線性代數(shù)論文

-.z.關(guān)于矩陣和行列式線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個分支，它的研究對象是：行列式矩陣空間向量和線性方程組。矩陣和行列式是兩個完全不同的概念，行列式代表著一個數(shù)，而矩陣僅僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣這個工具，可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量；這樣對于一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問題，就都可以得到徹底的解決。矩陣的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用。行列式與矩陣的本質(zhì)區(qū)別在于它們的定義。行列式是一種特殊的算式,它是根據(jù)求解方程組個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需要而定義的，經(jīng)計(jì)算能算出其數(shù)值，而矩陣只是一個數(shù)表，無法通過計(jì)算求得其值；而且兩者的表示方法也不同。如下例：表示的是一個2階行列式；而則表示是一個2×2的矩陣。而且可以通過計(jì)算求得其值為-2；而只能表示一個數(shù)表，不能求出值。行列式的行數(shù)和列數(shù)必須是相等的；而矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以相等也可以不相等。由n2個數(shù)組成的n行n列行列式為n階行列式；由m行n列組成的數(shù)表為m×n矩陣。只有行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣即方陣才能計(jì)算其行列式。如：是一個3×4的矩陣；而這樣的行列式是不存在的，因此無法求其行列式。而且行列式和矩陣的性質(zhì)和運(yùn)算法則也不同。如下：〔1〕記D=，DT=，則稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式，并有D=DT，行列式中行與列具有同等的地位，因此，行列式的性質(zhì)但凡對行成立的對列也同樣成立；同樣的矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT是指把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，即記A=，則AT=，但有〔AT〕T=A。且對方陣來說，=。〔2〕互換行列式的兩行〔列〕，行列式變號，例如：=-，因此可以推出——如果行列式有兩行〔列〕完全一樣，則此行列式為零，如：=0。〔3〕行列式的*一行〔列〕中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式，即行列式的*一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到行列式符號外面。如：=；而(A為方陣)?！?〕行列式中如果有兩行〔列〕元素成比例，則此行列式為零。如：=0；把行列式的*一行〔列〕的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行〔列〕對應(yīng)的元素上去，行列式不變；如果行列式的*一行〔列〕的各元素都是兩數(shù)之和，則此行列式為兩個行列式的和。而矩陣沒有這些性質(zhì)。〔5〕在矩陣中，對調(diào)兩行〔列〕；以數(shù)k≠0乘以*一行〔列〕的所有元素；把*一行〔列〕所有元素的k倍加到另一行〔列〕對應(yīng)的元素上去，稱為矩陣的初等變換。如果矩陣A經(jīng)過有限次的初等變換成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作A~B。則有以下性質(zhì)：①反身性： ；②對稱性：假設(shè)，則；③傳遞性：假設(shè)，，則。〔6〕在矩陣中有以下運(yùn)算法則：A+B=B+A，〔A+B〕+C=A+(B+C)，-A為A的負(fù)矩陣，A+(-A)=0，A-B=A+〔-B〕〔A、B為同型矩陣〕；，，；當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣可以相乘，如：，，則，是一個4×4的矩陣，而，是一個3×3的矩陣，由此可見，A×B≠B×A；〔但也有例外〕，〔AB〕C=A(BC)，A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA，，AE=EA=A；，〔A是n階矩陣〕；〔A+B〕T=AT+BT，〔λA〕T=λAT，〔AB〕T=BTAT?！?〕D=，去掉所在的行和列得到M22=即為元素的余子式，A22=〔-1〕2+2M22，叫做的代數(shù)余子式，行列式的每個元素分別對應(yīng)著一個余子式和代數(shù)余子式，再如去掉所在的行和列得到M12=，A12=〔-1〕1+2M12。而在矩陣中，定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣：稱為矩陣A的伴隨矩陣，且有AA*=A*A=E。因?yàn)閷τ谝粋€n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B使得AB=BA=E，則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記作A-1，則有(≠0)。在m×n矩陣A中任取k行k列〔k≤m，k≤n〕，位于這些行列式穿插處的k2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。如：矩陣A=，取其前2行和前2列得到A的2階子式。〔8〕關(guān)于矩陣的初等變換：首先要懂得矩陣的三種初等變換的算法，明白一個矩陣經(jīng)過一次初等變換并非完全不變，變換前后的矩陣間只是一種特殊的所謂等價關(guān)系〔如，而不是等等〕。還要能將行列式性質(zhì)中提公因子、交換兩行〔列〕與用常數(shù)乘*行〔列〕加到另一行〔列〕上去后的結(jié)果弄清楚，并可與相應(yīng)方陣的初等變換進(jìn)展比照。重要的是知道初等變換不改變矩陣的秩?！?〕關(guān)于逆矩陣：逆陣是由線性變換引入的，它可只由來定義〔與互為逆陣〕，這是應(yīng)用的根底。要記住方陣可逆的充要條件為以及關(guān)系式，二者有著重要與廣泛的應(yīng)用。要弄清的伴隨方陣是矩陣的各元素代數(shù)余子式為元素的矩陣的轉(zhuǎn)置，否則會出錯。下面是如何用初等變換求逆矩陣：設(shè)設(shè)求解于是，〔10〕關(guān)于矩陣的秩：矩陣的秩是由解線性方程組引入的一個新概念，對它要逐步加深理解。為此，首先應(yīng)弄清什么是矩陣的行階