高中數(shù)學(xué) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布復(fù)習(xí)課件

(了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題/利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義)10.9二項(xiàng)分布與正態(tài)分布(了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1．相互獨(dú)立事件的定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(A∩B)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．若A與B是相互獨(dú)立事件，A與，與B，與也相互獨(dú)立．2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義

在相同條件下做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．1．相互獨(dú)立事件的定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(A∩B)3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，如果在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝ .此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式4．總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，這條曲線就是(或近似地是)下列函數(shù)的圖象：φμ，σ＝f(x)＝，(－∞＜x＜＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)．我們稱φμ，σ的圖象為正態(tài)密度曲線．5．正態(tài)分布：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a<b，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝

φμ，σ(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布．記作N(μ，σ2)．如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)4．總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越6．正態(tài)曲線的性質(zhì)

(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交．

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．

(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值．

(4)曲線與x軸之間的面積為1. (5)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”， 總體分布越分散；σ越小．曲線越“瘦高”．總體分布越集中．

6．正態(tài)曲線的性質(zhì)1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為(

) A．0與1 B．1與0 C．0與0 D．1與1

解析：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義知． 答案：A2．壇子里放有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中進(jìn)行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與A2是(

) A．互斥事件B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件D．不相互獨(dú)立事件 答案：D1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為()2．壇子里放有3．如果ξ～B，則使P(ξ＝k)取最大值的k值為(

) A．3 B．4 C．5 D．3或4

解析：采取特殊值法．

∵P(ξ＝3)＝

，P(ξ＝4)＝

，P(ξ＝5)＝

從而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)． 答案：D3．如果ξ～B，則使P(ξ＝k4．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為________．(精確到0.01)

解析：由已知p＝0.80，則P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝0.94.

答案：0.94

4．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種1.事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”是兩個(gè)不同的概念，常因?yàn)閷⑺鼈兣於l(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤；兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生．2．再如三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，但三個(gè)條件不一定獨(dú)立．1.事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”是兩個(gè)不同的概念，常因?yàn)椤纠?】3名戰(zhàn)士射擊敵機(jī)，1人專射駕駛員，1人專射油箱，1人專射發(fā)動(dòng)機(jī)，命中的概率分別為、、，每個(gè)人射擊是獨(dú)立的，任1人射中， 敵機(jī)被擊落，求敵機(jī)被擊落的概率． 解答：解法一：本題等價(jià)于至少有1人射中的概率．而至少有1人射中的對(duì)立事件是3人都未射中．設(shè)A、B、C表示3人射擊1次都擊中的事件，則表示3人射擊都未擊中的事件．而至少有一人射中的概率為P. ∴P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝ 則P＝1－P()＝【例1】3名戰(zhàn)士射擊敵機(jī)，1人專射駕駛員，1人專射油箱，1人解法二：至少有1人擊中包括3種情況：①1人擊中；②2人擊中；③3人都擊中．∵射擊1次，∴以上3種情況互斥．∴敵機(jī)被擊落的概率是：P＝

＝解法二：至少有1人擊中包括3種情況：①1人擊中；②2人擊中；變式1.在如右圖所示的電路中，開關(guān)a，b，c開 或關(guān)的概率都為，且相互獨(dú)立，求燈亮的概率．

解答：解法一：設(shè)事件A、B、C分別表示開關(guān)a，b，c關(guān)閉，則a，b同時(shí)關(guān)合或c關(guān)合時(shí)燈亮，即A·B·

，A·B·C，或·B·C，A·

·C，

·C之一發(fā)生，又因它們是互斥的，所以，所求概率為：P＝P(A·B·)＋P(·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·

·C)＋P(·

·C)＝P(A)·P(B)·P()＋P()·P(B)·P(C)＋P(A)·P()·P(C)＋P()·P()·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝5×()3＝變式1.在如右圖所示的電路中，開關(guān)a，b，c開P＝P(A·B解法二：設(shè)A，B，C所表示的事件與解法一相同，若燈不亮則兩條線路都不通，即c一定斷開，a，b中至少有一個(gè)斷開，而a，b中至少有一個(gè)斷開的概率是：1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝.所以兩條線路皆不通的概率為：于是，燈亮的概率為P＝解法二：設(shè)A，B，C所表示的事件與解法一相同，若燈不亮則兩條1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的特殊情況．2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在相同的條件下重復(fù)地、各次相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)．在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且在任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的，牢記n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式．1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的特殊情況．【例2】9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種．

(1)求甲坑不需要補(bǔ)種的概率；

(2)求3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率；

(3)求有坑需要補(bǔ)種的概率．(精確到0.001)【例2】9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子解答：(1)因?yàn)榧卓觾?nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1－0.5)3＝，所以甲坑不需要補(bǔ)種的概率為1－＝0.875.(2)3個(gè)坑恰有一個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為

＝0.041.(3)解法一：因?yàn)?個(gè)坑都不需要補(bǔ)種的概率為()3，所以有坑需要補(bǔ)種的概率為1－()3＝0.330.解法二：3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

＝0.287，恰有2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

＝0.041，3個(gè)坑都需要補(bǔ)種的概率為

＝0.002.所以有坑需要補(bǔ)種的概率為0.287＋0.041＋0.002＝0.330.解答：(1)因?yàn)榧卓觾?nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1－0.5變式2.甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒(méi)有影響．求：

(1)甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率；

(2)甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率． 解答：(1)P1＝C0.6×0.4C0.6×0.4＝0.2304. (2)P2＝1－(1－0.6)4＝0.9744.變式2.甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)正態(tài)分布問(wèn)題可利用變換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可通過(guò)查表(或提供的數(shù)據(jù))進(jìn)行求解．正態(tài)分布有兩個(gè)重要的參數(shù)，平均數(shù)(期望、數(shù)學(xué)期望)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，我們不但要明白μ和σ在統(tǒng)計(jì)上的意義，還要對(duì)應(yīng)到正態(tài)曲線上的曲線幾何意義，做到從概率、統(tǒng)計(jì)、曲線、函數(shù)這四個(gè)方面來(lái)把握和理解，其中后兩個(gè)方面是作為數(shù)學(xué)工具來(lái)為前兩個(gè)方面服務(wù)的．正態(tài)分布問(wèn)題可利用變換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分【例3】在N(μ，σ2)下，求F(μ－σ，μ＋σ)；F(μ－2σ，μ＋2σ)；

F(μ－3σ，μ＋3σ)． 解答：F(μ＋σ)＝Φ()＝Φ(1)＝0.8413 F(μ－σ)＝Φ()＝Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.8413＝0.1587 F(μ－σ，μ＋σ)＝F(μ＋σ)－F(μ－σ)＝0.8413－0.1587＝0.6826 F(μ－2σ，μ＋2σ)＝F(μ＋2σ)－F(μ－2σ)＝0.954 F(μ－3σ，μ＋3σ)＝F(μ＋3σ)－F(μ－3σ)＝0.997【例3】在N(μ，σ2)下，求F(μ－σ，μ＋σ)；F(μ－變式3.在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,100)．已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12名．

(1)試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？

(2)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表Φ(x0)＝P(x＜x0)變式3.在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布復(fù)習(xí)課件解答：(2)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為ξ，因?yàn)棣巍玁(70,100)，由條件知，P(ξ≥90)＝1－P(ξ<90)＝1－F(90)＝1－Φ()＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228.這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，因此，參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人)．(2)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則P(ξ≥x)＝1－P(ξ<x)＝1－F(90)＝1－Φ()＝＝0.0951，即Φ()＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分.解答：(2)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為ξ，因?yàn)棣巍玁(70,100)1．古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)=,其中,在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)=是一種重要的求條件概率的方法.2．運(yùn)用公式P(A∩B)＝P(A)P(B)時(shí)一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立．3．在解題過(guò)程中，要明確事件中的“至少一個(gè)發(fā)生”、“至多有一個(gè)發(fā)生”、“恰有一個(gè)發(fā)生”、“都發(fā)生”、“都不發(fā)生”、“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意義，已知兩個(gè)事件A、B，它們的概率分別為P(A)、P(B)，那么：【方法規(guī)律】1．古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為AB；A、B都發(fā)生的事件為A∩B；A、B都不發(fā)生的事件為；A、B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為

；A、B中至多有一個(gè)發(fā)生的事件為

.它們之間的概率關(guān)系如下表所示．A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為AB；4.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝

，

k＝0,1,2，…，n，其中p是一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率．實(shí)際上，正好是二項(xiàng)式[(1－p)＋p]n的展開式中的第k＋1項(xiàng).

∩4.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P((本題滿分12分)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.(1)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；(2)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率.(本題滿分12分)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)【答題模板】解答：設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為P1＝，服用B有效的概率為P2＝,一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率為P(A)．(1)由已知條件：P(A)＝＝(2)【答題模板】解答：設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為P1＝1.獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是高考考查概率問(wèn)題的重點(diǎn)．多以解答題形式進(jìn)行考查，難度多為中低檔．2．本題考查典型的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，首先計(jì)算一次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率P，然后求三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率1－P3(0)＝1－(1－P)3.

【分析點(diǎn)評(píng)】點(diǎn)擊此處進(jìn)入作業(yè)手冊(cè)1.獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是高考考查概率問(wèn)(了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題/利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義)10.9二項(xiàng)分布與正態(tài)分布(了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1．相互獨(dú)立事件的定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(A∩B)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．若A與B是相互獨(dú)立事件，A與，與B，與也相互獨(dú)立．2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義

在相同條件下做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．1．相互獨(dú)立事件的定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(A∩B)3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，如果在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝ .此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式4．總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，這條曲線就是(或近似地是)下列函數(shù)的圖象：φμ，σ＝f(x)＝，(－∞＜x＜＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)．我們稱φμ，σ的圖象為正態(tài)密度曲線．5．正態(tài)分布：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a<b，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝

φμ，σ(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布．記作N(μ，σ2)．如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)4．總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越6．正態(tài)曲線的性質(zhì)

(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交．

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．

(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值．

(4)曲線與x軸之間的面積為1. (5)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”， 總體分布越分散；σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中．

6．正態(tài)曲線的性質(zhì)1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為(

) A．0與1 B．1與0 C．0與0 D．1與1

解析：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義知． 答案：A2．壇子里放有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中進(jìn)行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與A2是(

) A．互斥事件B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件D．不相互獨(dú)立事件 答案：D1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為()2．壇子里放有3．如果ξ～B，則使P(ξ＝k)取最大值的k值為(

) A．3 B．4 C．5 D．3或4

解析：采取特殊值法．

∵P(ξ＝3)＝

，P(ξ＝4)＝

，P(ξ＝5)＝

從而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)． 答案：D3．如果ξ～B，則使P(ξ＝k4．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為________．(精確到0.01)

解析：由已知p＝0.80，則P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝0.94.

答案：0.94

4．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種1.事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”是兩個(gè)不同的概念，常因?yàn)閷⑺鼈兣於l(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤；兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生．2．再如三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，但三個(gè)條件不一定獨(dú)立．1.事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”是兩個(gè)不同的概念，常因?yàn)椤纠?】3名戰(zhàn)士射擊敵機(jī)，1人專射駕駛員，1人專射油箱，1人專射發(fā)動(dòng)機(jī)，命中的概率分別為、、，每個(gè)人射擊是獨(dú)立的，任1人射中， 敵機(jī)被擊落，求敵機(jī)被擊落的概率． 解答：解法一：本題等價(jià)于至少有1人射中的概率．而至少有1人射中的對(duì)立事件是3人都未射中．設(shè)A、B、C表示3人射擊1次都擊中的事件，則表示3人射擊都未擊中的事件．而至少有一人射中的概率為P. ∴P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝ 則P＝1－P()＝【例1】3名戰(zhàn)士射擊敵機(jī)，1人專射駕駛員，1人專射油箱，1人解法二：至少有1人擊中包括3種情況：①1人擊中；②2人擊中；③3人都擊中．∵射擊1次，∴以上3種情況互斥．∴敵機(jī)被擊落的概率是：P＝

＝解法二：至少有1人擊中包括3種情況：①1人擊中；②2人擊中；變式1.在如右圖所示的電路中，開關(guān)a，b，c開 或關(guān)的概率都為，且相互獨(dú)立，求燈亮的概率．

解答：解法一：設(shè)事件A、B、C分別表示開關(guān)a，b，c關(guān)閉，則a，b同時(shí)關(guān)合或c關(guān)合時(shí)燈亮，即A·B·

，A·B·C，或·B·C，A·

·C，

·C之一發(fā)生，又因它們是互斥的，所以，所求概率為：P＝P(A·B·)＋P(·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·

·C)＋P(·

·C)＝P(A)·P(B)·P()＋P()·P(B)·P(C)＋P(A)·P()·P(C)＋P()·P()·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝5×()3＝變式1.在如右圖所示的電路中，開關(guān)a，b，c開P＝P(A·B解法二：設(shè)A，B，C所表示的事件與解法一相同，若燈不亮則兩條線路都不通，即c一定斷開，a，b中至少有一個(gè)斷開，而a，b中至少有一個(gè)斷開的概率是：1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝.所以兩條線路皆不通的概率為：于是，燈亮的概率為P＝解法二：設(shè)A，B，C所表示的事件與解法一相同，若燈不亮則兩條1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的特殊情況．2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在相同的條件下重復(fù)地、各次相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)．在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且在任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的，牢記n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式．1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的特殊情況．【例2】9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種．

(1)求甲坑不需要補(bǔ)種的概率；

(2)求3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率；

(3)求有坑需要補(bǔ)種的概率．(精確到0.001)【例2】9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子解答：(1)因?yàn)榧卓觾?nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1－0.5)3＝，所以甲坑不需要補(bǔ)種的概率為1－＝0.875.(2)3個(gè)坑恰有一個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為

＝0.041.(3)解法一：因?yàn)?個(gè)坑都不需要補(bǔ)種的概率為()3，所以有坑需要補(bǔ)種的概率為1－()3＝0.330.解法二：3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

＝0.287，恰有2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

＝0.041，3個(gè)坑都需要補(bǔ)種的概率為

＝0.002.所以有坑需要補(bǔ)種的概率為0.287＋0.041＋0.002＝0.330.解答：(1)因?yàn)榧卓觾?nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1－0.5變式2.甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒(méi)有影響．求：

(1)甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率；

(2)甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率． 解答：(1)P1＝C0.6×0.4C0.6×0.4＝0.2304. (2)P2＝1－(1－0.6)4＝0.9744.變式2.甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)正態(tài)分布問(wèn)題可利用變換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可通過(guò)查表(或提供的數(shù)據(jù))進(jìn)行求解．正態(tài)分布有兩個(gè)重要的參數(shù)，平均數(shù)(期望、數(shù)學(xué)期望)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，我們不但要明白μ和σ在統(tǒng)計(jì)上的意義，還要對(duì)應(yīng)到正態(tài)曲線上的曲線幾何意義，做到從概率、統(tǒng)計(jì)、曲線、函數(shù)這四個(gè)方面來(lái)把握和理解，其中后兩個(gè)方面是作為數(shù)學(xué)工具來(lái)為前兩個(gè)方面服務(wù)的．正態(tài)分布問(wèn)題可利用變換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分【例3】在N(μ，σ2)下，求F(μ－σ，μ＋σ)；F(μ－2σ，μ＋2σ)；

F(μ－3σ，μ＋3σ)． 解答：F(μ＋σ)＝Φ()＝Φ(1)＝0.8413 F(μ－σ)＝Φ()＝Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.8413＝0.1587 F(μ－σ，μ＋σ)＝F(μ＋σ)－F(μ－σ)＝0.8413－0.1587＝0.6826 F(μ－2σ，μ＋2σ)＝F(μ＋2σ)－F(μ－2σ)＝0.954 F(μ－3σ，μ＋3σ)＝F(μ＋3σ)－F(μ－3σ)＝0.997【例3】在N(μ，σ2)下，求F(μ－σ，μ＋σ)；F(μ－變式3.在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,100)．已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12名．

(1)試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？

(2)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表Φ(x0)＝P(x＜x0)變式3.在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布復(fù)習(xí)課件解答：(2)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為ξ，因?yàn)棣巍玁(70,100)，由條件知，P(ξ≥90)＝1－P(ξ<90)＝1－F(90)＝1－Φ()＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228.這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，因此，參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人)．(2)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則P(ξ≥x)＝1－P(ξ<x)＝1－F(90)＝1－Φ()＝＝0.0951，即Φ()＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分.解答：(2)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為ξ，因?yàn)棣巍玁(70,100)1．古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)=