“設(shè)而不求”的未知數(shù)

設(shè)而不求”的未知數(shù)讓我們先看一道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題.例1-今直角三角形的周長(zhǎng)是2+疵,斜邊上的中線長(zhǎng)是1,求逑平三角形的面積．解設(shè)這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)度為c,因?yàn)樾边吷系闹芯€長(zhǎng)是1,所以斜邊長(zhǎng)c=2.再設(shè)兩條直角邊的長(zhǎng)度是a,b,面積是S,那么CDft'J」彳爲(wèi)+b=寸6,兩邊"卜方后得a+bg+2ab=6..所以有a+bg+2ab=6..所以有在這個(gè)題目中，只要求出未知數(shù)S的值，而我們卻設(shè)了三個(gè)未知數(shù)：a,b,S,并且在解題過(guò)程中，我們也根本沒(méi)求a,b的值.但是由于增設(shè)了a,b后，給我們利用等量關(guān)系列方程及方程組求S的值，帶來(lái)了很大的便利，像這種未知數(shù)(如a,b)就是本講所要介紹的“設(shè)而不求”的未知數(shù).所謂“設(shè)而不求”的未知數(shù),又叫輔助元素,它是我們?yōu)榻鉀Q問(wèn)題增設(shè)的一些參數(shù),它能起到溝通數(shù)量關(guān)系,架起連接已知量和未知量的橋梁作用.z_y_e例2若日-bb-匚求x+y+z的值分析已知條件是以連比的形式出現(xiàn)時(shí),往往引進(jìn)一個(gè)比例參數(shù)來(lái)表示這個(gè)連===頁(yè)比.解令則有x=k(a-b),y=k(b-c),z二k(c-a),所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0,所以x+y+Z=0.說(shuō)明本例中所設(shè)的k,就是“設(shè)而不求”的未知數(shù).37)3一『)旳值:例3已知p,q,r都是5的倍數(shù)，r>q>p,且r二p+10,試求_r

TOC\o"1-5"\h\z解不妨設(shè)p=5k,q=5k,r=5k，由題意可知，k,k,k都是整數(shù).因?yàn)閞>q>p,所以k>k>k.又因?yàn)閞=p+10,123321所以5k=5k+10,k=k+2,①所以k+2>k>k，所以k=k+1.②313112121q=-10將①，②代入所求的代數(shù)式得佻］-張-處)丄込-込〕q=-10將①，②代入所求的代數(shù)式得佻］-張-處)丄込-込〕k］-EJ為-?。?2)］羽］(筍［爾+1)-：閃斗2)］說(shuō)明本題中ki,k2,k/勻是“設(shè)而不求”的未知數(shù).123例例4若使訐|為可約分?jǐn)?shù)，則自煞數(shù)門的最小值應(yīng)是多少1解要使盒可約分，不妨設(shè)分子與分母有公因數(shù)乩顯餓應(yīng)有a>l,解要使盒可約分，不妨設(shè)分子與分母有公因數(shù)乩顯餓應(yīng)有a>l,并且設(shè)分子：n-13=ak1，①分母：5n+6=ak2.②其中k,k為自然數(shù).由①得n=13+ak,將之代入②得5(13+ak)+6二ak,12112即71+5ak=ak，所以a(k-5k)=71.1221由于71是質(zhì)數(shù)，且a>1,所以a=71，所以n二k?71+13.故n最小為84.1例5甲、乙、丙、丁四人，每三個(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為2923，21和17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？(a-Hb+c)33+d+3?17Cd+b+c解設(shè)四個(gè)人的年齡分別記為a,b,c,d,根據(jù)題意有+<1=29,(a-Hb+c)33+d+3?17Cd+b+c解設(shè)四個(gè)人的年齡分別記為a,b,c,d,根據(jù)題意有+<1=29,心+b+<0〕+b=2fh由上述四式可知￡之十b十匚十d）由上述四式可知￡之十b十匚十d）-〔m亠b+C+d〕1（.辿十b十c十dj-t.a+b+c+d）十|也二糾+a='2-3,+|b=2L+fc=17-比較⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小,所以⑤-⑧得12.所以d-c=18，即這四個(gè)人中最大年齡與最小年齡的差為18.說(shuō)明此題不必求出a,b,c,d的值，只須比較一下，找出最大者與最小者是誰(shuí),作差即可求解.例6設(shè)有n個(gè)數(shù)x,x,…，x,它們的值只能是0,1,2三個(gè)數(shù)中的一個(gè),12n如果記葺二衍+?+…+耳，G二遼"總+…痕右試用f和f表示12解設(shè)在x，x,-,x這幾個(gè)數(shù)中取值為0的有S個(gè)，取值為1的有t個(gè)，取值為2的有r個(gè)，則s+t+r=n,OWtWn,OWsWn,OWrWn,由此得f=t+2r,f=t+4r.所以耳二迸+誚+…+瓷=t+20=?疋一①-2）f.12k-12k-11說(shuō)明本題借助于s,t,r找到了f與f,f的關(guān)系表達(dá)式.k12例孑設(shè)自然數(shù)62.C1P427対於旳倍數(shù)，試求P分析與解62CXP427*99?倍數(shù)，表明62ab427能被99=9汐1整除.根據(jù)一個(gè)數(shù)能被9整除的特征有6+2+a+B+4+2+7=9m（m為自然數(shù)）,即a+B+3=9ml（m1為自然數(shù)）.又由于0<a<9,0WBW9，則有3Wa+B+3W21，從而有a+B=6或a+B=15.①同理，按照一個(gè)數(shù)被11整除的特征有a-B=-2或a-B=9.②①與②相結(jié)合，并考慮0<a<9,0WBW9,故只有a=2,B=4.所以原自然數(shù)為6224427．例8我手中的卡片上寫有一個(gè)三位數(shù)，并且個(gè)位數(shù)不為零，現(xiàn)將個(gè)位與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，取兩數(shù)的差(大數(shù)減小數(shù))，將所得差的三位數(shù)與此差的個(gè)位、百位數(shù)字對(duì)調(diào)后的三位數(shù)相加，最后的和是多少？W不妨設(shè)原數(shù)為abc(a>c)?對(duì)調(diào)后的差為k,所以k=abcSa'二aX100+bX10+c-(cX100+bX10+a)=99Xa-99Xc=100Xa-100Xc-100+90+10-a+c=100(a-c-l)+9X10+(10-a+c).因k是三位數(shù)，所以2Wa-cW8,lWa-c-lW7.所以2W10-a+cW8.差對(duì)調(diào)后為k/=(10-a+c)X100+9X10+(a-c-1),所以k+k，=100(a-c-1)+9X10+(10-a+c)+(10-a+c)X100+9X10+(a-c-1)=1089.說(shuō)明本例中a,b,c作為參數(shù)被引進(jìn)，但運(yùn)算最終又被消去了，而無(wú)須求出它們的值.這正是“設(shè)而不求”的未知數(shù)的典型例子.在列方程解應(yīng)用題中，更是經(jīng)常用到增設(shè)參數(shù)的方法，下面再舉幾個(gè)例題.例9從兩個(gè)重量分別為12千克(kg)和8千克，且含銅的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個(gè)合金含銅的百分?jǐn)?shù)相等.求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知條件中涉及到合金中含銅的百分?jǐn)?shù)，因此只有增設(shè)這兩個(gè)合金含銅的百分?jǐn)?shù)為參數(shù)或與合金含銅的百分?jǐn)?shù)有關(guān)的其他量為參數(shù)，才能充分利用已知，為列方程創(chuàng)造條件.解法1設(shè)所切下的合金的重量為x千克，重12千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為p,重8千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為q(pHq)，于是有?笛q+[12.—簽):p_zp(8-整理得5(q-p)x=24(q-p).因?yàn)閜Hq,所以q-pH0,因此x=4.8,即所切下的合金重4.8千克.解法2設(shè)從重12千克的合金上切下的x千克中含銅m千克，從重8千克的合金上切下的x千克中含銅n千克(mHn)，則這兩個(gè)合金含門十(12—對(duì)「一m+(8--銅的百分?jǐn)?shù)分別為巴和匕于是有一—=—-—曲z整理得5x(n-m)=24(n-m).

因?yàn)閙Hn,所以n-nHO,因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克.說(shuō)明在解含參數(shù)的方程時(shí)，一般情況下可以把參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化成只含有待求未知數(shù)的一般方程,也就是說(shuō)應(yīng)用題的解答與參數(shù)的數(shù)值無(wú)關(guān).例10某隊(duì)伍長(zhǎng)1998米(m)，在行進(jìn)中排尾的一個(gè)戰(zhàn)士因事趕到排頭，然后立即返回,當(dāng)這個(gè)戰(zhàn)士回到排尾時(shí),全隊(duì)已前進(jìn)1998米,如果隊(duì)伍和這個(gè)戰(zhàn)士行進(jìn)的速度都不改變，求這個(gè)戰(zhàn)士走過(guò)的路程.解法1設(shè)這個(gè)戰(zhàn)士走過(guò)的路程為s米，所需要的時(shí)間為t小時(shí)(h),則這.個(gè)戰(zhàn)士行進(jìn)的速度為f米/小時(shí)；隊(duì)伍行進(jìn)的速度為寧】米f小吋，戰(zhàn)士追上排頭所需吋間為小吋，從排頭回到排尾所需敢1993間為小時(shí).于是有—+tt19981998719亟十—弓匚19981998———+消去參數(shù)t得s-解之得窗=19歿+19亦/冬S2=1998-19937?(.舍去)■即這個(gè)戰(zhàn)士走過(guò)的路程為(19紀(jì)+1跆2龐_)氷.解法2設(shè)這個(gè)戰(zhàn)士的行進(jìn)速度為V1米/小時(shí)，隊(duì)伍行進(jìn)的速度為1993V*附則這個(gè)戰(zhàn)士斕尾趕到排頭所需時(shí)間為二初從排頭返回排尾所需時(shí)閆為"的小時(shí),臥伍行進(jìn)199區(qū)米所需時(shí)間為巧+叫丄竺■小時(shí)-于是有5519981998_1998射1一甘2+v2所以整理得11所以整理得十=V1V2Jv；_缶洌-=0因此巧二（1±忑）巧（舍去負(fù)值）-19981993廠廠5P+72）v2=1998十199S4^.所以這個(gè)戰(zhàn)士所走距離為巾'^即這個(gè)戰(zhàn)士走過(guò)的路程為匕9呢+\9呢肱）/r