高中數(shù)學(xué)教學(xué)課件《單位圓與三角函數(shù)線》

單位圓與三角函數(shù)線單位圓與三角函數(shù)線

對于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者說是用數(shù)來表示的，今天我們再來學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法.對于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者1.了解單位圓的概念.2.能夠用正弦線、余弦線、正切線表示任意角的

三角函數(shù)值.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1.了解單位圓的概念.αP(x,y)知識回顧（1）角的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？αrαP(x,y)知識回顧αr(3)數(shù)軸上向量的數(shù)量（坐標(biāo)）是如何規(guī)定的？數(shù)軸上的向量的坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值為線段的長度，如果向量的方向與數(shù)軸的方向相同取正，反之取負(fù).AB（2）角α的正弦、余弦、正切值與終邊上P點(diǎn)的位置是否有關(guān)？與P點(diǎn)位置無關(guān)，與角α大小有關(guān).x(3)數(shù)軸上向量的數(shù)量（坐標(biāo)）是如何規(guī)定的？數(shù)軸上的向量從定義看出：角α的三角函數(shù)是兩個(gè)變量的比值.為了簡單地計(jì)算其正余弦、正切，我們可以使分母為1.問題1：當(dāng)r=1時(shí)，即P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1.所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成什么圖形？以原點(diǎn)為圓心，半徑為１的圓.探究點(diǎn)1：單位圓的定義從定義看出：角α的三角函數(shù)是兩個(gè)變量的比值.為了簡單地計(jì)算其xyOP(x,y)α終邊sinα=y1=ycosα=x1=x我們把半徑為1的圓叫做單位圓，設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，如圖所示，設(shè)任意角α與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，則r=|OP|=1.xyOP(x,y)α終邊sinα=y1=ycosα=問題2：當(dāng)角α是第一象限角時(shí)，能否在坐標(biāo)軸上找到兩個(gè)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量,使P點(diǎn)的坐標(biāo)分別是這兩個(gè)向量的數(shù)量？過Ｐ作ＰＭ垂直x軸于點(diǎn)Ｍ，作ＰＮ垂直y軸于點(diǎn)Ｎ，則點(diǎn)Ｍ，Ｎ分別是點(diǎn)P在x軸、y軸上的正射影（簡稱射影).oP（x,y）NxM探究點(diǎn)2：正弦線、余弦線y問題2：當(dāng)角α是第一象限角時(shí)，能否在坐標(biāo)軸上找到兩個(gè)以原點(diǎn)問題3：當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，角α的正、余弦與Ｐ的縱、橫坐標(biāo)y，x之間有何關(guān)系？由問題1，2你得到角α的正、余弦值與向量的數(shù)量有什么關(guān)系？yoxPNM問題3：當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，角α的正、余弦與Ｐ的縱、橫坐標(biāo)y結(jié)論：第一象限角α的正、余弦值分別等于終邊與單位圓交點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)，也分別等于,的數(shù)量,即結(jié)論：第一象限角α的正、余弦值分別等于一般結(jié)論：角α的余弦和正弦分別等于角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即正弦、余弦線是向量正弦、余弦值是數(shù)量一般結(jié)論：角α的余弦和正弦分別等于角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫xyoP(x,y)α終邊xyoMMP(x,y)一二象限正、余弦線α終邊xyoP(x,y)α終邊xyoMMP(x,y)一二象限xyoxyoMM三四象限正、余弦線α終邊α終邊P(x,y)P(x,y)xyoxyoMM三四象限正、余弦線α終邊α終邊P(x,問題4：α是第一象限角，能否在坐標(biāo)系中找到一個(gè)垂直于x軸的向量，使它的數(shù)量為α的正切？Ｔ點(diǎn)是過單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)Ａ作圓的切線與α終邊的交點(diǎn)．yxoPTMA探究點(diǎn)3：正切線的定義問題4：α是第一象限角，能否在坐標(biāo)系中找到一個(gè)垂直于x軸的向問題5：角α是第二象限的角時(shí)能否找到一個(gè)垂直于x軸的向量，使其數(shù)量為tanα？能否找到一個(gè)以Ａ點(diǎn)為起點(diǎn)在過A的切線上的向量，使這一向量的數(shù)量為tanα？yoα的終邊T′A1T1（-1，y1

）AT1的坐標(biāo)為（-1，y1），則tanα=·x問題5：角α是第二象限的角時(shí)能否找到一個(gè)垂直于x軸的向量，使以A為原點(diǎn)建立y′軸與y軸同向，y′軸與α角的終邊(或其反向延長線)相交于點(diǎn)T(或T′)，則tanα=AT(或AT′).

我們把軸上向量叫做α的正切線.以A為原點(diǎn)建立y′軸與y軸同向，y′軸與α角答：角α的終邊在x軸上時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)M重合,點(diǎn)T與點(diǎn)A重合,此時(shí),正弦線和正切線變成了一點(diǎn),它們的數(shù)量為0,而余弦線OM=1或-1.α終邊在x軸、y軸上時(shí)，三角函數(shù)線有何特點(diǎn)？數(shù)量值是什么？問題6:答：角α的終邊在x軸上時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)M重合,點(diǎn)T與點(diǎn)A重合,當(dāng)角α的終邊落在y軸上時(shí),正弦線MP=1或-1,余弦線變成了一點(diǎn)，數(shù)量為零,正切線不存在.當(dāng)角α的終邊落在y軸上時(shí),正弦線MP=1或-1,余弦線變成了提升總結(jié)：(1)三角函數(shù)線的位置:正弦線為α的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直的有向線段，余弦線在x軸上;正切線在單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上；三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi),一條在單位圓外.提升總結(jié)：(1)三角函數(shù)線的位置:(2)三角函數(shù)線的方向:正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn),余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與α終邊的交點(diǎn).(2)三角函數(shù)線的方向:【例題精講】【例題精講】同理可作出的正弦線、余弦線和正切線，如圖，即的正弦線為，余弦線為,正切線為.同理可作出的正弦線、即的正弦線為，例2.比較大?。?1)sin1和sin1.5.(2)cos1和cos1.5.(3)tan2和tan3.解：由三角函數(shù)線得sin1<sin1.5；cos1>cos1.5；xy例2.比較大?。航猓河扇呛瘮?shù)線得xytan2<tan3.xytan2<tan3.xy1.如果和分別是角的正弦線和余弦線，那么下列結(jié)論中正確的是（）2.若，則下列各式中正確的是（）CD1.如果和分別是角的正弦線和DDyP1P2xoAT1M1M2T24.利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小.yP1P2xoAT1M1M2T24.利用三角函數(shù)線比較三角函1.三角函數(shù)線的作法：

（1）建立平面直角坐標(biāo)系，畫出單位圓.（2）找出終邊所在位置，設(shè)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,作于M，作于N，則是正弦線，是余弦線.（3）設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的切線與角的終邊交于點(diǎn)T（或其反向延長線交于點(diǎn)），則就是正切線.1.三角函數(shù)線的作法：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，畫出單位2.三角函數(shù)線的應(yīng)用：（1）利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小.（2）已知三角函數(shù)值求角.2.三角函數(shù)線的應(yīng)用：（1）利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大把一頁書好好地消化，勝過匆匆地閱讀一本書.——麥考萊把一頁書好好地消化，勝過匆匆地閱讀一本書.單位圓與三角函數(shù)線單位圓與三角函數(shù)線

對于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者說是用數(shù)來表示的，今天我們再來學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法.對于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者1.了解單位圓的概念.2.能夠用正弦線、余弦線、正切線表示任意角的

三角函數(shù)值.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1.了解單位圓的概念.αP(x,y)知識回顧（1）角的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？αrαP(x,y)知識回顧αr(3)數(shù)軸上向量的數(shù)量（坐標(biāo)）是如何規(guī)定的？數(shù)軸上的向量的坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值為線段的長度，如果向量的方向與數(shù)軸的方向相同取正，反之取負(fù).AB（2）角α的正弦、余弦、正切值與終邊上P點(diǎn)的位置是否有關(guān)？與P點(diǎn)位置無關(guān)，與角α大小有關(guān).x(3)數(shù)軸上向量的數(shù)量（坐標(biāo)）是如何規(guī)定的？數(shù)軸上的向量從定義看出：角α的三角函數(shù)是兩個(gè)變量的比值.為了簡單地計(jì)算其正余弦、正切，我們可以使分母為1.問題1：當(dāng)r=1時(shí)，即P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1.所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成什么圖形？以原點(diǎn)為圓心，半徑為１的圓.探究點(diǎn)1：單位圓的定義從定義看出：角α的三角函數(shù)是兩個(gè)變量的比值.為了簡單地計(jì)算其xyOP(x,y)α終邊sinα=y1=ycosα=x1=x我們把半徑為1的圓叫做單位圓，設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，如圖所示，設(shè)任意角α與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，則r=|OP|=1.xyOP(x,y)α終邊sinα=y1=ycosα=問題2：當(dāng)角α是第一象限角時(shí)，能否在坐標(biāo)軸上找到兩個(gè)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量,使P點(diǎn)的坐標(biāo)分別是這兩個(gè)向量的數(shù)量？過Ｐ作ＰＭ垂直x軸于點(diǎn)Ｍ，作ＰＮ垂直y軸于點(diǎn)Ｎ，則點(diǎn)Ｍ，Ｎ分別是點(diǎn)P在x軸、y軸上的正射影（簡稱射影).oP（x,y）NxM探究點(diǎn)2：正弦線、余弦線y問題2：當(dāng)角α是第一象限角時(shí)，能否在坐標(biāo)軸上找到兩個(gè)以原點(diǎn)問題3：當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，角α的正、余弦與Ｐ的縱、橫坐標(biāo)y，x之間有何關(guān)系？由問題1，2你得到角α的正、余弦值與向量的數(shù)量有什么關(guān)系？yoxPNM問題3：當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，角α的正、余弦與Ｐ的縱、橫坐標(biāo)y結(jié)論：第一象限角α的正、余弦值分別等于終邊與單位圓交點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)，也分別等于,的數(shù)量,即結(jié)論：第一象限角α的正、余弦值分別等于一般結(jié)論：角α的余弦和正弦分別等于角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即正弦、余弦線是向量正弦、余弦值是數(shù)量一般結(jié)論：角α的余弦和正弦分別等于角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫xyoP(x,y)α終邊xyoMMP(x,y)一二象限正、余弦線α終邊xyoP(x,y)α終邊xyoMMP(x,y)一二象限xyoxyoMM三四象限正、余弦線α終邊α終邊P(x,y)P(x,y)xyoxyoMM三四象限正、余弦線α終邊α終邊P(x,問題4：α是第一象限角，能否在坐標(biāo)系中找到一個(gè)垂直于x軸的向量，使它的數(shù)量為α的正切？Ｔ點(diǎn)是過單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)Ａ作圓的切線與α終邊的交點(diǎn)．yxoPTMA探究點(diǎn)3：正切線的定義問題4：α是第一象限角，能否在坐標(biāo)系中找到一個(gè)垂直于x軸的向問題5：角α是第二象限的角時(shí)能否找到一個(gè)垂直于x軸的向量，使其數(shù)量為tanα？能否找到一個(gè)以Ａ點(diǎn)為起點(diǎn)在過A的切線上的向量，使這一向量的數(shù)量為tanα？yoα的終邊T′A1T1（-1，y1

）AT1的坐標(biāo)為（-1，y1），則tanα=·x問題5：角α是第二象限的角時(shí)能否找到一個(gè)垂直于x軸的向量，使以A為原點(diǎn)建立y′軸與y軸同向，y′軸與α角的終邊(或其反向延長線)相交于點(diǎn)T(或T′)，則tanα=AT(或AT′).

我們把軸上向量叫做α的正切線.以A為原點(diǎn)建立y′軸與y軸同向，y′軸與α角答：角α的終邊在x軸上時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)M重合,點(diǎn)T與點(diǎn)A重合,此時(shí),正弦線和正切線變成了一點(diǎn),它們的數(shù)量為0,而余弦線OM=1或-1.α終邊在x軸、y軸上時(shí)，三角函數(shù)線有何特點(diǎn)？數(shù)量值是什么？問題6:答：角α的終邊在x軸上時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)M重合,點(diǎn)T與點(diǎn)A重合,當(dāng)角α的終邊落在y軸上時(shí),正弦線MP=1或-1,余弦線變成了一點(diǎn)，數(shù)量為零,正切線不存在.當(dāng)角α的終邊落在y軸上時(shí),正弦線MP=1或-1,余弦線變成了提升總結(jié)：(1)三角函數(shù)線的位置:正弦線為α的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直的有向線段，余弦線在x軸上;正切線在單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上；三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi),一條在單位圓外.提升總結(jié)：(1)三角函數(shù)線的位置:(2)三角函數(shù)線的方向:正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn),余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與α終邊的交點(diǎn).(2)三角函數(shù)線的方向:【例題精講】【例題精講】同理可作出的正弦線、余弦線和正切線，如圖，即的正弦線為，余弦線為,正切線為.同理可作出的正弦線、即的正弦線為，例2.比較大小：(1)sin1和sin1.5.(2)cos1和cos1.5.(3)tan2和tan3.解：由三角函數(shù)線得sin1<sin1.5；cos1>co