18版第2章10節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)

[考意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函y＝x的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0

處的導(dǎo)數(shù)：①定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0

處的瞬時(shí)變化率Δx→00＝x

x00作

f′(x

)或

y′|

即

f′(x

)＝limΔx→0ΔyΔx＝.fx0＋Δx－fx0lim

Δylim

Δx

＝

Δx→0Δx

為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記Δx→0fx0＋Δx－fx0limΔx②幾何意義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))

處的切線斜率．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝(2)函數(shù)f(x)數(shù)．lim→

Δx

0

為f(x)的導(dǎo)函fx＋Δx－fxΔx2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝

n·xn－1f(x)＝sin

xf′(x)＝

cos_x

f(x)＝cos

xf′(x)＝

－sin

x

f(x)＝axf′(x)＝

axln

a

(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝

exf(x)＝logax

1

f′(x)＝

xln

a

f(x)＝ln

x1f′(x)＝

x

(3)

fx

gx′＝

(g(x)≠0)．3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝

f′(x)±g′(x)

；(2)[f(x)·g(x)]′＝

f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

；f′xgx－fxg′x[gx]21．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同．(

)(2)求

f′(x0)時(shí)，可先求

f(x0)再求

f′(x0)．(

)(3)曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)．((4)若

f(a)＝a3＋2ax－x2，則

f′(a)＝3a2＋2x.(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√)2．(

改編)有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為

s(t)＝t2

3

t

是時(shí)間，s

是位移)，則＋

(t)

【導(dǎo)學(xué)號：31222075】機(jī)器人在時(shí)刻t＝2

時(shí)的瞬時(shí)速度為(A.194B.174C.15D.134

4D

[由題意知，機(jī)器人的速度方程為v(t)＝s′(t)＝2t3－t2，故當(dāng)t＝2

時(shí)，機(jī)器人的瞬時(shí)速度為v(2)＝2×2—

3

1322＝

4

.]3．(2016·的值為

．3

[因?yàn)閒(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.]4．(2016·豫

．x5x＋y＋2＝0 [∵y′＝－5e

，∴所求曲線的切線斜率k＝y(tǒng)′＝x

00＝－5e

＝－5，∴切線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]4．(2015·過點(diǎn)(2,7)，則

a＝

.1

[∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切線過點(diǎn)(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝exln

x；21(2)y＝x

x

＋

＋1

x

x3；(3)y＝x－sin2cos2x

x；(4)y＝cosxex

.x

x

xx

1x

1[解]

(1)y′＝(e

)′ln

x＋e

(ln

x)′＝e

ln

x＋e

·x＝e

ln

x＋x.(2)∵y＝x3＋1＋

1

，∴y′＝3x2－

2

.x2

x321

1(3)∵y＝x－

sinx，∴y′＝1－2cosx.

cos

x(4)y′＝

ex

′＝cos

x′ex－cos

xex′ex2＝－sin

x＋cos

xex

.[

規(guī)律方法]

1.熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則是導(dǎo)數(shù)計(jì)算的前提，求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)．2．如函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．[變式訓(xùn)練1](1)f(x)＝x(2

017＋ln

x)，若

f′(x0)＝2

018，則

x0

等于(

)B．1D．eA．e2C．ln

2(2)(2015·為

f(x)的導(dǎo)函數(shù)．若

f′(1)＝3，則

a

的值為

．10(1)B

(2)3

[(1)f′(x)＝2

017＋ln

x＋x×x＝2

018＋ln

x，故由f′(x

)＝2018，得2018＋ln

x0＝2018，則ln

x0＝0，解得x0＝1.

1(2)f′(x)＝aln

x＋x·x＝a(1＋ln

x)．由于f′(1)＝a(1＋ln

1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]導(dǎo)數(shù)的幾何意義?角度1求切線方程31

4已知曲線y＝3x

＋3.求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程．[思路點(diǎn)撥]

(1)點(diǎn)

P(2,4)是切點(diǎn)，先利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；(2)點(diǎn)P(2,4)不一定是切點(diǎn)，先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為0130x

，

x

＋43

3，由此求出切線方程，再把點(diǎn)P(2,4)代入切線方程求x0.[解]

(1)根據(jù)已知得點(diǎn)

P(2,4)是切點(diǎn)且

y′＝x2，∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率為y′x

2＝

＝4，3

分∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.5分31

43

3(2)設(shè)曲線y＝

x

＋與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A0130x

，

x

＋43

3，則切線的斜率為y′＝20

0x

x

＝x

，1

43

33

2∴切線方程為

y－

x0＋

＝x0(x－x0)，0302

43

3即y＝x2·x－x

＋.7

分∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，0302

43

3∴4＝2x2－

x

＋，即x3－3x2＋4＝0，9

分0

0∴x3＋x2－4x2＋4＝0，0

0

0∴x2(x

＋1)－4(x

＋1)(x

－1)＝0，0

0

0

0∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1

或x0＝2，故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分?角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)若曲線y＝xln

x

上點(diǎn)P

處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

．【導(dǎo)學(xué)號：31222076】1(e，e)

[由題意得

y′＝ln

x＋x·x＝1＋ln

x，直線

2x－y＋1＝0

的斜率為

2.設(shè)P(m，n)，則1＋ln

m＝2，解得m＝e，所以n＝eln

e＝e，即點(diǎn)P

的坐標(biāo)為(ee)．]?角度3求參數(shù)的值1

1(1)已知直線y＝2x＋b與曲線y＝－2x＋ln

x相切，則b

的值為(

)A．2B．－1C．－12D．1(2)(2017·西寧復(fù)習(xí)檢測(一))已知曲線y＝x＋1x－1在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則

a＝(

)A．－2B．2C．－12D.121y′＝－2＋x＝x

x01

10則

y′|

＝－＋ ，由－2

x

211

1

11，－2在直線y＝2x＋b

上，故－2＝2＋b，得(2)由y′＝－2x－121得曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線斜率為－2，又切＋1＝0垂直，則a＝－2，故選A.][規(guī)的斜率，切點(diǎn)既在曲．2．曲線在點(diǎn)P處的切線是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，曲線過點(diǎn)P切點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)．易錯(cuò)警示：點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線