正態(tài)分布和線性回歸

專題：正態(tài)分布和線性回歸一、 基礎知識回顧沙1 2f(x)r=〔eW廠，X.的圖象J2兀CT其中：n是圓周率；e是自然對數(shù)的底；x是隨機變量的取值j為正態(tài)分布的平均值；二是正態(tài)分布的標準差?這個總體是無限容量的抽樣總體，其分布叫做正態(tài)分布?正態(tài)分布由參數(shù)?二唯~N^^7),E()^^,D().2 2f(x)圖象被稱為正態(tài)曲線.X=pX=r時取x=pXXx軸為漸近線的,(3)PC越大，曲線越“矮胖”總體分布越分散；c越小，曲線越“高”，總體分布越集中.把~N(0,1)p=0,o=1稱為標準正態(tài)分布，這樣的正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其密度函數(shù)12x2為f(x) e2

，x (-

)，相應的曲線稱為標準正XX，72兀曲線,4.利用標準正態(tài)分布表可求得標準正態(tài)總體在某一區(qū)間內(nèi)取的概率.oo XX=P(XX)X0Xooo o o)= yx0時，(xP(xo o)= Xo<0

)=1-G(-X

)，并且可以求得在任一區(qū)「間1,X)內(nèi)P^ex5.

)=6(x2

o-①(xj，

o對于任一正態(tài)總體~N(?二

2)，都可以2通過PC-x)=P(

使之標準化~N(0,1)，那么,)^：^(-)，求得其在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率.CT CT例如：~N(1,4),那么，設=

匕_1,則~N(0,1),有P(<3)=P(<1)=「(1)=0.8413.26.①(1)=0.8413、①(2)=0.9772、①(3)=0.9987、例題c.(1) (2)

1 ,(--VXV+-V2n廠1D訃廠22f(x)

2 _2(x1)2 (4<XV+X2二2正態(tài)總體的函數(shù)表示式是f(x)=_2_e2 ,(xv+%)(1)求f(x)的最大值;2X1)(2)利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)說明其單調(diào)區(qū)間，以及曲線的對稱軸.(①⑴=0.8413、①⑵=0.9772、①(3)=0.9987)間取值的概率.(1)(0,1)；(2)(1,3);(3)(-1,2).4.利用標準正態(tài)分布((①(1)=0.8413、①(1.84)=0.9671)，求正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率(1) 在N(1,4)下，求F(3)(2) NC*P(1.84o<X<1.84C25.對于正態(tài)總體N(",匚(1) (p5.對于正態(tài)總體N(",匚(2) (2c,p+2c):(3) (p-3c,p+3c):68.3%、95.4%、99.7%。因此我們時常只在區(qū)間(p3c,p+3c)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分，這一部分情況發(fā)生為小概率事件。下列關于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述正確的是x=x軸上方；⑵x=cx€(-3c,3c)時才在x(3)y軸對稱，因為曲線對應的正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù)；⑷曲線在x=p時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；(5)曲線的對稱軸由卩確定，曲線的形狀由c確定；⑹c越大,曲線越“矮胖”總體分布越分散；c越小，曲線越“高”總體分布越集中.( )(A)只有(1)(4)(5)(6) (B)只有(2)(4)(5)(C)只有(3)(4)(5)(6) (D)只有(1)(5)(6)a2個單位，b,下列說法不正確的是(A)曲線b仍然是正態(tài)曲線 (B)曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等ab2ab218.在正態(tài)總體N(0,-)中，數(shù)值落在(-3-1)U(1,+%)里的概率為9(A)0.097 (B)0.046

(C)0.03 (D)0.0039?Z7N(2,4),D(—)等于2(A)1 (B)2 (C)0.5?Ng/),p(z毛)=P(Z￡),則C等于0 (B)卩 (C)-卩

(D)4)(D)cx2f(X)17「二，x28(A)0和8 (B)0和4 (C)0和2 (D)0和..2填空題(1)若隨機變量Z?N(1,0.25),則2Z的概率密度函數(shù) .⑵期望為2,方差為2二的正態(tài)分布的密度函數(shù)是 .⑶已知正態(tài)總體落在區(qū)間(0.2,+g)的概率是0.5,則相應的正態(tài)曲線f(x)在x= 時,達到咼點.⑷已知z?J(0,1),P(Z<!.96)=①(1.96)=0.9750,則①(-1.96)= .某種零件的尺寸服從正態(tài)分布N(0,4),則不屬于區(qū)間(-4,4)這個尺寸范圍的零件約占總的 .某次抽樣調(diào)查結果表明，考生的成績(百分制)近似服從正態(tài)分布,72分,96分以上2.3%,6084分之間的概率為.①(1)=0.8413、①(2)=0.977、①(3)=0.9987參考答案:1(1)0,1(2)1,2(3)-1,0.5;2.(1)x=-1 ,(2)對稱軸為x=-1.3.(1)0.3413(2)0.1574(3)0.818512.(1)f(x)二2112.(1)f(x)二21^(x4);(2)f(x)e二；(3)0.2;(4)0.025;(5)4.56%;(6)二=12;P=0.6826.4F(96)=

96 72

,、=12,一( )=1-0.023=0.9770=(2)一6一F(84)-F(60)= (84 一

-72)=⑴_(_1)=2⑴_1=0.68261212正態(tài)分布和線性回歸高考要求1?了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)2.了解線性回歸的方法和簡單應用知識點歸納f(x)二(f(x)二(T>0,-XVxvx)n是圓周率；e是自然對數(shù)的底；x布的標準差.N（d；「2）+22N（~；「））是由均值卩和標準差c唯一決定的分2例1、下面給出三個正態(tài)總體的函數(shù)表示式，請找出其均值卩和標準差c.

c是正態(tài)分(1)f(x)二(-XVXV(1)f(x)二(-XVXV+X

<X4)222e

(-x<

xV+X解：(1)0,1 ⑵1,23.正態(tài)曲線的性質(zhì)：正態(tài)分布由參數(shù)y、c唯一確定，如果隨機變量 N（義有：尸E?,c=D'o正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：

,c,根據(jù)定xx軸不相交。x=卩對稱。x=卩時位于最高點。xxx軸為漸近線，向它無限靠近。c確定。c越大，曲線越“矮胖”表示總體越分散；c小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。五條性質(zhì)中前三條較易掌握，后兩條較難理解，因此應運用數(shù)形結合的原則，采用對比教標準正態(tài)曲線：當卩=0、c=l時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應的函數(shù)表示式是其相應的曲線稱為標準正態(tài)曲線?N(0，1均可轉化成標準正態(tài)分布的概率問題’標準正態(tài)總體的概率問題:標準正態(tài)分布曲線 5f(x)x對于標準正態(tài)總體N(0，1)，①(X。)是總體取值小于X。的概率,即「(X。)=P(X：：X。)，?

0，圖中陰影部分的面積表示為概率P（X：：:X）+只要有標準正態(tài)分布表即可查表解決°0 0 從圖中不難發(fā)現(xiàn):x0:：:0時，：?：』（x）=1_G（_x）x=0時，①（0）=0.5°0 0 2X~N（~；「），且總體密度曲線的函數(shù)表達式2為:f(x)

=—=e42.7：

x2_2x+

，xR。（1求y，c;）（2）c。禾I」用一般正態(tài)總體N（~；「）與標準正態(tài)總體N（0，1）概率間的關系，將一般正態(tài)總體劃歸為標準正態(tài)總體來2解決。1 x解：（1）f（x）1e

（X」）2一―2上 常''2兀\2根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達形式，可知卩=1，卞=J2，故X N（1,2）。（）P（|x_1|：：.）=（1_.2：：x：：1、.2）一①耳壟）122-門（1）-門（-1）=2：：」（1）-1=20.8413-10.6826。點評：在解決數(shù)學問題的過程中，將未知的，不熟悉的問題轉化為已知的、熟悉的、已二F（1、2）F （V2）…2一1布與標準正態(tài)分布間的內(nèi)在關聯(lián)。相關關系:相關關系+相關關系與函數(shù)關系的異同點如下：相同點：均是指兩個變量的關系+不同點：函數(shù)關系是一種確定的關系；而相關關系是一種非確定關系；函數(shù)關系是自變量與因變量之間的關系，這種關系是兩個非隨機變量的關系；而相關關系是非隨機變量與隨機變1 i=4量的關系.回歸分析一元線性回歸分析：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析+通俗地講，回歸分析是尋找相關關系中非確定性關系的某種確定性+對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個方面：系是回歸分析的前提。先作散點圖，在圖上看它們有無關系，關系的密切程度，然后再進行相關回歸分析。程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。散點圖：表示具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖?散點圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度.粗略地看，散點分布具有一定的規(guī)律+回歸直線A設所求的直線方程為y=bx-a,，其中a、b是待定系數(shù).瓦(人一X)(yi—y)ZNyi—nXyX,yyn J i ii區(qū)-X)2 i

X

ni4 ni討i4 iAa=y-bX相應的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進行的上述統(tǒng)計分析叫做回歸分析?yx的一組觀測值,,y,n n,y,ii'(Xiii

-X)(y-y)

\x _nxy21iIn一 nii、(Xi盤.i

-x)2'(yi

-y)2妊yx程度.14.相關系數(shù)的性質(zhì)：r<1，且|r1r014.相關系數(shù)的性質(zhì)：r<1，且|r1r0，相關程度例3假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料:n ni('X2-nx2)Cy-ny2/r