一般形式的柯西不等式課件

一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式1.三維形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,則

.當(dāng)且僅當(dāng)______________________________________________時，等號成立.b1=b2=b3=0或存在一個數(shù)k，使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb31.三維形式的柯西不等式b1=b2=b3=0或存在一個數(shù)k，2.一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)____________________________________________________時，等號成立.bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)2.一般形式的柯西不等式bi=0(i=1,2,…,n)或存在1.三維形式的柯西不等式中等號成立的條件寫成可以嗎？提示：不可以.因為若出現(xiàn)bi=0(i=1,2,3)的情況，則分式不成立了，但是，可以利用分式的形式來形象地記憶.1.三維形式的柯西不等式中等號成立的條件寫成2.設(shè)x,y,z∈R,且滿足x2+y2+z2=5,則x+2y+3z的最大值是______.【解析】(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)·(12+22+32)=5×14=70,答案：2.設(shè)x,y,z∈R,且滿足x2+y2+z2=5,則x+2y3.已知實數(shù)a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,則e的取值范圍是_______.【解析】∵4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2,即4(16-e2)≥(8-e)2∴64-4e2≥64-16e+e2,∴5e2-16e≤0,答案：［0,］3.已知實數(shù)a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=8,a1.柯西不等式的一般形式的理解一是抓住柯西不等式的一般形式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方；二是與二維形式的柯西不等式類比記憶.1.柯西不等式的一般形式的理解2.柯西不等式的兩個變式(1)設(shè)ai∈R,bi＞0(i=1,2,…,n),當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai時(1≤i≤n)等號成立.(2)設(shè)ai,bi同號且不為0(i=1,2,…,n),則當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai時，等號成立.

2.柯西不等式的兩個變式

三維柯西不等式的應(yīng)用使用柯西不等式需要掌握的方法與技巧應(yīng)用柯西不等式常用的技巧有以下幾種(1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù).(2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排各項的次序.三維柯西不等式的應(yīng)用(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,可以改變式子的結(jié)構(gòu),從而達(dá)到使用柯西不等式的目的.(4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以添項.(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,可以改變式子的結(jié)構(gòu),從【典例訓(xùn)練】1.設(shè)x+y+z=1，則函數(shù)μ=2x2+3y2+z2的最小值是________.2.若x1+x2+x3=1,y1+y2+y3=4(x1,x2,x3∈R+,y1,y2,y3∈R+),則的最大值為_______.【典例訓(xùn)練】【解析】1.解題流程：答案：變形求解判斷結(jié)論【解析】1.解題流程：變形求解判斷結(jié)論2.答案：22.【歸納】正確利用“1”.提示：數(shù)字“1”的正確利用非常重要，為了利用柯西不等式，除了拼湊應(yīng)該有的結(jié)構(gòu)形式外，對數(shù)字、系數(shù)的處理往往能起到某些用字母所代表的數(shù)或式子所不能起到的作用，這就要求在理論上認(rèn)識柯西不等式與實際應(yīng)用時二者達(dá)到一種默契，即不因為“形式”與“面貌”的影響而不會用柯西不等式.【歸納】正確利用“1”.

一般形式柯西不等式的應(yīng)用應(yīng)用柯西不等式的注意事項我們主要利用柯西不等式來證明一些不等式或求值等問題，但往往不能直接應(yīng)用，需要對數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)，才能應(yīng)用，因而適當(dāng)變形是我們應(yīng)用一般形式的柯西不等式的關(guān)鍵，也是難點(diǎn).我們要注意在數(shù)學(xué)式子中，數(shù)或字母的順序要對比柯西不等式中的數(shù)或字母的順序，以便能使其形式一致起來，然后應(yīng)用解題.一般形式柯西不等式的應(yīng)用【典例訓(xùn)練】1.設(shè)a1,a2,…,an為實數(shù),b1,b2,…,bn為正數(shù),求證:2.已知a1,a2,…,an都是正實數(shù)，且a1+a2+…+an=1,求證：【典例訓(xùn)練】【證明】1.由柯西不等式得因為b1,b2,…,bn為正數(shù),于是b1+b2+…+bn>0,故【證明】1.由柯西不等式得2.左邊2.左邊=右邊,∴原不等式成立.一般形式的柯西不等式課件一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式1.三維形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,則

.當(dāng)且僅當(dāng)______________________________________________時，等號成立.b1=b2=b3=0或存在一個數(shù)k，使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb31.三維形式的柯西不等式b1=b2=b3=0或存在一個數(shù)k，2.一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)____________________________________________________時，等號成立.bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)2.一般形式的柯西不等式bi=0(i=1,2,…,n)或存在1.三維形式的柯西不等式中等號成立的條件寫成可以嗎？提示：不可以.因為若出現(xiàn)bi=0(i=1,2,3)的情況，則分式不成立了，但是，可以利用分式的形式來形象地記憶.1.三維形式的柯西不等式中等號成立的條件寫成2.設(shè)x,y,z∈R,且滿足x2+y2+z2=5,則x+2y+3z的最大值是______.【解析】(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)·(12+22+32)=5×14=70,答案：2.設(shè)x,y,z∈R,且滿足x2+y2+z2=5,則x+2y3.已知實數(shù)a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,則e的取值范圍是_______.【解析】∵4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2,即4(16-e2)≥(8-e)2∴64-4e2≥64-16e+e2,∴5e2-16e≤0,答案：［0,］3.已知實數(shù)a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=8,a1.柯西不等式的一般形式的理解一是抓住柯西不等式的一般形式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方；二是與二維形式的柯西不等式類比記憶.1.柯西不等式的一般形式的理解2.柯西不等式的兩個變式(1)設(shè)ai∈R,bi＞0(i=1,2,…,n),當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai時(1≤i≤n)等號成立.(2)設(shè)ai,bi同號且不為0(i=1,2,…,n),則當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai時，等號成立.

2.柯西不等式的兩個變式

三維柯西不等式的應(yīng)用使用柯西不等式需要掌握的方法與技巧應(yīng)用柯西不等式常用的技巧有以下幾種(1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù).(2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排各項的次序.三維柯西不等式的應(yīng)用(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,可以改變式子的結(jié)構(gòu),從而達(dá)到使用柯西不等式的目的.(4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以添項.(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,可以改變式子的結(jié)構(gòu),從【典例訓(xùn)練】1.設(shè)x+y+z=1，則函數(shù)μ=2x2+3y2+z2的最小值是________.2.若x1+x2+x3=1,y1+y2+y3=4(x1,x2,x3∈R+,y1,y2,y3∈R+),則的最大值為_______.【典例訓(xùn)練】【解析】1.解題流程：答案：變形求解判斷結(jié)論【解析】1.解題流程：變形求解判斷結(jié)論2.答案：22.【歸納】正確利用“1”.提示：數(shù)字“1”的正確利用非常重要，為了利用柯西不等式，除了拼湊應(yīng)該有的結(jié)構(gòu)形式外，對數(shù)字、系數(shù)的處理往往能起到某些用字母所代表的數(shù)或式子所不能起到的作用，這就要求在理論上認(rèn)識柯西不等式與實際應(yīng)用時二者達(dá)到一種默契，即不因為“形式”與“面貌”的影響而不會用柯西不等式.【歸納】正確利用“1”.

一般形式柯西不等式的應(yīng)用應(yīng)用柯西不等式的注意事項我們主要利用柯西不等式來證明一些不等式或求值等問題，但往往不能直接應(yīng)用，需要對數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)，才能應(yīng)用，因而適當(dāng)變形是我們應(yīng)用一般形式的柯西不等式的關(guān)鍵，也是難點(diǎn).我們要注意在數(shù)學(xué)式子中，數(shù)或字母的順序要對比柯西不等式中的數(shù)或字母的順序，以便能使其形式一致起來，然后應(yīng)用解題.一般形式柯西不等式的應(yīng)用【典例訓(xùn)練】