（2）ax2172289x288.練一練【分析】（1）13 （2）3（3）3例3的面積等于____.【分析】在直角ABD中運用勾股定理可知BD213212225，BD5．因此ABD的面積為1125

第10級下超常體系教師版 再根據(jù)勾股定理的逆定理可以判定BCD也是直角三角形，因為BD2BC2CD2，從而BCD

的面積為14362（單位面積）．模塊2：勾股定理解決面積問題例4如圖，在美麗的平面珊瑚礁圖案中，三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，如果圖中所有的平方厘米

d2

d4

d5

d6a1

d7【分析】設(shè)數(shù)如右上圖所示，首先aabbS；1 2 1

ccccaaS；1 2 3 4 1

ddddddddccccS1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 可見5S980S196142，即最大的正方形邊長為14厘米.例5已知，如圖長方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△BEF的面積是多少？ab9【分析】如右上圖所示，必有a2b232

a

；則BEF的面積為：5327.5cm24第10級下超常體系教師版第一講練一練已知長方形的長為8，寬為4，將長方形沿一條對角線折起壓平，如圖所示。求重疊部分(灰色三角形)的面積。 48-a】 a2428a2解得，a3。那么陰影部分面積為54210。綜合最值模塊一只小螞蟻，想從圓柱體無蓋紙筒的左下角的A點(在外面)爬到右上角的B點，已知圓柱體底面半徑是4分米，高是5分米，求小螞蟻最少要走多少距離？（取3） 【分析】如圖把A,B之間的紙筒展開成長方形，那么這個長方形的長是r3412分米，寬是5分米，12252132，因此對角線長是13分米．13如果在內(nèi)部，螞蟻可以走直徑，再直接上去．走的距離也是8+5=13分米．例6則陰影部分的面積是多少【分析】如圖，R2r25225；則陰影面積為(R2r2)2578.5.第10級下超常體系教師版 整理1．勾股定理：a2b2c2變式：c2a2b2使用條件：直角三角形中，已知兩邊求第三邊.利用平方差公式求勾股數(shù)2.常用模型

SSS1 2 模塊：勾股定理解決問題例7。。。翻譯：蓮花露出水面5寸，被風(fēng)吹倒后，剛好被水面沒過，此時蓮花在二尺以外的岸邊。那么湖水有多深？【分析】如下圖所示，2尺=20寸；若設(shè)水深x寸，則在直角ABC中：

ABxACx

理有：x52x220252x5400x37.5，即水深37.5寸6第10級下超常體系教師版第一講例825名學(xué)生，操場圓心O到隊尾AB的距離為5米，求方陣EFGH有多少人？.【分析】設(shè)大正方形的邊長為2a，小正方形的邊長為2b(其中b=2)，圓的半徑為R；如右上圖，在直角三角形OHM和ODN有：

R2a2(2a5)2R2b2(2b5)2

則a2(2a5)2b2(2b5)2a2b2(2b5)2(2a5)2ab4a426，大正方形的面積為12144.方陣共有132169人復(fù)習(xí)講鞏固1. 【分析

2 122232101011213852. 如圖，所有的四邊形都是正方形所有的三角形都是直角三角形，7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為___________cm2． 【分析】根據(jù)勾股定理有

SSS,A B

SSS,C D

SS72,所以正方形A,B,C,D的面積之和E 第10級下超常體系教師版 為49cm23. 它想吃到上底與下底面中間與A點相對的B點處(在外面)的蜜糖，試問螞蟻爬行的最短的路程是多少？BA【分析米，202152252，小螞蟻要走的最短距離是25厘米（兩點之間，直線段最短）4. 折痕為EF，則△ABE的面積為多少？ 【分析】求三角形ABE的面積關(guān)鍵是求AE的長度，設(shè)AEx，則EDEB9x,在△ABE中有32x2(9x)2，即9x28118xx2，解得x4，因此△ABE的面積為4326(cm2)5. ____平方厘米(取3.14).【分析】S

R2 R2r2 2 2

cm2，所以R2r2100，

(R2r2)3.141003146. 有一扇長方形的門，不知道長和寬。用一根和門的對角線長度相同的直竹竿去量，竹竿比門寬多4尺，比門高多2尺，求門的寬和高，以及竹竿的長度。8第10級下超常體系教師版第一講【分析】設(shè)竹竿長為x尺，根據(jù)勾股定理，x22x42x2x22x2x42x2242x4x228x2兩邊消掉x2，得，x28x10。7. 求陰影部分的面積．(20為半徑，取3.14) 【分析】如下圖，設(shè)半圓的圓心為O，連接OC． 從圖中可以看出，OC20，OB20416，根據(jù)勾股定理可得BC12．陰影部分面積等于半圓的面積減去長方形的面積，為：

2 π20 (162)12200π384244

習(xí)鞏固1. 有一座時鐘現(xiàn)在顯示8時整,那么,經(jīng)過多少分鐘,分針與時針第一次重合?再經(jīng)過多少分鐘,分針與時針第二次重合?【分析】第一次要追240度,第二次要追一圈,即360度:2405.54311分;3605.56511分.2. 已知:如圖長方形的長為30厘米,以寬為直徑做圓,則陰影部分面積是________(取3.14).【分析】圓的半徑30310厘米，長方形的寬:10220厘米?？瞻酌娣e1.5r21.53.14102471平方厘米，陰影:3020471129平方厘米.3. 數(shù)是_________.【分析】因為這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是7,最小公倍數(shù)是441,441763,6316332179

,第10級下超常體系教師版 放試題問一問父母家中電視機的尺寸，再測量一下它實際的長寬，想想有什么關(guān)系？（1米=39.37英寸）10第10級下超常體系教師版第二講第二講分?jǐn)?shù)四則混合運算預(yù)習(xí)講內(nèi)容數(shù)小數(shù)的四則混合運算分?jǐn)?shù)的巧算，提取公因數(shù)，連鎖約分和繁分?jǐn)?shù)的運算鋪知識續(xù)知識測試難度10.10.20.30.40.50.60.70.80.9 難度20.30.320.330.340.35 816 難度30.10.20.30.40.50.60.70.80.9 60 20151210第10級下超常體系教師版 學(xué)習(xí)模塊1：分?jǐn)?shù)的運算和湊整剖析1加法交換律：abbaabcabc3乘法交換律：abba這些運算律不僅適用于整數(shù)，也適用與小數(shù)和分?jǐn)?shù)例1

(2)11 35 1.(28 適合化成小數(shù)原式 25

9.632.1319.636.34.33354(2)原式 282.5

28 19 252 28 9 5 例2(1)

1 21.1251 1.56.04 8 【分析】(1)原式

10

514

3.916.0936

2.1251.1251 1.56.04202第10級下超常體系教師版第二講模塊2：分?jǐn)?shù)的巧算與綜合剖析5乘法分配律：mabcmambmc6除法性質(zhì)：abcmambmcm乘法分配律還有一種反用技巧，叫做提取公因數(shù).例3

2 1512

【分析】(1)原式 8 8 27 3 3127

15 例4

(2)111138 81294 94 (3)(20 1.6520 (2)原式 12

1113 12

82816(3)原式

(20

94練一練

第10級下超常體系教師版

1 2526

(3)1.2517.4125% 【分析】乘法分配律逆應(yīng)用(1)原式3.27 3.27

3

27(2)原式66

1 61 2526

1 26 6 2526 26 (3)原式1.251.257.41.251.6綜合合統(tǒng)籌優(yōu)化模塊

【分析】沿ABCDE的路線長度為：72.4958.2km 沿AHGFE的路線長度

為：231.3131781 10 7km 所以AHGFE的路線更 7km例5 2 4 163264_____.128 64 32 16 【分析】原式 (1248163264)( 64 3216

48163264)( 128128 64 3216 127128練一練 ++256+512=_____. 512 256 【分析】原式4第10級下超常體系教師版第二講 1025( 1025(11)2402310231024

1)24例6計算：(1)

1 1 2 2 2 2 3

1 100102 100199197195

__

【分析】(1)原式=

357 199 234 100199197

102 99 99 (2)原式=

123（132333…135（132333…2003）整理1加法交換律：abbaabcabc3乘法交換律：abba5乘法分配律：mabcmambmc6除法性質(zhì)：abcmambmcm模塊3：繁分?jǐn)?shù)運算例7計算：(1)

1

(4)

(5)1

第10級下超常體系教師版 (6)若

1

成立，x=____.(7)設(shè)

【分析】(1)2

(2)9

ab

1

68

68

68 157

(兩邊取倒數(shù)

1

(兩邊取倒數(shù)2

x x (7)147

3

b19例810 191817161514131211101817 1615141312 1110 19181716 1514 1312 1110

___【分析】原式

19 17 11 19 17 19181716151413121110 19181716151413121110

6第10級下超常體系教師版第二講復(fù)習(xí)講鞏固

1 1 1933722 2 3

=___.【分析】原式

3 2 4 12 6 6

19337229

1 36184

2

【分析】原式

31

68

33

5416273____

【分析】原式

4 33 3354541654161549457 75 75

123

【分析2164

1187

=______.【分析】原式

1

1

1

1

123...97 357...195

第10級下超常體系教師版

123...97 2 2123...973 98

習(xí)鞏固1.右圖中兩個半徑為1的扇形

AO'B與AOB疊放在一起,POQO是正方形,則整個陰影圖形的面

____(取3.14).

A'

【分析】陰影部分的面積=兩個扇形的面積-兩個正方形的面積 2 1) 10.57 2.已知：兩個數(shù)的和為200,它們的最大公因數(shù)為5,則共有_______種可能.

【分析】兩個數(shù)的最大公因數(shù)為5，不妨設(shè)兩個數(shù)字為5a,5b.則5a5b200,ab40.3.求陰影部分的面積．(20為半徑，取3.14) 4 【分析】如右上圖，設(shè)半圓的圓心為O，連接OC．從圖中可以看出，OC20，OB20416，根據(jù)勾股定理可得BC12．陰影部分面積等于半圓的面積減去長方形的面積，陰影面積為：

2 π20 (162)12200π384244

放試題艾迪在超市中看到下列三種商品，最少花多少錢可以使得總價為整數(shù)？酸奶6.99巧克力18.42可樂2.35下次和父母去超市的時候，留意一下購物小票，看看少買哪件商品可以讓總價為整數(shù).8第10級下超常體系教師版第三講第三講帶余除法進階預(yù)習(xí)知識講內(nèi)容余除法進階余數(shù)的定義和性質(zhì)，利用整除特征的余數(shù)判斷，周期性問題鋪知識帶余除法初步——三年級春季第4講（第6級下）續(xù)知識測試難度1博士準(zhǔn)備了20個蘋果，平均分給艾迪，薇兒和大寬三個人，每人分到幾個，剩余幾個？剩余多少個？難度3今天還可能有兩位同學(xué)來，也可能都不來。艾迪他們需要拿出幾個蘋果，可以保證4個或6個小伙伴都可以均分？第10級下超常體系教師版 學(xué)習(xí)模塊1：余數(shù)的定義與判斷剖析一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；當(dāng)r0時，我們稱a能被b整除；當(dāng)r0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的商．在帶余除法的算式中，已知三個量，就可以求出第四個量特別注意：0rb.例1(1)兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_____．(2)1013除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是12．求出符合條件的所有的兩位數(shù)．【分析】(1)因為被除數(shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為(415488)(41)79，所以，被除數(shù)為7948324．(2)1013121001，100171113，那么符合條件的所有的兩位數(shù)有11,13,77,91，因為“余數(shù)小于除數(shù)”,所以舍去11，答案只有13,77,91．剖析1. 末位法——被4,25,8,125,16,625除的余數(shù)特征2. 數(shù)位和法——被3,9除的余數(shù)特征3. 4. 三位截斷法——被7,11,13除的余數(shù)特征例2【分析】利用性質(zhì)很快可得出分別為1、3、2、1、7、5、16例32第10級下超常體系教師版第三講...20072007個2007

【分析】9：...200720072007

11：一個2007奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字的和的差為5.2007個2007奇數(shù)位上數(shù)5...20072007個2007

的余數(shù)是399：兩位一截求和，(720)200754189，再次兩位一截求和得89+41+5＝135，1+35＝36，因此...20072007個2007

200720072007能被7，13，27，37整除。999＝27×37;1001＝7×11×13;91＝7×1313：...20072007個2007

91：...20072007個2007

...20072007個2007

模塊2：余數(shù)的性質(zhì)與運用剖析1.被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)(被除數(shù)余數(shù))商；商(被除數(shù)余數(shù))除數(shù).；2.余數(shù)小于除數(shù)．3. 4. a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和(或這個和除以c的余數(shù))．5. a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之積(或這個積除以c的余數(shù))．例4(1)378379+378380+378381的結(jié)果除以7的余數(shù)是多少？(2)1234567-456123的結(jié)果除以9的余數(shù)是多少？(3)345645675678的結(jié)果除以5的余數(shù)是多少？5

66666671995個6

【分析】(1)6 (2)7 (3)1 (4)10故符合題意的余數(shù)是1．第10級下超常體系教師版 練一練(1)71427×19÷7的余數(shù)是多少(2)求4373091993被7除的余數(shù)．(3)220除以7的余數(shù)是多少？(2)法1：先將4373091993算出以后，即4373091993269120769．再求得此數(shù)被71法二可得同余的可乘性也同樣適用于三個數(shù)相乘的情況．(3)找規(guī)律．用7除2，22，23，24，25，26，的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，……2綜合周期問題今天是星期四，101000天之后將是星期幾？【分析】先求較小的n，使10n除以7的余數(shù)為1．10除以7余3，2除以7余2，10310102除以7余326，104102102除以7余224，106103103除以7的余數(shù)等于6636除以7的余數(shù)等于1．所以，1000除以7的余數(shù)等于104106166除以7的余數(shù)等于414，101000例5(1)算式12011220113201120132011計算結(jié)果的個位數(shù)字是多少？(2)算式22013320144201552016計算結(jié)果除以7的余數(shù)是多少？(3)多位數(shù)1234567891011121320132014除以9的余數(shù)是是多少？【分析】(1)由于任意自然數(shù)除以10的余數(shù)均可以是4個一周期。則2011220113201120132011132320133(mod10)由于13與11的個位相同，23與123的個位相同，其他類似，而13231035mod10（可只計算個位），這樣132320133132333520118751(mod10)(2)2n除以7的余數(shù)：2，4，1，2，4，1，……3n除以7的余數(shù)：3，2，6，4，5，1，……4n除以7的余數(shù)：4，2，1，4，2，1，……5n除以7的余數(shù)：5，4，6，2，3，1，……220133201442015520162334425614211(mod7)4第10級下超常體系教師版第三講(3)由于任意連續(xù)的9個自然數(shù)的和能被9整除，所以它們的各位數(shù)字之和能被9整除，那a，則9個數(shù)的和為9a36是9的倍數(shù)，而這9個數(shù)的數(shù)字之和可能會進位，但進一次位會少9，因此這九個數(shù)不論進位與否，數(shù)字之和肯定是9的倍數(shù)，因此把任意連續(xù)的9個自然數(shù)連起來寫，所得到的數(shù)也能被9整除）與20152016除以9的余數(shù)和為9.所以多位數(shù)1234567891011121314…20132014除以9的余數(shù)是練一練(1)1222322009220102除以4的余數(shù)是____，除以3的余數(shù)是____．(2)6201752016420153201422013計算結(jié)果的個位數(shù)字是多少？【分析】(1)偶數(shù)的平方除以4余0，奇數(shù)的平方除以4余1.從1到2010共有1005個奇數(shù)，所以122232

2009220102

101010100510051和1005個

數(shù)，100542511，可見所求結(jié)果為1．3的倍數(shù)的平方除以3余0；而一個數(shù)如果不是3的倍數(shù)，它的平方除以3余1.那么122232

2009220102

11011011013401340個1和670個0

以3的余數(shù)，134034462，可見所求結(jié)果為2．(2)62017201620152014220135432265492108(mod10)例6(1)13520072009的末三位數(shù)是多少?(2)253101685的末兩位數(shù)．【分析】(1)設(shè)a13520072009，a可以寫成1000mn，這樣a的末三位數(shù)就是n，而10008125，a本身就是125奇數(shù)倍，n只能是125,375,625,875中的一個，只需求a除以8的余數(shù)，由于19(mod8)，311(mod8)，513(mod8)，715(mod8)，所以13579111315(mod8)，同理911131517192123(mod8)，本題共有1005個乘數(shù)，100542511，而13571(mod8)，所以a1(mod8)，即a除以8首先考慮4，253除以4余數(shù)是1，所以10除以4的余數(shù)仍是1；168是4的倍數(shù)，它的以25的余數(shù)為222324；168除以25余18，則只需看18532432418除以25的第10級下超常體系教師版 整理一、余數(shù)的定義一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；當(dāng)r0時，我們稱a能被b整除；當(dāng)r0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的商．二、余數(shù)的性質(zhì)1.被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)(被除數(shù)余數(shù))商；商(被除數(shù)余數(shù))除數(shù).2.余數(shù)小于除數(shù)．3. 4. a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和(或這個和除以c的余數(shù))．5. a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之積(或這個積除以c的余數(shù))．三、余數(shù)特征1. 末位法——被4,25,8,125,16,625除的余數(shù)特征2. 數(shù)位和法——被3,9除的余數(shù)特征3. 4. 三位截斷法——被7,11,13除的余數(shù)特征模塊3：余數(shù)的綜合應(yīng)用例7張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另一個人的8倍，則丙手中卡片上的數(shù)是________【分析】根據(jù)“甲、乙二人各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另一個人的8倍”可知，甲、乙手中五99片上的數(shù)為8465例8桌上放有多于4堆的糖塊，每堆數(shù)量均不相同，而且都是不大于100的質(zhì)數(shù)，其中任意三堆都可以桌上放的糖塊最多是 【分析】17被3除余2，被4除余1．要滿足題目的條件，根據(jù)余數(shù)的性質(zhì)，每堆塊數(shù)都必須是被3除余2，被4除余1的質(zhì)數(shù)．100以內(nèi)這樣的質(zhì)數(shù)有：5、17、29、41、53、89這六個，它們的和是234．桌子上方的糖最多234塊．如果是4堆，那么有17718389260塊。6第10級下超常體系教師版第三講復(fù)習(xí)講鞏固

32，求甲、乙兩數(shù)．【分析】因為甲乙1132，所以甲乙乙1132乙乙12321088；則乙(108832)1288，甲1088乙1000．2.當(dāng)2011被正整數(shù)N除時，其余數(shù)是16，請問N的所有可能值有多少個。【分析】2011161995是N的倍數(shù)(N16),因為199535719，所以1995有222216個.3.求1~2008的所有自然數(shù)中，有多少個整數(shù)a使2a與a被7除余數(shù)相同？【分析】讓我們用列表的方法來尋找2a與a2被7除余數(shù)的規(guī)律：16從上表可以看出：2a被7除的余數(shù)是2，4，1，2，4，1，2，4，1，，每3個一循環(huán)；a被7除的余數(shù)是1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，，每7個一循環(huán)．3a被7除的余數(shù)相同的數(shù)，在自然數(shù)列中，是每21一個循環(huán)，其中有6個余數(shù)相同，24.多位數(shù)1234567891011121320122013除以9的余數(shù)是________．【分析】由于任意連續(xù)的9個自然數(shù)的和能被9整除，所以它們的各位數(shù)字之和能被9整除，那么則9個數(shù)的和為9a36是9的倍數(shù)，而這9個數(shù)的數(shù)字之和可能會進位，但進一次位會少連起來寫，所得到的數(shù)也能被9整除）等于123456除以9的余數(shù)，為3.所以5.求31997的最后兩位數(shù)．【分析】即考慮31997除以100的余數(shù)．由于100425，由于3327除以25余2，所以39除以25由于1997209917，所以31997除以100的余數(shù)即等于317除以100的余數(shù)，而36729除第10級下超常體系教師版 除以100的余數(shù)，而29294336163除以100余63，所以31997除以100余63，即1997的最后兩位數(shù)為63．6.有8只盒子，每只盒內(nèi)放有同一種筆．8只盒子所裝筆的支數(shù)分別為17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在這些筆中，圓珠筆的支數(shù)是鋼筆支數(shù)的2倍，鉛筆支數(shù)是鋼筆支數(shù)的3倍，只有一只盒里放的是水彩筆．這盒水彩筆共有多少支？【分析】鉛筆數(shù)是鋼筆數(shù)的3倍，圓珠筆數(shù)是鋼筆數(shù)的2倍，因此這三種筆支數(shù)的和是鋼筆數(shù)的3216倍．1723333638424951289除以6余1，所以水彩筆的支數(shù)除7.在圖表的第二行中，恰好填上89～98這十個數(shù)，使得每一豎列上下兩個因數(shù)的乘積除以11所得3【分析】因為兩個數(shù)的乘積除以11的余數(shù)，等于兩個數(shù)分別除以11的余數(shù)之積．因此原題中的111的結(jié)果：進而得到本題的答案是：習(xí)鞏固1.一個數(shù)有4個因數(shù),那么這個數(shù)的立方有_______個因數(shù).【分析】42214,對于第一種情況,這個數(shù)是

pp1

形式的數(shù),它的立方是p3p3形式的數(shù),那1 對于第二種情況,這個數(shù)是p3形式的數(shù),它的立方是p9形式的數(shù),那么它有9110個因數(shù)..2.如圖，將一張24厘米寬的長方形紙巾按圖示折疊。折線長度剛好是30厘米。求紙巾的長。 24a+183024【分析】如圖，根據(jù)勾股定理，a

a2

a 18 242182a182422a1832，所以紙巾 3.計算：[2(5.42)1]3.

415 8第10級下超常體系教師版第三講62 放試題查爾斯博士每天要吃三次藥，每次吃三粒。藥店有以下五種規(guī)格的藥，每種最多買一瓶。博士去買第10級下超常體系教師版 第四講第四講同余預(yù)習(xí)知識講內(nèi)容同余同余的定義和符號，同余的性質(zhì)及其運用鋪知識續(xù)知識測試難度1今天是4月5日，星期六，艾迪想在周二半價的時候去看電影，那么他需要等幾天？難度2如果艾迪下周二沒空，那么他至少需要等幾天？如果艾迪這個月都沒空，那么他至少需要等幾天？難度3想一想這些日子之間分別差幾天，這些數(shù)字有什么關(guān)系？第10級下超常體系教師版 學(xué)習(xí)模塊1同余的性質(zhì)剖析按照上面的寫法，我們可以發(fā)現(xiàn)：若兩個整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對于模m同余，用“同余式”表示為abmodm意味著(我們假設(shè)ab)abmk，k是整數(shù)，即m|ab．若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除．同余和我們之前學(xué)過的整除有著相似的性質(zhì)：)例1已知:3757134(mod9),2123(23)411411(mod7)，仿照此種形式,利用同余記號書寫過程，計算下面各題最終的余數(shù)(1)1234528_____________________________(mod11)(2)98766789__________________________(mod9)(3)5412852______________________________(mod7)(4)22013____________________________(mod9)(5)482013_____________________________(mod5)(6)15109____________________________________(mod13)(7)4201320134_______________________(mod13)(8)31014100_______________________________(mod11)【分析】(1)1234528202(mod11)(2)98766789330(mod9)(3)5412852155(mod7)(4)22013(26)33523133588(mod9)(5)48201332013(3503)43133(mod5)(6)151092109(29)122122(mod13)(7)4201320134(4167)12491142181212212644212162(mod13)2第10級下超常體系教師版第四講(8)310141003(34)1003121003(mod11)例2？【分析】假設(shè)這個自然數(shù)是a，因為412、133和257除以a所得的余數(shù)相同，所以a|(412257),a|(257133)，說明a是這兩個差的公因數(shù)。(155,124)31,所以a最大是31。練一練()

1的整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都相同，求這個數(shù)可能是多少？及【分析】(1)由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它3，4，6，12.(2)因為1390313511392,1458913903686，由于13511，13903，14589要被同一個數(shù)除時，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除．(392,686)98，所以所求模塊2同余的應(yīng)用例3(1)有3個吉利數(shù)888，518，666，用它們分別除以同一個自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為a,a+7,a+10,則這個自然數(shù)是多少？(2)一個自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是a5、2a、a，求這個自然數(shù)和a的值.這樣我們用總結(jié)的知識點可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個自然數(shù)是888-656=232,(2)將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為2a的數(shù)：42952848，791、50021000，這樣這些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都是2a，故同余.將這三個數(shù)相減，得到84879157、1000848152，所求的自然數(shù)一定是57和152的公因數(shù)，而57,15219，所以這個自然數(shù)是19的因數(shù)，顯然1是不符合條件的，那么只能是19.經(jīng)過驗證，當(dāng)這個自然數(shù)是19時，除429、791、500所得的余數(shù)分別為11、12、6，a6時成立,所以這個自然數(shù)是19，a6.例4有一個整數(shù)，用它去除70，110，160所得到的3個余數(shù)之和是50，那么這個整數(shù)是多少？【分析】(70110160)50290，503162，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是290的大于17小于70的因數(shù)，第10級下超常體系教師版 只可能是29和58，11058152，5250，所以除數(shù)不是58．7029212,11029323,160295 15,12231550,所以除數(shù)是29.練一練【分析

(6391130)26258，26382，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是258的大于8小于63的因數(shù)，只可能是43,經(jīng)驗證符合要求。例5，每位小朋友．余下的蘋果、餅干、糖的數(shù)量之比是1:2:3，問學(xué)前班有多少位小朋友？【分析】設(shè)學(xué)前班有a位小朋友，設(shè)余下的蘋果的數(shù)量為x個，那么余下的餅干和糖的數(shù)量分別為2x塊和3x粒．根據(jù)題意有176amx216an2x324ap3x那么a應(yīng)為17621632468和1762216136的公因數(shù)所以學(xué)前班小朋友的人數(shù)是68的因數(shù)．綜合計數(shù)模塊些紅色的短線；一根白色的長線，經(jīng)過n次對折后將所得到的線束從中間剪斷，得到一些白色的短條？【分析】根據(jù)題意紅色短線有2m1條，白色短線有2n1條（mn)，因此2m2n2100p（p為所以m12，此時2m12n112050，滿足條件，因此紅色短線至少有21214097條整理1.同余式若兩個整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對于模m同余，用“同余式”表示為abmodm意味著(我們假設(shè)ab)abmk，k是整數(shù)，即m|ab．若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除．4第10級下超常體系教師版第四講2.同余的性質(zhì))模塊3同余與棄9法的綜合應(yīng)用例6判斷以下計算是否正確:42784×3968267=1697598942348【分析】若直接將右邊算出，就可判斷.42784×3968267=169778335328，可知以上結(jié)果是錯的；但計算量太大。如果右式和左式相等，則它們除以某一個數(shù)余數(shù)一定相同。因為求一個數(shù)除以9的余數(shù)只9如果余數(shù)不相同，則上式一定不成立。右式和左式的個位數(shù)字相同，因而無法由個位斷定上式是否成立，但是4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9）3+9+6+8+2+6+7=4141≡5（mod42784×3968267≡35≡8（mod9）（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）因此上式不成立9。應(yīng)該注意，用棄九驗算法可發(fā)現(xiàn)錯誤，但沒找出錯誤時不能保證原題一定正確。例73個三位數(shù)乘積的算式abcbcacab234235286(其中abc)，在校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤，但是知道最后一位6是正確的，問原式中的abc是多少？【分析】由于2342352862342352868(mod9)，abcbcacab(abc)3(mod9) ，于是(abc)38(mod9) ，從而(用abc0,1,2,,8(mod9)代入上式檢驗)abc2,5,8(mod9)…(1)，對a進行討論：如果a9，那么bc2,5,8(mod9)…(2)，又cab的個位數(shù)字是6，所以bc的個位數(shù)字為4，bc可能為41、72、83、64，其中只有(b,c)(4,1),(8,3)符合(2)，經(jīng)檢第10級下超常體系教師版 驗只有983839398328245326符合題意．43、62、76、71，其中只有(b,c)(2,1)符合(3)，經(jīng)檢驗，abc821不合題意．如果a7，那么bc4,7,1(mod9)…(4)，則bc可能為42、63，其中沒有符合(4)的(b,c)．如果a6，那么b5，c4，

因此這時abc不可能符合題意．綜上所述，abc983是本題唯一的解．例8 【分析】由于一個數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以20092009與A、B、C、D除以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2，則20092009除以9的余數(shù)與22009除以9的余數(shù)相同，而2664除以9的余數(shù)為1，所以22009263345(26)33425除以9的余數(shù)為另一方面，由于20092009100002009108036，所以20092009的位數(shù)不超過8036位，那么它的復(fù)習(xí)本講鞏固1. 利用同余記號計算:31303031被13除所得的余數(shù)是多少？【分析】31303031530431(52)1256(42)1247(53)221246443(mod13)2. 【分析】482-74=408;992-74=918;1094-74=1020; (408,918,1020)102102。3. 一個自然數(shù)除70、125、361所得的余數(shù)分別是a19、a、2a，求這個自然數(shù)和a的值.【分析】70-19=51，125×2=250，根據(jù)題意可知：這個自然數(shù)除51與125都余a，因此這個數(shù)一定個數(shù)為37.a=144. 乘法算式:3145×92653=291__93685的橫線處漏寫了一個數(shù)字，你能以最快的辦法補出嗎？.35. 6第10級下超常體系教師版第四講【分析】abc19(abc)，81a9b18c，9ab2c(想想為什么能約個9，是不是巧合呢)6. 在1~2011的整數(shù)中，有多少個m使2010m2009m能被11整除？【分析】2010m8mmod11，2009m7mmod11.我們將8m和7m除以11的余數(shù)列在下表：7m模11的余數(shù)可見，當(dāng)m5,10,15,時，2010m和2009m被11除的余數(shù)相同.20115402，共有402個m，使得2010m2009m能被11整除.7. 的正確結(jié)果應(yīng)該是多少？【分析】abba(ab)294241(mod9），得到ab1(mod9)或ab8(mod9)若ab8(mod9)，則ab8(abba88,abba444419362449),無解．或ab17(98898722)，也無解．因此正確的結(jié)果應(yīng)該是2944.復(fù)習(xí)鞏固1. 10 r 【分析】如右上圖，R2r25225；則陰影面積為(R2r2)2578.5cm2. 3.875380.0915.540 18.251117 4

8

3. 2011個數(shù)除以7余數(shù)是____.77第10級下超常體系教師版 數(shù)是5放試題在日歷中找一找你出生那年的生日是星期幾，看看還有哪些年和它一樣.想一想這些年份有什么規(guī)律。8第10級下超常體系教師版第五講第五講不定方程預(yù)習(xí)知識講內(nèi)容定方程掌握同余法解不定方程，靈活運用不定方程解決實際問題鋪知識續(xù)知識測試難度1艾迪和薇兒手中共有20塊錢，艾迪手中每張都是2塊錢，薇兒手中每張都是5塊錢，那么他們各有多少錢？難度2艾迪和薇兒手中共有30塊錢，艾迪手中每張都是2塊錢，薇兒手中每張都是5塊錢，那么可能各有多少錢？少有多少錢？第10級下超常體系教師版 學(xué)習(xí)模塊1解不定方程剖析定方程基本定義2、不定方程的解：使不定方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一．3、研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解；②有解時確定解的個數(shù)；③求出所有的解例1么？(1)2x3y(2)8x+12y=64

(4)3x-7y=4

x

x

5;

x

xy

x

6;y()對方系數(shù)即可得到其余的(整數(shù))解.練一練求下列方程的正整數(shù)解(2,3小題僅需寫出2組)(1)3+5y(2)9x-12y=6 (3) 【分析】(1)

x

5;

x

;

15

；(2)3x-4y=2,

x

x

x(3)化簡為3x-2y=6,解得

2第10級下超常體系教師版第五講例2程組

9a6b4c80abc15

【分析】根據(jù)消元的思想將第二個式子擴大4倍相減后為：(9a6b4c)4(abc)80415，整理后得5a2b20，根據(jù)等式性質(zhì)，2b為偶數(shù)，20為偶數(shù)，所以5a為偶數(shù)，所以a為偶數(shù)，當(dāng)a0時，b10；當(dāng)a2時，522b20，b5;當(dāng)a4時，542b20，b0．所以方程組的解為

a

0模塊2不定方程解應(yīng)用題剖析不定方程的技巧1、余數(shù)分析法分析．2、因數(shù)分析法任何非零整數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，因此，可以對不定方程的解在有限范圍內(nèi)用枚舉法確定．3、奇偶分析法利用等式兩邊的奇偶性質(zhì)相同確定未知數(shù)的取值范圍．4、不等分析法利用量的整數(shù)性或不等關(guān)系，確定出方程解的范圍例3【分析】設(shè)這個同學(xué)的生日是x月y日，根據(jù)題意列方程得30x11y350，由于350301120，所以11y30a20，所以y10，對應(yīng)的方程的解為

xy

10日例4位．需要大小客車各多少輛x,第10級下超常體系教師版 輛，小客車有7輛．練一練5320大巴車的載客人數(shù)．【分析】設(shè)每輛大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為x人和y人，那么有：5x3y306．yy5除所得的余數(shù)與306被5除所得的余數(shù)相等，從個位數(shù)上來考慮，3y的個位數(shù)字只能為y22，繼而求得x48，所以大巴車的載客人數(shù)為48人．例5的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？xB天和(30y)天，那么30天內(nèi)共生產(chǎn)了A配件(300x120y)個，共生產(chǎn)了B配件150(30x)48(30y)5940150x48y個．要將它們配成套，A配件與B配件的數(shù)量應(yīng)相等，即300x120y5940150x48y，得到75x28y990，則

的套數(shù)為

300x120y300

綜合最值模塊，.，狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲．細(xì)心的小娟對它們的叫聲統(tǒng)計了15天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面．在這15天內(nèi)它們共叫了61聲.問：波斯貓至少叫了多少聲?【分析】早晨見面小花狗和波斯貓共叫3聲，晚上見面共叫5聲.設(shè)早晨見面x次，晚上見面y次.根據(jù)題意有3x5y61（x15，y15）.聲，xy越大，小花狗叫得越多，波斯貓叫得越少，所以x12，y5時波斯貓叫得最少，共叫1123527(聲).4第10級下超常體系教師版第五講整理一、不定方程基本定義2、不定方程的解：使不定方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一．3、研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解；②有解時確定解的個數(shù)；③求出所有的解二、解不定方程的技巧1、余數(shù)分析法分析．2、因數(shù)分析法任何非零整數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，因此，可以對不定方程的解在有限范圍內(nèi)用枚舉法確定．3、奇偶分析法利用等式兩邊的奇偶性質(zhì)相同確定未知數(shù)的取值范圍.4、不等分析法利用量的整數(shù)性或不等關(guān)系，確定出方程解的范圍模塊3不定方程的綜合應(yīng)用例6母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，問翁、母、雛各幾何？”你會做嗎？只，問公雞、母雞、小雞各買幾只？）x 5x3yz

由②3①，得14x8y200，即：7x4y100因為x、y為正整數(shù)，所以不難得出x應(yīng)為4的倍數(shù)，故x只能為0、4、8、12，從而相應(yīng)y的值分別為25、18、11、4，相應(yīng)z的值分別為75、78、81、84．所以，方程組的特殊解為

xy

0

xyz

4

xz11，

xyz所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買0只、25只、75只或4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只．第10級下超常體系教師版 例7王大媽拿了一袋硬幣去銀行兌換紙幣，袋中有一分、二分、五分和一角四種硬幣，二分硬幣的枚數(shù) 5，一角硬幣的枚數(shù)是五分的5少7枚．王大媽兌換到的紙？【分析 100

元；5 25

125x7個，共計(

10 27 x 27 x 500 1250 10

且有1角的銀幣有27 125x個說明x必為125的倍數(shù)，不妨設(shè)x125k。

0.7

125k0.77.7k0.7，為了使其為整數(shù)，k=1，11,21，…825枚，5分的有825

7290枚．例8在新年聯(lián)歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽．如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應(yīng)17分、，．((．中120分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中 次飛鏢中飛鏢的總次數(shù)為xyz次，而總得分為17x11y4z分，要想獲獎，必須17x11y4z120．由于17x120，得到x6．當(dāng)x的值一定后，要使xyz最小，必須使y盡可能大．若x6，得到11y4z18，此時無整數(shù)解；若x5，得到11y4z35，此時y1，z6，xyz51612；

xyz10；若x3，得到11y4z69，此時y3，z9，xyz33915；若x2，得到11y4z86，此時y最大為6，當(dāng)y6時z5，這種情況下

xyz13；若x1，得到11y4z103，此時y最大為9，當(dāng)y9時z1，這種情況下xyz11；6第10級下超常體系教師版第五講復(fù)習(xí)講鞏固1. 求6x22y90的自然數(shù)解．

xy

x15y0

2. 【分析】這是一道雞兔同籠問題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解．4x2y24即：2xy12，y122x這是一個不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：由題意xy，且x，y均不為0，所以x5，y2，也就是兔有5只，雞有2只．3. 【分析】假設(shè)甲、乙兩個車間用于生產(chǎn)上衣的時間分別為x天和y天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為(21x)天和(21y)天，那么總共生產(chǎn)了上衣(16x18y)件，生產(chǎn)了褲子20(21x)24(21y)92420x24y件．根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以16x18y92420x24y，即6x7y154，即

．那么共生產(chǎn)了16x

18y16

1547y

18y410

4408

套衣服．4.

5x7y9z523x5y7z36

的正整數(shù)解．【分析】將方程組中兩式相減并化簡可得，xyz8，與3x5y7z36聯(lián)立并消去x有y2z6，故z1或2，故原方程的正整數(shù)解為：

xz

xyz

5. 現(xiàn)有1角、5角、1元的硬幣各10枚,從中取出15枚,共值7元,三種硬幣各取多少枚?【分析】設(shè)1角硬幣取x枚，2角硬幣取y枚，5角硬幣取z枚，依題意列方程得第10級下超常體系教師版 xyz15x5y10z70

，兩個方程，三個未知數(shù)，不會解，但要考慮到未知數(shù)是整數(shù)，可以根據(jù)整除性質(zhì)進行解題，兩個方程相減得4y9z55,則9z554y,所以554y是9的倍數(shù)，這樣只能等于45，36，27，18，9，經(jīng)過嘗試只有554y27這一種情況，所以y7,z3,這樣x5，所以三枚硬幣各取5枚，7枚，3枚.6. 單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有3．那么其中有多少名男職工因為有1【分析】 3的職工各帶一個孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是3的倍數(shù)．設(shè)男職工有x人，女職工

xy

時，x8；當(dāng)y13，x4．其中只有31215是3的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12男職工．7.

第5次測驗，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分．求第5次測驗兩人的得分．(每次測驗滿分為100分)【分析】設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4xy905450，于是y4504x．顯然90y100，故904504x100，解得87.5x90．平均分分別為88分和89分，那么他們第5次的得分分別為：45088498分；45089494分．復(fù)習(xí)鞏固

5.51.751 】本題觀察發(fā)現(xiàn)除以5【分析 18相當(dāng)于乘以3.6則公因數(shù)就出來了

3.66.153

2 5.51.751 3

75 71943 421

3519 12 95.54.510 2. 共有_____位，數(shù)a除以9的余數(shù)是___．8第10級下超常體系教師版第五講【分析】一位的奇數(shù)有5個，兩位的奇數(shù)有45個，再加兩個三位奇數(shù)，所以a是一個524532101（位）數(shù)．因為等差數(shù)列中的連續(xù)9個數(shù)的和是9的倍數(shù)，所以等差數(shù)列中把這9個數(shù)連起來寫，所3. ， 9DG10 A 放試題為鼓勵節(jié)約用電，如今很多城市開始采用階梯式電價，根據(jù)用電量不同，電價也不同。詢問一下父母電價標(biāo)準(zhǔn)以及上個月的用電量，算一算需要交多少電費。第10級下超常體系教師版 第六講第六講濃度問題預(yù)習(xí)知識講內(nèi)容度問題理解濃度三個量之間的基本關(guān)系解決濃度混合問題的十字交叉方法鋪知識分?jǐn)?shù)應(yīng)用題——五年級秋季第4講（第9級下）3續(xù)知識測試難度1想一想，我們喝的糖水中主要有哪些東西？是糖多還是水多？難度2想一想可以用什么辦法表示糖水中的含糖量？用什么辦法可以提高含糖量？第10級下超常體系教師版 學(xué)習(xí)模塊1濃度公式運用剖析一、基本概念溶質(zhì)：被溶解的物質(zhì)．例如糖、鹽、酒精．溶劑：溶解溶質(zhì)的液體例如水溶液：溶質(zhì)、溶劑的混合物．二、基本公式溶質(zhì)+溶劑=溶液濃度=

例1⑴20克糖放入100克水中，得到的糖水溶液是 克， 克，溶劑 ⑵把10克鹽放入40克的水中，攪拌均勻，則這杯鹽水的濃度為 克的糖 克， 【分析】⑴120,20,100；⑵20%⑶6.75；⑷25,10例2混合后濃度變?yōu)槎嗌?？【分析】?6%；⑵15%；⑶22%；⑷33%．模塊2濃度相關(guān)技巧剖析三、相關(guān)技巧1.尋找溶液配比前后的不變量量用比例解題或建立等量關(guān)系列方程2.十字交叉法：(甲溶液濃度大于乙溶液濃度)2第10級下超常體系教師版第六講形象表達：

后濃度

混合后濃度與乙濃度差甲溶液重量甲濃度與混合后濃度差乙溶液重量例3的重量比是多少？⑵一杯濃度為10%的鹽水蒸發(fā)掉一定量的水后，鹽水的含鹽百分比變?yōu)?5%，所蒸發(fā)的水與原來的水重量的比是多少？⑶一杯濃度為10%的鹽水，加入一定量的鹽后鹽水的含鹽百分比變?yōu)?5%，所加的鹽與原來的鹽的重量比是多少？⑷一杯鹽水，第一次加入一定量的水后，鹽水的含鹽百分比變?yōu)?5%；第二次又加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比變?yōu)椋坏谌渭尤胪瑯佣嗟乃}水的含鹽百分比將變?yōu)榘俜种畮注梢槐}水，第一次加入一定量的水后，鹽水的含鹽百分比變?yōu)?5%；第二次又加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比變?yōu)椋坏谌渭尤胪瑯佣嗟柠}鹽水的含鹽百分比將變?yōu)榘俜种畮住痉治觥竣偶铀?，鹽不變，

100

，15% 100

，因此所加的水與原來的水的比是(400300):(30060)100:2405:12

100

100

水的比(300200):(30030)100:27010:27⑶加鹽，水不變，加鹽前，鹽與水的比是10%:(110%)1:917:153，加鹽后鹽與水的比是15%:(115%)3:1727:153，因此所加的鹽與原來的鹽的比是(2717):1710:17⑷由于每次加水，因此應(yīng)該是鹽的重量不變，因此可以統(tǒng)一不變量，1560

，可知每次都是加了100份水，所以第三次再加同樣多的水后，濃度為 500100

，1260

500100

100%26.67%

練一練的重量比是多少？第10級下超常體系教師版 的水的重量比是多少？的重量比是多少？【分析】⑴加水，鹽不變，

100

，因此所加的水與原來的水的比是(200100):(10030)100:7010:7⑵蒸發(fā)水，還是鹽不變，15% 100

100

，因此所蒸發(fā)的水與原來的水的比(500300):(50075)200:4258:17⑶加鹽，水不變，加鹽前，鹽與水的比是15%:(115%)3:179:51，加鹽后鹽與水的比是25%:(125%)1:317:51，因此所加的鹽與原來的鹽的比是(179):518:51例4A、B兩杯食鹽水各有40克，濃度比是3:2．在B中加入60克水，然后倒入A中________克．再在A、B中加入水，使它們均為100克，這時濃度比為7:3．中的含鹽量．倒入后A和B的含鹽量改變，比例變?yōu)?:3，但是倒入前后兩杯鹽水的含鹽的總和是不變的，3+2=5,7+3=10，統(tǒng)一份數(shù)．3:2=6:4，這時總含鹽量看成10份，原來A、例5【分析】根據(jù)十字交叉，因此兩種溶液重量比為2:3，所以需要再加入202330（千克）濃度為30％的鹽水，可以得到濃度為22％的鹽水 8 : 12=2:3練一練4第10級下超常體系教師版第六講10% 【分析】根據(jù)十字交叉，所以兩種溶液各100011

10

10

=1:1例6精各取了多少千克？【分析】利用兩個十字交叉技巧，可知混合前溶液重量比為4:10，混合后重量比是9:15，重量差是 5.25 綜合合應(yīng)用題模塊在一個奇怪的動物村莊里住著貓、狗和其他一些動物．有20%的狗認(rèn)為它們是貓；有20%的貓認(rèn)為它們是狗．其余動物都是正常的．一天，動物村的村長小猴子發(fā)現(xiàn)：所有的貓和狗中，有32%認(rèn)為自己是貓．如果這個奇怪的動物村莊里有狗比貓多180只．那么狗的數(shù)目是多少只？【分析】仔細(xì)分析題目，發(fā)現(xiàn)本題其實是一個簡單的濃度問題：有20%的狗認(rèn)為自己是貓，有80%只，所以狗的數(shù)目為180414240只．整理一、濃度問題相關(guān)公式溶液溶質(zhì)溶劑；

100%

溶質(zhì)溶質(zhì)溶劑

0%

二、十字交叉法液重量比為(zy):(xz)第10級下超常體系教師版 z 模塊3濃度綜合應(yīng)用例7瓶中裝有濃度為15%的酒精溶液1000克，現(xiàn)在又分別倒入100克和400克的兩種酒精溶液A、B，溶液的濃度是 %．Bx21002x400x100015%(1000100400)14%600x150210x0.1故A的濃度為2x20.10.220%．根據(jù)題意，假設(shè)先把100克A種酒精和400克B種酒精混合，得到500克的酒精溶液，再與1000克15％的酒精溶液混合，兩種溶液重量比1000:5002:1．15% y 所以A、B兩種酒精混合得到的酒精溶液的濃度為y14%2%12%．

根據(jù)十字交叉法，

x12%有

400:100

，解得x20%．例86第10級下超常體系教師版第六講薇兒從冰箱里拿出一瓶%的純果汁一口氣喝了五分之一后又放回了冰箱第二天媽媽拿出來喝了剩下的五分之一，覺得太濃，于是就加水兌滿，搖勻之后打算明天再喝．第三天薇兒拿出這瓶果汁，一口氣喝得只剩一半了．她擔(dān)心媽媽說她喝得太多，于是就加了些水把果汁兌滿．第四天薇兒拿出這瓶果汁，一口氣喝的只剩下四分之一了，這時候媽媽發(fā)現(xiàn)了，又往瓶中倒了一些水，這時候果汁的濃度剛好為．請問：這瓶果汁最后是整瓶的幾分之幾（認(rèn)為果汁與水密度相同【分析】第二天加水后濃度：

1

1

100%64%第三天加水后的濃度：

100%32%

32%

100%24%

后還有1復(fù)習(xí)講鞏固1. 克．【分析】⑴25%；⑵1702. 從裝滿100克濃度為

80%的鹽水的杯子中倒出40克鹽水后再倒入清水將杯倒?jié)M，這樣反復(fù)三【分析】要想求出最后鹽水的濃度，需要求出來最后鹽水有多少克和最后有多少鹽．比較好求的是最后鹽水還有100克，現(xiàn)在的問題就是求出最后的那杯鹽水中含有多少克鹽．我們觀察這個過程：3. 后，酒精與水的質(zhì)量比是 【分析】由于213，314，415，3，4，560，所以將三個容積相等的瓶子各自平均分成60份，那么三瓶中酒精與水的比分別是：40∶20，4515，48∶124. 一個20千克的大西瓜，它重量的98%是水分，將西瓜放在太陽下曬，水分蒸發(fā)后，西瓜重量的95是水分．那么曬后西瓜的重量是__________． 第10級下超常體系教師版 5.

5% 【分析

2%:1%2:1因此5%的鹽水為600(21)2400（克），8%的鹽水600400200（克）.6. A種酒精中純酒精的含量為43%，B種酒精中純酒精的含量為36.6%，C種酒精中純酒精的含量為35%，它們混合在一起得到了純酒精的含量為40.6%的酒精11千克，其中B種酒精比C種酒精多3千克．那么其中的A種酒精有多少千克？【分析】方法一：首先，本題中的B種酒精比C種酒精多3千克，為了使問題化簡，可以假設(shè)先從B種酒精中減掉3千克酒精，這樣酒精B與C的數(shù)量就同樣多．如果在11千克酒精中減掉3千克B種酒精，那么在減掉3千克B種酒精后的酒精濃度為：40.6%1136.6%3

100%42.1%此時還剩1138(千克)酒精．這樣一來，問題就轉(zhuǎn)化成：A種酒精中純酒精的含量為43%，B種酒精中純酒精的含量為36.6%，C種酒精中純酒精的含量為35%，它們混合在一起得到了純酒精的含量為42.1%的酒精8千克，其中B種酒我們把配制42.1%的酒精的過程分兩步進行．第1步，先把同樣多的B種酒精與C種酒精進行配比，(36.6%35%)235.8% 6.3 0.9=7:1據(jù)十字交叉由于現(xiàn)在共有8千克酒精，所以A種酒精占8千克中的

17

方法二：我們還可以根據(jù)混合前后純酒精的含量關(guān)系來列方程求解．設(shè)C種酒精為x千克，則B種酒精為(x3)千克，A種酒精為(82x)千克．混合前的純酒精含量為：(82x)43%(x3)36.6%x35%；混合后的純酒精含量為：1140.6%．由于混合前后的純酒精含量相等，所以：(82x)43%(x3)36.6%x35%1140.6%解上述方程可得：x7．7. 甲桶有若干涼開水乙桶有若干．第一步從甲桶往乙桶倒水倒入的8第10級下超常體系教師版第六講原有果汁的兩倍第二步從乙桶往甲桶倒混合液倒入的重量等于甲桶中現(xiàn)有水的兩倍兩桶裝的混合液總量相等求原來甲桶中的水和乙桶中的果汁的【分析】設(shè)甲桶中有水x千克，乙桶中有果汁y千克．第一次倒完后，甲桶中有水x2y千克，乙 桶裝的混合液總量相等，則3x6y7y2x，那么x:y13:5，即原來甲桶中的水和乙復(fù)習(xí)鞏固1. 2014除以一個數(shù)，余數(shù)是22．求出符合條件的所有數(shù)共有多少個．【分析】2014221992，199223383，因此1992有16個因數(shù)，但因數(shù)1,2,3,4,6,8,12小于22，所以符合條件的所有數(shù)共有1679個2. 數(shù)、一個四位數(shù)，使得這三個數(shù)的和等于2014，那么其中沒有被選中的數(shù)字是________.3. xyz12(1)2x